APOSTILA GEOMETRIA DESCRITIVA 2017 2 UTFPR

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GEOMETRIA DESCRITIVA 2017-2 
 
 
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Exercícios de coordenação 
Fazer linhas paralelas de acordo com os ângulos pedidos abaixo obedecendo a posição 
dos esquadros 
 
• Com ângulos de 0º 
• Com ângulos de 90º 
• Com ângulos de 60º 
• Com ângulos de 45º 
• Com ângulos de 30º 
• Com ângulos de 75º 
 
 
 
 
 
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1. NOÇÕES DE PROJEÇÃO 
 
 
Projetar uma figura, localizada no espaço, significa representar graficamente a interseção 
dos raios projetantes (partem de (V)) com o plano 
2
 . 
De acordo com a localização do centro de projeção temos: projeções centrais, cônicas ou 
perspectiva e projeções cilíndricas ou paralelas 
 
 
A. PROJEÇÕES (PERSPECTIVAS) CENTRAIS, CÔNICAS 
 
O centro de projeção está a uma distância finita do plano de projeção funcionando como 
vértice e os raios projetantes são divergentes. 
A perspectiva baseia-se neste sistema fazendo o centro de projeção (V) coincidir com um 
observador e os raios projetantes serão os raios visuais. 
Os pontos 
000 CBA ,,
 no plano 
2
 são denominados de perspectivas de 
 CBA ,,
. 
A perspectiva é, portanto, a representação de uma figura sobre o quadro 
2
 exatamente 
como é observada de um centro visual (V). 
 
 
 
 
 
 
fig 1: Projeção Cônica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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B. PROJEÇÕES (PERSPECTIVAS) CILÍNDRICAS OU PARALELAS 
 
É uma perspectiva Axonométrica, ou seja, uma projeção cilíndrica em que as figuras são 
referendadas a um sistema ortogonal de três eixos (x,y,z). 
O centro de projeção esta a uma distancia infinita do plano de projeção e os raios 
projetantes são paralelos entre si. 
 
 
1. Axonométrica Oblíquas: os raios projetantes formam com o plano um ângulo diferente 
de 90.° 
o Planométricas 
o Cavaleira 
 
 
2. Axonométrica Ortogonais: os raios projetantes formam com o plano um ângulo de 90°. 
o Perspectiva Isométrica 
o Perspectiva Dimétrica 
o Perspectiva Trimétrica 
o Vistas Múltiplas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. INTRODUÇÃO 
 
O objetivo da Geometria Descritiva é representar no plano do papel os objetos com duas 
ou três dimensões. 
 
 
 
 
 
Gaspard Monge (1746-1818), idealizou o “Método de da Dupla Projeção Ortogonal”, ou 
seja, Projeção Vertical e Projeção Horizontal que é também chamado de Método das 
Projeções Mongeanas” 
 
Gino Lória (1862-1954) introduziu o 3º plano de projeção, ou seja, o Plano de Perfil (PP), 
ao método de Gaspard Monge. 
 
O Método da Dupla Projeção Ortogonal emprega dois planos perpendiculares: 
• Plano Vertical (PV) 
• Plano Horizontal (PH). 
 
 A interseção do Plano Vertical (PV) com o Plano Horizontal (PH) denomina-se Linha de 
Terra (LT) . 
 
Linha de chamada – é a reta na épura, perpendicular à LT unindo as projeções verticais e 
horizontais . 
 
Diedro – subespaço obtido pela divisão do espaço através do Plano Vertical (PV) com o 
Plano Horizontal (PH). 
 
 
 
 
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SPHA =_______________________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
SPHP =_______________________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
SPVS =_______________________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
SPVI = _______________________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
 
1° QUADRANTE = 1° DIEDRO = formado pelo _____________e ________________ 
2° QUADRANTE = 2° DIEDRO = formado pelo _____________e ________________ 
3° QUADRANTE = 3° DIEDRO = formado pelo _____________e ________________ 
4° QUADRANTE = 4° DIEDRO = formado pelo _____________e ________________ 
 
OCTANTES – São 2 planos que dividem os 4 quadrantes e são chamados de:1° bissetor 
dos quadrantes pares e 2° bissetor dos quadrantes ímpares. 
 
. 
 
Épura - Para passar a figura do espaço (3D) para o plano (2D), efetua-se um giro de 90º 
em torno da LT do Plano Horizontal (PH) no sentido horário até que coincidam com o Plano 
Vertical: tem-se assim a épura 
Épura é portanto a representação da figura do espaço através de suas projeções Vertical e 
Horizontal 
 
 
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- Na épura visualizamos somente as projeções A1 e A2 do ponto A. 
 
As simbologias adotadas aqui serão: 
 
P1 ou PV = Plano Horizontal 
P2 ou PH = Plano Vertical 
P3 ou PP = Plano de Perfil 
 
A1 = Vista Superior do ponto A (Projeção ortogonal do ponto A no PH) 
A2 = Vista Frontal do ponto A (Projeção ortogonal do ponto A no PV) 
A3 = Vista Lateral do ponto A (Projeção ortogonal do ponto A no PL) 
 
O = origem ou interseção dos 3 planos (PV, PH e PL) 
LT = Linha de Terra = interseção do PH com o PV 
 
ab = abcissa = x = distância de um ponto de origem (o) situado na LT até a projeção do 
ponto em épura. 
 
af = afastamento = y = distância de um ponto ao plano vertical de projeção. 
af+= caminhamos para a direita em relação ao PV. 
af-= caminhamos para a esquerda em relação ao PV. 
 
c = z =cota = distância de um ponto ao plano horizontal de projeção. 
c+= caminhamos para cima em relação ao PH. 
c- = caminhamos para baixo em relação ao PH. 
 
O ponto é representado por: PONTO (Abcissa, Afastamento, Cota) 
 
P (Ab, Af, C) 
P (x, y, z) 
 
Exemplo: A(3,4,5) 
 
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ESTUDO DO PONTO 
 
1º Diedro 
 
 
 
2º Diedro 
 
 
 
 
 
 
 
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3º Diedro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4º Diedro 
 
 
 
 
 
 
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PONTO NO PH 
 
 
 
 
 
PONTO NO PV 
 
 
 
 
 
 
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PONTO NA LT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
1 Representar as projeções (PH e PV) abaixo: 
 
 
PONTO (Abcissa, Afastamento, Cota) 
 
A (3,2,4) 
B (4,0,-2) 
C (-4,4,0) 
D (2,4,4) 
E (-3,2,-2) 
F (7,2,-5) 
G (5,0,3) 
H (-1,3,4) 
I (-2,4,-4) 
J (6,-4,3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Dar a épura dos pontos abaixo: 
 
 
PONTO (Abcissa, Afastamento, Cota) 
 
 
 
A (-2,-2,-1) 
B (3,1.5,-2) 
C (1.5,1,1.5) 
D (0,0,2) 
E (-1,2,0) 
F (-3,2,-3) 
G (5,0,2) 
H (2,4,-4) 
I (-4,4,-4) 
J (6,-5,4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Preencha as lacunas: 
 
a) Chama-se cota de um ponto 
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________ 
 
 
b)Em épura 
 
Cota negativa é marcada para_________________________da LT 
Cota positiva é marcada para_________________________da LT 
 
c)Diedro é 
 
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________ 
 
d) Em épura 
 
Afastamento negativo é marcada para_________________________da LT 
Afastamento positivo é marcada para_________________________da LT 
 
e) Para se obter a épura, o rebatimento do plano horizontal sobre o plano vertical é feito 
no sentido______________________________________________ 
 
f) Linha de chamada é: 
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 
 
g) Abcissa é 
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ESTUDO DA RETA 
 
 As projeções de uma reta, 
 ,r A B
, são obtidas através de seus pontos. 
 
 
TEOREMAS 
 
- A projeção de uma reta sobre o plano não perpendicular a mesma, é uma reta. 
- A projeção de uma reta sobre o plano perpendicular a mesma, é um ponto. 
- A projeção de uma reta sobre o plano paralelo a mesma, é uma reta em VG. 
 
Classificação das retas 
 
Conforme a posição da reta, paralelas ou perpendiculares, em relação aos planos de 
projeção (PH ou PV), podem ser: 
 
 
 
1. Reta paralela à dois planos de projeção com projeção em VG e um ponto no 3º diedro. 
 
1.1Reta vertical 
 
 
 
 
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 
 
 
 
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1.2 Reta de Topo 
 
 
 
________________________________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 
 
 
1.3 Reta Fronto-Horizontal 
 
 
 
 
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 
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2 Reta paralela a um plano de projeção (possui VG). Inclinada aos outros planos. 
 
2.1 Reta Horizontal 
 
 
 
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 
 
2.2 Reta Frontal 
 
 
 
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 
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2.3 Reta de Perfil 
 
 
 
 
 
 
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3 Reta Qualquer, oblíqua aos 3 planos de projeção. Não se projeta em VG em nenhum 
plano. 
 
3.1 
 
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 
 
 
 
3.2 
 
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 
 
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POSIÇÕES DO PLANO 
 
A classificação é feita conforme paralelismo ou perpendicularismo entre o plano e os 3 
planos (PH, PV, PP). 
 
1 O plano é paralelo a um plano de projeção, possui VG nestes planos e reta no outro 
plano 
1.1 Plano Horizontal 
 
 
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 
 
1.2 Plano Frontal 
 
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
___________________________________________________________________ 
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1.3 Plano de Perfil 
 
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
___________________________________________________________________ 
 
2 Plano oblíquo a dois planos de projeção e perpendicular a outro. Não há projeção em 
VG 
 
2.1 Plano Vertical 
 
 
 
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 
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2.2 Plano de Topo 
 
 
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 
 
 
2.3Plano Paralelo à LT 
 
 
 
 
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
___________________________________________________________________ 
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3 Plano oblíquo aos 3 planos de projeção. Nenhuma das projeções esta em VG. 
 
3.1 Plano Qualquer 
 
 
 
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 
 
 
 
 
OBS: 
 A VG de uma figura só é obtida sobre planos de projeção que lhes sejam paralelos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ – UTFPR Prof.ª Marly Terezinha Quadri Simões da SilvaINTERSEÇÃO 
 
A Interseção de reta e plano 
 
A determinação das projeções do ponto em que uma reta intercepta um plano é imediata 
quando o plano for: horizontal, frontal, vertical, topo, perfil. 
 
 
1. Plano Horizontal 
 
 
 
 
 
 
 
2. Plano Frontal 
 
 
 
 
 
 
 
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3.Plano de Perfil 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Plano Vertical 
 
 
’ 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. Plano de Topo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 B Interseção de planos com planos determinados por retas concorrentes ou 
paralelas. 
 
As projeções da reta 
AB
determinada pela interseção de dois planos é imediata se um dos 
planos, β , for definido por duas retas β
 sr,
e o outro, α , for um plano: horizontal, frontal, 
vertical, topo, perfil. 
 
1 Plano Horizontal 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.Plano Frontal 
 
 
 
 
 
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3.Plano de Perfil 
 
 
 
 
 
 
 
4. Plano Vertical 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. Plano de Topo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 ‘ C Interseção de planos determinados pelos traços. 
 
A interseção de dois planos quaisquer, α e β, é uma reta comum a estes planos. Se estes 
planos são determinados pelos seus traços, a interseção será uma reta pertencente aos 
planos. Então os traços da reta deverão pertencer aos traços do plano mesmo nome 
(subíndice). 
 
 
 
1.Determinar a interseção de dois Planos Quaisquer 
  ,
. 
 
 
 
 
2. Determinar da interseção de um plano qualquer, α, com um plano Horizontal, β. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Determinar da interseção de um plano qualquer, α , com um plano Frontal, β. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Determinar a interseção de dois planos verticais α e β. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. Determinar a interseção do planos de topo, α ,com um plano vertical, β. 
 
 
 
 
 
 
6. Determinar a interseção de um plano de perfil, α , com um plano paralelo a LT, β. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. Determinar a interseção de um plano qualquer, α , com um plano paralelo a LT, β. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MÉTODO PARA ENCONTRAR VERDADEIRA GRANGEZA (VG) 
 
A MUDANÇA DE PLANOS DE PROJEÇÃO 
 
A mudança de planos consiste em: 
Dadas as projeções de uma figura sobre o PH e PV, achar a nova projeção desta figura 
sobre um terceiro plano perpendicular ao PV ou ao PH. 
Se: 
-o plano for perpendicular ao PH efetua-se a uma mudança de plano vertical 
-o plano for perpendicular ao PV efetua-se a uma mudança de plano horizontal 
 
Mudança vertical 
 
 
 
 
- Da projeção horizontal do ponto baixamos a perpendicular à nova LT. 
- Sobre esta perpendicular marcamos, a partir da nova Linha de Terra, a cota primitiva do ponto. 
 
 Mudança horizontal 
 
 
- Da projeção vertical do ponto baixamos a perpendicular à nova LT. 
- Sobre esta perpendicular marcamos, a partir da nova Linha de Terra o afastamento primitivo do ponto. 
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EXERCÍCIOS 
 
1 Dada a reta AB por suas projeções torná-la uma reta frontal por meio de uma mudança 
de plano. 
Simplificação - admitir que a nova linha de terra seja coincidente com uma das projeções 
originais, vertical ou horizontal dependendo do caso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 Dada a reta AB por suas projeções torna-la uma reta horizontal por meio de uma 
mudança de plano. 
 
 
 
 
 
 
 
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3 Dada reta AB e suas projeções, por meiode uma dupla mudança de plano torná-la uma 
reta de topo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 Dada reta AB e suas projeções, por meio de uma dupla mudança de plano torná-la uma 
reta vertical. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Mudança de planos para o plano 
 
Transformar o plano vertical em um plano frontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
.Transformar o plano de topo em um plano horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Transformar o plano qualquer em outro que contenha a VG da figura.(dupla mudança de 
plano) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RESUMO : 
 
Para obtenção da VG de um plano qualquer são necessárias duas vistas auxiliares: 
 
Transforma o plano qualquer em: 
 
-plano de topo em plano horizontal 
 
 
ou 
 
-plano vertical em plano frontal 
 
 
 
 ou seja, o plano qualquer plano de topo plano horizontal 
 plano vertical plano frontal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA DESCRITIVA 2017-2 
 
 
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Transformar o plano qualquer em outro que contenha a VG da figura.(dupla mudança de 
plano) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA DESCRITIVA 2017-2 
 
 
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B REBATIMENTO 
 
O objetivo do rebatimento é obter a verdadeira grandeza (VG) de figuras pertencentes a um 
plano 

. 
O rebatimento de um plano 

 consiste em fazê-lo girar em torno de seu traço (horizontal 
S
ou vertical 
t
), denominado de eixo de rebatimento ou charneira, até que este plano 

 
fique paralelo a um dos planos de projeção (PH ou PV). 
 
 
Regras: 
-Fazer uma perpendicular na charneira ch1 (ch2) até projeção horizontal A1 (projeção 
vertical A2) determinando-se o ponto I1  IR (I2  IR). 
-Fazer uma paralela a ch1 (ch2) passando por A1 (A2). Nesta paralela marcamos a cota 
(afastamento) do ponto A obtendo-se o ponto A2’ (A1'). 
- I1A1A2’ (I2A2A1’) é o triângulo de rebatimento procurado. 
A hipotenusa é o raio de rebatimento e A2’’ (A1'') é o ponto rebatido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Rebatimento de um plano de Topo sobre um plano Horizontal 
 
A charneira (eixo) é uma reta de topo (traço horizontal 
S
) e o rebatimento é a rotação em 
torno desta reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Rebatimento de um Plano Vertical sobre um Plano Vertical 
 
A charneira é uma reta vertical (traço vertica 
t
) o rebatimento é a rotação em torno desta 
reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA DESCRITIVA 2017-2 
 
 
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Rebatimento de um plano qualquer sobre um plano Horizontal 
 
 
 O plano gira em torna do traço horizontal 
S
 do plano

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCICíOS 
 
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Achar a VG do triângulo ABC dado pela projeção de suas vértices 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Achar a VG do triângulo ABC dado pela projeção de suas vértices 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Achar a VG do triângulo ABC dado pela projeção de seus vértices 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Achar a VG do triângulo ABC dado pela projeçãode suas vértices 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ENCONTRE A VG DA FIGURA POR REBATIMENTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ENCONTRE A VG DA FIGURA POR REBATIMENTO