Geometria Analítica e Algebra vetorial

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ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA (UFCG-
CUITÉ)
PLANOS  PARALELOS  AOS  E IXOS  E  AOS  PLANOS  COORDENADOS  
Casos Particulares
     
           A equação  dczbyax =++  na qual a, b e c não são nulos, é a equação de um 
plano   pipi      ),,( , anormalvetorumcbavsendo = .   Quando   uma   ou   duas   das 
componentes de v  são nulas, ou quando d = 0 teremos os casos particulares. 
Plano que Passa pela Origem
     Se o plano  dczbyax =++  passa pela origem:  0  ,0.0.0. ==++ déistodcba
Assim a equação:   0=++ czbyax representa a equação de um plano que passa pela 
origem.
Planos Paralelos aos Eixos Coordenados
Se apenas uma das componentes do vetor  ),,( cbav = é nula, o vetor é ortogonal a um 
dos eixos coordenados, e, portanto, o plano pi é paralelo ao mesmo eixo:
I. Se  xcbva 0//),,0(,0 pi∴==  e a equação geral dos planos paralelos ao eixo 0x é: 
.dczby =+
A figura mostra o plano de equação:  .0632 =−+ zy   
Observemos que suas intersecções com os eixos 0y e 0z são A1  (0,3,0) e A2  (0,0,2), 
respectivamente, e que nenhum ponto da forma P(x,0,0) satisfaz a equação. Um vetor 
normal ao plano é  ),3,2,0(=v pois a equação depi  pode ser escrita na forma:
                                     .06320 =−++ zyx
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      Com raciocínio análogo, vamos concluir que:
II. Os planos paralelos ao eixo 0y têm equação da forma:  ;dczax =+
III. Os planos paralelos ao eixo Oz têm equação da forma:  .dbyax =+
         Da análise feita sobre este caso particular,  conclui­se que a variável ausente na 
equação indica que o plano é paralelo ao eixo desta variável.
    As figuras seguintes mostram os planos  ,42:  3: 21 =+=+ yxezx pipi
♦ Observações:     a) A equação  042 =−+ yx , como vimos, representa no espaço  3ℜ  
um plano paralelo ao eixo 0z. Porém, esta mesma equação, interpretada no plano 
2ℜ , representa uma reta.
                              b) Se na equação  0  ,0   =+==+ byaxequaçãoadfizemosdbyax  
representa um plano que passa pela origem e, portanto, contém o eixo 0z.
Planos Paralelos aos Planos Coordenados
      Se duas das componentes do vetor normal  ),,( cbav =  são nulas, v  é colinear a 
um   dos   vetores   )1,0,0(  )0,1,0(  )0,0,1( ===
→→→
koujoui ,e,   portanto,   o   plano  pi   é 
paralelo ao plano dos outros dois vetores:
I) Se  yxkcccvba 0//)1,0,0(),0,0(,0 pi∴=====
→
 e a equação geral dos planos 
paralelos ao plano x0y é:  .  :,0 ,
c
d
zvemccomodcz =≠=
Os planos cujas equações são da forma z = k são paralelos ao plano x0y.
A figura abaixo mostra o plano de equação z = 4.
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A equação z = 4 pode também ser apresentada sob a forma  0400 =−++ zyx  na qual 
vemos que qualquer ponto do tipo A (x,y,4) satisfaz esta equação e  )1,0,0(=
→
k  é um 
vetor normal ao plano.
      Assim sendo, o plano paralelo ao plano x0y e que passa pelo ponto A(x1,y1,z1) tem 
por equação: z = z1.
     Por exemplo, o plano que passa pelo ponto A(­1,2,­3) e é paralelo ao plano x0y tem 
por equação: z = ­3.
     Com raciocínio análogo, vamos concluir que:
II) Os planos paralelos ao plano x0z têm por equação: y = k;
III) Os planos paralelos ao plano y0z têm por equação: x = k.
As figuras abaixo mostram os planos  2:     ;     3: 21 == xy pipi  respectivamente
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Exemplos:  1º) Determinar uma equação cartesiana do plano   paralelo ao eixo y e queα  
contém os pontos A(2,1,0) e B(0,2,1).
                       2º) Determinar a equação do plano paralelo ao plano yz e que contem o 
ponto A(3,4,­1).
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA
Seja r a reta que contém o ponto A(x0,y0,z0) e é paralela ao vetor v = (a, b, c). 
Um ponto P(x,y,z) pertence a reta r se, e somente se, 
Daí,
E assim,
      Equações Paramétricas da Reta
Exemplo: Obtenha as equações paramétricas da reta r que contem o ponto A(3,­1,2) e é 
paralela ao vetor v=(­3,­2,­1).
Reta Definida por Dois Pontos
A reta definida pelos pontos A(x1,y1,z1)  e B(x2,y2,z2) é a reta que passa por A(ou 
B) e tem a direção do vetor  .
Exemplo: Obtenha a equação da reta definida pelos pontos A(1,­2,­3) e B(3,1,­4).
Interseção de Planos
A intersecção de dois planos não paralelos é uma reta. O nosso problema será 
determinar a equação que define esta reta.
Sejam  1pi  e  2pi  planos não paralelos. Para determinar a reta intersecção de  1pi  e  2pi  
resolveremos o sistema composto por suas equações.
Exemplo: Determinar a equação da reta intersecção dos planos  0725:1 =++−pi zyx  e 
0433:2 =++−pi zyx .
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Solução: Montamos o seguinte sistema:


=++−
=++−
0433
0725
zyx
zyx
O sistema acima é indeterminado, ou seja, possuem infinitos valores para x, y e z que 
atendem simultaneamente as duas equações. Isso é bastante claro quando entendemos 
que a intersecção de dois planos é uma reta e esta tem infinitos pontos.
Para obtermos a equação da reta que representa os infinitos pontos de intersecção entre 
os dois planos procuramos escrever duas das variáveis em função de uma 3ª variável, 
que chamamos de variável livre.
Como fazer:
( )




=++−
=++−
ambos. de  somaa efetuamos  seguidaem e 1­ por
  equações das uma ndomultiplicaz  variável a oseliminarem
zyx
zyx
0433
0725
y) caso (no variáveis das uma isolamosyx
zyx
zyx
→=−−−


=++−
=−−+−
+
032
0433
0725
32 −−= xy
Agora   substituímos   32 −−= xy   na   primeira   ou   na   segunda   equação   do   primeiro 
sistema.
Substituindo  32 −−= xy  na equação  0725 =++− zyx , teremos:
( )
07645
073225
=++++
=++−−⋅−
zxx
zxx
Agora isolando z, teremos:
139 −−= xz
Logo os pontos de interseção são da forma
As equações paramétricas são
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Interseção de Reta com Plano
A intersecção entre uma reta r e um plano pi  é um ponto, que chamaremos de I. 
Para   determinar   as   coordenadas   do   ponto   I   resolvemos   o   sistema   composto   pelas 
equações da reta r e pela equação do plano pi .
Exemplo: Determinar   o   ponto   de   intersecção   da   reta  
 com o plano      09253: =−−+ zyxpi .
Solução:
Se I (x, y, z) é ponto de intersecção de r e pi , então suas coordenadas devem verificar as 
equações do sistema formado pelas equações de r e de pi :
Resolve­se este sistema substituindo x, y e z na equação   09253 =−−+ zyx   e assim 
encontramos t, t=­2 . Logo x = ­2, y = ­1 e z = ­10.
Portanto I (­2, ­1, ­10)
Interseção de Retas
Duas retas no espaço podem ser paralelas,  concorrentes  ou reversas.  Se seus 
vetores   diretores   são   paralelos,   então   as   retas   são   paralelas,   caso   contrário   são 
concorrentes ou reversas.
Exemplo: Verifique se são paralelas, concorrentes ou reversas:
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Distância de um Ponto a um Plano
Sejam um ponto P(x0,y0, z0  ) e um plano  0: =+++ dczbyaxpi , definimos a 
distância entre P e pi  por
Exemplo: Calcule a distância do ponto P(­4,2,5) ao plano  .
Distância de um Ponto a uma Reta
  Seja r uma reta definida por um ponto   e pelo vetor diretor 
 e seja    um ponto qualquer do espaço. Os vetores   
determinam um paralelogramo cuja altura corresponde a distância   que 
pretendemos calcular.
Sabemos que a área do paralelogramo é 
Mas pela interpretação geométrica do produto vetorial, temos
Logo  
E Portanto, 
Exemplo: Encontre a distância do ponto   a reta 
Distância entre Retas Reversas
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Consideremos duas retas r e s reversas: a reta r definida por um ponto 
 e pelo vetor diretor   e a retas definida por   e 
pelo vetor diretor  . A distância entre elas é dada por
Exemplo: Calcular a distância entre as retas