Lista Aplicações de Derivadas

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Universidade Federal de Vic¸osa - UFV
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas - CCE
Departamento de Matema´tica - DMA
MAT 146 - CA´LCULO I
Professores: Ab´ılio, Anderson Tiago, Ariane (coordenadora), Gemma, Gla´ucia,
Laerte, Ma´ısa, Priscila.
3a Lista de Exerc´ıcios: Aplicac¸o˜es de Derivadas1
1) Calcule as derivadas:
a) f(x) = 2 + arctgx
b) f(x) = arcsen x
c) f(x) = arcsec x
d) f(x) = arccos x
e) f(x) = arctg 4x+ 75
f) f(x) = arctg x2
g) f(x) = arctg e x
h) f(x) = arcsen (2x+ 1)
i) f(x) = arcsec 3x+ 5
j) f(x) = arccos 2x
2) Encontre os pontos cr´ıticos, caso existam, das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) =
1
x2 + 1
b) f(x) = x2 − 5x+ 10
c) f(x) = sen x em [0, 2pi]
d) f(x) = 2x3 − 6x2 + 6x+ 6
e) f(x) =
√
1− x2
f) f(x) = x lnx− x+ 2
g) f(x) = x
2
3
h) f(x) = e −x
2
i) f(x) = ax2 + bx + c , a 6= 0. Como e´
conhecido esse ponto?
j) f(x) = 2x− 1
3) Determine os pontos de ma´ximo e de mı´nimo absolutos (globais) de cada func¸a˜o no intervalo
dado.
a) f(x) = x
2
3 , [-2,3]
b) f(x) =
2
3
x− 5 , [-2,3]
c) f(x) = −x− 4, [-4,1]
d) f(x) = x2 − 1 , [-1,2]
e) f(x) = − 1
x2
, [
1
2
, 2]
f) f(x) =
√
4− x2 , [−2, 1]
g) f(x) = e −x
2
, [−2, 1]
h) f(x) =
1
x
+ lnx, [
1
2
, 4]
i) f(x) =
x2 − 1
x2 + 1
, x ∈ [−2, 3]
4) Determine os intervalos onde as func¸o˜es sa˜o crescentes ou decrescentes e seus extremos absolutos
(globais) e relativos (locais).
1Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV.
1
MAT 146 - Ca´lculo I 2
a) f(x) = arctg x
b) f(x) = x3 − 3x
c) f(x) =
1
x2 + 1
d) f(x) =
x
x2 + 1
e) f(x) = x lnx
f) f(x) = e x
2
g) f(x) = e 2x
h) f(x) =
1
x
i) f(x) = (x− 1)(x− 2)(x+ 3)
j) f(x) = 2x
k) f(x) = x+
1
x
5) Determine os pontos de inflexa˜o, caso existam, das seguintes func¸o˜es. Encontre ainda, os
intervalos onde a func¸a˜o e´ coˆncava para cima ou para baixo.
a) f(x) = −x3 + 6x2 − 6x
b) f(x) =
1
x+ 4
c) f(x) = 2xe −3x
d) f(x) = 4
√
x+ 1− x2 − 1
e) f(x) =
x2 + 9
(x− 3)2
f) f(x) = 3x
6) Sabendo-se que f(x) =
3x2 − 12
x2 + 4
, f ′(x) =
48x
(x2 + 4)2
e f ′′(x) =
192− 144x2
(x2 + 4)3
, pede-se:
a) O domı´nio de f .
b) Os pontos cr´ıticos de f , o(s) intervalo(s) onde f e´ crescente e o(s) intervalo(s) onde f e´
descrescente,e seus extremos relativos, se existirem.
c) O(s) intervalo(s) em que f e´ coˆncava para baixo e o(s) intervalo(s) em que f e´ coˆncava
para cima, se existirem. Os pontos de inflexa˜o de f , se existirem.
d) As ass´ıntotas verticais e horizontais do gra´fico de f , se existirem.
e) O esboc¸o do gra´fico de f .
7) Considere a func¸a˜o f(x) =
x2 − 1
x3
. Pede-se:
a) O domı´nio de f .
b) Os pontos cr´ıticos de f , o(s) intervalo(s) onde f e´ crescente e o(s) intervalo(s) onde f e´
descrescente,e seus extremos relativos, se existirem.
c) O(s) intervalo(s) em que f e´ coˆncava para baixo e o(s) intervalo(s) em que f e´ coˆncava
para cima, se existirem. Os pontos de inflexa˜o de f , se existirem.
d) As ass´ıntotas verticais e horizontais do gra´fico de f , se existirem.
e) O esboc¸o do gra´fico de f .
8) Fac¸a o mesmo estudo para a func¸a˜o f(x) = x3 − 6x2 + 9x+ 1.
9) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de cada func¸a˜o abaixo.
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a) f(x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 + 2
b) f(x) =
x2 + 4
4− x2
c) f(x) =
4x
x2 + 4
d) f(x) =
x2
x2 − 3
e) f(x) = (x+ 2)2(x− 1)3
f) f(x) =
4√
x+ 2
g) f(x) =
x3
3
− 3
2
x2 − 2x+ 5
6
h) f(x) = arctg x
i) f(x) =
−1
4
x4 − 5
3
x3 − 2x2
j) f(x) = 2x
k) f(x) =
√
x
x+ 1
l) f(x) = 6
3
√
x2 − 2x
m) f(x) = 3
√
(x+ 1)2
Resolva os problemas de Otimizac¸a˜o
10) Qual e´ o comprimento do menor caminho que vai de A = (0,1) ate´ B = (3,2) sabendo que esse
caminho deve passar pelo eixo X? (dica: A distaˆncia entre dois pontos (a,b) e (c,d) e´ dada por:√
(c− a)2 + (d− b)2.)
11) Uma folha de papel para um cartaz tem um metro quadrado de a´rea. As margens superior e
inferior valem 10 cm e as margens laterais valem 5 cm. Achar as dimenso˜es da folha, sabendo
que a a´rea impressa deve ser ma´xima.
12) Quais as dimenso˜es do maior retaˆngulo que pode ser colocado dentro de uma circunfereˆncia de
raio R?
13) Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser constru´ıda de forma que o seu volume seja
V = 250m3. O material da base vai custar R$ 80, 00 por metro quadrado e o material dos
lados R$ 20, 00 por metro quadrado. Encontre as dimenso˜es da caixa de modo que o custo do
material seja mı´nimo.
14) Um fio de comprimento L e´ cortado em dois pedac¸os. Com um dos pedac¸os se fara´ um c´ırculo
e com o outro, um quadrado.
a) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas a´reas compreendidas pelas figuras
seja mı´nima?
b) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das a´reas das figuras seja ma´xima?
15) Achar dois nu´meros positivos cuja soma seja 70 e o produto seja o maior poss´ıvel.
16) Determinar as dimenso˜es de uma lata cil´ındrica, com tampa, com volume V, de forma que a
sua a´rea total seja mı´nima.
17) Do ponto A situado em uma das margens de um rio, de 40m de largura, deve-se levar energia
ele´trica ao ponto C, situado na outra margem do rio e que esta´ a 1000 m de distaˆncia do ponto
B que esta´ na mesma margem de C e exatamente em frente ao ponto A. O fio a ser usado na
a´gua custa R$5, 00 cada metro e o que sera´ utilizado fora, R$3, 00. Como devera´ ser feita a
ligac¸a˜o para que o gasto com os fios seja o menor poss´ıvel? (Suponha as margens retil´ıneas e
paralelas)
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18) Um fabricante, ao comprar caixas de embalagens retangulares exige que o comprimento de cada
uma delas seja 2m e o volume 3m3. Para gastar a menor quantidade de material poss´ıvel na
fabricac¸a˜o de caixas, quais devem ser suas dimenso˜es?
Respostas
1) a)
1
1 + x2
; b)
1√
1− x2 ; c)
1
|x|√x2 − 1; d)
−1√
1− x2 ; e)
4
1 + 16x2
; f)
2x
1 + x4
; g)
e x
1 + e 2x
;
h)
2√
1− (2x+ 1)2 ; i)
1
|x|√9x2 − 1; j)
−2√
1− 4x2 .
2) a) (0, 1); b) (
5
2
,
15
4
); c) (
pi
2
, 1) e (
3pi
2
,−1); d)(1, 8); e) (0, 1), (1, 0) e (−1, 0); f) (1, 1);
g)(0, 0); h) (0, 1); i) (− b
2a
,−b
2 − 4ac
4a
). Esse ponto e´ o ve´rtice da para´bola; j) na˜o ha´.
3) a) (0, 0) e´ um ponto cr´ıtico. f(−2) = (−2) 23 e f(3) = (3)2/3. Logo, o ponto de ma´ximo global
e´ (3, 32/3) e o ponto de mı´nimo global e´ (0, 0);
b) Essa func¸a˜o na˜o possui pontos cr´ıticos. f(−2) = −19
3
e f(3) = −3. Logo, o ponto de
mı´nimo global e´ (−2,−19
3
) e o ponto de ma´ximo global e´ (3,−3);
c) Essa func¸a˜o na˜o possui pontos cr´ıticos. f(−4) = 0 e f(1) = −5. Logo, o ponto de ma´ximo
global e´ (−4, 0) e o ponto de mı´nimo global e´ (1,−5);
d) (0,−1) e´ um ponto cr´ıtico. f(−1) = 0 e f(2) = 3. Logo, o ponto de ma´ximo global e´ (2, 3)
e o ponto de mı´nimo global e´ (0,−1);
e) f na˜o possui pontos cr´ıticos e (2,
−1
4
) e´ o ponto de ma´ximo absoluto e (
1
2
,−4) e´ o ponto de
mı´nimo absoluto;
f) (0, 2) e (−2, 0) sa˜o pontos cr´ıticos da func¸a˜o. f(0) = 2, f(−2) = 0 e f(1) = √3. Logo, o
ponto de ma´ximo global e´ (0, 2) e o ponto de mı´nimoglobal e´ (−2, 0) ;
g) (0, 1) e´ um ponto cr´ıtico. f(−2) = e −4 e f(1) = e . Logo, o ponto de ma´ximo global e´
(−2, e −4) e o ponto de mı´nimo global e´ (0, 1) ;
h) (1, 1) e´ um ponto cr´ıtico. f(
1
2
) = 2 − ln 2 e f(4) = 1
4
+ 2 ln 2. Logo, o ponto de ma´ximo
global e´ (4,
1
4
+ 2 ln 2) e o ponto de mı´nimo global e´ (1, 1);
i) (0,−1) e´ ponto de mı´nimo absoluto em [-2,3] e (3, 4
5
) e´ ponto de ma´ximo absoluto em [-2,3].
4) a) f e´ crescente em todo o seu Domı´nioe na˜o existem extremos de f;
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b) f e´ decrescente em (−1, 1) e crescente em (−∞,−1)∪(1,∞) enta˜o (−1, 2) e´ ponto de ma´ximo
local e (1,−2) e´ ponto de mı´nimo local. Na˜o ha´ extremos globais;
c) f e´ decrescente em (0,∞) e crescente em (−∞, 0). O ponto (0, 1) e´ um ma´ximo local, que
tambe´m e´ absoluto. Na˜o ha´ mı´nimos locais ou absolutos;
d) f e´ crescente em (−1, 1) e decrescente em (−∞,−1)∪(1,∞). O ponto (−1,−1
2
) e´ um mı´nimo
local e o ponto (1,
1
2
) e´ um ma´ximo local. Ambos sa˜o tambe´m, extremos absolutos;
e) f e´ crescente em (
1
e
,∞) e decrescente em (0, 1
e
). O ponto (
1
e
,− 1
e
) e´ ponto de mı´nimo
global;
f) f e´ decrescente em (−∞, 0) e crescente em (0,∞). O ponto (0, 1) e´ o ponto de mı´nimo
global;
g) f e´ crescente em todo o seu domı´nio. Na˜o ha´ extremos ;
h) f e´ sempre crescente em todo o seu domı´nio. Na˜o ha´ extremos ;
i) f e´ crescente em (−∞,−
√
7
3
) ∪ (
√
7
3
,∞) e decrescente em (−
√
7
3
,
√
7
3
). O ponto
(−
√
7
3
,−6 +
14
√
7
3
3
) e´ um ma´ximo local e o ponto (
√
7
3
, 6 −
14
√
7
3
3
) e´ um ponto de mı´nimo
local. Na˜o ha´ extremos absolutos;
j) f e´ sempre crescente em todo o seu domı´nio. Na˜o ha´ extremos ;
k) f e´ crescente em (−∞,−1) ∪ (1,∞) e decrescente em (−1, 0) ∪ (0, 1). O ponto (−1,−2) e´
ponto de mı´nimo local e o ponto (1, 2) e´ ponto de ma´ximo local.
5) a) O ponto (2, 4) e´ de inflexa˜o. f e´ coˆncava para cima em (−∞, 2) e f e´ coˆncava para baixo em
(2,∞);
b) na˜o existe ponto de inflexa˜o. f e´ coˆncava para cima em (−4,∞) e f e´ coˆncava para baixo em
(−∞,−4);
c) (
1
2
, e
−3
2 ) e´ ponto de inflexa˜o. f e´ coˆncava para cima em (
1
2
,∞) e f e´ coˆncava para baixo em
(−∞, 1
2
);
d) na˜o existem pontos de inflexa˜o e f e´ coˆncava para baixo em todo o seu domı´nio;
e) (−6, 5
9
) e´ ponto de inflexa˜o. f e´ coˆncava para cima em (−6, 3) ∪ (3,∞) e f e´ coˆncava para
baixo em (−∞,−6);
f) f na˜o tem ponto de inflexa˜o e f e´ sempre coˆncava para cima.
6) a) (−∞,∞);
b) (0,−3) e´ ponto cr´ıtico. f e´ crescente em (0,∞) e decrescente em (−∞, 0). O ponto (0,-3) e´
de mı´nimo;
c) (
2
√
3
3
,−3
2
) e (−2
√
3
3
,−3
2
) sa˜o pontos de inflexa˜o. f e´ coˆncava para cima em (−2
√
3
3
,
2
√
3
3
)
e f e´ coˆncava para baixo em (−∞,−2
√
3
3
) ∪ (2
√
3
3
,∞);
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d) Ass´ıntota horizontal em y = 3;
e)
7) a) R \ {0};
b) A derivada de f e´ f ′(x) =
3− x2
x4
. Os pontos (
√
3,
2
√
3
9
) e (−√3,−2
√
3
9
) sa˜o cr´ıticos. O
primeiro deles e´ de ma´ximo e o segundo e´ de mı´nimo. f e´ crescente em (−√3, 0) ∪ (0,√3) e
decrescente em (−∞,−√3) ∪ (√3,∞);
c) A segunda derivada de f e´ f ′′(x) =
2x2 − 12
x5
. f e´ coˆncava para baixo em (−√6, 0)∪ (0,√6)
e coˆncava para cima em (−∞,−√6) ∪ (√6,∞). Os pontos (−√6,−5
√
6
36
) e (
√
6,
5
√
6
36
) sa˜o de
inflexa˜o;
d) A reta x = 0 e´ a ass´ıntota vertical do gra´fico de f e a reta y = 0 e´ a ass´ıntota horizontal do
gra´fico de f;
e)
8) a) (−∞,∞);
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b) A derivada de f e´ f ′(x) = 3x2 − 12x + 9; (1, 5) e (3, 1) sa˜o pontos cr´ıticos tais que (1, 5)
e´ ponto de ma´ximo e (3, 1) de mı´nimo. f e´ crescente em (−∞, 1) ∪ (3,∞) e f decrescente em
(1, 3);
c) A derivada segunda de f e´ f ′′(x) = 6x − 12; (2, 3) e´ ponto de inflexa˜o e f e´ coˆncava para
cima em (2,∞) e f e´ coˆncava para baixo em (−∞, 2);
d) na˜o existem ass´ıntotas verticais ou horizontais de f.
e)
9) a) Df = R, f ′(x) = 12x(x − 1)2, pontos cr´ıticos de f: (0, 2) e (1, 3). f e´ crescente
em (0,+∞) e f e´ decrescente em (−∞, 0). (0, 2) e´ um mı´nimo local do gra´fico de f.
f ′′(x) = 12(3x2 − 4x+ 1), pontos de inflexa˜o de f: (1, 3) e (1
3
, 65
27
). f e´ coˆncava para baixo
em (1
3
, 1) e coˆncava para cima em (−∞, 1
3
) ∪ (1,+∞); f na˜o possui ass´ıntotas.
b) Df = R − {−2, 2}; f ′(x) = 16x
(4− x2)2 ; (0, 1) e´ ponto cr´ıtico do gra´fico de f e e´ um
mı´nimo local; f e´ decrescente em (−∞,−2) ∪ (−2, 0) e crescente em (0, 2) ∪ (2,+∞);
f ′′(x) =
16(3x2 + 4)
(4− x2)3 ; f naˆo possui pontos de inflexa˜o; f e´ coˆncava para baixo em
(−∞,−2) ∪ (2,∞) e f e´ coˆncava para cima em (−2, 2); x = 2 e x = −2 sa˜o ass´ıntotas
verticais do gra´fico de f e y = −1 e´ uma ass´ıntota horizontal do gra´fico de f.
c) Df = R; f ′(x) =
−4(x2 − 4)
(x2 + 4)2
; (−2,−1) e´ ponto cr´ıtico de mı´nimo local; (2, 1) e´ ponto
cr´ıtico de ma´ximo local; f e´ crescente em (−2, 2) e decrescente em (−∞,−2) ∪ (2,∞);
f ′′(x) =
8x(x4 − 8x2 − 48)
(x2 + 4)4
; os pontos (0, 0), (2
√
3,
√
3
2
) e (−2√3,−
√
3
2
) sa˜o pontos de
inflexa˜o do gra´fico de f; f e´ concava para cima em (−2√3, 0) ∪ (2√3,∞) e concava para
baixo em (−∞,−2√3)∪ (0, 2√3); f na˜o possui assintotas verticais em seu grafico e y = 0
e´ uma assintota horizontal do gra´fico de f.
d) Df = R − {−
√
3,
√
3}; f ′(x) = −6x
(x2 − 3)2 ; o ponto 0, 0) e´ cr´ıtico e ma´ximo local; f
e´ crescente em (−∞,−√3) ∪ (−√3, 0) e decrescente em (0,√3) ∪ (√3,∞); f ′′(x) =
18(x2 + 1)
(x2 − 3)3 ; f na˜o possui pontos de inflexao; f e´ concava para baixo em (−
√
3,
√
3) e
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concava para cima em (−∞,−√3) ∪ (√3,∞); as retas x = −√3 e x = √3 sao assintotas
verticais do gra´fico de f e y = 1 e´ uma ass´ıntota horizontal do gra´fico de f.
e) Df = R; f ′(x) = (x + 2)(x − 1)2(5x + 4); os pontos cr´ıticos de f sa˜o: (−2, 0),
(1, 0) e (−4
5
,−6
2 · 93
55
) e o primeiro deles e´ de maximo relativo e o u´ltimo deles de
mı´nimo relativo; f e´ crescente em (−∞,−2) ∪ (−4
5
,+∞) e decrescente em (−2,−4
5
);
f ′′(x) = 16(x − 1)(x + 5
4
)(x + 1
2
); os pontos (1, 0), (−5
4
,−38
45
) e (−1
2
,−35
25
) sao de inflexao
do gra´fico de f; f e´ concava para cima em (−5
4
,−1
2
) ∪ (1,∞) e concava para baixo em
(−∞,−5
4
) ∪ (−1
2
, 1); f nao possui assintotas nem verticais nem horizontais.
f) Df = {x ∈ R/ x > −2}; f ′(x) = −2(x+2)− 32 ; f na˜o possui pontos cr´ıticos e e´ decrescente
em todo o seu domı´nio; f ′′(x) = 3(x + 2)−
5
2 ; f na˜o possui pontos de inflexa˜o e e´ concava
para cima em todo o seu domı´nio; a reta x = −2 e´ a ass´ıntota vertical do gra´fico de f e a
reta y = 0 e´ a ass´ıntota horizontal do gra´fico de f.
g) Df = R; f ′(x) = (x− 1)(x− 2); o ponto (1, 53) e´ cr´ıtico e de maximo local; o ponto (2, 32)
e´ critico e e´ um mı´nimo local; f e´ decrescente em (1, 2) e crescente em (−∞, 1) ∪ (2,∞);
f ′′(x) = 2x−3; o ponto (3
2
, 19
12
) e´ o ponto de inflexao do gra´fico de f; f e´ concava para cima
em (3
2
,∞) e concava para baixo em (−∞, 3
2
); o gra´fico de f nao possui ass´ıntotas verticais
ou horizontais.
h) Df = R; f ′(x) =
1
x2 + 1
; f nao possui pontos cr´ıticos e e´ crescente em todo o seu dominio;
f ′′(x) = − 2x
(1 + x2)2
; o ponto (0, 0) e´ o unico ponto de inflexa˜o do gra´fico de f; f e´ concava
para baixo em (0,∞) e concava para cima em (−∞, 0); lim
x→∞
f(x) =
pi
2
e lim
x→−∞
f(x) = −pi
2
.
Logo, f tem como assintotas horizontais as retas y =
pi
2
e y = −pi
2
.
i) Df = R; f ′(x) = −x3 − 5x2 − 4x; f possui pontos cr´ıticos em x = 0, x = −1 e
x = −4. Temos ainda f(0) = 0, f(−1) = − 7
12
e f(−4) = 32
3
; f possui um ma´ximo
local em x = −4 e em x = 0; f possui um mı´nimo local em x = −1; f e´ decrescente em
(−4,−1) ∪ (0,∞) e crescente em (−∞,−4) ∪ (0,∞); f ′′(x) = −3x2 − 10x − 4; f possui
um ponto de inflexaoem x =
−5−√13
3
e em x =
−5 +√13
3
; f e´ concava para baixo
em (−∞, −5−
√
13
3
) ∪ (−5 +
√
13
3
,∞) e concava para cima em (−5−
√
13
3
,
−5 +√13
3
);
f nao possui assintotas verticais e nem horizontais em seu gra´fico.
j) Df = R; f ′(x) = 2x ln 2; f nao possui pontos cr´ıticos e e´ crescente em todo o seu dominio;
f ′′(x) = 2x ln2 2; f nao possui pontos de inflexao e e´ concava para cima em todo o seu
dominio; f nao possui assintota vertical e y = 0 e´ a assintota horizontal do gra´fico de f.
k) Df = {x ∈ R / x ≥ 0}; f ′(x) = 1− x
2
√
x(x+ 1)2
; Os pontos (1, 1
2
) e (0, 0) sa˜o cr´ıticos;
f e´ crescente em (0, 1) e decrescente em (1,∞); O ponto (1, 1
2
) e´ um ma´ximo absoluto e
ponto (0, 0) e´ um mı´nimo absoluto; f ′′(x) =
3x2 − 6x− 1
4x
√
x(x+ 1)3
; f possui um u´nico ponto de
inflexa˜o em x = 1 + 2
√
3
3
; f e´ concava para baixo em (0, 1 + 2
√
3
3
) e concava para cima
em (1 + 2
√
3
3
,∞); o gra´fico de f na˜o possui ass´ıntotas verticais e y = 0 e´ uma ass´ıntota
horizontal para o gra´fico de f.
Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV.
MAT 146 - Ca´lculo I 9
l) Df = R; f ′(x) =
4
3
√
x
− 2; os pontos (0, 0) e (8, 8) sa˜o pontos cr´ıticos do gra´fico de f
sendo que (0, 0) e´ um minimo local e (8, 8) e´ um maximo local; f e´ crescente em (0, 8) e
decrescente em (−∞, 0) ∪ (8,∞); f ′′(x) = − 4
3
3
√
x4
; f nao possui pontos de inflexao e e´
concava para baixo em todo o seu dominio; f nao possui assintotas verticais ou horizontais.
m) Df = R; f ′(x) =
2
3 3
√
x+ 1
; o ponto (−1, 0) e´ um ponto critico e e´ de minimo para f; f e´
crescente em (−1,∞) e decrescente em (−∞,−1); f ′′(x) = 2
9 3
√
(x+ 1)4
; f e´ concava para
baixo em todo o seu dominio e nao possui pontos de inflexao; f nao possui assintotas nem
verticais nem horizontais.
a) b) c)
d) e) f)
Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV.
MAT 146 - Ca´lculo I 10
g) h) i)
j) k) l)
m)
Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV.
MAT 146 - Ca´lculo I 11
10) Passando pelo ponto (1, 0) e a distaˆncia pedida vale 3
√
2 unidades de medida.
11) uma medida valendo
√
2
2
e a outra valendo
√
2.
12) um quadrado de lado x =
√
2R.
13) Uma das arestas da base tera´ 5 m e a aresta lateral tera´ 10 m.
14) a) Um pedac¸o (do c´ırculo) tendo comprimento x =
piL
pi + 4
e o pedac¸o do quadrado valendo
y =
4L
pi + 4
; b) Para a´rea maxima devemos ter nenhum pedac¸o para o quadrado e o fio inteiro
para o c´ırculo, pois como na˜o ha´ outro ponto cr´ıtico, um dos extremos da func¸a˜o ocorre num
dos extremos do domı´nio que e´ [0,L].
15) Os dois nu´meros sa˜o iguais e valem 35.
16) O raio de sua base deve valer R = 3
√
V
2pi
e sua altura deve ser H = 3
√
4V
pi
17) Deve-se sair de A, por a´gua e comec¸ar por terra quando se estiver 30 metros de C.
18) as dimenso˜es sa˜o uma aresta medindo
√
3
2
m e a outra medindo
√
6
2
m.
Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV.