G3 14.1 - Álgebra Linear 1 - MAT 1200

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MAT 1200: A´lgebra Linear I
Prova P3 — 2014.1: 24 de maio de 2014
Todas as questo˜es devem ser justificadas de forma clara e rigorosa e de
prefereˆncia sucinta. As respostas podem ser escritas a la´pis. Tempo: 1h50.
Nome:
Matr´ıcula: Turma:
Questa˜o 1 2 3 4 Total
Pontos 11/2 3 31/2 2 10
Correc¸a˜o
1. A` questa˜o “Calcule as coordenadas do vetor v = (1, 1, 1) na base ortogonal
δ = {v1 = (1, 0, 0),v2 = (0, 1, 1),v3 = (0, 1,−1)}
de R3.” Joa˜ozinho respondeu:
As coordenadas de v na base {v1,v2,v3} sa˜o os nu´meros reais α1, α2 e α3 tais que
v = α1v1 + α2v2 + α3v3.
Como esta base e´ ortogonal, temos que
α1 = 〈v|v1〉 = 1.
α2 = 〈v|v2〉 = 2.
α3 = 〈v|v3〉 = 0.
Portanto, as coordenadas do vetor (1, 1, 1) na base δ sa˜o 1, 2 e 0, respectivamente.
(a)1 pto Joa˜ozinho esta´ errado pois v 6= v1 + 2v2. Indique qual foi o erro que Joa˜ozinho
cometeu e explique a sua afirmac¸a˜o.
(b)1/2 pto Enuncie a definic¸a˜o de complemento ortogonal de um subespac¸o vetorial H de
Rn.
Prova P3 — 2014.1 MAT 1200: A´lgebra Linear I
2. Verdadeiro ou falso? Fornec¸a uma justificativa para sua resposta.
(a)1 pto Se Rn e´ soma direta dos subespac¸os H e W , enta˜o W e´ o complemento ortogonal
de H. Noutras palavras, se Rn = H ⊕W , enta˜o W = H⊥.
(Lembre: Rn = H ⊕W se, e somente se, Rn = H +W , H ∩W = {0}.)
(b)1 pto Seja T : R4 → R4 uma projec¸a˜o sobre a reta r := 〈(11,−1, 7, 4)〉. Sejam [T ]β
a matriz de T numa base β de R4 e P ∈ M4×4 uma matriz invert´ıvel. Enta˜o,
det (P [T ]β P
−1) = 0.
(c)1 pto A matriz
(
1 1
0 1
)
e´ diagonaliza´vel.
3. Seja T : R3 → R3 a reflexa˜o (espelhamento) em relac¸a˜o ao plano pi e
[T ]γ =
 −1 0 −22 1 2
0 0 1

a matriz de T na base γ = {v1,v2,v3} de R3.
(a)1 pto Da matriz [T ]γ, calcule os autovalores e o autoespac¸o associado ao maior auto-
valor.
(b)1 pto Sejam w1 = a1v1 + a2v2 + a3v3 e w2 = b1v1 + b2v2 + b3v3 dois vetores em
R3. Encontre valores nume´ricos para a1, a2, a3, b1, b2 e b3 que garantam que
pi = 〈w1,w2〉.
(c)1/2 pto Sabendo que δ = {u1,u2,u3} e´ uma base de R3 cujos elementos sa˜o autovetores
de T , sendo u1 e u2 associados ao mesmo autovalor, encontre [T ]δ.
(d)1 pto Deˆ um exemplo de um subespac¸o vetorial H de R3 tal que as duas seguintes
condic¸o˜es sejam satisfeitas:
• H na˜o e´ autoespac¸o de T , mas e´ invariante por T .
• dimH = 2.
4. Nesta questa˜o vamos trabalhar com a seguinte afirmac¸a˜o:
Se T : Rn → Rn e´ uma transformac¸a˜o linear tal que para quaisquer dois vetores
u, v ∈ Rn satisfaz:
〈T (u)|v〉 = 〈u |T (v)〉
e w1 e w2 sa˜o autovetores de T associados respectivamente aos autovalores λ1 e λ2 com
λ1 diferente de λ2, enta˜o w1 e w2 sa˜o ortogonais.
(a)1 pto Defina os conceitos que aparecem sublinhados na afirmac¸a˜o anterior.
(b)1 pto Prove que dita afirmac¸a˜o e´ verdadeira.
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