Introdução à Econometria

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INTRODUC¸A˜O A ECONOMETRIA
Ana´lise de regressa˜o e uso do Eviews
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Introduc¸a˜o
+ O modelo de regressa˜o linear se utiliza para estudar a relac¸a˜o que
existe entre uma varia´vel dependente e uma ou va´rias varia´veis
independentes.
+ A forma geral e´
yi = f (xi1, xi2, . . . , xik) + �i
= β1xi1 + β2xi2 + . . . + βkxik + �i, i = 1, . . . , n
onde y e´ a varia´vel dependente, x1, x2, . . . , xk sa˜o as varia´veis in-
dependentes, k e´ o nu´mero de varia´veis independentes no modelo
e i denota as n observac¸o˜es da amostra.
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Exemplo 01: Dados de Minutos
Unidades 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 10
Minutos 23,29,49,64,74,87,96,97,109,119,149,145,154,166
Fonte: Chatterjee e Price (1991).
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Exemplo 01: Dados de Minutos
yi = β1 + β2xi + �t
yˆi =4.162 + 15.509xi
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Exemplo 01: Dados de Minutos
Dependent Variable: MINUTO
Method: Least Squares
Date: 11/21/03 Time: 09:10
Sample: 1 14
Included observations: 14
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 4.161654 3.355100 1.240396 0.2385
UNIDADE 15.50877 0.504981 30.71158 0.0000
R-squared 0.987437 Mean dependent var 97.21429
Adjusted R-squared 0.986390 S.D. dependent var 46.21718
S.E. of regression 5.391725 Akaike info criterion 6.339171
Sum squared resid 348.8484 Schwarz criterion 6.430465
Log likelihood -42.37420 F-statistic 943.2009
Durbin-Watson stat 2.051099 Prob(F-statistic) 0.000000
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Coeficientes da Regressa˜o
+ Os coeficientes do modelo, β, sa˜o estimados usando o me´todo de
m´ınimos quadrados ordina´rios (OLS) atrave´s da fo´rmula
βˆ = (x′x)−1x′y
+ βj mede a contribuic¸a˜o marginal da varia´vel independente xj na
variac¸a˜o da varia´vel dependente y, mantendo fixas todas as outras
varia´veis.
+ No exemplo 01:
yˆi = 4.162 + 15.509xi
Unidade Minuto Minuto Estimado Variac¸a˜o
1 23 19.670426 0.000000
2 29 35.179198 15.508772
3 49 50.687970 31.017544
4 64 66.196742 46.526316
4 74 66.196742 46.526316
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Exemplo 02: Dados de Consumo
+ Dados:
Renda pessoal dispon´ıvel e
Gasto de consumo entre 1970-
1979, em bilho˜es de do´lares de
1972.
+ Modelo:
yt = β1 + β2xt + �t,
onde:
y = Consumo, e
x = Renda
t = 1970, . . . , 1979
Ano Renda Consumo
1970 751.6 672.1
1971 779.2 696.8
1972 810.3 737.1
1973 864.7 767.9
1974 857.5 762.8
1975 874.9 779.4
1976 906.8 823.1
1977 942.9 864.3
1978 988.8 903.2
1979 1015.7 927.6
Fonte: Greene 3oed - pag.195
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Exemplo 02: Dados de Consumo
Dados de Consumo, 1970-1979.
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Exemplo 02: Dados de Consumo
Dados de Consumo, 1970-1979.
yt = β1 + β2xt + �t,
yˆt = −67.58 + 0.98xt
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Exemplo 02: Dados de Consumo
Dependent Variable: CONSUMO
Method: Least Squares
Date: 11/26/03 Time: 23:26
Sample: 1970 1979
Included observations: 10
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -67.58065 27.91071 -2.421316 0.0418
RENDA 0.979267 0.031607 30.98253 0.0000
R-squared 0.991735 Mean dependent var 793.430
Adjusted R-squared 0.990702 S.D. dependent var 84.965
S.E. of regression 8.193028 Akaike info criterion 7.221
Sum squared resid 537.0056 Schwarz criterion 7.282
Log likelihood -34.1065 F-statistic 959.917
Durbin-Watson stat 1.566424 Prob(F-statistic) 0.000
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Algumas questo˜es
+ Ana´lise dos coeficientes:
X β1, . . . , βk sa˜o todos iguais a 0? → F-statistic
X β1 e´ igual a 0? ou β2 e´ igual a 0? → t-statistic
+ Qualidade do ajuste:
X Quanto sucesso tive com o modelo? → R-squared
X Ha´ problemas com os res´ıduos? (hipo´teses do OLS) →
Durbin-Watson stat
X E´ melhor que outros modelos? → Akaike information criterion,
Schwarz criterion
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Exemplo 03: Dados de Investimento
Year NomGNP NomInv CPI Intrate
1968 873.4 133.3 82.5 5.2
1969 944.0 149.3 86.8 5.9
1970 992.7 144.2 91.5 6.0
1971 1077.6 166.4 96.0 4.9
1972 1185.9 195.0 100.0 4.5
1973 1326.4 229.8 105.8 6.4
1974 1434.2 228.7 115.1 7.8
1975 1549.2 206.1 125.8 6.3
1976 1718.0 257.9 132.3 5.5
1977 1918.3 324.1 140.1 5.5
1978 2163.9 386.6 150.4 7.5
1979 2417.8 423.0 163.4 10.3
1980 2633.1 402.3 178.6 11.8
1981 2937.7 471.5 195.5 13.4
1982 3057.5 421.9 207.2 11.0
Fonte: Greene (3◦ed).
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Exemplo 03: Dados de Investimento
RealInv = β0 + β1Tend + β2RealGNP + β3IntRate + β4Inflat
onde:
• RealInv = NomInv
CPI
× 10
• Tend = {1, 2, . . . , 15}
• RealGNP = NomGNP
CPI
× 10
• IntRate = Taxa de juros
• Inflat = Percentagem de variac¸a˜o do CPI (sendo 4,40 para 1968).
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Exemplo 03: Dados de Investimento
Dependent Variable: REALINV
Method: Least Squares
Date: 11/27/03 Time: 13:47
Sample: 1968 1982
Included observations: 15
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -0.5091 0.05393 -9.4389 0.0000
TEND -0.0166 0.00193 -8.5983 0.0000
REALGNP 0.6703 0.05380 12.4592 0.0000
INTRATE -0.0024 0.00119 -2.0340 0.0693
INFLAT 0.0001 0.00132 0.0484 0.9623
R-squared 0.9735 Mean dependent var 0.2034
Adjusted R-squared 0.9629 S.D. dependent var 0.0341
S.E. of regression 0.0066 Akaike info criterion -6.9510
Sum squared resid 0.0004 Schwarz criterion -6.7150
Log likelihood 57.1327 F-statistic 91.8296
Durbin-Watson stat 1.9636 Prob(F-statistic) 0.0000
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Exemplo 03: Dados de Investimento
R̂ealInvi = − 0, 5091− 0, 0166Tend+ 0, 6703RealGNP− 0, 0024 IntRate+ 0, 0001 Inflat
(0, 054) (0, 002) (0, 054) (0, 001) (0, 001)
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Exemplo 03: Dados de Investimento
R̂ealInvi = − 0, 5091− 0, 0166Tend+ 0, 6703RealGNP− 0, 0024 IntRate+ 0, 0001 Inflat
(0, 054) (0, 002) (0, 054) (0, 001) (0, 001)
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Ana´lise dos Coeficientes: Teste de Hipo´teses
+ Passo 01: Definimos uma Hipo´tese Nula: H0 : βj = 0
+ Passo 02: Calculamos a estat´ıstica do teste: t-stat =
βˆ
σ̂(βˆ)
+ Passo 03: Analisamos o p-valor e rejeitamos ou na˜o H0.
No exemplo 02: Dados de Consumo
∗ Passo 01: H0 : β2 = 0, i.e. o coeficiente da RENDA e´ zero?
∗ Passo 02: t-stat = 0, 979
0, 032
= 30, 983
∗ Passo 03: p-valor = 0.000 ≤ 0.05, enta˜o, rejeitamos H0, i.e.
o coeficiente da RENDA e´ diferente de zero ou estatisticamente
significativo.
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Exemplo 01: Dados de Minutos
yˆi = 4.162 + 15.509xi
(t-stat) (1.240) (30.711)
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Ana´lise dos Coeficientes: Teste de Hipo´teses
Na pra´tica, o output do Eviews mostra os valores de
βˆ, σˆ(βˆ), t-stat e p-valor. Enta˜o, se o valor de Prob e´ pequeno
(p.e., menor de 0.05), dizemos que o coeficiente e´ diferente
de zero e que a varia´vel x esta´ relacionada com y.
No exemplo 03: Dados de Investimento
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -0.5091 0.05393 -9.4389 0.0000
TEND -0.0166 0.00193 -8.5983 0.0000
REALGNP 0.6703 0.05380 12.4592 0.0000
INTRATE -0.0024 0.00119 -2.0340 0.0693
INFLAT 0.0001 0.00132 0.04840.9623
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Ana´lise dos Coeficientes: Teste de Hipo´teses
+ Quando o modelo tem mais de uma varia´vel independente, deve-
se testar a seguinte hipo´tese:
H0 : β1 = β2 = . . . = 0
H1 : pelo menos um dos βj e´ diferente de zero.
+ A estat´ıstica do teste e´ F-stat
+ Usamos o p-valor (Prob), para rejeitar ou na˜o H0.
No exemplo 03: Dados de Investimento
F-statistic 91.8296
Prob(F-statistic) 0.0000
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Coeficiente de Determinac¸a˜o: R2
+ O R2, mede o sucesso da regressa˜o em prever os valores da
varia´vel dependente na amostra.
+ R2 e´ a frac¸a˜o da variaˆncia da varia´vel dependente, y, explicada
pelas varia´veis independentes.
+ 0 < R2 < 1. O valor 1 indica um ajuste perfeito.
+ Nos exemplos anteriores:
R2
Exemplo 01: 0.9874
Exemplo 02: 0.9917
Exemplo 03: 0.9735
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Coeficiente de Determinac¸a˜o: R2 ajustado
+ R2 sempre cresce com o aumento de varia´veis independentes. No
caso extremo, podemos obter R2 = 1 incluindo tantas varia´veis
independentes quanto observac¸o˜es tem a amostra.
+ O R2-ajustado penaliza o R2 pela incorporac¸a˜o de varia´veis inde-
pendentes que na˜o contribuem com o poder explicativo do mo-
delo.
+ O R2-ajustado e´ calculado por:
R¯2 = 1− (1−R2)N − 1
N − k
+ O R2-ajustado e´ sempre menor que o R2 e pode diminuir com o
aumento de varia´veis independentes no modelo.
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Outras medidas
+ O desvio padra˜o da regressa˜o (Standard Error of the
Regression) e´ uma medida calculada a partir da variaˆncia esti-
mada para os res´ıduos. E´ calculado por:
s.e reg =
√
�ˆ′�ˆ
N − k, �ˆ = y − xβˆ
+ A soma dos res´ıduos ao quadrado (Sum of Squared
Residuals) e´ dado por:
�ˆ′�ˆ =
N∑
i=1
(
yi − xiβˆ
)2
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Outras medidas
+ O log da verossimilhanc¸a (Log Likelihood) calculado pelo
Eviews corresponde ao valor do log da verossimilhanc¸a (assu-
mindo erros normais) avaliado nos coeficientes estimados.
` = −T
2
[
1 + log(2pi) + log
( �ˆ′�ˆ
N
)]
+ Me´dia e desvio padra˜o de y (Mean and Standard Deviation
(S.D.) of the Dependent Variable)
y¯ =
∑N
i=1 yi
N
σ2y =
√∑N
i=1(yi − y¯)2
N − 1
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Crite´rio de Informac¸a˜o
+ O AIC (Akaike Information Criterion) e´ usado na selec¸a˜o
de modelos:
AIC = −2`
N
+
2k
N
onde k e´ o nu´mero de paraˆmetros estimados, n e´ o nu´mero de observac¸o˜es e ` e´ o valor
do log da verossimilhanc¸a usando os k paraˆmetros estimados.
+ O SC (Schwarz Criterion) e´ uma alternativa ao AIC. A pe-
nalidade pelo nu´mero de coeficientes adicionais e´ maior:
SC = −2`
N
+
k logN
N
+ O modelo com o menor AIC (SC) e´ considerado o melhor entre
os modelos comparados.
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Comparac¸a˜o de Modelos
No exemplo 03: Dados de Investimento
R̂ealInvi = − 0, 5091− 0, 0166Tend+ 0, 6703RealGNP− 0, 0024 IntRate+ 0, 0001 Inflat
(0, 054) (0, 002) (0, 054) (0, 001) (0, 001)
R̂ealInvi = − 0, 5089− 0.0166Tend+ 0, 6704RealGNP− 0, 0024 IntRate
(0, 051) (0, 002) (0, 051) (0, 001)
Medida Modelo I Modelo II
R-squared 0.973497 0.973491
Adjusted R-squared 0.962896 0.966261
Akaike info criterion -6.951019 -7.084118
Schwarz criterion -6.715003 -6.895305
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Estat´ıstica Durbin-Watson
+ A estat´ıstica DW (The Durbin-Watson statistic) mede a
correlac¸a˜o serial nos res´ıduos. E´ dada por
DW =
∑N
i=2
(
�ˆi − �ˆi−1
)2∑N
i=2 �ˆ
2
i
+ Como “regra de bolso”, se o DW e´ menor que 2, existe evidencia
de correlac¸a˜o serial positiva. Se o DW e´ proximo de 1, esta´
indicando a presenc¸a de autocorrelac¸a˜o serial nos res´ıduos.