Produtos Notáveis

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Produtos Notáveis
Produtos notáveis são igualdades algébricas que seguem um padrão de formação e por isso podemos seguir este padrão sem que seja necessário realizar a regra da multiplicação de polinômios.
1. O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o dobro do produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplo: ( 2a + 3 )2 = (2a)2 + 2.2a.3 + 32 = 4a2 + 12a + 9.
2. O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o dobro do produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplo: ( 5 – 3k )2 = 52 – 2.5.3k + (3k)2 = 25 – 30k + 9k2.
3. O produto da soma de dois termos pela diferença dos mesmos termos é igual à diferença entre seus quadrados.
Exemplos:
a) ( 2a + 4 ).( 2a – 4 ) = (2a)2 – 42 = 4a2 – 16.
b) Qual o valor do produto de 501 por 499?
Resolvendo utilizando o produto notável:
Sabemos que, 501 = 500 + 1 e 499 = 500 – 1.
4. O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais o triplo do produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais o triplo do produto do primeiro pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo.
Exemplo: ( 4a + 3 )3 = (4a)3 + 3.(4a)2.3 + 3.4a.32 + 33 = 64a3 + 144a2 + 108a + 27.
5. O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos o triplo do produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais o triplo do produto do primeiro pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo.
Exemplo: ( 2b – 1 )3 = (2b)3 – 3.(2b)2.1 + 3.2b.12 – 13 = 8b3 – 12b2 + 6b – 1.
Portanto, vimos cada um dos 5 produtos notáveis que mais aparecem em concursos, concentre-se em memorizá-los através do mapa mental acima e com a realização de exercícios.
Conclusão
– Aprendemos uma técnica muito importante para nos ajudar na elaboração de anotações de modo eficaz – o mapa mental – esta técnica pode ser usada em qualquer  matéria.
1.(OBMEP) Na figura abaixo temos dois quadrados. O maior tem lado a + b e o menor lado a. Qual é a área da região colorida?
A) b2
B) a + b
C) a2 + 2ab
D) 2ab + b2
2. A expressão (x – y)2 – (x + y)2 é equivalente a:
A) 0
B) 2y2
C) -2y3
D) –4xy
3. A expressão (3 + ab).(ab – 3) é igual a:
A) a2b – 9
B) ab2 – 9
C) a2b2 – 9
D) a2b2 – 6 
4. Se (x – y)2 – (x + y)2 = -20, então x.y é igual a:
A) 0
B) -1
C) 5
D) 10 
5. Se x – y = 7 e xy = 60, então o valor da expressão x2 + y2 é:
A) 53
B) 109
C) 169
D) 420
Soluções das Questões
Questão 1
Repare que a área da região colorida é formada por dois retângulos, portanto se sabemos as medidas do comprimento e largura destes retângulos, facilmente calculamos a medida da região, pois esta é igual à soma das medidas das áreas dos retângulos.
Bem, mas não vamos seguir esta estratégia, um caminho mais simples é o seguinte:
veja que, se da medida da área do quadrado maior (medida do lado = a + b) subtraímos a medida da área do quadrado menor (medida do lado = a), vamos obter a medida da área da região colorida. Simples, não? Observe:
Medida da área do quadrado maior = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Medida da área do quadrado menor = a2.
Medida da área da região colorida = (a2 + 2ab + b2) – (a2) = 2ab + b2.
Questão 2
Primeiro vamos desenvolver os binômios separadamente.
(x – y)2 – (x + y)2
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2 e (x + y)2 = x2 + 2xy + y2.
Após desenvolver, voltamos para a expressão e substituímos.
(x – y)2 – (x + y)2 = x2 – 2xy + y2 – (x2 + 2xy + y2) = x2 – 2xy + y2 – x2 – 2xy – y2 =
= x2 – x2 – 2xy – 2xy + y2 – y2 = -2xy – 2xy = -4xy.
Logo, (x – y)2 – (x + y)2 = – 4xy.
Questão 3
Antes de resolvermos o problema, vamos fazer uma pequena mudança, muito importante que vai ajudar a resolver o problema rapidamente. Observe o seguinte:
(3 + ab) é igual a (ab + 3), já que a ordem das parcelas não altera a soma, certo?
(3 + ab).(ab – 3) = (ab + 3).(ab – 3), veja que temos agora o produto da soma de dois termos pela diferença de dois termos (os mesmos!), agora fica fácil aplicar o produto notável.
(3 + ab).(ab – 3) = (ab + 3).(ab – 3) = (ab)2 – 32 = a2b2 – 9.
Questão 4
Em questões deste tipo e em muitas outras, olhamos, procuramos ler uma, duas vezes e por experiência sei que muitos não conseguem sair do lugar, isto é, não conseguem escrever nada. Uma dica: trace uma estratégia, tenha fé e escreva, se não chegar a uma resposta satisfatória, volte, trace outra estratégia e siga com fé! 
Vamos a solução. Nossa primeira estratégia será desenvolver a expressão. Vamos lá, com fé!
Nossa estratégia deu certo, conseguimos chegar a uma solução satisfatória, para verificar se a resposta está certa (é claro que está!), em xy = 5, isole uma incógnita e substitua na expressão original verificando a igualdade, isto é, se é verdadeira. (faça isto para treinar.)
Lembrando que xy = x.y, costuma-se omitir o símbolo de multiplicação.
Questão 5
Do problema, temos a seguinte equação x – y = 7, a princípio não está muito claro o valor de x2 + y2, mas vamos traçar uma estratégia e seguir com fé, novamente. 
Na equação x – y = 7, vamos elevar os dois membros ao quadrado, ficando assim
(x – y)2 = 72 , desenvolvendo temos
x2 – 2xy + y2 = 49, veja que já apareceram o x2 e y2, arrumando
x2 + y2 = 49 + 2xy, mas xy = 60 e daí
x2 + y2 = 49 + 2.60, resolvendo
x2 + y2 = 49 + 120, logo x2 + y2 = 169.
Interessante, não?
Utilizamos a estratégia de elevar os dois membros da equação ao quadrado, podemos fazer isso, desde que façamos em ambos os membros e logo apareceu x2 + y2.