Aplicações das propriedades de radiciação

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Aplicações das propriedades de radiciação
→ Primeira propriedade
A primeira propriedade trata da raiz enésima de um número elevado a n. O resultado é esse próprio número, isto é, sempre que o índice do radical for igual ao expoente do radicando, o resultado da raiz será o próprio radicando sem expoente. Observe o exemplo:
→ Segunda propriedade
A segunda propriedade permite que o índice do radical e o expoente do radicandosejam multiplicados ou divididos pelo mesmo número. Se a ideia for simplificar os cálculos e ambos forem múltiplos de um mesmo número, basta dividi-los por esse número. Observe:
Observe que 28 é obtido por meio da decomposição em fatores primos de 256.
→ Terceira propriedade
A terceira propriedade possui um “caminho de ida” e um “caminho de volta”. No caminho de ida, é possível decompor um número em fatores quaisquer (ou primos, dependendo da situação) e reescrever uma raiz única como produto das raízes dos fatores. Esse caso é o mais utilizado na simplificação de radicais.
Muitas vezes essa propriedade é usada em conjunto com a propriedade anterior para unir dois ou mais radicais. Para tanto, multiplique índice e expoente dos radicais a serem unidos de modo que os índices fiquem iguais. Em seguida, aplique a terceira propriedade.
→ Quarta propriedade
A quarta propriedade segue o mesmo princípio da anterior, porém, para divisão. Observe o exemplo:
Observe na imagem acima que, na etapa destacada, optamos por decompor os radicandos. O próximo passo foi a aplicação da terceira propriedade e o seguinte foi a aplicação da primeira propriedade. Essa cadeia de aplicações garante que raízes complicadas sejam calculadas sem grandes problemas.
→ Quinta propriedade
Qualquer raiz elevada a alguma potência pode ter a potência introduzida em seu radical, de modo que ela se torna expoente do radicando. Observe:
Na imagem acima, somente a parte destacada mostra a aplicação da quinta propriedade. O que ocorre nas operações seguintes são aplicações das outras propriedades a fim de simplificar ainda mais o radical resultante.
→ Sexta propriedade
As raízes de raízes podem ser reescritas utilizando apenas um radical. Observe:
Para transformar 256 em 28, fatore o 256 e escreva-o em sua forma decomposta dentro do radical.
→ Sétima propriedade
O índice do radical e o expoente do radicando podem ser vistos como uma fração a fim de eliminar o radicando ou de simplificá-lo. Observe:
Observe que a sétima propriedade só foi aplicada do segundo para o terceiro passo, em que um radical foi transformado em uma potência de expoente fracionário. Sempre que o expoente do radicando for múltiplo do índice do radical, especialmente nos casos em que o primeiro for maior que o segundo, será possível fazer essa simplificação.