aula Integral Impropria

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ENCE
Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
Escola Nacional de Ciências Estatísticas
Profa. Elaine Machtyngier
Integração Imprópria
Integrais Impróprias
Uma integral é dita imprópria quando o intervalo de integração não é finito ou quando a
função não é limitada.
(1) Limites de integração infinitos
A integral imprópria de f sobre o intervalo [a,+∞) é definida por∫ +∞
a
f(x) dx = lim
A→+∞
∫ A
a
f(x) dx
1. Se o resultado é um número real diz-se que a integral imprópria converge.
2. Se o limite não existe ou é infinito, diz-se que a integral imprópria diverge.
(1)
∫ ∞
0
e−x dx = 1 (2)
∫ ∞
1
dx
x
diverge (3)
∫ ∞
0
senx dx 6 ∃
(4)
∫ ∞
1
1
(x+ 1)3
dx =
1
8
(5)
∫ 2
−∞
8 dx
(4− x)2 = 4 (6)
∫ −1
−∞
1
x
dx diverge
(7)
∫ ∞
−∞
(arctgx)2dx
1 + x2
=
pi3
12
(8)
∫ ∞
−∞
x dx (9)
∫ ∞
0
xe−x
2
dx
Aplicação
Uma função densidade de probabilidade é uma função cujo domínio é o conjunto D ⊂ IR
e satisfaz as seguintes condições:
1. f(x) ≥ 0 , ∀x ∈ D
2.
∫ ∞
−∞
f(x) dx = 1
Verifique se a função f(x) =
{
ke−kx se x ≥ 0
0 se x < 0
qualifica-se como uma função densidade
de probabilidade.
Se f for uma função densidade de probabilidade de ocorrência de determinado evento, então a
probabilidade de que o evento irá ocorrer no intervalo fechado [a, b] será denotado por P ([a, b])
e
P ([a, b]) =
∫ b
a
f(x) dx
Exemplo: Para determinado tipo de bateria elétrica, a função densidade de probabilidade
de que x horas seja o tempo de vida útil de uma bateria escolhida ao acaso é dada por
f(x) =

1
60
e−
x
60
se x ≥ 0
0 se x < 0
.
Encontre a probabilidade de que uma bateria escolhida ao acaso tenha um tempo de vida
(a) entre 15 e 25 h e (b) pelo menos 50 h.
Resp.(a) −e−25/60 + e−15/60 ∼= 0, 120 e (b) e−50/60 ∼= 0, 435.
(2) Integrandos infinitos em intervalos finitos
∫ b
a
f(x) dx = lim
δ→0
∫ b−δ
a
f(x) dx
∫ b
a
f(x) dx = lim
δ→0
∫ b
a+δ
f(x) dx
(1)
∫ 4
0
1√
x
dx = 4 (2)
∫ 4
−2
dx
x
diverge
(3)
∫ √2
−√2
1√
2− x2 dx = pi (4)
∫ √2
−√2
1
2− x2 dx diverge
(5)
∫ 0
−1
x
x2 − 1 dx (6)
∫ 1
0
1
1− x dx
2
Teste da Comparação
Sejam f e g funções contínuas tais que 0 ≤ g(x) ≤ f(x) ∀x ≥ a ∈ IR.
Então,
(a)
∫ b
a
f(x) dx é convergente ⇒
∫ b
a
g(x) dx também é convergente.
(b)
∫ b
a
g(x) dx é divergente ⇒
∫ b
a
f(x) dx também é divergente.
Mostre que
∫ ∞
0
e−x
2
dx é convergente.
De fato, como
∫ ∞
1
e−x
2
dx ≤
∫ ∞
1
e−x dx = e−1, segue o resultado.
Questões
1
a
Questão: Determine se as integrais impróprias são convergentes ou divergentes, justifi-
cando:
(a)
∫ +∞
1
x(cosx)2
(1 + x2)2
dx (b)
∫ 2
0
1
x2 + x− 6 dx
2
a
Questão: Seja R a região limitada pelas retas x = 2, x = 7 e pelo gráfico de f(x) =
1
(x− 5)2/3 .
Faça um esboço da região e determine se a região R tem área finita, e, se for o caso, calcule
o valor dessa área.
3
a
Questão: Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫ ∞
2
1
x
√
5
dx (b)
∫ 1
−1
x+ 1
3
√
x4
dx (c)
∫ 0
−3
1
t2
√
9− t2 dt
4
a
Questão: Use o teste da comparação para dizer se a integral
∫ 4
0
e−x
2
7
√
x
dx converge ou
diverge.
3