TRABALHO CAL 3 Paulo Ricardo Unifor

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FUNDAC¸A˜O EDSON QUEIROZ
UNIVERSIDADE DE FORTALEZA
CENTRO DE CIEˆNCIAS TECNOLO´GICAS - CCT
Disciplina Ca´lculo III
Trabalho de Integral Dupla
Aluno(a): Matr´ıcula:
1. Calcule as seguintes integrais iteradas.
(a)
∫ 1
0
[∫ 2
1
(
x7 − 5xy3) dy] dx. (b) ∫ 1
0
[∫ 1
0
x7
(
2y − x8)10 dy] dx.
2. Considere a integral dupla abaixo
I =
∫∫
B
f (x, y) dxdy =
∫ 2
−1
[∫ x−2
x2−4
f (x, y) dy
]
dx.
(a) Esboce a regia˜o B.
(b) Inverta a ordem de integrac¸a˜o.
(c) Calcule a integral I para a func¸a˜o dada por f (x, y) = 6− 2xy.
3. Expresse o rotacional e a divergeˆncia dos seguintes campos de vetores.
(a) (1, 5 ponto) ~F (x, y, z) = 3xy2 ~i− x2yz ~j + 4y3 ln z ~k.
(b) (1, 5 ponto) ~F (x, y, z) = 2y2 tan (xz) ~i + zex
2+y2 ~j + ln (xyz)~k.
4. Calcule a integral da func¸a˜o dada sobre a regia˜o indicada, usando a transformac¸a˜o coordenadas
polares.
(a) f (x, y) =
√
x2 + y2, a regia˜o no primeiro quadrante limitada pela circunfereˆncia x2 + y2 = 4.
(b) g (x, y) = cos (x2 + y2) , a regia˜o no primeiro quadrante entre as circunfereˆncias x2 + y2 = 1 e
x2 + y2 = 9.
(c) h (x, y) = y − x, a regia˜o interior a circunfereˆncias x2 + y2 = 1 e acima do eixo X.
5. A superf´ıcie de uma chapa meta´lica plana tem o formato mostrado na figura abaixo. Use a teoria
de integral dupla determina a a´rea da superf´ıcie dessa chapa.
6. O valor me´dio de uma func¸a˜o cont´ınua f (x, y) num retaˆngulo
R = {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
e´ definido como
fm =
1
A (R)
∫∫
R
f (x, y) dxdy
onde A (R) = (b− a) (d− c) e´ a a´rea do retaˆngulo R. Suponha que a temperatura, em graus Celsius,
num ponto (x, y) de uma chapa meta´lica plana seja
T (x, y) = x + ey,
onde x e y esta˜o em metros. Use a teoria de integral dupla para calcular a temperatura me´dia da
porc¸a˜o retangular da chapa dada por
R = {(x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1} .
7. Suponha que a um sistema retangular de coordenadas seja superpostoa um mapa e que a densidade
populacional nos pontos (x, y) seja f (x, y) habitantes por quiloˆmetros quadrados. Nesse caso, a
populac¸a˜o P no interior de uma regia˜o B e´ dada pela integral dupla
P =
∫∫
B
f (x, y) dxdy.
Seja f (x, y) = xy habitantes por quiloˆmetro quadrado a densidade populacional nos pontos (x, y) de
uma regia˜o
B = {(x, y) ∈ R2 ; y2 ≤ x ≤ y + 2, −1 ≤ y ≤ 2} ,
Use a teoria de integral dupla para determinar a populac¸a˜o da regia˜o B.