Aula 07

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Fundamentos de Geometria I
Kléber A. Rangel
Aula 7
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Relações Métricas no Triângulo Retângulo
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Conteúdo Programático desta aula:
Projeção Ortogonal
De um ponto sobre uma reta
De um segmento sobre uma reta
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Teorema de Pitágoras
Aplicações do Teorema de Pitágoras
Diagonal de um Quadrado
Altura de um Triângulo Equilátero
Triângulos Pitagóricos
Natureza de um Triângulo
Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
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PROJEÇÃO ORTOGONAL
DE UM PONTO SOBRE UMA RETA É o pé da perpendicular traçada do ponto em relação à reta.
O ponto A’ é a projeção ortogonal do ponto A sobre a reta r.
DE UM SEGMENTO SOBRE UMA RETA
Quando o segmento é paralelo à reta dizemos que ocorre a Verdadeira Grandeza (VG). Quando o segmento é perpendicular à reta a projeção se reduz a um ponto.
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
 ΔABC ~ ΔAHB ~ ΔAH Das semelhanças dos triângulos acima, podemos concluir:
Qualquer cateto elevado ao quadrado é igual a hipotenusa vezes a sua projeção.
Teorema de Pitágoras
Em qualquer triângulo retângulo:
1. Cada cateto é média geométrica (ou proporcional) entre a hipotenusa e sua projeção sobre ela. 
 b/a = m/b => b2 = a . m e c/ a = n/c => c2 = a . n
2. A altura relativa à hipotenusa é média geométrica (ou proporcional) entre as projeções dos catetos sobe a hipotenusa.
 h/ m = n/h => h2 = m . n
3. O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura a ela relativa.
 a / c = b / h => b . c = a . h
4.TEOREMA DE PITÁGORAS
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados dos catetos. b2 = a . m c2 = a . n b2 + c2 = a ( m + n) => b2 + c2 = a . a => a2 = b2 + c2 5. O inverso do quadrado da altura é igual à soma dos inversos dos quadrados dos catetos. b . c = a . h => b2 . c2 = a2 . h2 => 
 => 1/h2 = a2 / b2 . c2 Mas a2 = b2 + c2 , logo: 1/h2 = 1/b2 + 1/c2
APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS 1. DIAGONAL DE UM QUADRADO 
 =>
ALTURA DE UM TRIÂNGULO
 EQUILÁTERO 
 => 
TRIÂNGULOS PITAGÓRICOS
Quando três números inteiros são as medidas dos lados de um triângulo retângulo esses números são denominados NÚMEROS PITAGÓRICOS e os triângulos retângulos com essas medidas são denominados TRIÂNGULOS PITAGÓRICOS.
São pitagóricos os triângulos retângulos de lados:
3 , 4 e 5 e seus múltiplos, 5 , 12 e 13 e seus múltiplos, dentre outros. 
Devemos à Escola Pitagórica a expressão geral que permite determinar os números pitagóricos x , x2 - 1 e x2 + 1, onde “x é um número ímpar maior
2 
2 
que 1. 
1. a2 < b2 + c2 => o triângulo é ACUTÂNGULO
 2. a2 = b2 + c2 => o triângulo é RETÂNGULO
 3. a2 > b2 + c2 => o triângulo é OBTUSÂNGULO
Natureza de um triângulo
Sendo a , b e c as medidas dos lados de um triângulo e, sendo “a” a maior delas , temos que:
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Note que, quando dois ângulos são complementares (somam 90°):
O seno de um deles é igual ao co-seno do outro e vice-versa.
2) A tangente de um deles é igual ao inverso da tangente do outro.
Observações
Fundamentos de Geometria I
Kléber A. Rangel
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1) As bases de um trapézio isósceles medem 7m e 13m e a altura 4m. Calcule o perímetro deste trapézio.
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2) A que altura uma escada de 13m toca em um muro, se o pé da escada está a 5m deste muro. 
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3) O lampião representado na figura está suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao teto. Sabendo-se que estas cordas medem 1/2 e 6/5, calcule a distância do lampião ao teto. 
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