01 RED Matrizes e Sistemas LinearesV3 (1)

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1
RED - Banco de Exerc´ıcios
2
Cap´ıtulo 1
Matrizes e Sistemas Lineares
1.1 Matrizes
1.1.1 Exerc´ıcios cap´ıtulo 2.1 do livro
Questo 1.1 Sejam as matrizes A =
(
3 9 0
−5 −1 8
)
, B =
 1 80 1
8 5
 e C =
 4 9 70 1 5
2 6 1
 ,
determine:
a) Qual e´ o valor de a11, a12, a13 ?
b) Qual e´ o valor de b21, b12, b32 ?
c) Qual e´ o valor de c13, c31, c32 ?
Soluo: a) Para obtermos a11 basta analizar qual e´ o valor do elemento da 1
a linha e 1a
coluna da matriz A. Logo o valor de a11 e´ 3.
Para obtermos a12 basta analizar qual e´ o valor do elemento da 1
a linha e 2a coluna
da matriz A. Logo o valor de a12 e´ 9.
Para obtermos a13 basta analizar qual e´ o valor do elemento da 1
a linha e 3a coluna
da matriz A. Logo o valor de a13 e´ 0.
b) Para obtermos b21 basta analizar qual e´ o valor do elemento da 2
a linha e 1a co-
luna da matriz B. Logo o valor de b21 e´ 0.
Para obtermos b12 basta analizar qual e´ o valor do elemento da 1
a linha e 2a coluna
da matriz B. Logo o valor de b12 e´ 8.
Para obtermos b32 basta analizar qual e´ o valor do elemento da 3
a linha e 2a coluna
da matriz B. Logo o valor de b32 e´ 5.
c) Para obtermos c13 basta analizar qual e´ o valor do elemento da 1
a linha e 3a co-
luna da matriz C. Logo o valor de c13 e´ 7.
3
4 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Para obtermos c31 basta analizar qual e´ o valor do elemento da 3
a linha e 1a coluna
da matriz C o valor de c31 e´ 2.
Para obtermos c32 basta analizar qual e´ o valor do elemento da 1
a linha e 3a coluna
da matriz C o valor de c32 e´ 6. �
1.2 Operac¸o˜es Matriciais
Adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o de Matrizes
Questo 1.2 Sejam as Matrizes A =
(
3 4
5 7
)
, B =
(
0 9
5 7
)
, C =
(
6 2
0 3
)
,
D =
(
0 1
8 1
)
e E =
(
1
2
5
0 7
2
)
determine:
a) A + B
b) A + E
c) D −B
d) C − E
e) B + D − A
f) C − E + A−D + B
Soluo: a) Fac¸amos:
A + B =
(
3 4
5 7
)
+
(
0 9
5 7
)
=
(
3 + 0 4 + 9
5 + 5 7 + 7
)
=
(
3 13
10 14
)
b) Fac¸amos:
A + E =
(
3 4
5 7
)
+
(
1
2
5
0 7
2
)
=
(
3 + 1
2
4 + 5
5 + 0 7 + 7
2
)
=
(
7
2
9
5 21
2
)
c) Fac¸amos:
D −B =
(
0 1
8 1
)
−
(
0 9
5 7
)
=
(
0− 0 1− 9
8− 5 1− 7
)
=
(
0 −8
3 −6
)
1.2. OPERAC¸O˜ES MATRICIAIS 5
d) Fac¸amos:
C − E =
(
6 2
0 3
)
−
(
1
2
5
0 7
2
)
=
(
6− 1
2
2− 5
0− 0 3− 7
2
)
=
(
11
2
−3
0 −1
2
)
e) Fac¸amos:
B+D−A =
(
0 9
5 7
)
+
(
0 1
8 1
)
−
(
3 4
5 7
)
=
(
0 + 0− 3 9 + 1− 4
5 + 8− 5 7 + 1− 7
)
=
( −3 6
8 1
)
f) Fac¸amos:
C − E + A−D + B =
(
6 2
0 3
)
−
(
1
2
5
0 7
2
)
+
(
3 4
5 7
)
−
(
0 1
8 1
)
+
(
0 9
5 7
)
=
(
6− 1
2
+ 3− 0 + 0 2− 5 + 4− 1 + 9
0− 0 + 5− 8 + 5 3− 7
2
+ 7− 1 + 7
)
=
(
17
2
9
2 25
2
)
�
Questo 1.3 Sejam as Matrizes A =
 1 0 88 1 5
0 4 1
 , B =
 −9 1 01
2
8 3
−5 5 1
 e C =
 1 −2 10 3 0
7 9 −8

determine:
a) A + B
b) C + A
c) A−B
d) A + B − C
Soluo: a) Fac¸amos:
A + B =
 1 0 88 1 5
0 4 1
+
 −9 1 01
2
8 3
−5 5 1
 =
 1− 9 0 + 1 8 + 08 + 1
2
1 + 8 5 + 3
0− 5 4 + 5 1 + 1
 =
 −8 1 817
2
9 8
−5 9 2

b) Fac¸amos:
C+A =
 1 −2 10 3 0
7 9 −8
+
 1 0 88 1 5
0 4 1
 =
 1 + 1 −2 + 0 1 + 80 + 8 3 + 1 0 + 5
7 + 0 9 + 4 −8 + 1
 =
 2 −2 98 4 5
7 13 −7

c) Fac¸amos:
6 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
A−B =
 1 0 88 1 5
0 4 1
−
 −9 1 01
2
8 3
−5 5 1
 =
 1 + 9 0− 1 8− 08− 1
2
1− 8 5− 3
0 + 5 4− 5 1− 1
 =
 10 −1 815
2
−7 2
5 −1 0

d) Fac¸amos:
A + B − C =
 1 0 88 1 5
0 4 1
+
 −9 1 01
2
8 3
−5 5 1
−
 1 −2 10 3 0
7 9 −8

=
 1− 9 0 + 1 8 + 08 + 1
2
1 + 8 5 + 3
0− 5 4 + 5 1 + 1
−
 1 −2 10 3 0
7 9 −8

=
 −8 1 817
2
9 8
−5 9 2
−
 1 −2 10 3 0
7 9 −8

=
 −8− 1 1− (−2) 8− 117
2
− 0 9− 3 8− 0
−5− 7 9− 9 2− (−8)
 =
 −9 3 717
2
6 8
−12 0 10

�
Multiplicac¸a˜o por Escalar
Questo 1.4 Sejam as Matrizes A =
(
3 4
5 7
)
, B =
(
0 9
5 7
)
, C =
(
6 2
0 3
)
e
D =
(
1
2
5
0 7
2
)
,determine:
a) 3B
b) 2A
c) 3C − 1
3
A
d) 2D + 3(B − 2C)
Soluo: a) 3B
Fac¸amos:
3B = 3
(
0 9
5 7
)
=
(
3 · 0 3 · 9
3 · 5 3 · 7
)
=
(
0 27
15 21
)
1.2. OPERAC¸O˜ES MATRICIAIS 7
b) 2A
Fac¸amos:
2A = 2
(
3 4
5 7
)
=
(
2 · 3 2 · 4
2 · 5 2 · 7
)
=
(
6 8
10 14
)
c) 3C − 1
3
A
Fac¸amos:
3C − 1
3
A = 3
(
6 2
0 3
)
− 1
3
(
3 4
5 7
)
=
(
3 · 6 3 · 2
0 3 · 3
)
−
 13 · 3 13 · 4
1
3
· 5 1
3
· 7

=
(
18 6
0 9
)
−
 1 43
5
3
7
3
 =
 17 143
−5
3
20
3

d) 2D + 3(B − 2C)
Fac¸amos:
2D + 3(B − 2C) = 2
(
1
2
5
0 7
2
)
+ 3
((
0 9
5 7
)
− 2
(
6 2
0 3
))
=
(
2 · 1
2
2 · 5
2 · 0 2 · 7
2
)
+ 3
((
0 9
5 7
)
−
(
2 · 6 2 · 2
2 · 0 2 · 3
))
=
(
1 10
0 7
)
+ 3
((
0 9
5 7
)
−
(
12 4
0 6
))
=
(
1 10
0 7
)
+ 3
(
0− 12 9− 4
5− 0 7− 6
)
=
(
1 10
0 7
)
+ 3
( −12 5
5 1
)
=
(
1 10
0 7
)
+
( −36 15
15 3
)
=
(
1− 36 10 + 15
0 + 15 7 + 3
)
=
( −35 25
15 10
)
�
8 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Questo 1.5 Sejam as Matrizes A =
 1 −6−8 2
0 3
 , B =
 7 2−9 5
1 0
 e C =
 13 21 0
2 4
determine:
a) 3A
b) 3B
c) 1
2
C − 4A
Soluo: a) 3C
Fac¸amos:
3A = 3
 1 −6−8 2
0 3
 =
 3 · 1 3 · (−6)3 · (−8) 3 · 2
3 · 0 3 · 3
 =
 3 −18−24 6
0 9

b) 3B
Fac¸amos:
3B = 3
 7 2−9 5
1 0
 =
 3 · 7 3 · 23 · (−9) 3 · 5
3 · 1 3 · 0
 =
 21 6−27 15
3 0

c) 1
2
C − 4A
Fac¸amos:
1
2
C − 4A = 1
2
 13 21 0
2 4
− 4
 1 −6−8 2
0 3
 =

1
3
· 1
2
2 · 1
2
1 · 1
2
0 · 1
2
2 · 1
2
4 · 1
2
−
 4 · 1 4 · (−6)4 · (−8) 4 · 2
4 · 0 4 · 3

=

1
6
1
1
2
0
1 2
−
 4 −24−32 8
0 12
 =

1
6
− 4 1− (−24)
1
2
− (−32) 0− 8
1− 0 2− 12

=

−23
6
25
65
2
−8
1 −10

�
1.2. OPERAC¸O˜ES MATRICIAIS 9
Multiplicac¸a˜o de Matrizes
Questo 1.6 Sejam as Matrizes A =
 1 02 9
8 4

3×2
, B =
(
9 1
2 3
)
2×2
, C =
 0 7 51 2 4
9 8 0

3×3
,
D =
(
3 2
)
1×2 e E =
 12
3

3×1
. Se for poss´ıvel realize a multiplicac¸a˜o em cada caso:
a) A.B
b) C.A
c) D.B
d) B.E
e) C.E
f) A.E
g) B.C
h) A.D
Soluo: a) A.B
Temos A3×2 e B2×2 , como o nu´mero de colunas de A e´ igual ao nu´mero de linhas
de B enta˜o o produto A.B e´ poss´ıvel e
A.B =
 1 02 9
8 4
( 9 1
2 3
)
=
 1 · 9 + 0 · 2 1 · 1 + 0 · 32 · 9 + 9 · 2 2 · 1 + 9 · 3
8 · 9 + 4 · 2 8 · 1 + 4 · 3
 =
 9 136 29
80 20

b) C.A
Como temos C3×3 e A3×2 e o nu´mero de colunas de C e´ igual ao nu´mero de linhas
de A enta˜o o produto C.A e´ poss´ıvel e
C.A =
 0 7 51 2 4
9 8 0
 1 02 9
8 4
 =
 0 · 1 + 7 · 2 + 5 · 8 0 · 0 + 7 · 9 + 5 · 41 · 1 + 2 · 2 + 4 · 8 1 · 0 + 2 · 9 + 4 · 4
9 · 1 + 8 · 2 + 0 · 8 9 · 0 + 8 · 9 + 0 · 4

=
 54 8337 34
25 72

10 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
c) D.B
Como temos D1×2 e B2×2 e o nu´mero de colunas de D e´ igual ao nu´mero de linhas
de B enta˜o o produto D.B e´ poss´ıvel e
D.B =(
3 2
)( 9 1
2 3
)
=
(
3 · 9 + 2 · 2 3 · 1 + 2 · 3 ) = ( 31 9 )
d) B.E
Como temos B2×2 e E3×1 e o nu´mero de colunas de B e´ diferente do nu´mero de
linhas de E enta˜o o produto B.E NA˜O e´ poss´ıvel.
e) C.E
Como temos C3×3 e E3×1 e o nu´mero de colunas de C e´ igual ao nu´mero de linhas
de E enta˜o o produto C.E e´ poss´ıvel e
C.E =
 0 7 51 2 4
9 8 0
 12
3
 =
 0 · 1 + 7 · 2 + 5 · 31 · 1 + 2 · 2 + 4 · 3
9 · 1 + 8 · 2 + 0 · 3
 =
 2917
25

f) A.E
Como temos A3×2 e E3×1 e o nu´mero de colunas de A e´ diferente do nu´mero de
linhas de E enta˜o o produto A.E NA˜O e´ poss´ıvel.
g) B.C
Como temos B2×2 e C3×3 e o nu´mero de colunas de B e´ diferente do nu´mero de
linhas de C enta˜o o produto B.C NA˜O e´ poss´ıvel.
1.2. OPERAC¸O˜ES MATRICIAIS 11
h) A.D
Como temos A3×2 e D1×2 e o nu´mero de colunas de A e´ diferente do nu´mero de
linhas de D enta˜o o produto A.D NA˜O e´ poss´ıvel.
�
Matriz Transposta
Questo 1.7 Dadas as Matrizes A =
(
1 3
4 0
)
, B =
 9 −20 8
1 3
 , C =
 1 9 34 0 9
2 5 8
 e
D =
 5 21 3
4 0
 determine:
a) At
b) Bt
c) Ct
d) Dt
e) Verifique se (B + D)t = Bt + Dt
f) (−Dt)t
Soluo: a) At
Para encontrar At basta trocar as linhas de A pelas colunas de A, ou seja se
A =
(
1 3
4 0
)
, enta˜o At =
(
1 4
3 0
)
b) Bt
Para encontrar Bt basta trocar as linhas de B pelas colunas de B, ou seja se
B =
 9 −20 8
1 3
 , enta˜o Bt = ( 9 0 1−2 8 3
)
12 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
c) Ct
Para encontrar Ct basta trocar as linhas de C pelas colunas de C, ou seja se
C =
 1 9 34 0 9
2 5 8
 , enta˜o Ct =
 1 4 29 0 5
3 9 8

d) Dt
Para encontrar Dt basta trocar as linhas de D pelas colunas de D, ou seja se
D =
 5 21 3
4 0
 , enta˜o Dt = ( 5 1 4
2 3 0
)
e) Verifique se (B + D)t = Bt + Dt
Por um lado, calculando (B + D)t temos:
(B + D)t =
 9 −20 8
1 3
+
 5 21 3
4 0
t =
 9 + 5 −2 + 20 + 1 8 + 3
1 + 4 3 + 0
t
=
 14 01 11
5 3
t = ( 14 1 5
0 11 3
)
por outro lado, calculando Bt + Dt temos:
Bt + Dt =
(
9 0 1
−2 8 3
)
+
(
5 1 4
2 3 0
)
=
(
9 + 5 0 + 1 1 + 4
−2 + 2 8 + 3 3 + 0
)
=
(
14 1 5
0 11 3
)
logo a igualdade (B + D)t = Bt + Dt e´ valida para este caso.
Isso pode ser provado no caso geral, para isso basta tomar duas matrizes B e D na forma
gene´rica.
f) (−Dt)t
Fac¸amos:
1.3. A INVERSA DE UMA MATRIZ 13
(−Dt)t =
−
 5 21 3
4 0
tt = (−( 5 1 4
2 3 0
))t
=
( −5 −1 −4
−2 −3 0
)t
=
 −5 −2−1 −3
−4 0

�
1.3 A inversa de uma Matriz
Questo 1.8 Determine a inversa (utilizando a definic¸a˜o de inversa) da matriz
A =
(
3 2
7 5
)
, se existir.
Soluo: Fac¸amos a matriz A−1 =
(
a b
c d
)
. Se A−1 e´ a inversa de A enta˜o
A.A−1 = I2 logo:
(
3 2
7 5
)(
a b
c d
)
=
(
1 0
0 1
)
(
3a + 2c 3b + 2d
7a + 5c 7b + 5d
)
=
(
1 0
0 1
)
Fazendo a igualdade, obtemos:{
3a + 2c = 1
7a + 5c = 0
e
{
3b + 2d = 0
7b + 5b = 1
Resolvendo os sistemas, encontramos: a = 5, b = −2, c = −7 e d = 3
Logo a matriz inversa e´ A−1 =
(
5 −2
−7 3
)
�
Questo 1.9 Determine a inversa (utilizando a definic¸a˜o de inversa) da matriz
B =
(
5 3
3 2
)
, se existir.
Soluo: Fac¸amos a matriz B−1 =
(
a b
c d
)
.Se B−1 e´ a inversa de B enta˜o
B.B−1 = I2 logo:
14 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES(
5 3
3 2
)(
a b
c d
)
=
(
1 0
0 1
)
(
5a + 3c 5b + 3d
3a + 2c 3b + 2d
)
=
(
1 0
0 1
)
Fazendo a igualdade, temos:{
5a + 3c = 1
3a + 2c = 0
e
{
5b + 3d = 0
3b + 2d = 1
Resolvendo os sistemas, encontramos: a = 2, b = −3, c = −3 e d = 5
Logo a matriz inversa e´ B−1 =
(
2 −3
−3 5
)
�
Questo 1.10 Determine a inversa (utilizando a definic¸a˜o de inversa) da matriz
C =
(
0 1
1 2
)
, se existir.
Soluo: Fac¸amos a matriz C−1 =
(
a b
c d
)
. Se C−1 e´ a inversa de C enta˜o
C.C−1 = I2 logo:(
0 1
1 2
)(
a b
c d
)
=
(
1 0
0 1
)
(
c d
a + 2c b + 2d
)
=
(
1 0
0 1
)
Fazendo a igualdade, temos:{
c = 1
a + 2c = 0
e
{
d = 0
b + 2d = 1
Resolvendo os sistemas, encontramos: a = −2, b = 1, c = 1 e d = 0
Logo a matriz inversa e´ C−1 =
( −2 1
1 0
)
�
Questo 1.11 Determine a inversa (utilizando a definic¸a˜o de inversa) da matriz
D =
(
2 −1
3 5
)
, se existir.
Soluo: Fac¸amos a matriz D−1 =
(
a b
c d
)
. Se D−1 e´ a inversa de D enta˜o
D.D−1 = I2 logo:
1.4. DETERMINATES 15
(
2 −1
3 5
)(
a b
c d
)
=
(
1 0
0 1
)
(
2a− c 2b− d
3a + 5c 3b + 5d
)
=
(
1 0
0 1
)
Fazendo a igualdade, temos:{
2a− c = 1
3a + 5c = 0
e
{
2b− d = 0
3b + 5d = 1
Resolvendo os sistemas, encontramos: a = 5
13
, b = 1
13
, c = − 3
13
e d = 2
13
Logo a matriz inversa e´ D−1 =
(
5
13
1
13− 3
13
2
13
)
�
Questo 1.12 Determine a inversa (utilizando a definic¸a˜o de inversa) da matriz
E =
(
1 −2
2 −4
)
, se existir.
Soluo: Fac¸amos a matriz E−1 =
(
a b
c d
)
. Se E−1 e´ a inversa de E enta˜o
E.E−1 = I2 logo:(
1 −2
2 −4
)(
a b
c d
)
=
(
1 0
0 1
)
(
a− 2c b− 2d
2a− 4c 2b− 4d
)
=
(
1 0
0 1
)
Fazendo a igualdade, temos:{
a− 2c = 1
2a− 4c = 0 e
{
b− 2d = 0
2b− 4d = 1
Tentando resolver os sistemas, vemos que ambos na˜o possuem soluc¸a˜o. Portanto E
na˜o possui inversa. �
1.4 Determinates
Questo 1.13 Calcule os determinantes das seguintes matrizes:
a) A =
(
5
)
16 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
b) B =
(
1 3
0 5
)
c) C =
(
1 7
9 0
)
d) D =
 0 3 21 5 6
9 5 7

e) E =
 0 2 72 6 1
7 2 9

f) F =

9 0 3 2
2 0 1 2
0 1 0 4
8 6 4 2

Soluo: a) A =
∣∣ 5 ∣∣ = 5
Pois o determinante de uma matriz quadrada de ordem 1 e´ o nu´mero real de igual valor
ao elemento a11.
b) B =
(
1 3
0 5
)
O determinante da matriz B =
(
a11 a12
a21 a22
)
2x2
e´ o nu´mero real obtido atrave´s do pro-
duto dos elementos da diagonal princial menos o produdo dos elementos da diagonal
secunda´ria.
det a =
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11 ∗ a22 − a12 ∗ a21
Logo o determinante da matriz B =
(
1 3
0 5
)
e´ :
det b = 1.5− 0.3 = 5 logo
det b = 5
c) C =
(
1 7
9 0
)
1.4. DETERMINATES 17
De maneira ana´loga o determinante da matriz C =
(
1 7
9 0
)
e´ :
detC = 1.0− 9.7 = 63 logo
detC = 5
d) D =
 0 3 21 5 6
9 5 7

Para encontrar o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 podemos usar a
regra de Sarrus.
detD =
∣∣∣∣∣∣
0 3 2
1 5 6
9 5 7
∣∣∣∣∣∣ = (0.5.7) + (3.6.9) + (2.1.5)− (9.5.2)− (5.6.0)− (7.1.3)
detD = 0 + 162 + 10− 90− 0− 21 = 61
detD = 61
e) E =
 0 2 72 6 1
7 2 9

Fac¸amos o mesmo procedimento do item anterior pela regra de Sarrus.
detE =
∣∣∣∣∣∣
0 2 7
2 6 1
7 2 9
∣∣∣∣∣∣ = (0.6.9) + (2.1.7) + (7.2.2)− (7.6.7)− (2.1.0)− (9.2.2)
detE = 0 + 14 + 28− 294− 0− 36 = −288
detE = −288
f) F =

9 0 3 2
2 0 1 2
0 1 0 4
8 6 4 2

Dada uma Matriz quadrada A, de ordem n > 2, o determinante de A e´ obtido pelo
me´todo dos cofatores.
Tomar como refereˆncia a 3a linha, pois a estrate´gia e´ sempre escolher a linha ou a coluna
que apresenta um maior nu´mero de elementos nulos, pois assim o ca´lculo do determi-
nante fica menor. Dessa forma
detF = a31A31 + a32A32 + a33A33 + a34A34 como a31 e a33 sa˜o nulos enta˜o:
detF = a32A32 + a34A34 onde a32 = 1 e a34 = 4
18 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Calculando os cofatores temos:
A31 = (−1)3+2.
∣∣∣∣∣∣
9 3 2
2 1 2
8 4 2
∣∣∣∣∣∣ = (−1)5.(−18) = 18A31 = (−1)3+4.
∣∣∣∣∣∣
9 0 3
2 0 1
8 6 4
∣∣∣∣∣∣ = (−1)7.(−18) = 18
Substituindo temos:
detF = 1.18 + 4.18 = 90 logo detF = 90
Questo 1.14 Verifique se det(A + B) = det(A) + det(B) para A =
(
1 2
9 0
)
e
B =
(
6 7
1 3
)
Soluo: Temos que detA = 1.0− 9.2 = −18 e que detB = 6.3− 1.7 = 11
fazendo A + B =
(
1 + 6 2 + 7
9 + 1 0 + 3
)
=
(
7 9
10 3
)
det(A + B) =
∣∣∣∣ 7 910 3
∣∣∣∣ = 7.3− 9.10 = −69
logo:
det(A + B) 6= det(A) + det(B) pois −69 6= (−18 + 11) => −69 6= −7
Questo 1.15 Dada a matriz A =
 2 1 −31 3 0
5 4 3
 determine a matriz adjunta de A.
�
�
1.5. SISTEMAS LINEARES 19
Soluo: A matriz adjunta de A e a matriz formada pela matriz transposta dos cofatores
de A.
O cofator e dado por: Aij = (−1)i+j. detAij, sendo assim calculando os cofatores temos:
A11 = (−1)1+1.
∣∣∣∣ 3 04 3
∣∣∣∣ = (−1)2 ∗ .(9− 0) = 1.9 = 9
A12 = (−1)1+2.
∣∣∣∣ 1 05 3
∣∣∣∣ = (−1)3.(3− 0) = (−1).3 = −3
A13 = (−1)1+3.
∣∣∣∣ 1 35 4
∣∣∣∣ = (−1)4.(4− 15) = 1.(−11) = −11
A21 = (−1)2+1.
∣∣∣∣ 1 −34 3
∣∣∣∣ = (−1)3.(3 + 12) = (−1).(15) = −15
A22 = (−1)2+2.
∣∣∣∣ 2 −35 4
∣∣∣∣ = (−1)4.(8 + 15) = 1.23 = 23
A23 = (−1)2+3.
∣∣∣∣ 2 15 4
∣∣∣∣ = (−1)5.(8− 5) = (−1).3 = −3
A31 = (−1)3+1.
∣∣∣∣ 1 −33 0
∣∣∣∣ = (−1)4.(0 + 9) = 1.9 = 9
A32 = (−1)3+2.
∣∣∣∣ 2 −31 0
∣∣∣∣ = (−1)5.(0 + 3) = (−1).(3) = −3
A33 = (−1)3+3.
∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ = (−1)6.(6− 1) = 1.5 = 5
Logo a matriz adjunta de A e´ AdjA =
 9 −3 −11−15 23 −3
9 −3 5
t =
 9 −15 9−3 23 −3
−11 −3 5
 �
1.5 Sistemas Lineares
Questo 1.16 Classifique e resolva os sistemas dados pela regra de cramer
a)
{
2x− 3y = −5
x + 2y = 8
Soluo: Classificac¸a˜o: Sistema Poss´ıvel e Determinado (SPD)
Pela regra de cramer temos:
20 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
D =
∣∣∣∣ 2 −31 +2
∣∣∣∣ = 7 e´ o determinante da matriz incompleta do sistema.
Dx =
∣∣∣∣ −5 −38 2
∣∣∣∣ = 14 e´ o determinante da matriz obtida atrave´s da troca dos coe-
ficientes de x pelos termos idenpendentes, na matriz incompleta.
Dy =
∣∣∣∣ 2 −51 8
∣∣∣∣ = 21 e´ o determinante da matriz obtida atrave´s da troca dos coefi-
cientes de y pelos termos idenpendentes, na matriz incompleta.
Logo temos que:
x = Dx
D
= 14
7
= 2
y = Dy
D
= 21
7
= 3
a soluc¸a˜o e´ dada por x = 2 e y = 3.
b)
{
3x− 2y = 3
2x + y = 1
Classificac¸a˜o: Sistema Poss´ıvel e Determinado (SPD)
Pela regra de cramer temos:
D =
∣∣∣∣ 3 −22 1
∣∣∣∣ = 7 e´ o determinante da matriz incompleta do sistema.
Dx =
∣∣∣∣ 3 −22 1
∣∣∣∣ = 5 e´ o determinante da matriz obtida atrave´s da troca dos coefici-
entes de x pelos termos idenpendentes, na matriz incompleta.
Dy =
∣∣∣∣ 3 32 1
∣∣∣∣ = −3 e´ o determinante da matriz obtida atrave´s da troca dos coefici-
entes de y pelos termos idenpendentes, na matriz incompleta.
Logo temos que:
x = Dx
D
= 5
7
y = Dy
D
= −3
7
a soluc¸a˜o e´ dada por x = 5
7
e y = −3
7
1.5. SISTEMAS LINEARES 21
c)

3x− 4y + 3z = −1
2x− y − z = −5
x− 3y − z = −6
Classificac¸a˜o: Sistema Poss´ıvel e Determinado (SPD)
Pela regra de cramer temos:
D =
∣∣∣∣∣∣
3 −4 3
2 −1 −1
1 −3 −1
∣∣∣∣∣∣ = −25 e´ o determinante da matriz incompleta do sistema.
Dx =
∣∣∣∣∣∣
−1 −4 3
−5 −1 −1
−6 −3 −1
∣∣∣∣∣∣ = 25 e´ o determinante da matriz obtida atrave´s da troca dos
coeficientes de x pelos termos idenpendentes, na matriz incompleta.
Dy =
∣∣∣∣∣∣
3 −1 3
2 −5 −1
1 −6 −1
∣∣∣∣∣∣ = −25 e´ o determinante da matriz obtida atrave´s da troca dos
coeficientes de y pelos termos idenpendentes, na matriz incompleta.
Dz =
∣∣∣∣∣∣
3 −4 −1
2 −1 −5
1 −3 −6
∣∣∣∣∣∣ = −50 e´ o determinante da matriz obtida atrave´s da troca dos
coeficientes de z pelos termos idenpendentes, na matriz incompleta.
Logo temos que:
x = Dx
D
= 25−25 = −1
y = Dy
D
= −25−25 = 1
Z = Dz
D
= −50−25 = 2
a soluc¸a˜o e´ dada por x = −1, y = 1 e z = 2 �
Questo 1.17 Classifique e resolva o sistema dado por substituic¸a˜o
Soluo: Classificac¸a˜o: Sistema Poss´ıvel e Determinado (SPD)
22 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
a)

−x + 3y + 3z = 10
3x + 4y + 6z = 5
2y + 3z = 1
Isolando y na 3a linha temos:
y = 1
2
(1− 3z) substituindo y na 2a linha fica:
3x + 4(1
2
(1− 3z)) + 6z = 5
3x + 2− 6z + 6z = 5
3x = 3 => x = 1 substituindo x na 1a linha fica:
−1 + 3(1
2
(1− 3z)) + 3z = 10
−1 + 3
2
− 9
2
z + 3z = 10
−3
2
z = 19
2
=> z = −19
3
substituindo z em y temos:
y = 1
2
(1− 3(−19
3
))
y = 1
2
(1 + 19) = 10
Assim:
x = 1, y = 10 e x = 1 e´ a soluc¸a˜o do sistema.
�
Questo 1.18 Classifique e resolva os sistemas dados pelo me´todo de escalonamento
a)

2x− 3y + 5z = 0
x− y + z = 0
3x + 2y − 12z = 0
Soluo: Resolvendo por escalonamento temos:
1.5. SISTEMAS LINEARES 23
 2 −3 51 −1 1
3 2 −12
∣∣∣∣∣∣
0
0
0
 L1 = 12L1←→
 1 −32 521 −1 1
3 2 −12
∣∣∣∣∣∣
0
0
0
 L2 = −L1 + L2L3 = −3L1 + L3
←→
 1 −32 520 1
2
−3
2
0 13
2
−39
2
∣∣∣∣∣∣
0
0
0

L2 = 2L2
←→
 1 −32 520 2 −3
0 13
2
−39
2
∣∣∣∣∣∣
0
0
0
 L1 = 32L2 + L1L3 = −132 L2 + L3←→
 1 0 −20 1 −3
0 0 0
∣∣∣∣∣∣
0
0
0

como temos a ultima linha formada por zeros classificamos esse sistema como: Sis-
tema Poss´ıvel e´ Indeterminado.
Da´ı Temos:
x− 2z = 0
y − 3z = 0
0 = 0
colocando em func¸a˜o de z temos: x = 2z e y = 3z
Logo, possui infinitas soluc¸o˜es, variando o valor de z obtemos diferentes resultados.
b)

x + y + 3z = −5
3x− 2y + 4z = 0
2x + 3y + z = 5
Resolvendo por escalonamento temos:
 1 1 33 −2 4
2 3 1
∣∣∣∣∣∣
−5
0
5
 L2 = L2 − 3L1L3 = L3 − 2L1
←→
 1 1 30 −5 −5
0 1 −5
∣∣∣∣∣∣
−5
15
15
 L1 = −L1 − L3L2 = L2 − 5L3
←→
 1 0 80 0 20
0 1 −5
∣∣∣∣∣∣
−20
−60
15

L2 =
1
20
L2
←→
 1 0 80 0 1
0 1 −5
∣∣∣∣∣∣
−20
−3
15
 L1 = L1 − 8L2L3 = L3 + 5L2
←→
 1 0 80 0 1
0 1 0
∣∣∣∣∣∣
−20
−3
0

Da´ı temos:
x = 4
y = 0
z = −3
que e´ a soluc¸a˜o do sistema. Esse sistema e´ classificado como Sistema
Poss´ıvel e Determinado (SPD)
c)

−x + y − z = 4
x− y + z = 0
x− y = 2
Resolvendo por escalonamento temos:
24 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
 −1 1 −11 −1 1
1 −1 0
∣∣∣∣∣∣
4
0
2
 L1 = −L1←→
 1 −1 11 −1 1
1 −1 0
∣∣∣∣∣∣
−4
0
2
 L2 = −L1 + L2L3 = −L1 + L3
←→
 1 −1 10 0 0
0 0 −1
∣∣∣∣∣∣
0
4
6

Da´ı Temos:

x− y = 2
0 = 4
z = −6
Como temos 0 = 4 classificamos esse sistema como: Sistema Imposs´ıvel
(SI).
d)

−2x− y + 2w = 0
3x + y − 2z − 2w = 0
−4x− y + 2z + 3w = −3
3x + y − z − 2w = 4
Resolvendo por escalonamento temos:

−2 −1 0 2
3 1 −2 −2
−4 −1 2 3
3 1 −1 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣
0
0
−3
4

L1 = L1 + L4
L2 = L2 − L4
L3 = L3 + L4
←→

1 0 −1 0
0 0 −1 0
−1 0 1 1
3 1 −1 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣
4
−4
1
4

L2 = −L2
L3 = L3 + L1
L4 = L4 − 3L1
←→
1 0 −1 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 2 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣
4
4
5
−8

L1 = L1 + L2
L4 = L4 − 2L2
←→

1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣
8
4
5
−16

L4 = L4 + 2L3
←→

1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣
8
4
5
−6

Da´ı temos:

x = 8
y = −6
z = 4
w = 5
1.5. SISTEMAS LINEARES 25
que e´ a soluc¸a˜o do sistema. Esse sistema e´ classificado como Sistema Poss´ıvel e Deter-
minado (SPD)
Questo 1.19 Encontre a inversa das matrizes atrave´s do escalonamento:
a) A =
 −3 4 −50 1 2
3 −5 4

Soluo: Para encontrar a inversa da matriz atrave´s do escalonamento devemos colocar
a matriz ao lado da sua matriz identidade correspondente ( de mesma ordem da matriz
que queremos encontrar a inversa).
Assim:Escalonamos a matriz ate´ que no lado esquerdo se obtenha a matriz identi-
dade −3 4 −50 1 2
3 −5 4
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 L1 = L1 − 4L2L3 = L3 + 5L2
←→
 −3 0 −130 1 2
3 0 14
∣∣∣∣∣∣
1 −4 0
0 1 0
0 5 1
 L3 = L3 + L1
←→
a ideia chave aqui e obter a matriz identidade do lado esquerdo
 −3 0 −130 1 2
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
1 −4 0
0 1 0
1 1 1
 L1 = −L1− − 13L3L2 = L2 − 2L3
←→
 3 0 00 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
−14 −9 −13
−2 −1 −2
1 1 1
 L1 = 13L1
←→ 1 0 00 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
−14
3
−3 −13
3−2 −1 −2
1 1 1

Logo assim a matriz inversa de A e´ A−1 =
 −143 −3 −133−2 −1 −2
1 1 1

b) B =
 1 2 32 4 5
3 5 6

26 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Para encontrar a inversa da matriz atrave´s do escalonamento devemos colocar a ma-
triz ao lado da sua matriz identidade correspondente ( de mesma ordem da matriz que
queremos encontrar a inversa).
Assim: Escalonamos a matriz ate´ que no lado esquerdo se obtenha a matriz identi-
dade 1 2 32 4 5
3 5 6
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 L2 = L2 − 2L1L3 = L3 − 3L1
←→
 1 2 30 0 −1
0 −1 −3
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
−2 1 0
−3 0 1
 L1 = L1 + 3L2L3 = L3 − 3L2
←→
a ideia chave aqui e obter a matriz identidade do lado esquerdo 1 2 00 0 −1
0 −1 0
∣∣∣∣∣∣
−5 3 0
−2 1 0
3 −3 1
 L1 = L1− + 2L3L2 = −L2
←→
 1 0 00 0 1
0 −1 0
∣∣∣∣∣∣
1 −3 2
2 −1 0
3 −3 1
 L3 = −L3
←→ 1 0 00 0 1
0 1 0
∣∣∣∣∣∣
1 −3 2
2 −1 0
−3 3 −1
 L2 <=> L3
←→
 1 0 00 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
1 −3 2
−3 3 −1
2 −1 0

Logo assim a matriz inversa de B e´ B−1 =
 1 −3 2−3 3 −1
2 −1 0
 �
Questo 1.20 Verifique se a seguinte matriz e´ invert´ıvel:
A =

3 −1 5 0
0 2 0 1
3 1 2 3
1 1 2 0

Soluo: Para verificar se uma matriz e invert´ıvel ou na˜o devemos calcular o seu deter-
minate e verificamos se ele e igual ou diferente de zero.Caso seja diferente de zero temos
que a matriz e´ invert´ıvel.
Para calcular o determinante de uma Matriz quadrada A, de ordem n > 2 sera´ u´tilizado
o me´todo dos cofatores.
Considerando-se a matriz A quadrada de ordem 4. Como podemos tomar como re-
fereˆncia qualquer linha ou coluna da Matriz A escolhemos a 2a linha, pois a estrate´gia e´
sempre escolher a linha ou a coluna que apresenta um maior nu´mero de elementos nulos,
pois assim o ca´lculo do determinante fica menor. Dessa forma
1.5. SISTEMAS LINEARES 27
detA = a21.A21 + a22.A22 + a23.A23 + a24.A24 como a21 e a23 sa˜o nulos enta˜o:
detA = a22.A22 + a24.A24 onde a22 = 2 e a24 = 1
Calculando os cofatores temos:
A22 = (−1)2+2.
∣∣∣∣∣∣
3 5 0
3 2 3
1 2 0
∣∣∣∣∣∣ = (−1)4.(−3) = −3
A24 = (−1)2+4.
∣∣∣∣∣∣
3 −1 5
3 1 2
1 1 2
∣∣∣∣∣∣ = (−1)6.(14) = 14
Substituindo temos:
detA = 2.(−3) + 1.14 = 8 logo detA = 8
como detA 6= 0 logo essa matriz e´ invertivel �
�