Macroeconomia 2015 Lista 1 Solução

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ 
SETOR DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS 
Departamento de Economia 
 
DISCIPLINA: SE503 - TEORIA MACROECONOMICA 
Prof. João Basilio Pereima Neto 
E-mail: joaobasilio@ufpr.com.br 
 
Lista de Exercícios nº 1 
 
Parte I - Modelo de OA-DA Clássico 
 
1. Modelo OA Clássico e Mercado de Trabalho 
Considere um modelo algébrico OA-DA, com características clássicas, composto pelas 
seguintes equações explícitas: 
 
Oferta Agregada (Produção e Emprego) 
 
)N,K(AFY OA = (1) Função de produção agregada implícita 





 −= 2OA N
2
1NAY βα 0, >βα (2) Função de produção agregada explícita 





+=
P
WnnN o
S
1 0n,n 10 > (3) Oferta de mão de obra 
 
Pede-se: 
a.) Assuma de α=1 e β=0,2. Trace um gráfico da função de produção (use uma planilha) 
para N=0 até 10. 
b.) Calcule dY/dN e dY2/d2N e interprete. Explique a propriedade desta função de 
produção em relação ao fator trabalho. Esta forma quadrática é adequada? 
c.) Encontre a equação da demanda de mão de obra; 
d.) Calcule a mão de obra e o salário real (W/P) de equilíbrio no mercado de trabalho, 
fazendo Nd=Ns=N*; 
e.) Encontre a curva de oferta agregada YOA; 
f.) Calcule a inclinação da curva de OA no plano Y,P (calcule 
P
Y OA
∂
∂ ); 
g.) Represente a curva YOA graficamente; 
h.) Explique porque o preço desapareceu da função de produção e que implicações teóricas 
isso tem. 
 
SOLUÇÃO 
A.) Gráfico para α=1 e β=0,2 
N YOA PMgN = dY/dN 0 0 1 0,9 0,900 2 1,6 0,700 3 2,1 0,500 4 2,4 0,300 5 2,5 0,100 6 2,4 -0,100 7 2,1 -0,300 8 1,6 -0,500 
24/03/2014 
 1 
Função de Produção (eq. 2)
-1,50
-1,00
-0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
0 2 4 6 8 10 12
N
Y
9 0,9 -0,700 10 0 -0,900 11 -1,1 -1,100 12 -2,4 -1,300 
 
Como pode ser visto, a função de produção começa na origem e apresenta o efeito dos 
rendimentos decrescentes ao nível do fator trabalho. O produto marginal do trabalho é 
decrescente como mostra a coluna PMgN. No início quando N é pequeno o acréscimo de 
produção é grande (0,90) mas a medida que N aumenta a produção aumenta a taxas 
decrescentes, atingindo o máximo quando N = 5. A partir deste ponto aumentos de N 
diminuem a produção. 
 
b.) 
 
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑁𝑁
= 𝐴𝐴(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽𝛽𝛽) > 0 
 
 
Neste caso, o valor somente será positivo abaixo de certo valor crítico N* cujo valor é: 
 
𝐴𝐴(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽𝛽𝛽∗) = 0 
 
𝛽𝛽∗ = 𝛼𝛼
𝛽𝛽
 
 
𝑑𝑑𝑑𝑑2
𝑑𝑑2𝑁𝑁
= −𝐴𝐴𝛽𝛽 < 0 
 
 
A derivada primeira só é positiva abaixo do valor crítico N* e portanto a propriedade de 
rendimento decrescente somente tem validade o intervalo (0,N*). Acima disto a função não 
tem sentido econômico. No entanto a derivada segunda tem validade em todo o domínio da 
função. 
 
c) Encontre a curva de demanda de mão de obra 
Derivando a equação (2), a função de produção, em relação à N, obtemos o produtos 
marginal do trabalho PMgN = dY/dP: 
 
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝛽𝛽 = 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑁𝑁
= 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽𝛽𝛽𝑑𝑑 (4) 
 
Para maximizar lucros uma firma competitiva deve calcular a receita e o custo marginal. 
Neste caso como os fatores de produção são constantes e somente a quantidade de trabalho 
e produto estão variando, então podemos diferenciar a equação de lucros da firma e igualar 
à zero: como a seguir: 
 
𝑝𝑝𝑝𝑝 − 𝑟𝑟𝑝𝑝𝑘𝑘𝐾𝐾 −𝑊𝑊𝛽𝛽 = 0 
 
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 − 0−𝑊𝑊𝑝𝑝𝛽𝛽 = 0 
 
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑤𝑤𝑝𝑝𝛽𝛽 → 𝑅𝑅𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 
 
Resolvendo para dY/dN obtemos: 
 
 2 
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑁𝑁
= 𝑤𝑤
𝑝𝑝
 (5) 
 
A equação (5) diz que o produto marginal do trabalho é igual ao salário real. Na teoria 
macroeconômica isto é conhecimento como teoria do salário eficiência pois o salário real 
depende exclusivamente neste caso, da produtividade da mão de obra. O PMgN acabou de 
ser calculado em (4), portanto podemos igualar (4) e (5) e obter: 
 
𝛼𝛼 − 𝛽𝛽𝛽𝛽𝑑𝑑 = 𝑊𝑊
𝑃𝑃
 (6). 
 
Resolvendo (6) para Nd obtemos a demanda de mão de obra pelas firmas, como uma função 
do salário real: 
 
𝛽𝛽𝑑𝑑 = 1
𝛽𝛽
�𝛼𝛼 −
𝑊𝑊
𝑃𝑃
� (7) 
 
d.) Equilíbrio do mercado de trabalho 
Considerando a situação de equilíbrio: 
 
Nd = Ns = N* (8) 
 
Onde, Nd é a demanda por trabalho, Ns é a oferta de trabalho, N* é o ponto de equilíbrio. 
Nesse ponto de equilíbrio a oferta e demanda por trabalho é igual, ou seja, compartilham 
o mesmo ponto. Para obter a quantidade de trabalho de equilíbrio entre oferta e demanda 
de mão de obra, Nd=Ns=N* podemos tomar W/P da equação (6), que é o salário real que as 
empresas estão dispostas a pagar em função da produtividade da mão de obra (PMgN) e 
substituir W/P na equação de oferta de mão-obra (3) com o que obtemos: 
 
𝛽𝛽𝑠𝑠 = 𝛽𝛽𝑑𝑑 = 𝛽𝛽∗ = 𝑛𝑛0 + 𝑛𝑛1𝐴𝐴(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽𝛽𝛽∗) (9) 
 
A equação (9) representa a quantidade trabalho de equilíbrio. Na quantidade N* as 
empresas estão maximizando lucros ao mesmo tempo em que os trabalhadores estão 
maximizando utilidade, ao nível de do salário real (W/P) vigente. Assim para calcularmos 
a produção ou a oferta agregada basta substituir N da equação (9) na função de produção 
(2). Isto será feito posteriormente. 
 
O próximo passo é isolar N* para se obter a equação da quantidade de trabalho ofertada e 
demandada no ponto de equilíbrio do mercado de trabalho. Assim, 
 
N* = n0 + n1Aα – n1AβN* 
 
N* + n1AβN* = n0 + n1Aα 
 
N*(1 + n1Aβ) = n0 + n1Aα 
 
( )
( )β
α
An1
AnnN
1
10*
+
+
= (10) 
 
Salário real de equilíbrio 
Igualando (3) e (7), isto é, Ns = Nd, e resolvendo para W/P obtemos uma expressão para 
encontrar o salário real (W*/P). Note que o salário real só depende de parâmetros do lado 
da oferta, vindos da função de produção e do mercado de trabalho. Esta é uma 
característica essencial do mercado de trabalho quando se assume flexibilidade total de 
preços e salários nominais, como é o chamado caso clássico. 
 3 
 
𝑛𝑛0 + 𝑛𝑛1𝑊𝑊𝑃𝑃 = 1𝛽𝛽 �𝛼𝛼 −𝑊𝑊𝑃𝑃 � 
 
𝑛𝑛1
𝑊𝑊
𝑃𝑃
+ 1
𝛽𝛽
𝑊𝑊
𝑃𝑃
= 𝛼𝛼
𝛽𝛽
− 𝑛𝑛0 
 
𝑊𝑊
𝑃𝑃
�𝑛𝑛1 + 1𝛽𝛽� = 𝛼𝛼𝛽𝛽 − 𝑛𝑛0 
 
𝑊𝑊
𝑃𝑃
�
𝑛𝑛1𝛽𝛽 + 1
𝛽𝛽
� = 𝛼𝛼 − 𝑛𝑛0𝛽𝛽
𝛽𝛽
 
 
𝑊𝑊
𝑃𝑃
= 𝛼𝛼−𝑛𝑛0𝛽𝛽
𝑛𝑛1𝛽𝛽+1
 (11) 
 
e.) Curva de oferta agregada 
A curva de oferta agregada é obtida substituindo-se (10) em (2): 
 
YOA = A(αN – ½ βN²) 
 
( )
( )
( )
( ) 













+
+
−
+
+
=
2
1
10
1
10
12
1
1 β
α
β
β
α
α
An
Ann
An
AnnAY OA (12) 
 
Note que a variável endógena P não aparece na expressão acima. 
 
 
f.) Calcule a inclinação da curva de OA, no plano Y,P 
Tomando-se a derivada do produto em relação ao preço, a partir da equação (12) obtemos: 
 
0=
∂
∂
P
Y OA (13) 
 
Como a variável P não aparece na equação (15) a derivada parcial em relação à P é zero e, 
portanto, a curva de oferta é vertical no plano Y,P. O nível de oferta agregada será sempre 
o mesmo, qualquer que seja o nível de preços. O fato de P não aparecer em (13) mostra que 
após todos os ajustes no mercado de trabalho, com os deslocamentos da oferta e demanda 
de mão de obra tendo se processado, o resultado final é que desajustes no mercado de 
trabalho são corrigidos com variações nos salários nominais. Isto só é possível se o 
pressuposto da flexibilidade dos salários nominais e preços for válido, como afirma a 
teoria macroeconômica clássica. 
 
g.) Represente a curva YOA graficamente 
A curva de oferta agregada é desenhada no plano renda (Y) no eixo horizontal e nível de 
preços (P) no eixo vertical. Assim, 
 
 
 
 
 
 
YOA 
Y 
P 
 4 
 
 
Como é possível observar no gráficoacima a curva de oferta agregada desse modelo é 
vertical. O que indica que a variação de preços não afeta o produto por que não afeta o 
mercado de trabalho na medida que as deduções foram feitas em cima do salário real 
(W*/P). Dessa forma, a derivada da curva de oferta agregada em relação ao preço (P) será 
zero. Este resultado deve-se ao fato de que os preços e salários variam juntos de forma a 
manter o salário real constante. 
 
2. Curva de Oferta Agregada com Rigidez de Salário Nominal 
 
𝑝𝑝𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑁𝑁1− 𝛼𝛼
1− 𝛼𝛼 (2) Função de oferta agregada 





+−=
P
MTGY DA 210 φφφ (3) Função de demanda agregada 
 
a) Encontre a equação de demanda por trabalho; 
b) Encontra a curva de oferta agregada; 
c) Calcule as inclinações das curvas de oferta e demanda agregada; 
d) Represente graficamente o modelo OA-DA acima. 
SOLUÇÃO 
𝑎𝑎) 𝑝𝑝𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝛽𝛽 𝑁𝑁1− 𝛼𝛼
1− 𝛼𝛼 => 𝜕𝜕𝑑𝑑𝑂𝑂𝑂𝑂𝜕𝜕𝑁𝑁 = (1− 𝛼𝛼)𝛽𝛽𝑁𝑁1− 𝛼𝛼−11− 𝛼𝛼 = 𝑊𝑊𝑃𝑃 => 𝛽𝛽𝑁𝑁𝛼𝛼 = 𝑊𝑊𝑃𝑃 
 
𝛽𝛽𝛼𝛼 = 𝛽𝛽 𝑃𝑃
𝑊𝑊
 ⇒ 𝛽𝛽 = �𝛽𝛽 𝑃𝑃
𝑊𝑊
�
1
𝛼𝛼�
 
𝑏𝑏) Substituindo a equação anterior em 𝑝𝑝𝑂𝑂𝑂𝑂 
𝑝𝑝𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝛽𝛽(1−𝛼𝛼) � � 𝛽𝛽 𝑃𝑃𝑊𝑊 �1𝛼𝛼 �1− 𝛼𝛼 ⇒ 𝛽𝛽(1−𝛼𝛼) � 𝛽𝛽 𝑃𝑃𝑊𝑊 �1− 𝛼𝛼𝛼𝛼 ⇒ 𝛽𝛽 𝛽𝛽1− 𝛼𝛼𝛼𝛼(1−𝛼𝛼) � 𝑃𝑃𝑊𝑊 �1− 𝛼𝛼𝛼𝛼 
 
𝑝𝑝𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝛽𝛽 1𝛼𝛼(1−𝛼𝛼) � 𝑃𝑃𝑊𝑊 �1− 𝛼𝛼𝛼𝛼 Curva de oferta agregada 
 
c.) Para calcular a inclinação da curva de oferta agrega fazemos dYOA/dP, onde para 
simplificar definimos 𝜃𝜃 = 𝛽𝛽 1𝛼𝛼(1−𝛼𝛼) 
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑂𝑂𝑂𝑂
𝑝𝑝𝑃𝑃
= 𝜃𝜃 � 1
𝑊𝑊
 �1− 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑃𝑃1− 2𝛼𝛼𝛼𝛼 > 0 
 
𝑝𝑝𝑝𝑝𝐷𝐷𝑂𝑂
𝑝𝑝𝑃𝑃
= −𝜙𝜙2𝑃𝑃
𝑃𝑃2
 < 0 
 
 5 
No caso, como θ > 0, temos uma função crescente em P, com Y reagindo positivamente a 
P. Essa situação implica uma oferta agregada positivamente inclinada, de modo que 
choques na demanda agregada sejam possuam efeitos em ambas a renda e o produto. 
Além disso a equação será côncava ou convexa dependendo do valor se α > 0.5 ou α < 0.5. 
Quando α = 0.5 temos um problema, por que P=1, na curva de oferta agregada. 
d) Dada a equação de demanda, podemos perceber claramente que uma elevação em P 
reduz Y, de modo que a curva seja negativamente inclinada. Um choque positivo de 
oferta, por exemplo, conduz a um equilíbrio com renda maior e preço menor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Oferta Agregada - testando valores 
 
xxxxxxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
Y 
YOA 
YDA 
 6 
4. Modelo IS-LM básico e uma versão dinâmica 
Suponha que: 
A função consumo é dada por C = 100 + 0,8Y e o investimento é dado por I = 50. Calcule: 
a) Qual é o nível de equilíbrio da renda neste caso? 
b) Qual é o nível de poupança? 
c) Se I aumentar para 100, qual é o efeito sobre a renda de equilíbrio? 
d) Qual é o valor do multiplicador? 
e.) Monte uma tabela para 15 períodos e demonstre o mecanismo multiplicador atuando 
sobre o consumo e renda, período a período. Compare a tendência da tabela com a 
solução de equilíbrio obtida pela solução matemática do modelo. 
 
Solução: 
O exercício refere-se à uma economia fechada sem governo. É o caso mais simples de 
uma formalização dos componentes da demanda agregada (curva IS). Então podemos 
expressar o modelo como: 
 
a) Renda de Equilíbrio 
Y = C + I (1) 
Y = Co + cY + Io (2) 
Y-cY = Co + Io (3) 
( )[ ]oo ICc1
1Y +
−
= (4) 
( )[ ] 75050100801
1Y eq $
,
=+
−
= (5) 
 
 
b) Poupança 
Como não há governo, a renda disponível (Y-T) é a própria renda agregada da economia. 
Como a propensão marginal à poupar é 0,80, então 20% da renda agregada será 
poupada. 
 
S = Y – C 
S = Y – (100 + 0,80Y) 
S = 750 – (100 +0,8x750) 
S = $ 50 
 
c) Aumento do Investimento para $ 100 
Retomando a equação (5) 
 
( )[ ] 1000100100801
1Y eq $
,
=+
−
= 
 
d) Multiplicador simples dos gastos 
 
( ) ( ) 520
1
801
1
c1
1m ==
−
=
−
=
,,
 
 
 
 
 
 
 7 
e) Tabela com modelo dinâmico (consumo depende da renda anterior) 
 c1 = 0,8 
Yt = Ct+It C(0) = 100 Mult = 5,00 
Ct=co+c1.(Yt-1) I(0) = 50 Yequil = 750,0 
 ∆I = 50 Yequil = 1000,0 33,33% 
Período C0 c1*(Yt-1) Ct dC/dt It Yt 
0 100 600 700 50 750,0 
1 100 600 700 0,0 100 800,0 
2 100 640 740 40,0 100 840,0 
3 100 672 772 32,0 100 872,0 
4 100 698 798 25,6 100 897,6 
5 100 718 818 20,5 100 918,1 
6 100 734 834 16,4 100 934,5 
7 100 748 848 13,1 100 947,6 
8 100 758 858 10,5 100 958,1 
9 100 766 866 8,4 100 966,4 
10 100 773 873 6,7 100 973,2 
11 100 779 879 5,4 100 978,5 
12 100 783 883 4,3 100 982,8 
13 100 786 886 3,4 100 986,3 
14 100 789 889 2,7 100 989,0 
15 100 791 891 2,2 100 991,2 
16 100 793 893 1,8 100 993,0 
17 100 794 894 1,4 100 994,4 
18 100 795 895 1,1 100 995,5 
19 100 796 896 0,9 100 996,4 
20 100 797 897 0,7 100 997,1 
21 100 798 898 0,6 100 997,7 
... ... ... ... ... ... 
n 100 800 900 1 100 1000,0 
 
 
5. Modelo IS-LM com transferência e imposto de renda 
Suponha um modelo com os seguintes dados de demanda agregada: 
Yd = Y - T + TR 
T = tY 
C = 100 + 0,8 Yd I = 50 
G = 200 TR = 62,5 
t = 0,25 
 
a) Qual a renda de equilíbrio neste modelo mais completo? 
b) Qual o valor do novo multiplicador? 
c.) Por que é o multiplicador neste modelo é menor que o multiplicador do problema 
anterior? 
d.) Represente num único gráfico as curvas de demanda agregada dos modelos 1 e 2. 
Utilize o gráfico com a curva(reta) de 45º que expressa as relações entre oferta 
agregada, demanda agregada e nível de renda; 
e.) Explique o gráfico e as diferenças observadas entre os dois modelos. 
 
Solução: 
Este modelo é uma expansão do caso anterior, introduzindo o governo o qual pode 
realizar três tipos de políticas fiscais: gastos correntes (G), tributos variáveis (t); e 
transferência de rendas (TR). Neste modelo a renda disponível é maior, pois uma parte 
 8 
dos tributos arrecadados pelo governo retorna às famílias por programas de transferência 
de renda (Ex. Bolsa Família). Os tributos, por suas variam conforme a renda, pois é 
calculado como uma alíquota t sobre a renda total. Então temos: 
 
a) Renda de Equilíbrio 
Y = C + I + G (1) 
Y = Co + c(Y-tY + TR) + I + G (2) 
Y = Co + c(1-t)Y + cTR + I + G (3) 
C = 100 + 0,8(Y – tY + TR) (4) 
Y = 100 + 0,8[(1 – t)Y + TR)] + I + G (5) 
 
Isolando Y em (5) para calcular a demanda agregada de equilíbrio obtemos: 
 
Y = 100 + 0,8(1-0,25)Y + 0,8TR + I + G 
Y – 0,6 Y= 100 + 0,8TR + I + G 
0,4Y = 100 + 0,8TR + I + G 
 
[ ]GITR80100
40
1Y +++= ,
,
 
 
[ ]200505628010052Y ++×+= ,,, 
 
Y = $ 1000 
 
b) Multiplicador 
Resolvendo (3) para Y obtemos: 
GIcTRCYt1cY 0 +++=−− )( 
[ ] GIcTRCYt1c1 0 +++=−− )( 
[ ][ ]GIcTRCt1c1
1Y 0 +++−−
=
)(
 
 
[ ])( t1c1
1m
−−
= multiplicador 
 
[ ] 522501801
1m ,
),(,
=
−−
= 
 
 
c) Diferença entre os multiplicadores 
Porque no caso atual, o fato de o governo cobrar uma alíquota de imposto sobre a renda 
diminui a renda disponível do consumidor. O multiplicador é afetado pela alíquota t que 
também faz parte da fórmula do multiplicador. 
 
 
 9 
d) Gráficos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e.) Explicação do gráfico 
O multiplicador do caso 1 é maior (vale 5) e portanto a curva de demanda agregada é 
mais inclinada que o caso 2. O intercepto [ oo IC + ] do caso 1 é menor, pois possui menos 
componentes e o valor é menor que o caso 2. 
 
6. Modelo IS-LM, investimento e renda 
C = 200 + 0,25 YD; I = 150 + 0,25Y – 1000i 
G = 250; T= 200; 
(M/P)d = 2Y – 8000i; M/P = 1600 
 
a) Determinea relação IS.( Dica: você quer uma equação com Y do lado esquerdo e todo o 
resto do lado direito); 
b) Derive a relação LM. (Dica: será conveniente para uso posterior escrever essa equação 
com “i” do lado esquerdo e todo o resto do lado direito); 
c) Determine o produto real de equilíbrio; 
d) Determine a taxa de juros de equilíbrio; 
e) Determine os valores de equilíbrio de C e I e verifique o valor obtido para Y somando 
C, I e G; 
f) Agora suponha que a oferta de moeda aumenta para M/P = 1840. Determine Y, i, C e I 
e explique com palavras os efeitos de uma política monetária expansionista; 
g) Defina M/P igual o seu valor inicial de 1600. Agora suponha que os gastos do governo 
aumentem para G = 400. Resuma os efeitos da política fiscal expansionista sobre Y, i e 
C. 
 
Solução: 
Este exercício foi resolvido em sala !!! 
 
 
 
 
 
 
Y 
YDA, YOA 
 
YOA 
 
DA
1Y
DA
2Y
GIcTRC0 +++
oo IC +
 10 
7. Modelos IS-LM algébricos - Comparando 3 casos 
Considere os seguintes modelos IS-LM: 
 
Modelo A Modelo B Modelo C 
Y = C + I + G Y = C + I + G Y = C + I + G (1) 
C = C0 + c1(Yd) C = C0 + c1(Yd) C = C0 + c1(Yd) (2) 
Yd = Y – T Yd = Y – T Yd = Y – T (3) 
T = T0 T = T0 + t1Y T = T0 + t1Y (4) 
I = I0 – b1i I = I0 – b1i I = I0 + b0Y – b1i (5) 
(M/P)d = kY – hi (M/P)d = kY – hi (M/P)d = kY – hi (6) 
 
a.) Encontre curva IS e LM para cada caso; 
b.) Calcule o multiplicador dos gastos autônomos e determine comparativamente o 
tamanho de cada um; 
c.) Calcule as inclinações das curvas IS e LM de cada caso (utilize derivadas parciais) 
d.) Represente graficamente os modelos num único gráfico (o gráfico ficará com uma 
curva LM e três curvas IS. Observe que o gráfico deve reproduzir corretamente os 
resultados calculados em c); 
e.) Explique porque as inclinações são diferentes; 
f.) Imagine uma política fiscal contracionista, levada à termo por dois canais distintos: 
aumento de impostos e redução de gastos. Demonstre matematicamente qual o efeito 
de cada uma delas sobre o nível de renda de equilíbrio, nos três modelos; 
g.) Para cada caso das duas políticas fiscal, explique qual modelo produz um nível de 
renda maior e por que isso acontece; 
h.) Caso a política monetária não faça nenhuma acomodação das políticas fiscais acima, 
calcule matematicamente qual será o efeito de cada política sobre a taxa de juros, no 
modelo A. 
 
Solução 
a) Curva IS e LM 
 
Modelo A 
Y = C + I + G (1) 
C = C0 + c1(Yd) (2) 
Yd = Y – T (3) 
T = T0 (4) 
I = I0 – b1i (5) 
(M/P)d = kY – hi (6) Demanda Real de Moeda – Determina a curva LM 
 
 
Y = C0 + c1(Yd) + I0 – b1i + G 
 
Y = C0 + c1(Y – T0) + I0 – b1i + G 
 
Y - c1Y = C0 – c1T0 + I0 + G – b1i 
 
( ) ( ) ( ) ic1
bGITcC
c1
1Y
1
1
001
1 −
−++−
−
= (IS-A) 
 
 
A curva LM pode ser obtida a resolvendo-se a equação para i, e assumindo que em 
equilíbrio no mercado monetário a oferta e a demanda de moeda são iguais, MS = Md 
então: 
Conjunto de equações que definem o lado da demanda 
agregada. Substituindo as equações 2, 3, 4 e 5 dentro da 
equação principal obtém-se a curva IS. 
Curva IS – Relação entre Y e i no mercado 
de bens 
 11 
 
M/P = kY – hi 
 





−=
P
M
h
1Y
h
ki (LM-A) 
 
Modelo B 
No modelo B, a única mudança foi a introdução de uma tributação sobre a renda, 
mudando a forma da equação (4). A mudança ocorrerá no multiplicador da curva IS, 
sendo todo o restante do modelo igual ao anterior. Os mesmos procedimentos de 
substituição nos levam então aos seguintes resultados: 
 
( )[ ]( ) ( )[ ]it1c1
bGITcC
t1c1
1Y
1
1
001
1 −−
−++−
−−
= (IS B) 
 





−=
P
M
h
1Y
h
ki (LM- B) 
 
Modelo C 
No modelo C, incorpora a mudança do modelo B e também uma segunda mudança da 
função investimento. Agora o investimento dependo do nível de renda e da taxa de juros. 
A mudança modificou a equação (4), como antes, e também a equação 5. A nova 
mudança alterará ono multiplicador da curva IS, sendo todo o restante do modelo igual 
ao anterior. Os mesmos procedimentos de substituição nos levam então aos seguintes 
resultados: 
 
( )[ ]( ) ( )[ ]ibt1c1
bGITcC
bt1c1
1Y
01
1
001
01 −−−
−++−
−−−
= (IS C) 
 
 





−=
P
M
h
1Y
h
ki (LM C) 
 
 
b) Multiplicador dos Gastos Autonômos 
 
[ ]1
A
c1
1m
−
= > ( )[ ]01
C
bt1c1
1m
−−−
= > ( )[ ]t1c1
1m
1
B
−−
= 
 
 
c) Inclinações das curvas IS e LM 
 
Modelo A Modelo B Modelo C 
 
[ ] 0c1
b
di
dY
1
1
A
IS
<
−
−= ( )[ ] 0t1c1
b
di
dY
1
1
B
IS
<
−−
−= ( )[ ] 0bt1c1
b
di
dY
01
1
C
IS
<
−−−
−= 
 
0>=
==
h
k
dY
di CBA
LM
 
 
Curva LM – Relação entre Y e i no 
mercado monetário (financeiro) 
 12 
 
d) Gráfico 
Pelo resultado obtido em c, sabemos que a inclinação da IS dos modelos A, B, C são: 
 
B
IS
C
IS
A
IS di
dY
di
dY
di
dY
>> 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que os resultados matemáticos obtidos em c e as comparações em d significam 
que no modelo A uma pequena variação da taxa de juros causará uma grande variação 
na demanda agregada. Lendo o gráfico a partir do eixo vertical i em direção ao eixo 
horizontal da renda (Y), podemos concluir que a curva ISA é mais horizontal olhando-se 
de frente. Se estamos lendo na direção i --> Y, então de fato ela é mais vertical. Como o 
valor de dY/di do modelo B é o menor de todos então a curva ISB é a mais horizontal a 
partir do ponto de vista do eixo i. 
 
e) Por que as inclinações são diferentes 
Os modelos diferem por a inclusão dos parâmetros t no modelo B e b1 no modelo C afetam 
o multiplicador dos gastos autônomos. A tributação diminui a renda disponível a medida 
que o nível de renda aumenta e portanto diminui o consumo. Na medida em que o 
investimento diminui quando aumenta a taxa de juros, então quando uma política fiscal 
expansionista, que desloca a IS para direita aumentando a taxa de juros, este aumento de 
juros terá um efeito contrário inibindo o investimento. Uma parte do efeito positivo de 
uma política fiscal sobre a demanda agregada é anulada pelo efeito negativo sobre o 
investimento via taxa de juros. Como consequência, temos que o multiplicador simples dos 
gastos do modelo C é menor que o modelo B, que por sua vez é menor que o modelo A. O 
modelo C, então é o mais completo, pois incorpora todos os efeitos. 
 
 
f) Política fiscal contracionista 
Como o modelo A não tem alíquota de imposto sobre a renda vamos comparar somente os 
modelos B e C. Para calcular cada efeito basta tomar o diferencial de Y em relação à t e à 
G em cada modelo e comparar os resultados. Note que dY/dt é calculado tomando-se o 
diferencial de um quociente, pois t está no denominador. 
 
Regra do Quociente: Seja uma razão 
v
u . O Diferencial total será 2
..
v
dvuduv − . 
Y 
i 
 
LM 
 
AIS
BIS
CIS
 13 
Aplicando está regra à A
t1c1
1
)( −−
 temos u = 1.A; v=1 – c(1 – t); du/dt = 0; dv/dt = c. 
 
Portanto o resultado será: [ ]
[ ] [ ]22 t1c1
cA
t1c1
cA0t1c1
)()(
..)(
−−
−=
−−
−−− 
 
 
Aplicando esta regra aos dois modelos então temos o seguinte resultado final: 
 
Via Diminuição de Impostos Via Aumento de Gastos 
 
Modelo A *** 
c1
1
dG
dY A
IS −
= 
 
Modelo B 
[ ]2
B
IS t1c1
cA
dt
dY
)( −−
−= 
)( t1c1
1
dG
dY B
IS −−
= 
 
Modelo C 
[ ]21
C
IS bt1c1
cA
dt
dY
−−−
−=
)(
 
1
C
IS bt1c1
1
dG
dY
−−−
=
)(
 
 
 
g) Política fiscal contracionista – modelo mais eficientePara calcular o efeito de uma política fiscal sobre a renda (dY/dG) nos três modelos e 
comparar os resultados. Tomando-se os cálculos efetuados no item anterior (última 
coluna acima) pode-se claramente constatar que a política fiscal exerce maior impacto na 
renda no caso do modelo A, e menor impacto no caso do modelo B. As razões são as 
mesmas explicadas no item e. 
 
C
IS
B
IS
A
IS dG
dY
dG
dY
dG
dY
>> 
 
 
h) Efeitos da Política Fiscal sobre a taxa de juros 
O calculo será feito tomando-se apenas o modelo A, que é o mais simples. Para calcular o 
efeito da política fiscal sobre a taxa de juros devemos partir da equação geral de 
equilíbrio. Como queremos saber o impacto sobre i vamos substituir a IS na LM no 
modelo A e resolver para i, com o que temos: 
 
( ) ( ) ( ) 



−





−
−++−
−
=
P
M
h
1i
c1
bGITcC
c1
1
h
ki
1
1
001
1
 
 
 
( ) ( ) ( ) 



−
−
−++−
−
=
P
M
h
1i
c1h
kbGITcC
c1
1
h
ki
1
1
001
1
 
 
 
( ) ( ) ( ) 



−++−
−
=
−
+
P
M
h
1GITcC
c1
1
h
ki
c1h
kbi 001
11
1 
 14 
 
 
( ) ( ) ( ) 



−++−
−
=





−
+
P
M
h
1GITcC
c1
1
h
k
c1h
kb1i 001
11
1 
 
( )
( ) ( ) ( ) 



−++−
−
=





−
+−
P
M
h
1GITcC
c1
1
h
k
c1h
kbc1hi 001
11
11 
 
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) 




+−
−
−++−
−+−
−
=
P
M
h
1
kbc1h
c1hGITcC
c1
1
h
k
kbc1h
c1hi
11
1
001
111
1 
 
 
( ) ( )
( )
( ) 




+−
−
−++−
+−
=
P
M
kbc1h
c1GITcC
kbc1h
ki
11
1
001
11
 
 
 
Então para calcularmos o efeito da política fiscal via aumento de gastos sobre a taxa de 
juros, basta tomarmos o diferencia di/dG na equação acima. Fazendo isto obtemos: 
 
( ) 0kbc1h
k
dG
di
11
>
+−
= 
 
8. Modelo IS-LM com funções implícitas 
Considere os seguintes modelos IS-LM: 
 
Modelo E Modelo F 
Y = C + I + G Y = C + I + G (1) 
C = C(Y-T) C = C(Y-T) (2) 
I = I(i) I = I(Y,i) (3) 
T = T(Y) T = T(Y) (4) 
G = G0 G = G0 (5) 
(M/P)d = L(Y,i) (M/P)d = L(Y ,i) (6) 
 
a.) Encontre curva IS e LM para cada caso; 
b.) Calcule as inclinações das curvas IS e LM de cada caso; 
c.) Representa graficamente os modelos, um gráfico para cada modelo; 
d.) Imagine uma política fiscal contracionista, levada á termo por dois canais distintos: 
aumento e impostos e redução de gastos. Demonstre matematicamente qual o efeito 
de cada uma delas nos três modelos; 
e.) Para cada caso das duas políticas fiscal, explique qual modelo produz um nível de 
renda maior e por que isso acontece; 
f.) Caso a política monetária não faça nenhuma acomodação das políticas fiscais acima, 
calcula matematicamente qual será o efeito sobre a taxa de juros em cada um dos 
modelos. 
 
 
a) Curva IS e LM 
O caso deste modelo não altera as conclusões e análises já feitas anteriormente nos casos 
nas questões 5 e 6. O que muda é ao invés de utilizarmos equações nas formas explícitas, 
estamos agora usando equações na forma implícita. Isto significa dizer que podemos fazer 
Equação de equilíbrio geral 
para a taxa de juros em função 
das demais variáveis exógenos, 
entre elas o gasto do governo. 
 15 
avaliações qualitativas dos modelos sem ter que entrar em detalhes sobre as formas 
funcionais de cada equação. Quando dizemos que o investimento é uma função positiva 
da renda e negativa da taxa de juros, sabemos o sinal da correlação entre as variáveis, 
mas não sabemos a forma exata, se é linear ou não linear. Não podemos efetuar cálculos 
exatos, mas podemos tirar conclusões genéricas importantes para o trabalho de 
teorização. Quando o problema econômico recai sobre a estimação de um modelo, então 
precisamos especificar que formato as equações dos modelos irão tomar. Para resolver este 
tipo de modelo é necessário dominar as técnicas de diferenciação de funções implícitas. 
 
 
Curva IS – Modelo E 
 
Diferenciando totalmente as duas equações a seguir obtemos: 
Y = C(Y-T) + I(i) + G 
T = T(Y) 
 
dY = C'dY – C'dT + I' di + dG 
dT = T'dY 
dY = C'dY – C' T'dY + I'di + dG 
 
Isolando dY obtemos: 
 
dY - C'dY + C' T'dY = I'di + dG 
dY(1 - C' + C' T') = I'di + dG 
dY[1 - C'(1 + T')] = I'di + dG 
 
di
T1C1
IdG
T1C1
1dY
)'('
'
)'(' +−
+
+−
= (7) 
 
 
Curva IS – Modelo F 
 
Observe que na versão F do modelo a função investimento possui duas variáveis 
explicativas, Y e i, portanto isto significa que ela possui duas derivadas diferentes. A 
primeira é a derivada do investimento em relação à renda (dI/dY) e a segunda é a 
derivada em relação à i (dI/di). Vamos chamar a primeira de I1 e a segunda de I2. Note 
que isso é diferente do que ocorre na função consumo onde temos C(Y-T), que possui uma 
única derivada, que é a derivada dC/d(Yd) = dC/d(Y-T). A função consumo só tem um 
termo (Y-T) e a função investimento dois termos (Y,i). 
 
Y = C(Y-T) + I(Y,i) + G 
T = T(Y) 
 
dY = C'dY – C'dT + I1 dY + I2 di + dG 
dT = T'dY 
dY = C'dY – C' T'dY + I1 dY + I2 di + dG 
 
Isolando dY obtemos: 
 
dY - C'dY + C' T'dY - I1 dY = I2 di + dG 
dY(1 - C' + C' T' - I1 ) = I2 di + dG 
dY[1 - C'(1 + T')- I1 ] = I2 di + dG 
 
onde C' é a derivada da função consumo C(.) 
 T' é a derivada da função tributos T(.) 
 I' é a derivada da função investimento I(.) 
C' significa a variação do consumo em função da 
renda disponível, isto é, dC/d(Y-T) 
 
Sabemos da teoria econômica que: 
C' > 0; T' > 0; I' < 0; 
Sabemos da teoria econômica que: 
I1 > 0 e I2 < 0; 
 16 
di
IT1C1
IdG
IT1C1
1dY
1
2
1 )'(')'(' +−
+
−+−
= (8) 
 
Curva LM– Modelo E e F 
A curva LM é igual nos dois modelos. Observe que a demanda de moeda é uma função 
L(.) que depende de duas variáveis, Y (motivo transação) e i(motivo especulação de 
Keynes) e que portanto, ao diferenciar esta função teremos dois diferenciais distintos: o 
primeiro é ( )
dY
PMdL1 = e o segundo é 
( )
di
PMdL2 = . Usando diferenciação total, como 
acima, obtemos: 
 
),( iYL
P
M
P
M
P
M sd
=== em equilíbrio 
 
diLdYL
P
Md 2l +=




 
 





+−=
P
MddYLdiL l2 
 





+−=
P
Md
L
1dY
L
Ldi
22
l Curva LM dos modelos E e F. (9) 
 
 
b) Inclinação das Curvas IS-LM 
 
0
T1C1
I
di
dY E
IS
<
+−
=
)'('
' = 
 
 
 
0
L
L
dY
di
2
l
FE
LM
>−=
,
 
 
c) Gráfico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d.) *** e.) *** f.) *** 
Sabemos da teoria econômica que: 
L1 > 0 e L2 < 0; 
+ 
- 
Note que L1 > 0 e L2 < 0, portanto, o 
resultado final será inequivocamente 
positivo. 
Y 
i 
 
LM 
 
FEIS ,
+ 
- 
0
IT1C1
I
di
dY
1
2
F
IS
<
+−
=
)'('
 17 
 
9. Modelo IS-LM, uma caso especial de Armadilha da Liquidez 
Considere uma economia com uma curva IS próxima da posição vertical e uma curva LM 
próxima da posição horizontal. Represente graficamente: 
a.) Graf. 1 – o efeito de uma política fiscal expansionista; 
b.) Graf. 2 – o efeito de uma política monetária expansionista; 
c.) Caso você fizesse parte da equipe econômica do governo e supondo que o país está 
enfrentando um processo de aumento da inflação, que medidas econômicas você 
adotaria para reduzir a taxa de inflação. Justifique. 
 
 
a.) Gráf. 1 – Política Fiscal Expans. b) Gráf. 2 – Política Monetária Expans. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c.) Combate à inflação 
Os dois gráficos acima mostramque a política monetária é ineficaz, pois uma expansão 
monetária faz cair a taxa de juros mas não aumenta muito pouco o nível de renda (graf. 
2). Por outro lado, o nível de emprego é mais sensível ao deslocamento da curva IS, 
portanto, para se combater um processo inflacionário numa economia como está deve-se 
recorrer à política fiscal contracionista, pois o impacto sobre a retração da demanda 
agregada é maior com um impacto negativo maior, ao fim, sobre a inflação. 
 
10. Modelo IS-LM, Multiplicador do Orçamento Equilibrado 
Resposta à elaborar 
 
11. Modelo IS-LM Dinâmico 
Resposta à elaborar 
 
12. ANPEC (2005 – Q.3) 
No modelo IS–LM: 
( V ) Excluindo o caso limite da armadilha pela liquidez, o impacto de uma queda nos 
preços sobre a demanda será tanto maior quanto mais elástico for o investimento à 
taxa de juros real. 
( V ) Quando a economia é afetada por choques reais, a volatilidade da renda é menor 
quando a autoridade monetária fixa a quantidade de moeda do que quando fixa a 
taxa de juro. 
( F ) Caso a elasticidade juro da demanda de moeda seja nula e a elasticidade-juro do 
investimento seja infinita, uma expansão monetária alterará apenas a taxa de juro 
de equilíbrio, em nada influenciando a renda. 
Y 
i 
LM 
IS 
i 
LM 
IS0 IS1 
A B 
Y0 Y1 
i0 
i1 
i 
LM0 
IS 
LM1 
A 
B 
Y0 Y1 
i0 
i1 
 18 
( F ) Dados os parâmetros que definem a inclinação da curva LM e a sensibilidade-juros 
do investimento, a política monetária será tão mais potente para elevar a renda 
quanto maior for a propensão média a poupar da sociedade. 
( V ) Em uma situação de armadilha da liquidez, a política fiscal é eficaz para tirar a 
economia da recessão. 
13. ANPEC (2005 – Q.4) 
Considere o modelo Keynesiano básico para uma economia fechada e sem governo. 
Sabendo-se que, a partir de uma posição de equilíbrio, um aumento de 100 reais no 
investimento provoca um aumento de 500 reais no PIB, julgue as assertivas: 
( F ) A propensão média a poupar é 0,2. 
( F ) O aumento de consumo gerado pelo aumento do investimento é de 400 reais e a 
propensão média a consumir é 0,8. 
( V ) Tendo o aumento de consumo sido de 400 reais, o multiplicador Keynesiano é 5. 
( * ) Mantida a propensão marginal a poupar e admitindo-se que o multiplicador não é 
instantâneo, se a poupança inicial gerada no momento em que foram realizados os 
investimentos fosse de 200 reais, o impacto total do aumento do investimento sobre 
o PIB teria sido de 1.000 reais. (Anulada) 
( V ) Supondo-se que haja governo e que o orçamento seja mantido em equilíbrio, um 
aumento de 100 reais nos gastos públicos provocará um aumento de 100 reais no 
PIB. 
14. ANPEC (2006 – Q.3) 
Avalie as afirmativas. No modelo IS-LM: 
( F ) Quando o Banco Central fixa a taxa de juros, a política fiscal tem efeito nulo sobre 
a renda. 
( F ) A renda não se altera quando o governo aumenta tributos e gastos na mesma 
proporção, tal que o déficit primário fique inalterado. 
( F ) Quando a economia é afetada por choques na curva IS, a volatilidade da renda será 
menor se a taxa de juros for fixa. 
( F ) Quando a economia é afetada por choques na curva LM, a volatilidade da renda 
será menor se a oferta de moeda for fixa. 
 
15. ANPEC (2008 – Q.3) 
Considerando o modelo IS/LM para uma economia fechada e com governo, são corretas as 
afirmativas: 
( F ) O efeito deslocamento (crowding-out) é máximo em presença da “armadilha da 
liquidez”. 
( V ) A eficácia da política fiscal é nula no chamado caso clássico. 
( V ) Quanto maior for o multiplicador dos gastos autônomos, menos inclinada será a 
curva IS, o que, tudo o mais constante, aumenta a eficácia da política monetária. 
( F ) Quanto mais elástica for a demanda por moeda à taxa de juros, mais inclinada será 
a curva LM. 
( F ) Uma redução de gastos públicos acompanhada de contração da oferta de moeda 
reduz a taxa de juros e a renda. 
 
 
 
 19 
16. ANPEC (2015 – Q.2) 
Com base no modelo IS-LM, classifique as afirmativas como verdadeiras (V) ou falsas 
(F): 
 
( V ) Uma política monetária expansionista levará a uma queda da taxa de juros e 
aumento da produção. 
( V ) Na ocorrência de efeito deslocamento (crowding out) total dos gastos privados 
pelos gastos públicos, uma expansão fiscal resulta em aumento do produto e dos juros. 
( F ) Quanto maior a sensibilidade do investimento agregado a flutuações na taxa de 
juros, mais inclinada será a curva IS. 
( V ) Quanto mais inclinada for a curva IS, o impacto de uma política monetária 
expansionista será: i) menor sobre o nível de produto; e ii) maior sobre a taxa de juros. 
( F ) Em uma situação de armadilha da liquidez, a política monetária é eficaz para tirar 
a economia da recessão. 
 
17. ANPEC (2013 – Q.1) 
Com base no modelo IS/LM em uma economia fechada, classifique as afirmativas abaixo 
como Verdadeiras (V) ou Falsas (F): 
 
( F ) Se a demanda por moeda for positivamente relacionada com a renda disponível, 
então um aumento dos tributos provoca um aumento da taxa de juros real de equilíbrio. 
( F ) Um pacote fiscal que envolva uma redução dos gastos do governo e dos impostos no 
mesmo montante não afeta a renda de equilíbrio. 
( V ) Reduções de impostos para os mais pobres têm maior impacto expansionista sobre a 
renda do que reduções de impostos para os mais ricos. 
( F ) Se a demanda por moeda for independente da renda, então a política fiscal não tem 
efeito sobre a renda de equilíbrio. 
( F ) Aumento da propensão marginal a consumir tende a reduzir a taxa de juros e a 
renda. 
 
 
 
 
 
  
 20