Fundamentos de Geometria I

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Fundamentos de Geometria I
Kléber A. Rangel
Aula 1
Conteúdo Programático desta aula:
Origens da Geometria;
As noções primitivas:Ponto,Reta e Plano;
Geometria Plana e Geometria Espacial;
Figuras Geométricas. Pontos Colineares;
Estudo da Reta;
Estudo do Plano.
Posições Relativas:
entre ponto e plano;
entre reta e plano;
entre dois planos.
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Introdução à Geometria Plana
Significado: do grego “medir a terra”.
Origens da Geometria: partilhar terras 
férteis às margens dos 
rios. 
Construir casas,
observar e prever 
os movimentos 
dos astros...
https://sites.google.com
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Definir um conceito é expressar seu significado através de outras palavras ou símbolos já conhecidos.
4
http://4.bp.blogspot.com
As Noções Primitivas
Conceito primitivo: impossível de ser definido, visto que não existe nenhum outro anterior.
Noções primitivas ou entes 
primitivos são aceitos sem 
definição.
5
http://www.humaniversidade.com.br
r
A
Ponto A
R
Reta r
Plano α
 
α
Noções primitivas da Geometria:
Ponto
Reta
Plano
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O Ponto
É representado por letras maiúsculas do alfabeto latino: A, B, C, ... 
Notação: 
 B . (ponto B) 
 A. (ponto A) C . (ponto C)
O ponto é um lugar concebido sem extensão no espaço,logo, o ponto não tem dimensão, isto é, é um ente de Dimensão Zero.
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Horizontal
Vertical
Diagonal ou Inclinada
A Reta
A mais simples de todas as linhas.
 
Sua imagem está associada, por exemplo, a de um fio bem esticado.
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A Reta
Representada por letras minúsculas do alfabeto latino: a , b , ...,r , s , ...
 
 r
A reta tem uma dimensão: o comprimento, logo é um ente de DIMENSÃO 1. 
A reta é infinita, não tem origem(começo) nem extremidade (fim).
Notação: r (reta r)
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O Plano
é a mais simples de todas as superfícies. 
sua imagem está associada , por exemplo, a do tampo de uma mesa, ao quadro da sala de aula, a uma parede lisa, etc.
representado por letras gregas minúsculas: α (alfa) , β (beta) , etc.
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O plano tem duas dimensões: o comprimento e a largura, logo o plano é um ente de Dimensão Dois.
 Plano α 
α
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 Para relacionarmos:
Ponto e Reta e Ponto e Plano: utilizamos os símbolos  e .
Reta e Plano: utilizamos os símbolos  ou . 
α
A
B
C
r
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Figura geométrica é qualquer representação de linhas, de superfícies ou de volumes.
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Pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma reta.
A
B
C
r
A, B e C são colineares.
A, B e C não são colineares.
A
B
C
r
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Postulados da existência
Numa reta , bem como fora dela, há infinitos pontos.
Num plano há infinitos pontos.
A
B
r
 D
 A
 B
 C
α
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Postulados da determinação
Da Reta
Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
A
B
r
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Postulados da determinação
II. Do Plano
Três pontos não colineares determinam um plano que passa por eles.
 A
 B
 C
α
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Postulados da determinação
III. Da inclusão
Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida nesse mesmo plano.
β
A
B
r
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Estudo da reta
Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
 
 
A
B
r
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Posições relativas
Entre ponto e reta
1ª) O ponto pertence à reta.
2ª) O ponto não pertence à reta.
A
B
C
P
Q
S
R
T
r
20
Posições relativas
II. Entre duas retas
1ª) Paralelas – quando não têm ponto comum.
r
s
r//s
21
Posições relativas
II. Entre duas retas
2ª) Concorrentes – quando possuem apenas um ponto em comum.
s
r
P
22
OU
Posições relativas
II. Entre duas retas
3ª) Coincidentes – quando têm todos os pontos em comum.
s
r
A
B
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Retas coplanares ou complanares
São retas que estão contidas num mesmo plano.
α
s
r
24
Retas reversas
São retas que não estão contidas num mesmo plano.
α
r
s
25
Semirreta
O ponto A é denominado origem das semirretas opostas. 
A
B
B
A
C
C
AC
AB
r
26
Segmento de reta:
Observação:
A
B
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Segmentos colineares
São segmentos contidos numa mesma reta.
Os segmentos AB , AC e BC são colineares 
A
B
C
r
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Segmentos consecutivos:
 
São segmentos que possuem uma extremidade comum. 
A
B
C
D
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Segmentos adjacentes
São segmentos colineares e consecutivos ao mesmo tempo, que possuem em comum somente uma extremidade (não têm pontos internos comuns). 
A
B
C
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Segmentos congruentes
São segmentos que têm a mesma medida em relação a uma mesma unidade.
Note que: AM=2u e MB=2u
 
A
M
B
u
u
u
u
31
Estudo do plano.
Como se determina um plano?
 
Três pontos não colineares.
A
B
C
A
B
C
32
Estudo do plano.
Como se determina um plano?
2. Uma reta e um ponto fora dela.
P
α
r
r
P
33
Estudo do plano.
Como se determina um plano? 
3. Duas retas concorrentes. 
r
α
r
s
s
34
Estudo do plano.
Como se determina um plano? 
4. Duas retas paralelas distintas. 
α
s
r
s
r
35
Posições relativas entre ponto e plano.
Podemos dizer que um ponto pertence ou não pertence a um plano.
α
A
B
C
Q
P
R
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Posições relativas entre reta e plano
 A reta está contida no plano.
α
r
37
Posições relativas entre reta e plano
2. A reta é paralela ao plano.
 
α
r
38
Posições relativas entre reta e plano
3. A reta é concorrente ou secante ao plano. 
A reta “fura” o plano. 
α
r
P
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Posições relativas entre dois planos
Paralelos
α
β
40
Posições relativas entre dois planos
2. Coincidentes
α = β
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Posições relativas entre dois planos
3. Secantes ou concorrentes
α
β
r
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Fundamentos de Geometria I
Kléber A. Rangel
Atividade 1
Exercícios
1. É comum encontrarmos mesas com quatro pernas que, mesmo sendo apoiadas em um piso plano balançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das pernas, se a quisermos 
 firmes. Explique, usando 
 argumentos de Geometria, 
 por que isso não acontece 
 com uma mesa de três pernas.
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2. Considerando os pontos A, B e C não colineares, trace AB , BC e CA.
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