Livro 2017

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE - FURG
INSTITUTO DE MATEMA´TICA, ESTATI´STICA E
FI´SICA - IMEF
FABI´OLA AIUB SPEROTTO
DAIANE SILVA DE FREITAS
NOTAS DE AULA DE A´LGEBRA
LINEAR
1◦ Edic¸a˜o
Rio Grande
2017
Universidade Federal do Rio Grande - FURG
NOTAS DE AULA DE A´LGEBRA LINEAR
Instituto de Matema´tica, Estat´ıstica e F´ısica - IMEF
Fab´ıola Aiub Sperotto
Daiane Silva de Freitas
site: www.lemas.furg.br/index.php/material-didatico
i
Suma´rio
1 Matrizes e Sistemas Lineares 1
1.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Tipos de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Operac¸o˜es com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Matrizes Invers´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Lista de exerc´ıcios 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.8.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.8.4 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.9 Lista de exerc´ıcios 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Espac¸os Vetoriais 37
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Subespac¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 Combinac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5 Subespac¸os Gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.7 Base e Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.7.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.8 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.8.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
ii
2.8.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.8.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.8.4 Processo de ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt: . . . . 62
2.9 Lista de exerc´ıcios 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.10 Lista de exerc´ıcios 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3 Transformac¸o˜es Lineares 68
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2 Nu´cleo de um Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Imagem de uma Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4 Matriz de uma Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5 Operac¸o˜es com Transformac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . 80
3.5.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6 Transformac¸o˜es Lineares Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.7 Transformac¸o˜es Lineares no Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.7.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.8 Lista de exerc´ıcios 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4 Autovalores e Autovetores 94
4.1 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.1.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2 Diagonalizac¸a˜o de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3 Lista de Exerc´ıcios 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
iii
Cap´ıtulo 1
Matrizes e Sistemas Lineares
1.1 Motivac¸a˜o
A A´lgebra Linear tem inu´meras aplicac¸o˜es, como:
• (Modelos Econoˆmicos de Leontief) – Suponha um sistema econoˆmico
simplificado, por exemplo, uma mina de carva˜o, uma ferrovia e uma
usina de energia necessitam cada uma de uma parte da produc¸a˜o das
outras para sua manutenc¸a˜o e para suprir outros consumidores de
seu produto. Os modelos de produc¸a˜o de Leontief podem ser usados
para determinar o n´ıvel de produc¸a˜o necessa´rio a`s treˆs indu´strias para
manter o sistema econoˆmico.
• (Computac¸a˜o Gra´fica) – Um exemplo de aplicac¸a˜o na computac¸a˜o
gra´fica esta´ na criac¸a˜o de um novo modelo de carro, que antes de ser
produzido, os engenheiros projetam e constroem um carro matema´tico
– um modelo de arame que existe apenas na memo´ria do computador
e em terminais gra´ficos. O carro em modelo de arame e´ armazenado
na forma de muitas matrizes para cada componente principal.
• (Criptografia) - Hoje em dia, o principal impulso para o desenvol-
vimento de co´digos seguros e´ dado pelas comunicac¸o˜es confidenciais
entre computadores e em telecomunicac¸o˜es.
• (Construc¸a˜o de Curvas e Superf´ıcies) – O uso dos determinantes nos
permite resolver o problema analiticamente, assim e´ poss´ıvel construir
retas, c´ırculos e sec¸o˜es coˆnicas em geral por pontos especificados no
plano.
1
1.2. MATRIZES
1.2 Matrizes
Definic¸a˜o 1. Se A e´ uma matriz de ordem m por n, isto e´ m linhas e
n colunas, enta˜o cada elemento nume´rico da matriz denotado por aij, e´ o
elemento da i-e´sima linha e da j-e´sima coluna.
Enta˜o, considere por exemplo, uma matriz de 3 linhas e 3 colunas, por-
tanto, a ordem da matriz e´ 3× 3 (leˆ-se 3 por 3) e representamos por
A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 .
Onde par de nu´meros m e n e´ chamado tamanho ou tipo da matriz.
Uma matriz que consiste de mn elementos dispostos em m linhas e n
colunas, pode ser representada por A = [aij ]m×n:
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
an1 an2 . . . amn
 .
1.3 Tipos de Matrizes
Vamos recordar os principais tipos de matrizes.
Matriz Nula: E´ aquela em que todos seus elementos sa˜o nulos.
Isto e´, aij = 0, ∀ i, ∀ j.
Matriz Linha ou Vetor Linha: Esta matriz possui apenas uma linha,
m = 1. Portanto, A = [aij ]1×n
Matriz Coluna: Matriz com apenas uma coluna, A = [aij ]m×1.
Matriz Quadrada: E´ uma matriz que possui o mesmo nu´mero de linhas
e colunas. Uma matriz quadrada n× n e´ dita de ordem n.
Observac¸a˜o:
Conceito de Diagonal Principal e Diagonal Secunda´ria: Se A = [aij ] e´
uma matriz quadrada de ordem n, os elementos aij , em que i = j, constituem
os elementos da diagonal principal. Assim, a diagonal principal e´ formada
pelos elementos
a11, a22, a33, · · · ann.
2
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1.3. TIPOS DE MATRIZES
Os elementos aij , em que i+j = n+1, constituem a diagonal secunda´ria.
Enta˜o, a1n, a2n−1, a3n−2, · · · , an1, sa˜o os elementos da diagonal secunda´ria.
Exemplo 1. A =
2 10 54 1 −8
7 5 3

E´ uma matriz quadrada de ordem 3, os elementos da diagonal principal
sa˜o 2, 1, 3 e os elementos da diagonal secunda´ria sa˜o 5, 1, 7.
Matriz diagonal: Chamamos de matriz diagonal D = [dij ] uma matriz
quadrada onde todos os elementos que na˜o pertencema diagonal principal
sa˜o nulos. Portanto, dij = 0, para i 6= j.
Exemplo 2.
[
15 0
0 −3
]
Matriz Escalar: Quando a matriz diagonal tem os elementos aij iguais
para i = j, chamamos de matriz escalar.
Exemplo 3. A =
4 0 00 4 0
0 0 4

Matriz Identidade: E´ uma matriz escalar onde os elementos da diagonal
principal sa˜o iguais a 1. (aij = 1, para i = j). Notac¸a˜o: In, ou simplesmente
I.
Exemplo 4. I2 =
[
1 0
0 1
]
, I3 =
1 0 00 1 0
0 0 1

Matriz Triangular Superior: Uma matriz A =
[
aij
]
quadrada e´ triangu-
lar superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal sa˜o nulos,
isto e´, aij = 0, para i > j.
Exemplo 5.
3 4 10 2 −4
0 0 3

Matriz Triangular Inferior: Uma matriz A =
[
aij
]
quadrada e´ triangular
inferior se todos os elementos acima da diagonal principal sa˜o nulos, isto e´,
aij = 0, para i < j.
Exemplo 6.
1 0 06 5 0
4 7 8

3
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1.4. OPERAC¸O˜ES COM MATRIZES
Matriz Transposta: A matriz transposta da matriz A, denotada por AT
ou At, e´ a matriz obtida escrevendo as colunas de A, na ordem, como linhas.
Exemplo 7. Dada a matriz A =
[
a11 a12 a13
a21 a22 a23
]
, a matriz transposta e´
At =
a11 a21a12 a22
a13 a23

Propriedades da Matriz Transposta: Considere as matrizes A e B de
mesma ordem e λ um escalar.
i. (A+B)t = At +Bt
ii. (λA)t = λAt
iii. (At)t = A
iv. (AB)t = BtAt
Observac¸a˜o: o nu´mero de linhas de A e´ igual ao nu´mero de colunas de
At. O nu´mero de colunas de A e´ igual ao nu´mero de linhas de At.
Matriz Sime´trica: Uma matriz A e´ sime´trica se At = A, isto e´, se seus ele-
mentos sime´tricos - elementos espelhados pela diagonal principal - sa˜o iguais,
isto e´, aij = aji.
Exemplo 8. A =
[
2 5
5 1
]
, At =
[
2 5
5 1
]
a matriz A e´ sime´trica.
B =
 3 −1 5−1 2 −4
5 4 0
, Bt =
 3 −1 5−1 2 4
5 −4 0
 a matriz B na˜o e´ sime´trica.
Matriz Anti-Sime´trica: Uma matriz A e´ anti-sime´trica se At = −A, ou
de modo equivalente, se cada aij = −aji. Os elementos da diagonal principal
sa˜o nulos, ja´ que aii = −aii implica aii = 0.
Exemplo 9. M =
 0 5 −2−5 0 3
2 −3 0
, M t =
 0 −5 25 0 −3
−2 3 0
 a matriz M e´
anti-sime´trica.
1.4 Operac¸o˜es com Matrizes
Igualdade entre Matrizes: Dadas duas matrizes A = [aij ]m×n e B =
[bij ]m×n, sa˜o iguais se, e somente, se aij = bij .
4
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1.4. OPERAC¸O˜ES COM MATRIZES
Adic¸a˜o de Matrizes
A soma de duas matrizes de mesmo tamanho A = [aij ]m×n e B =
[bij ]m×n, denotada por A+B, e´ uma matriz C = [cij ]m×n obtida somando-se
os elementos correspondentes de A e B. Portanto, cij = aij + bij ,∀i,j.
Cuid
ado!
So´ faz sentido realizar as operac¸o˜es de adic¸a˜o e subtrac¸a˜o
entre matrizes de mesma ordem.
Exemplo 10. Se A =
[
3 4
7 8
]
e B =
[
2 6
8 9
]
, enta˜o A+B =
[
5 10
15 17
]
Propriedades da Adic¸a˜o: Dadas as matrizes A, B e C de tamanhosm×n,
temos:
i. A+ (B + C) = (A+B) + C (Associatividade da adic¸a˜o);
ii. A + 0 = 0 + A = A (Elemento neutro, onde 0 denota a matriz nula
m× n);
iii. −A+A = A−A = 0 (Elemento oposto);
iv. A+B = B +A (Comutatividade da adic¸a˜o).
Demonstrac¸a˜o: Vamos verificar a propriedade [iv.], deixando as demais
a cargo do leitor.
iv. A+B = B +A
A = [aij ], B = [bij ]
A+B = [aij ] + [bij ] = [aij + bij ] = [bij + aij ] = B +A
Observac¸a˜o: Definimos a operac¸a˜o de subtrac¸a˜o de maneira usual,
sendo dadas as matrizes A e B, temos A−B = A+ (−B).
Multiplicac¸a˜o de uma Matriz por um Escalar
O produto de uma matriz A por um escalar λ e´ uma matriz B = [bij ]
tal que: bij = λaij , onde a matriz B e´ um mu´ltiplo escalar da matriz A.
Exemplo 11. (−2) ·
[
2 −1 5
4 0 −3
]
=
[−4 2 −10
−8 0 6
]
Propriedades: Dados λ e β escalares e as matrizes Am×n e Bm×n, temos:
5
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1.4. OPERAC¸O˜ES COM MATRIZES
i. (λβ)A = λ(βA)
ii. (λ+ β)A = λA+ βA
iii. λ(A+B) = λA+ λB
iv. 1 ·A = A
v. 0 ·A = 0, isto e´, se multiplicarmos o nu´mero zero por qualquer matriz
A, teremos a matriz nula.
Multiplicac¸a˜o de Matrizes
Vamos considerar a seguinte situac¸a˜o, para motivar a definic¸a˜o de mul-
tiplicac¸a˜o de matrizes:
Exemplo 12. Duas amigas precisam comprar algumas frutas para fazer
uma salada de frutas e levar para uma festa. Cada uma pretende comprar
quantidades diferentes. Anny quer comprar 5 mac¸a˜s, 6 peˆras e 8 laranjas.
Milli quer levar 3 mac¸a˜s, 4 peras e 9 laranjas. Anny mora pro´ximo a um
supermercado e uma banca de frutas. No supermercado cada mac¸a˜ custa
R$0,15; cada peˆra custa R$0,20 e cada laranja R$0,10. E na banca cada
mac¸a˜ custa R$0,18; cada peˆra R$0,25 e cada laranja R$0,15.
Problema: Quanto Anny e Milli va˜o gastar?
Observe que se Anny comprar no supermercado:
5(0,15) + 6(0,20) + 8(0,10) = R$2,75
portanto, gastara´ R$2,75. Mas este mesmo ca´lculo pode ser feito com a
multiplicac¸a˜o de matrizes:
M1 =
[
5 6 8
3 4 9
]
,M2 =
 0,15 0,180,20 0,25
0,10 0,15

O produto M1M2 nos mostra quanto cada uma ira´ gastar.[
5 6 8
3 4 9
]
·
 0,15 0,180,20 0,25
0,10 0,15
 = [ 2,75 3,60
2,15 2,89
]
Pelos ca´lculos observamos que elas devem fazer suas compras no super-
mercado. Assim, Anny ira´ gastar R$2,75 e Milli R$2,15.
6
IMEF - FURG
1.4. OPERAC¸O˜ES COM MATRIZES
De modo geral, dada duas matrizes A = [aij ]m×k e B = [bij ]k×n o
produto da matriz A pela matriz B, definida por C = A · B, como uma
matriz de ordem m× n, isto e´, C = [cij ]m×n e´ tal que
cij =
k∑
p=1
aipbpj = ai1b1j + ai2b2j + . . .+ aikbkj .
Cuid
ado!
So´ faz sentido definirmos o produto AB de duas matrizes
quando o nu´mero de colunas de A for igual ao nu´mero de
linhas de B. Portanto,
Am×k.Bk×n = Cm×n
Exemplo 13.
A =
[
1 −2 3
0 2 4
]
, B =
 2 0 1−1 3 2
1 −4 1

Soluc¸a˜o:
A ·B =
[
1 −2 3
0 2 4
]
·
 2 0 1−1 3 2
1 −4 1
 = [ 7 −18 0
2 −10 8
]
Observe que:
(1) · (2) + (−2) · (−1) + (3) · (1) = 7
(1) · (0) + (−2) · (3) + 3 · (−4) = −18
Depois de realizar as operac¸o˜es da primeira linha da matriz A com as co-
lunas da matriz B, repetimos o processo para a segunda linha, e assim
sucessivamente ate´ percorrermos todas as linhas da primeira matriz.
Propriedades da Multiplicac¸a˜o: Dadas quaisquer matrizes A, B,C con-
venientes, sa˜o va´lidas as seguintes propriedades:
i. (A ·B) · C = A · (B · C) (Assiociatividade);
ii. (A±B)C = A ·C ±B ·C (Distributiva a` direita da multiplicac¸a˜o em
relac¸a˜o a` adic¸a˜o);
iii. A(B ± C) = A · B ± A · C (Distributiva a` esquerda da multiplicac¸a˜o
em relac¸a˜o a` adic¸a˜o;)
7
IMEF - FURG
1.4. OPERAC¸O˜ES COM MATRIZES
iv. Im ·A = A · In = A (Existeˆncia do elemento identidade).
v. (λ ·A) ·B = A · (λ ·B) = λ · (A ·B) (λ ∈ R).
Observac¸o˜es:
1. A multiplicac¸a˜o matricial na˜o e´, em geral, comutativa (A ·B 6= B ·A).
2. Se o produto de duas matrizes for a matriz zero, na˜o podemos concluir
que A = 0 ou B = 0.
3. Indicamos a poteˆncia de uma matriz A do seguinte modo: A2 = A ·A;
A3 = A2 ·A; A(n+1) = An ·A (onde A e´ uma matriz quadrada);
Exemplo 14. Se A =
[
1 1
0 1
]
, encontre uma fo´rmula para An.
Soluc¸a˜o:
A2 = A ·A =
[
1 1
0 1
] [
1 1
0 1
]
=
[
1 2
0 1
]
A3 = A2 ·A =
[
1 2
0 1
] [
1 1
0 1
]
=
[
1 3
0 1
]
Portanto,
An = A ·A · · ·A =
[
1 n
0 1
]
4. A matriz identidade e´ o elemento neutro multiplicativo nas operac¸o˜es
de multiplicac¸o˜es de matrizes.
5. A ordem em que aparecem as matrizes e´ importante:
• @A ·B e @B ·A;
• ∃A ·B e @B ·A;
• @A ·B e ∃B ·A;
• ∃A ·B e ∃B ·A.
Exemplo 15. • @A ·B e @B ·A: Se A2×2 e B3×3.
• ∃A ·B e @B ·A: Se A2×2 e B2×3.
8
IMEF - FURG
1.4. OPERAC¸O˜ES COM MATRIZES
1.4.1 Agora tente resolver!1. Escrever a matriz A = [aij ] nos seguintes casos:
(a) A matriz A e´ do tipo 2 × 3, com aij = 4, para i 6= j e aij = 2
para i = j.
(b) A matriz A e´ de ordem 3 com aij = i
3 − j.
2. Determinar os valores de x e y para que as seguintes matrizes sejam
iguais:
A =
[
4x 2
8 y − 4
]
, B =
[
8 2
8 3
]
3. Dadas as matrizes:
A =
[
6 5
−9 7
]
, B =
[
5 8
10 7
]
, C =
 10 −3 45 7 4
−9 1 4
 , D = [ 5 1 −2
3 6 7
]
Calcule se poss´ıvel:
(a) AB −BA
(b) 4A+D
(c) Determinar o dobro de C
(d) Multiplicar a matriz D por
1
2
.
4. Dada as matrizes: A =
 4 0 31/2 2 1
−4 8 −9
, B =
1 −3 22 5 −3
4 2 0
, C =1 50 2
4 3
. Calcule:
(a) (AB)t
(b) (4C)t
5. Sendo A =
4 10 10 5 −9
3 7 2
, B =
0 −5 27 1 7
3 2 1
, C =
 2 1 4−3 2 −2
9 1 −2

Classificar como sime´trica ou anti-sime´trica a matriz resultante:
(a) A+At
(b) AAt
(c) B −Bt
(d) C − Ct
9
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1.5. MATRIZES INVERSI´VEIS
1.5 Matrizes Invers´ıveis
Uma matriz A quadrada de ordem n e´ invers´ıvel se existe uma matriz B
tal que A · B = B · A = I, onde I e´ a matriz identidade. A matriz B e´ a
inversa de A e representamos por A−1 : A · A−1 = A−1 · A = I. Portanto,
B = A−1.
Exemplo 16. Dada a matriz A =
[
2 5
1 3
]
, sua inversa e´ A−1 =
[
3 −5
−1 2
]
pois:
A·A−1 =
[
2 5
1 3
] [
3 −5
−1 2
]
=
[
1 0
0 1
]
A−1A =
[
3 −5
−1 2
] [
2 5
1 3
]
=
[
1 0
0 1
]
Observac¸a˜o: Uma matriz quadrada A cujo determinante e´ nulo e´ cha-
mada de matriz singular. A matriz singular na˜o tem inversa. Se a matriz
quadrada A possui determinante diferente de zero e´ chamada de matriz na˜o-
singular. A matriz na˜o-singular possui inversa.
Propriedades: Se as A e B sa˜o matrizes quadradas de ordem n e in-
vers´ıveis:
i. Se a matriz A possui inversa, esta e´ u´nica (det A 6= 0);
ii. Se A e´ uma matriz na˜o-singular, enta˜o A−1 e´ invert´ıvel e (A−1)−1 = A;
iii. A e B sa˜o invert´ıveis, enta˜o A ·B e´ invert´ıvel e (A ·B)−1 = B−1 ·A−1;
iv. Se A e´ uma matriz invert´ıvel, enta˜o (At)−1 = (A−1)t.
Exemplo 17. Determine a inversa da matriz
[
5 3
4 2
]
Soluc¸a˜o: Primeiro calculamos o determinante da matriz A: detA = 10−
12 = −2, enta˜o
A−1 =
1
−2
[
2 −3
−4 5
]
A−1 =
[−1 32
2 −52
]
.
Verifique se A ·A−1 = A−1 ·A = I.
1.6 Determinantes
Os determinantes sa˜o usados em diversas situac¸o˜es da matema´tica. No
ca´lculo do produto vetorial, no ca´lculo de a´reas, volumes, equac¸o˜es da reta,
10
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1.6. DETERMINANTES
planos, etc. Portanto, e´ de extrema importaˆncia o seu estudo.
Se A e´ uma matriz quadrada de ordem n, o determinante da matriz
A, indicamos por det(A), e´ um nu´mero real que obtemos operando com os
elementos de A. Antes apresentar a definic¸a˜o formal para matrizes de ordem
n, vamos recordar como obter um determinante para cada um dos casos:
• Se a matriz possui apenas um elemento, n = 1: A = [a11], o determi-
nante e´ o pro´prio escalar: det(A) = a11.
• Se a matriz e´ ordem n = 2, temos:
detA = det
[
a11 a12
a21 a22
]
= a11a22 − a12a21.
• No caso em que n = 3: A =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
, o determinante pode
ser calculado usando o seguinte dispositivo:a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 a11 a12a21 a22
a31 a32
=
a11a22a33 + a12a23a31 + a13a22a31 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33
Exemplo 18. A =
 2 1 0−1 3 −2
2 5 1

A =
 2 1 0−1 3 −2
2 5 1
 2 1−1 3
2 5
⇒ detA = 23
Observac¸a˜o: Este dispositivo so´ e´ va´lido para ca´lculo de determinan-
tes de ordem 3.
• Para definir o determinante de matrizes quadradas maiores, do tipo
n × n, precisamos definir o que e´ cofator de uma matriz. Dada uma
matriz A = [aij ]n×n, eliminando-se a i-e´sima linha e a j-e´sima coluna de
A, obtemos uma submatriz de ordem (n−1)×(n−1). O determinante
desta nova matriz e´ denominado menor da matriz A, denotado por
4ij = (−1)i+jdet(A(n−1)×(n−1))
ou seja, o cofator e´ igual a mais ou menos o determinante do menor da
matriz A, o sinal de positivo ou negativo depende do expoente i+ j.
11
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1.6. DETERMINANTES
Como exemplo, considere o determinante de uma matriz de ordem 3
que e´ igual a soma dos produtos dos elementos da primeira linha pelos
seu cofatores, enta˜o
detA = a11 411 +a12 412 +a13413
detA = a11det(A11)− a12det(A12) + a13det(A13)
detA = a11
[
a22 a23
a32 a33
]
− a12
[
a21 a23
a31 a33
]
+ a13
[
a21 a22
a31 a32
]
que e´ uma combinac¸a˜o linear de treˆs determinantes de ordem dois,
cujos coeficientes com sinais alternados pertencem a primeira linha da
matriz dada.
Definic¸a˜o Seja A = [aij ]n×n uma matriz de ordem n por n. O deter-
minante de A e´ definido por,
det(An×n) = ai1411+ . . .+ain4in =
n∑
j=1
aij(−1)i+jdetAij =
n∑
j=1
aij∆ij .
(1.1)
Ao nu´mero 4ij (que e´ o determinante afetado pelo sinal (−1)i+j da
submatriz Aij), e´ o cofator ou complemento alge´brico do elemento
aij . Esta expressa˜o e´ chamada de desenvolvimento em cofatores do
determinante de A, em termos da primeira linha.
Observac¸a˜o: Dada uma matriz A de ordem n × n, seu determinante
pode ser calculado fazendo-se o desenvolvimento em cofatores em qualquer
linha ou qualquer coluna.
Este desenvolvimento e´ u´til para matrizes de ordem superior a 3. Vamos
repetir o mesmo racioc´ınio para calcular um determinante de quarta ordem,
da seguinte matriz: 
0 2 1 0
0 1 9 8
5 6 7 2
3 1 4 6

Aplicando o me´todo temos:
0·(−1)1+1·
1 9 86 7 2
1 4 6
+2·(−1)1+2·
0 9 85 7 2
3 4 6
+1·(−1)1+3·
0 1 85 6 2
3 1 6
+0·(−1)1+4·
0 1 95 6 7
3 1 4
 =
= 0 + 2 · (−1) · [−224] + 1 · (1) · [−128] + 0 =
12
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1.6. DETERMINANTES
= 448− 128 = 320.
Observac¸a˜o: Os sinais + ou − sa˜o determinados pela distribuic¸a˜o:+ - +- + -
+ - +

considerando determinantes de ordem treˆs.
Esse processo pode ser generalizado para matrizes de ordem superior a
treˆs.
Propriedades dos Determinantes
i. O determinante de uma matriz quadrada A na˜o se altera se trocam as
linhas pelas colunas, (det(At) = det(A)).
ii. Se a matriz A possui uma linha (ou coluna) constitu´ıda de elementos
todos nulos, o determinante e´ nulo.
iii. Se a matriz A tem duas linhas (ou duas colunas) iguais, o determinante
e´ nulo.
iv. Se a matriz A e´ triangular (superior ou inferior), enta˜o det(A) =
a11a22a33 . . . ann, isto e´, e´ igual ao produto dos elementos da diago-
nal principal.
v. Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determi-
nante fica multiplicado por esta constante.
vi. det(A ·B) = det(A) · det(B)
Observac¸a˜o: Uma matriz e´ invers´ıvel se, e somente se, det(A) 6= 0.
1.6.1 Agora tente resolver!
1. Resolver a equac¸a˜o desenvolvendo o determinante do primeiro membro
da esquerda pela terceira coluna e observando a alternaˆncia de sinais:4 6 x5 2 −x
7 4 2x
 = −128
2. Resolver a equac¸a˜o: x+ 3 x+ 1 x+ 44 5 3
9 10 7
 = −7
13
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1.7. LISTA DE EXERCI´CIOS 1
3. Calcule o determinante da matriz:
3 0 63 0 2
4 −7 8
, usando as duas for-
mas vistas em aula.
4. Calcule o determinante da matriz A:

3 6 4 0
3 2 0 1
0 2 −1 2
2 0 2 0

5. Supondo as matrizes A, B, C, D quadradas, de mesma ordem e in-
vers´ıveis, resolver as equac¸o˜es matriciais nas quais X e´ a varia´vel:
(a) ABX = C
(b) ADX = ABC
6. Dada a matrizM =
2 4 32 1 4
4 3 6
, determine os determinantes: det(M12),
det(M31).
7. Seja A =
[
3 1
4 2
]
. Responda:
(a) Escreva 5A. E´ verdade que det5A = 5detA?
(b) Multiplique apenas a primeira linha da matriz A por 5 e verifique
a propriedade v dos determinantes.
1.7 Lista de exerc´ıcios 1
1. Sendo asmatrizes A = [aij ] e B = [bij ], quadradas de ordem 3 com
aij = i
2 − j e bij = −i2 + 2j, qual e´ o valor de A−B?
2. Calcule x, y, z e t para que 2 ·
[
x
4 y
−z t
]
=
[
x 9
6 3
]
+
[
2 x+ y
z 2 + z
]
.
3. Considere as seguintes matrizes:
A =
[
3 6
4 4
]
, B =
[−7 3
3 −1
]
e C =
[
9 −8
8 5
]
Calcule: 3A + B; 3A − 2C, C2, B3 e verifiquem se A e B comutam
(isto e´, AB = BA?).
4. Calcule AB onde, A =
[−4 −1 −4
0 −3 6
]
, B =
3 3 7 22 9 −4 4
5 3 3 0
.
14
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1.7. LISTA DE EXERCI´CIOS 1
5. Determine a transposta de cada matriz:
A =
[
2 6 −3
12 −6 7
]
, B =
1 2 32 3 7
1 6 4
 e C =
 2 −710 2
4 5

6. Se uma matriz A e´ 2× 3 e o produto AB e´ uma matriz 2× 4 qual e´ o
tipo da matriz B?
7. Quantas linhas C precisa ter para que CB seja uma matriz 3× 2?
8. Sejam A =
[
3 −2
5 3
]
, f(x) = x2 + 2x+ 6. Calcule:
(a) A2
(b) A3
(c) f(A)
9. Dada a matriz A abaixo, de ordem 2 e sendo I a matriz identidade de
ordem 2, para cada n natural existem α, β tais que An = αA + βI.
Assim, sendo A =
[
2 1
0 6
]
:
(a) Encontre α, β tais que A2 = αA+ βI.
(b) Multiplicando A−1 pela expressa˜o da letra (a) obte´m-se A =
αI+βA−1. Encontre a matriz A−1 usando as informac¸o˜es obtidas
no item anterior.
10. Calcule x,y,z para que a matriz A seja sime´trica:
(a) A =
3 5 xy −8 4
6 z 2

(b) A =
−2 4 2xy z 3
x 8 1

11. A empresa ForFia produz treˆs modelos de ve´ıculos o X10, X100, X1000.
Em cada modelo podem ser instalados ate´ dois tipos de airbags, AB1
e AB2. A tabela a seguir mostra a quantidade de unidades de airbags
instalados em cada modelo,
X10 X100 X1000
AB1 2 2 0
AB2 4 4 2
No u´ltimo meˆs de julho foram produzidos 600 ve´ıculos do modelo X10,
750 do modelo X100 e 420 do modelo X1000. Quantos ve´ıculos com
os dois modelos de airbags foram montados no referido meˆs.
15
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1.7. LISTA DE EXERCI´CIOS 1
12. Uma malharia confecciona treˆs (3) tipos de camisetas, A, B e C onde
sa˜o usadas estampas do tipo P1 e G1. O nu´mero ma´ximo de estampas
por modelo e´
P1 G1
Camiseta A 2 3
Camiseta B 1 4
Camiseta C 2 2
O nu´mero de camisetas fabricadas de cada modelo no meˆs de maio
foram 60 do modelo A, 40 do modelo B e 50 do modelo C. Ja´ no meˆs
de junho foram 100 do modelo A, 40 do modelo B e 50 do modelo C.
Quantas camisetas de cada estampa foram confeccionadas nos referidos
meses?
13. Uma indu´stria que produz equipamentos eletroˆnicos de dois (2) mode-
los diferentes Y1 e Y2. Na montagem de cada equipamento sa˜o utili-
zados transistores, capacitores e resistores. Na tabela abaixo esta˜o as
quantidades de cada item para cada modelo
Y1 Y2
Transistores 5 4
Capacitores 8 6
Resistores 10 8
Foram solicitados para os meses de agosto 10 modelos do Y1 e 14
modelos do Y2. E, no meˆs de setembro foram solicitados 8 modelos do
tipo Y1 e 6 do tipo Y2. Determine o total de transistores, capacitores
e resistores que sera˜o utilizados para atender a`s encomendas em cada
meˆs.
14. Uma construtora tem contratos para construir 3 modelos de casas:
Convencional, Moderna e Pequena. A quantidade de material empre-
gado em cada tipo de casa consta na tabela abaixo:
concreto ferro vidro papel de parede tijolo
Convencional 10 14 12 6 17
Moderna 8 12 16 5 10
Pequena 7 4 10 3 12
(a) Se a empresa pretende construir 6, 5, 10 casas dos tipos Conven-
cional, Moderna e Pequena, respectivamente, qual a quantidade
de cada material sera˜o necessa´rios?
(b) Suponha que os prec¸os por unidade de concreto, ferro, vidro,
papel de parede e tijolo sejam, respectivamente 6, 9, 4, 1, 5.
Qual o prec¸o unita´rio de cada casa?
16
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1.7. LISTA DE EXERCI´CIOS 1
15. A tabela abaixo representa as quantidades de vitaminas A, E e K
respectivamente obtidas em cada unidade de alimentos X1 e X2:
A E K
Alimento X1 4 1 0
Alimento X2 1 4 2
Ingerindo 2 unidades do alimento X1 e 3 unidades do alimento X2
quanto iremos consumir de cada tipo de vitamina? Interprete sua
resposta.
16. Uma certa construtora fez um loteamento para construc¸a˜o de casas.
A empresa esta´ oferecendo casas de classe A e classe B. As casas de
classe A necessitam de 10 portas, 12 janelas, 4 louc¸as para banheiro.
As casas de classe B necessitam de 7 portas, 5 janelas e 2 louc¸as para
banheiro. Em uma primeira etapa a construtora devera´ construir 50
casas de classe A e 70 classe B, Numa segunda etapa 30 casas classe
A e 40 classe B. Quanto de cada material sera´ necessa´rio em cada
etapa?
17
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1.8. SISTEMAS LINEARES
1.8 Sistemas Lineares
Um problema fundamental que normalmente e´ encontrado na descric¸a˜o
matema´tica de fenoˆmenos f´ısicos e´ o da soluc¸a˜o simultaˆnea de um conjunto
de equac¸o˜es. Tais fenoˆmenos sa˜o descritos por um conjunto de m equac¸o˜es
em que se deseja determinar a soluc¸a˜o de n varia´veis de interesse, chamadas
inco´gnitas.
A matema´tica antiga, desenvolvida no ocidente (principalmente na Eu-
ropa) poucas sa˜o as aparic¸o˜es de sistemas de equac¸o˜es lineares. Ja´ no Oriente
o assunto mereceu atenc¸a˜o maior.
Com seu gosto especial por diagramas, os chineses representavam os sis-
temas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu
sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim acabaram descobrindo o me´todo
de resoluc¸a˜o por eliminac¸a˜o que consiste em anular coeficientes por meio de
operac¸o˜es elementares. Exemplos desse procedimento encontram-se nos nove
cap´ıtulos sobre a arte da matema´tica, um texto datado do se´culo 111 a.C.
Mas apenas no Japa˜o do se´culo XVII, chegou-se a noc¸a˜o de determinan-
tes atrave´s do estudo de sistemas lineares. No ocidente o uso de determinan-
tes, ligados a sistemas lineares, surgiu anos depois, num trabalho de Leibniz
(o mesmo que desenvolveu, paralelamente a` Newton, o ca´lculo diferencial).
A conhecida regra de Cramer para resolver sistemas de n equac¸o˜es e
n inco´gnitas, por meio de determinantes, e´ na verdade uma descoberta do
escoceˆs Colin Maclaurin (1698-1746), publicada em 1748. Mas o nome do
su´ıc¸o Gabriel Cramer (1704-1752) na˜o aparece nessa publicac¸a˜o. Cramer
tambe´m chegou a` regra (independentemente), mas depois, na sua Introduc¸a˜o
a` Ana´lise das curvas planas.
Antes de definirmos um sistema linear, vamos relembrar o que sa˜o equac¸o˜es
lineares.
Equac¸a˜o Linear: Uma equac¸a˜o linear e´ uma equac¸a˜o de primeiro grau,
onde x1, x2, x3, . . . xn sa˜o as varia´veis e que pode ser escrita como
a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b
e a1, a2,. . ., an e b sa˜o nu´meros reais, e xi sa˜o as varia´veis (inco´gnitas).
Exemplo 19. 4x1 − 5x2 + 2 = x1 e´ uma equac¸a˜o linear.
4x1 − 5x2 = x1x2 na˜o e´ uma equac¸a˜o linear.
18
IMEF - FURG
1.8. SISTEMAS LINEARES
A soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o linear e´ uma sequeˆncia de nu´meros reais que
satisfazem a equac¸a˜o, por exemplo, a equac¸a˜o:
4x1 − 5x2 + 2 = x1 ⇒ 3x1 − 5x2 = −2.
Para x1 = 1 e x2 = 1 a equac¸a˜o possui soluc¸a˜o.
Sistema de Equac¸o˜es Lineares: Um sistema de equac¸o˜es e´ uma lista
de equac¸o˜es com as mesmas inco´gnitas. Assim,
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2
...................................................
am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm
(1.2)
E´ um sistema de m equac¸o˜es lineares L1, L2,. . ., Lm nas n inco´gnitas
x1, x2, . . ., xn, onde aij e bi sa˜o constantes. O sistema (1.2) e´ chamado
de sistema homogeˆneo se todos seus termos constantes sa˜o nulos, isto e´,
se b1 = 0, b2 = 0, . . ., bm = 0. Caso contra´rio, o sistema e´ na˜o-homogeˆneo.
Soluc¸a˜o de um Sistema Linear: Uma soluc¸a˜o do sistema (1.2) e´ uma lista
de valores para as inco´gnitas que e´ a soluc¸a˜o do sistema. O conjunto de todas
as soluc¸o˜es do sistema e´ chamadode conjunto soluc¸a˜o ou soluc¸a˜o geral do
sistema.
Exemplo 20. Encontre uma soluc¸a˜o para o sistema:
{
2x+ 3y = 18
3x+ 4y = 25
Comec¸amos isolando a varia´vel x da primeira equac¸a˜o:
2x+ 3y = 18→ 2x = 18− 3y → x = 18− 3y
2
Agora substitu´ımos x na segunda equac¸a˜o e achamos o valor de y:
3x+ 4y = 25→ 3(18− 3y
2
) + 4y = 25→ 54
2
− 9y
2
+ 4y = 25→ 27− y
2
=
25→ y
2
= 2→ y = 4
Agora substitu´ımos o valor de y encontrado para achar o valor de x:
x =
18− 3y
2
→ x = 18− 3(4)
2
→ x = 18− 12
2
→ x = 6
2
= 3
Logo a soluc¸a˜o do sistema e´ y = 4 e x = 3.
19
IMEF - FURG
1.8. SISTEMAS LINEARES
Um sistema de equac¸o˜es lineares e´ chamado compat´ıvel se admite
soluc¸a˜o, isto e´, se existe uma sequeˆncia de nu´meros s1, . . . , sn, com a proprie-
dade de que cada equac¸a˜o do sistema seja satisfeita quando x1 = s1, . . . ,xn =
sn sejam substitu´ıdas. Caso contra´rio o sistema e´ incompat´ıvel.
Enta˜o, de acordo com o nu´mero de soluc¸o˜es, um sistema linear e´ classi-
ficado como:
• Sistema imposs´ıvel : Quando o sistema na˜o admite soluc¸a˜o (SI).
• Sistema Poss´ıvel Determinado: Quando o sistema admite uma u´nica
soluc¸a˜o (SPD).
• Sistema Poss´ıvel Indeterminado: Quando o sistema admite infinitas
soluc¸o˜es (SPI).
Vamos analisar os gra´ficos das soluc¸o˜es pelos seguintes exemplos:
Exemplo 21.
{
x− y = −2∗
−x+ y = 4∗
Por substituic¸a˜o:
Isolamos x na primeira equac¸a˜o:
x = −2 + y
Apo´s, substituindo na segunda equac¸a˜o:
−(−2 + y) + y = 4
2− y + y = 4
2 = 4
Observe que ha´ uma inconsisteˆncia, na˜o existem pontos que satisfac¸am am-
bas equac¸o˜es.
Sistema Imposs´ıvel: Na˜o possui soluc¸a˜o.
20
IMEF - FURG
1.8. SISTEMAS LINEARES
Exemplo 22.
{
2x− 3y = −1∗
−x+ 3y = 1∗
x = −1 + 3y
substituindo:
2(−1 + 3y)− 3y = −1
−2 + 6y − 3y = −1
3y = 1
y =
1
3
Para x:
x = −1 + 3(1
3
)
x = 0
Portanto, o par (0,
1
3
), satisfaz as equac¸o˜es do sistema linear. Dizemos
enta˜o, que o sistema linear e´ poss´ıvel determinado, possui apenas uma u´nica
soluc¸a˜o.
Sistema Poss´ıvel Determinado: O sistema possui exatamente uma soluc¸a˜o.
Exemplo 23.
{
2x− 4y = −2
−2x+ 4y = 2
2x = −2 + 4y
x = −1 + 2y
substituindo:
−2(−1 + 2y) + 4y = 2
2− 4y + 4y = 2
2 = 2
O sistema e´ chamado de sistema poss´ıvel indeterminado, pois possui infinitos
pontos que satisfazem ambas equac¸o˜es.
21
IMEF - FURG
1.8. SISTEMAS LINEARES
Sistema Poss´ıvel Indeterminado: O Sistema possui infinitas soluc¸o˜es.
Observac¸a˜o: Suponha treˆs planos pi1, pi2 e pi3, definidos por treˆs equac¸o˜es
lineares. Neste caso, podemos obter oito posic¸o˜es relativas entre os planos:
quatro com soluc¸o˜es incompat´ıveis e quatro com soluc¸o˜es poss´ıveis.
• Podemos ter uma intersec¸a˜o vazia (SI);
• A intersec¸a˜o pode ser uma reta (SPI);
• A intersec¸a˜o pode ser um ponto (SPD).
Exemplo 24. Os gra´ficos a seguir ilustram algumas situac¸o˜es.
x
y
Sistema Poss´ıvel e Determinado
22
IMEF - FURG
1.8. SISTEMAS LINEARES
x
y
Sistema Indeterminado
x
y
Sistema Poss´ıvel Indeterminado
Notac¸a˜o Matricial
Podemos escrever o sistema (1.2) da seguinte forma matricial: Ax = b
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn
 E´ a matriz dos coeficientes, de ordem m× n.
x =

x1
x2
...
xn

23
IMEF - FURG
1.8. SISTEMAS LINEARES
E´ a matriz das varia´veis (inco´gnitas), de ordem n× 1.
b =

b1
b2
...
bn

E´ a matriz dos termos independentes.
Matriz Ampliada: A matriz ampliada do sistema (1.2), e´ dada por:
A =

a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
. . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn bm
 (1.3)
Exemplo 25. Escreva o seguinte sistema na forma matricial:
S =

2x2 − 4x3 = 4
2x1 − 4x2 + x3 = 2
4x1 − 3x2 + 5x3 = 2
A matriz ampliada do sistema S do exemplo anterior fica:
A =
 0 2 −4 42 −4 1 2
4 −3 5 2

Portanto, quando nos referimos a linha (0,2,−4,4), estamos nos referindo
a primeira equac¸a˜o do sistema S.
1.8.1 Agora tente resolver!
1. Encontre um sistema de equac¸o˜es lineares correspondente a` matriz:
(a) 
1 0 1 0 6
0 1 0 0 −10
0 0 1 0 9
0 1 0 1 2

(b)  1 2 1 02 1 0 0
1 4 1 0

24
IMEF - FURG
1.8. SISTEMAS LINEARES
Operac¸o˜es Elementares: Seja S um sistema de equac¸o˜es lineares com m
equac¸o˜es e n inco´gnitas, cuja matriz ampliada e´ dada pela matriz (1.3). As
seguintes operac¸o˜es sa˜o chamadas de operac¸o˜es elementares sobre as linhas
(equac¸o˜es) de uma matriz (sistema):
• Trocar de posic¸a˜o duas das equac¸o˜es. Indicamos que as equac¸o˜es Li e
Lj trocaram suas posic¸o˜es (simbolicamente Li ↔ Lj).
• Substituir uma equac¸a˜o por um mu´ltiplo escalar de si mesma. In-
dicamos que a equac¸a˜o Li foi substitu´ıda por kLi (Simbolicamente
Li ↔ kLi).
• Substituir uma equac¸a˜o por um mu´ltiplo de outra equac¸a˜o somada a
si mesma. Indicamos que a equac¸a˜o Lj foi substitu´ıda pela soma de
kLi e Lj (Simbolicamente Lj ↔ Lj + kLi).
Observac¸a˜o: Se um dado sistema linear S1 foi obtido de um sistema
linear S atrave´s de operac¸o˜es elementares, dizemos que S1 e´ equivalente a`
S.
Matriz Escalonada: Uma matriz A esta´ na forma escalonada (ou escada),
se o nu´mero de zeros que precede o primeiro elemento na˜o nulo de uma linha
aumenta a cada linha, ate´ que sobre apenas linhas nulas, se houverem. Se
existirem linhas nulas elas devem aparecer na parte inferior da matriz. Uma
matriz ampliada quando aplicada a` ela as operac¸o˜es elementares, torna-se
uma matriz escalonada reduzida por linhas. Estas operac¸o˜es simplificam
muito as etapas necessa´rias para determinar a soluc¸a˜o do sistema associado.
Exemplo 26. Exemplos de matrizes na forma escada.2 4 50 3 6
0 0 2
,
4 5 80 0 1
0 0 0
,
9 5 6 30 0 3 6
0 0 0 1

Exemplo 27. Exemplo de matriz que na˜o esta´ na forma escada.0 4 31 0 −6
0 0 0

Observac¸a˜o: Todo sistema linear (matriz) e´ equivalente a um sistema
(matriz) escalonado.
Eliminac¸a˜o de Gauss: E´ um me´todo u´til na resoluc¸a˜o de sistemas linea-
res que consiste basicamente em:
25
IMEF - FURG
1.8. SISTEMAS LINEARES
• Parte 1: Eliminac¸a˜o direta: Uma reduc¸a˜o passo a passo do sistema
leva ou a uma equac¸a˜o degenerada sem soluc¸a˜o (SI) ou a um sistema
equivalente mais simples na forma triangular superior.
• Parte 2: Eliminac¸a˜o retroativa: Substituic¸o˜es retroativas determinam
a soluc¸a˜o de um novo sistema.
Vamos resolver o seguinte exemplo:
Exemplo 28. S =

x+ 2y − 4z = −4
2x+ 5y − 9z = −10
3x− 2y + 3z = 11
Soluc¸a˜o:
Escrever o sistema em forma de matriz ampliada:
1 2 −4 −42 5 −9 −10
3 −2 3 11

Vamos usar o elemento a11 como elemento pivoˆ para eliminar os elementos
a21, a31. As seguintes operac¸o˜es elementares sa˜o:
• L2 ↔ L2 − 2L1, obtemos:
1 2 −4 −40 1 −1 −2
3 −2 3 11

• aplicando na matriz anterior L3 ↔ L3−3L1, obtemos:
1 2 −4 −40 1 −1 −2
0 −8 15 23

• L3 ↔ L3 + 8L2, obtemos:
1 2 −4 −40 1 −1 −2
0 0 7 7

Ao final desta u´ltima operac¸a˜o transformamos o sistema S em um sistema
equivalente mais simples, que esta na forma triangular e, portanto, a pri-
meira parte esta completa. Vamos reescrever o sistema original pelo sistema:
S =

x+ 2y − 4z = −4
y − z = −2
7z = 7
Que e´ um sistema equivalente ao sistema S. Por substituic¸a˜o retroativa,
temos: z = 1, y = −1, x = 2. Este sistema e´ classificado como: Sistema
Poss´ıvel Determinado.
Me´todo de Gauss-Jordan: Exige que a matriz dos coeficientes das varia´veis
transforme-se na matriz identidade. Usando o exemplo anterior, efetuando
mais 4 operac¸o˜es:
26
IMEF - FURG
1.8. SISTEMAS LINEARES
• L3 ↔ 17L3,obtemos:
1 2 −4 −40 1 −1 −2
0 0 1 1

• L1 ↔ L1 − 2L2, obtemos:
1 0 −2 00 1 −1 −2
0 0 1 1

• L1 ↔ L1 + 2L3, obtemos:
1 0 0 20 1 −1 −2
0 0 1 1

• L2 ↔ L3 + L2, obtemos:
1 0 0 20 1 0 −1
0 0 1 1

Portanto, pelo me´todo de Gauss-Jordan temos: 1 0 0 20 1 0 −1
0 0 1 1

O sistema inicial se transformou no sistema equivalente:
1x+ 0y + 0z = 2
0x+ 1y + 0z = −1 =⇒ {x = 2,y = −1,z = 1}
0x+ 0y + 1z = 1
Para fixar e entender bem como funciona o algoritmo do escalonamento (eli-
minac¸a˜o de Gauss), vamos resolver passo a passo o seguinte sistema:
x+ 2y = 4
−x+ 3y + 3z = −2
y + z = 0
Soluc¸o˜es de um Sistema de Equac¸o˜es Lineares: Vamos estudar
todas as situac¸o˜es que podem ocorrer na resoluc¸a˜o de um sistema linear.
1. Sistema Imposs´ıvel (SI): Suponha que a u´ltima equac¸a˜o do sistema
escalonado seja 0x1+0x2+ · · ·+0xn = bm, com m 6= 0, e´ uma equac¸a˜o
degenerada.
27
IMEF - FURG
1.8. SISTEMAS LINEARES
Exemplo 29.
{
x+ 12y = 0
0x+ 0y = −1
→ Equac¸a˜o linear imposs´ıvel ou incompat´ıvel: E´ aquela em que todos
os coeficientes valem zero e o termo independente e´ diferente de zero.
Na˜o existe nenhum valor de x e y capaz de satisfazer a segunda
equac¸a˜o. Portanto, (SI).
2. Sistema poss´ıvel determinado quando o nu´mero de equac¸o˜es e´
igual ao nu´mero de inco´gnitas m = n, o sistema e´ poss´ıvel determi-
nado (SPD).
Exemplo 30.
{
2x+ y = 5
x− 3y = 6
→
[
2 1 5
1 −3 6
]
→ obtemos
[
1 0 3
0 1 −1
]
∴
{
x = 3
y = −1
Este sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o, (SPD).
O conjunto soluc¸a˜o (x,y) = (3,− 1).
3. Sistema poss´ıvel indeterminado quando o nu´mero de equac¸o˜es e´
menor que o nu´mero de varia´veis m < n o sistema e´ poss´ıvel indeter-
minado (SPI).
Exemplo 31.
{
2x+ y = 5
6x+ 3y = 15
→
[
2 1 5
1 3 15
]
→ obtemos
[
1 12
5
2
0 0 0
]
∴
{
x+ 12y =
5
2
0x+ 0y = 0
Equac¸a˜o nula: E´ aquela em que todos os coeficientes e o termo inde-
pendente valem zero. Todo par ordenado e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o. Possui
infinitas soluc¸o˜es da forma: (52 − 12y, y), y ∈ R. O conjunto soluc¸a˜o:
S = {(5/2− 1/2y,y) ∈ R2/y ∈ R}.
Observac¸a˜o: Suponha que um sistema S (com m equac¸o˜es e n varia´veis
originalmente) tenha sido escalonado e, retiradas as equac¸o˜es (linhas) do tipo
0 = 0, restam p equac¸o˜es (p ≤ m) com n varia´veis. O valor n–p e´ chamado
de grau de liberdade (ou nu´mero de varia´veis livres) do sistema, isto significa
dizer que a soluc¸a˜o do sistema e´ apresentada com n–p varia´veis. No u´ltimo
exemplo o nu´mero de varia´veis livres e´ um. A varia´vel livre e´ y.
28
IMEF - FURG
1.8. SISTEMAS LINEARES
Resumo:
Na˜o tem soluc¸a˜o =⇒ Sistema imposs´ıvel (SI)
Tem soluc¸a˜o poss´ıvel =⇒ Soluc¸a˜o u´nica =⇒ Sistema poss´ıvel determinado (SPD)
⇓
Infinitas soluc¸o˜es =⇒ Sistema poss´ıvel Indeterminado (SPI)
Princ´ıpios
1. Se um sistema escalonado tem uma equac¸a˜o nula, ela pode ser retirada
do sistema, sem alterar sua soluc¸a˜o.
2. Se um sistema escalonado tem uma equac¸a˜o imposs´ıvel, o sistema e´
imposs´ıvel, caso contra´rio, o sistema e´ poss´ıvel.
3. Eliminadas as equac¸o˜es nulas de um sistema escalonado poss´ıvel ele
e´ determinado, se o nu´mero de equac¸o˜es restantes e´ igual ao nu´mero
de inco´gnitas, e, indeterminado, se o nu´mero de equac¸o˜es restantes e´
menor que o nu´mero de inco´gnitas.
1.8.2 Agora tente resolver!
1. Encontre o u´nico polinoˆmio de grau 2 que passa pelos pontos (2,4), (−4,4)
e (1,− 1).
2. Determine os coeficientes a, b, c da equac¸a˜o da circunfereˆncia x2+y2+
ax+by+c = 0, que passa pelos pontos P1(3,1), P2(6,−2) e P3(3,−5).
3. Determine os coeficientes a, b, c da equac¸a˜o da circunfereˆncia x2+y2+
ax + by + c = 0, que passa pelos pontos P1(−1, − 1), P2(3, − 5) e
P3(7,− 1).
4. Discuta o seguinte sistema:
x+ 4y + 3z = 10
2x+ 7y − 2z = 10
x+ 5y + αz = β
5. Uma empresa de transportes tem treˆs tipos de caminho˜es VW , MC e
SC, que carrega cargas em carrocerias de treˆs tipos I, II e III.
As capacidades dos caminho˜es sa˜o:
Tipos de caminho˜es I II III
VW 4 3 2
MC 5 2 3
SC 2 2 3
29
IMEF - FURG
1.8. SISTEMAS LINEARES
Quais sa˜o os nu´meros de caminho˜es x1, x2 e x3 de cada categoria VW ,
MC e SC, se a companhia deve transportar 42 carrocerias do tipo I,
27 do tipo II e 33 do tipo III?
6. Em um teste da ca´lculo, os alunos ganharam 4 pontos por cada questa˜o
correta e perderam 2 por cada questa˜o errada. Ao fim de 60 questo˜es
um aluno conseguiu somar 180 pontos. Quantas questo˜es corretas o
aluno acertou?
Matrizes Invers´ıveis usando operac¸o˜es elementares
O mesmo procedimento usado para o escalonamento de matrizes com
operac¸o˜es elementares que transforma uma matriz na forma escada pode
transformar uma matriz A na sua inversa A−1. Uma matriz A de ordem n
e´ invers´ıvel se, e somente se, A e´ equivalente a matriz identidade (A In).
Neste caso, as mesmas sucesso˜es de operac¸o˜es elementares que transformam
A em In, transformam In em A−1.
Exemplo 32. Encontre a matriz inversa de A =
[
2 5
1 3
]
.
Soluc¸a˜o:
(
2 5 1 0
1 3 0 1
)
→
(
1 52
1
2 0
1 3 0 1
)
→
(
1 52
1
2 0
0 .− 12 12 −1
)
→(
1 52
1
2 0
0 1 −1 2
)
→
(
1 0 3 −5
0 1 −1 2
)
Portanto, A−1 =
[
3 −5
−1 2
]
Se a matriz A e´ invert´ıvel, enta˜o sua inversa e´ u´nica.
Teorema 1. Se A e´ uma matriz invers´ıvel, n×n, enta˜o para cada b no Rn,
a equac¸a˜o Ax = b tem uma u´nica soluc¸a˜o, x = A−1b.
1.8.3 Agora tente resolver!
1. Determine a inversa de cada matriz:
(a)
A =
 2 2 14 1 2
3 1 1

(b)
A =
 −1 0 10 −2 3
3 0 1

30
IMEF - FURG
1.8. SISTEMAS LINEARES
Sistema de m equac¸o˜es e n varia´veis
E´ semelhante ao me´todo de Gauss, com a diferenc¸a de que a matriz dos
coeficientes na˜o pode ser transformada na matriz identidade porque e´ uma
matriz na forma retangular.
2x1 + 4x2 = 16
5x1 − 2x2 = 4
10x1 − 4x2 = 3
A matriz ampliada que representa o sistema e´ dada por: 2 4 165 −2 4
10 −4 3

Aplicando as operac¸o˜es elementares,
• L1 ↔ 1
2
L1;
• L2 ↔ L2 − 5L1;
• L3 ↔ L3 − 10L1;
• L3 ↔ L3 − 2L2.
A matriz final na forma escalonada reduzida por linhas: 1 2 80 −12 −36
0 0 −5

Observe que esse sistema e´ um Sistema Imposs´ıvel.
1.8.4 Agora tente resolver!
1. Resolva os seguintes sistemas:
(a)

2x+ 4y = 16
5x− 2y = 4
3x+ y = 9
4x− 5y = −7
(b)
{
2x− 8y + 24z + 18w = 84
4x− 14y + 52z + 42w = 190
Sistema de Equac¸o˜es Lineares Homogeˆneo
Sistema do tipo Ax = 0.
Este tipo de sistema sempre tem o vetor nulo como soluc¸a˜o, chamado de
31
IMEF - FURG
1.8. SISTEMAS LINEARES
soluc¸a˜o trivial ou nula. Sendo r o nu´mero de equac¸o˜es na forma reduzida
e n representa a quantidade de inco´gnitas, o sistema reduzido tem n − r
varia´veis livres. A questa˜o das soluc¸o˜es na˜o nulas se reduz a dois casos:
i. r = n O sistema possui apenas a soluc¸a˜o nula.
ii. r < n O sistema possui uma soluc¸a˜o na˜o nula;
Exemplo 33.
Caso i, em que r = n 
x+ y − z = 0
2x+ 4y − z = 0
3x+ 2y + 2z = 0
Soluc¸a˜o:  1 1 −1 02 4 −1 0
3 2 2 0

Aplicando as seguintes operac¸o˜es,
• L2 ↔ L2 − 2L1;
• L3 ↔ L3 − 3L1;
• L3 ↔ L3 + 1
2
L2.
Matriz final:  1 1 −1 00 2 1 0
0 0
11
2
0
 .
Portanto, x = y = z = 0.
Exemplo 34.
Caso ii, em que r < n 
x+ y − z = 0
2x− 3y + z = 0
x− 4y + 2z = 0
Soluc¸a˜o:  1 1 −1 02 −3 1 0
1 −4 2 0

Aplicando as seguintes operac¸o˜es,
• L2 ↔ L2 − 2L1;
32
IMEF - FURG
1.9. LISTA DE EXERCI´CIOS 2
• L3 ↔ L3 − L1;
• L3 ↔ L3 − L2.
Matriz final:  1 1 −1 00 −5 3 0
0 0 0 0
 .
Portanto, x =
2
5
z, y =
3
5
z.
1.9 Lista de exerc´ıcios 2
1. A matriz completa associada a um sistema linear foi transformadapara a forma a seguir. Determine se o sistema e´ poss´ıvel. 2 4 3 −40 4 5 2
0 0 −2 0

2. Considere a seguinte matriz como sendo a matriz completa de um sis-
tema linear. Enuncie em palavras, a pro´xima operac¸a˜o elementar que
deve ser realizada no processo de resoluc¸a˜o do sistema.
1 3 0 3 −6
0 −1 6 −5 2
0 0 3 8 −1
0 0 1 2 −1

3. Classificar e resolver os sistemas:
(a)

2y + 10z = −4
2x+ 8y + 6z = −2
4x+ 14y + 2z = −1
(b)

x+ 3y + 4z = 8
2x− y + 12z = 4
3x− 12y + 12z = 5
(c)

2x− 3y + 4z = 8
2x+ 8y + 13z = 23
1
2x+ y + 2z = 10
(d)

2x+ 4y + 6z = 12
x− z = 0
5
2x+ 2y +
11
2 z = 12
33
IMEF - FURG
1.9. LISTA DE EXERCI´CIOS 2
(e)

2x− 12y = 5
2y − 8z + 2w = 0
−2x+ 12y + 2z + 10w = 3
−2y + 10z + 8w = 0
(f)

−x+ 2z = 5
y + 3z = 2
2x+ 4y + 7z = −5
4. Seja A =
0 1 10 1 2
1 1 2
. Calcule A−1.
5. Determine os coeficientes a, b, c da equac¸a˜o da circunfereˆncia x2+y2+
ax+ by + c = 0, resolvendo o seguinte sistema:

2a− b+ c = −5
−3a+ c = −9
a+ 4b+ c = −17
6. Determine a inversa da matriz A =
0 1 21 0 3
2 −3 4
, caso ela exista.
7. Aplicac¸a˜o: Criptografia: Vamos transformar uma mensagem da se-
guinte forma: Quebrando a mensagem em 3 pedac¸os. O destinata´rio
e o remetente possuem uma matriz C. O destinata´rio recebe uma
matriz D, tal que MC = D, onde M e´ a mensagem a ser decodifi-
cada. Cada nu´mero da matriz M corresponde a uma letra do alfabeto
1 = a,2 = b,3 = c, . . . ,23 = z, considerando o alfabeto com 23 letras,
excluindo k,w,y. O nu´mero zero representa exclamac¸a˜o. A mensagem
e´ lida encontrando M fazendo a correspondeˆncia nu´mero/letra da ma-
triz conforme segue m11m12m13m21m22m23m31m32m33. Considere:
C =
 1 1 00 −1 0
0 2 1
 , D =
 2 −10 118 38 17
19 14 0

8. Encontre a matriz inversa das seguintes matrizes:
(a) A =
 2 −6 44 16 −6
−1 2 1

(b) A =
 2 12 21 −4 −1
−1 −2 −2

9. Resolva os seguintes sistemas lineares homogeˆneos:
34
IMEF - FURG
1.9. LISTA DE EXERCI´CIOS 2
(a)

x+ 2y − z = 0
x+ y − z = 0
2x− 2y − z = 0
(b)

x+ 2y + 3z = 0
x+ y + z = 0
x+ y + 2z = 0
x+ 3y + 3z = 0
(c)

x− 2y + 4z = 0
2x+ 5y − 3z = 0
3x− y + 2z = 0
(d)

2x+ 2y = 0
3x+ 5y = 0
4x+ 3y + 3z = 0
10. Encontre a equac¸a˜o da reta intersec¸a˜o dos planos x + 2y − z = 3 e
2x+ 3y + z = 1. Usando operac¸o˜es elementares.
11. Considere a reac¸a˜o qu´ımica na˜o balanceada Ca+H3PO4 → Ca3P2O8+
H2, essa equac¸a˜o pode ser balanceada fazendo: xCa + yH3PO4 →
zCa3P2O8 + wH2. Resolva o sistema e determine o menor nu´mero
inteiro de a´tomos de Ca´lcio, Hidrogeˆnio, Fo´sforo e Oxigeˆnio, com o
qual ocorre o balanceamento.
12. Considere a reac¸a˜o qu´ımica na˜o balanceada C3H8+O2 → CO2+H2O,
essa equac¸a˜o pode ser balanceada fazendo: xC3H8 + yO2 → zCO2 +
wH2O. Resolva o sistema correspondente.
13. (Exerc´ıcio de aplicac¸a˜o sugerido pelos alunos da turma de Engenha-
ria Qu´ımica e Alimentos - FURG 2012) A partir da reac¸a˜o de com-
busta˜o do etanol a` (d = 0,80g/ml), obtemos o vetor −→v1 (sendo −→v1
o nu´mero de mols de cada substaˆncia da reac¸a˜o, respectivamente).
Com a combusta˜o total para a formac¸a˜o de 1 litro de etanol, obte-
mos o valor de x relativo ao vetor −→v2 = (x,y,z). Sabendo-se que o
vetor −→v2 e´ uma combinac¸a˜o linear de −→v1 , ou seja, −→v2 = α−→v1 , quan-
tos mols de dio´xido de carbono sa˜o liberados na formac¸a˜o de 1 li-
tro de etanol? Dados: H = 1g/mol, C = 12g/mol,O = 16g/mol,
xC2H6O + yO2 → zCO2 + wH2O
14. Dona Lize e´ secreta´ria de uma empresa e recebeu uma lista de compras
de material de escrito´rio, entre os itens da lista esta˜o canetas. Ela fez
duas compras de canetas, uma do tipo C1 e outra do tipo C2. Na
primeira compra ela gastou 36 reais, comprando 4 canetas de cada
tipo. Na segunda compra ela comprou 2 do tipo C1 e 1 do tipo C2 e
gastou 16 reais. Qual o prec¸o unita´rio de cada caneta?
35
IMEF - FURG
1.9. LISTA DE EXERCI´CIOS 2
15. Uma pessoa esta´ organizando uma festa e encomenda 140 caixas de
suco, 98 empadinhas e 160 brigadeiros. Servira´ a cada homem 2 caixas
de suco, 2 empadinhas e 2 brigadeiros. A cada mulher 5 caixas de suco,
2 empadinhas e 3 brigadeiros e para as crianc¸as 2 caixas de suco, 2
empadinhas e 4 brigadeiros. Qual o nu´mero de pessoas convidadas
sabendo que na˜o sobrou nem faltou nada?
140 caixas de suco 98 empadinhas 160 brigadeiros
H 2 2 2
M 5 2 3
C 2 2 4
16. Suponha que voceˆ fara´ um lanche, constando de leite desnatado, pudim
e calzone de frango e que disponha de R$ 1,80. Segundo os nutrici-
onistas um lanche deve conter 1350 calorias e 66g de prote´ınas para
cada 100g dos alimentos citados:
100 gramas Calorias (cal) Prote´ınas (g) Prec¸o (R$)
Leite desnatado 25 2 0,10
Pudim 300 12 0,30
Calzone de frango 100 14 0,40
Quais quantidades de cada alimento satisfazem exatamente as condic¸o˜es
acima?
36
IMEF - FURG
Cap´ıtulo 2
Espac¸os Vetoriais
2.1 Introduc¸a˜o
Vamos estender o conceito de vetor, usando as propriedades alge´bricas
mais importantes dos vetores em Rn como axiomas.
Primeiramente, vamos recordar alguns to´picos de Geometria Anal´ıtica:
Os vetores formam um conjunto que satisfaz as mesmas propriedades de
adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o sobre um corpo K como veremos a seguir.
Considere as seguintes operac¸o˜es com vetores:
• Adic¸a˜o: geometricamente o vetor resultante da adic¸a˜o entre dois veto-
res pode ser obtido pela lei do paralelogramo. Essa operac¸a˜o e´ dotada
de algumas propriedades como a comutativa, associativa, a existeˆncia
do elemento neutro e do elemento oposto para cada vetor.
• Multiplicac¸a˜o por escalar: o produto α−→u e´ obtido multiplicando o
comprimento do vetor pelo nu´mero real α, mantendo o mesmo sentido
se α > 0 ou de sentindo oposto se α < 0. Esta operac¸a˜o tambe´m
satisfaz algumas propriedades como a associativa e distributiva.
A definic¸a˜o de um espac¸o vetorial envolve um corpo arbitra´rio cujos ele-
mentos no contexto da A´lgebra Linear sa˜o chamados de escalares.
Quanto a visualizac¸a˜o dos espac¸os:
• O conjunto dos nu´meros reais pode ser visto geometricamente como
uma reta, a reta real, R.
37
2.1. INTRODUC¸A˜O
• O conjunto de todos os pares ordenados de nu´meros reais, corres-
pondentes a pontos no espac¸o bidimensional e o de todos os ternos
ordenados de nu´meros reais, correspondentes a pontos no espac¸o tri-
dimensional sa˜o denotados por R2 e R3 respectivamente.
• E´ poss´ıvel estender a ideia para o espac¸o de dimensa˜o n (espac¸o n-
dimensional) Rn, constitu´ıdo por n-uplas ordenadas, que e´ o produto
cartesiano de n co´pias da reta real R. A diferenc¸a entre esse casos e´
que para n ≥ 4 na˜o se dispo˜e de uma representac¸a˜o geome´trica. Neste
caso, perdemos a visa˜o geome´trica de vetores, pois sa´ımos do espac¸o
tridimensional e passamos para um espac¸o n-dimensional. Na˜o exis-
tindo representac¸a˜o geome´trica para os pontos de Rn, tratamos alge-
bricamente, sem o recurso de visualizac¸a˜o geome´trica. Mas, e´ poss´ıvel
trabalhar com estes espac¸os da mesma maneira que em R3.
Exemplo 35. Vetor com n-uplas de nu´meros reais:
V = Rn = (x1,x2,x3, · · · ,xn)
Exemplo 36. Vejamos alguns exemplos.
• Ao realizarmos uma se´rie de experimentos e tomarmos n medic¸o˜es
nume´ricas a cada realizac¸a˜o do experimento, temos um vetor com n
elementos −→v = (x1,x2,x3, · · · ,xn);
• Se uma empresa possui n postos de distribuic¸a˜o de cargas, em cada
instante de tempo a distribuic¸a˜o dos caminho˜es nos terminais pode ser
descrita pelas n-uplas, −→v = (x1,x2,x3, · · · ,xn);
• Podemos associar as imagens coloridas nas telas com cada pixel e treˆs
nu´meros que descrevem o matiz, a saturac¸a˜o e o brilho, assim a imagem
pode ser vista como um vetor com 5-uplas −→v = (x,y,h,s,b).• Na F´ısica, um vetor de R4: os quaternos (x,y,z,t), onde os treˆs pri-
meiros termos representam as coordenadas, a posic¸a˜o no espac¸o e a
u´ltima representa o instante t em que o ponto ocupa tal posic¸a˜o.
Quanto as propriedades:
As operac¸o˜es va´lidas no espac¸o n-dimensional (Rn), sa˜o as mesmas dos
espac¸os bidimensional e tridimensional (R2 e R3). A ideia e´ estender o
conceito de vetor usando as propriedades alge´bricas mais importantes dos
vetores como axiomas, que quando satisfeitos por um conjunto de objetos,
nos permitira˜o pensar nesses objetos como vetores. Vale ressaltar que essas
operac¸o˜es (adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o) satisfazem determinadas propriedades,
que sa˜o as mesmas operac¸o˜es dos conjuntos de matrizes, pois eles apresen-
tam a mesma coincideˆncia estrutural.
38
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2.2. ESPAC¸OS VETORIAIS
2.2 Espac¸os Vetoriais
Seja um conjunto V na˜o-vazio, de objetos, chamados vetores no qual
esta˜o definidas duas operac¸o˜es:
u+ v (onde u,v e u+ v ∈ V )
Se u e v sa˜o objetos em V , enta˜o u+ v e´ um objeto em V .
αu (onde α ∈ R e u, αu ∈ V )
A cada escalar α e a cada objeto u em V , αu e´ denominado mu´ltiplo escalar
de u por α em V . Sera´ chamado de espac¸o vetorial se sa˜o satisfeitas:
A. Em relac¸a˜o a` adic¸a˜o: Esta´ definida uma adic¸a˜o em V que associa
a cada par de elementos u e v um u´nico elemento em V , indicado
por u + v e chamado de soma de u com v, que satisfaz as seguintes
propriedades, ∀u, v, w ∈ V :
A1. (u+ v) + w = u+ (v + w), ∀u,v e w ∈ V (Associatividade da adic¸a˜o)
A2. u+ v = v + u (Comutatividade da adic¸a˜o)
A3. Existeˆncia do elemento neutro 0 ∈ V , tal que u+ 0 = 0 + u = u
A4. Para cada u ∈ V,∃(−u) ∈ V / u+ (−u) = 0, elemento oposto.
M. Em relac¸a˜o a` multiplicac¸a˜o: Esta´ definida uma multiplicac¸a˜o por
escalar em V que associa cada escalar α ∈ R e cada elemento v ∈ V
um u´nico vetor αv ∈ V , que satisfaz as seguintes propriedades, ∀α, β ∈
R e ∀u, v ∈ V :
M1. 1.u = u (elemento neutro da multiplicac¸a˜o por escalar)
M2. (αβ)u = α(βu), αβ ∈ R
M3. (α+ β)u = αu+ βu, αβ ∈ V
M4. α(u+ v) = αu+ αv
Observac¸a˜o: os elementos u,v ∈ V sa˜o chamados vetores. A justifi-
cativa esta´ no fato de as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar
realizada com esses elementos (conjuntos) de natureza ta˜o distinta se com-
portam de forma ideˆntica como se estive´ssemos trabalhando com os pro´prios
vetores do R2 e R3.
Esta definic¸a˜o de Espac¸o Vetorial na˜o especifica nem a natureza dos ve-
tores, nem das operac¸o˜es. Qualquer tipo de objeto pode ser um vetor, e
as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar podem na˜o ter relac¸a˜o
39
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2.2. ESPAC¸OS VETORIAIS
alguma com as operac¸o˜es usuais. A exigeˆncia e´ que os axiomas sejam satis-
feitos.
Para verificar as propriedades do espac¸o vetorial, vamos considerar treˆs
vetores gene´ricos: u = (x1, y1), v = (x2, y2), w = (x3, y3)
A1. (u+ v) + w = u+ (v + w)
(u+ v) + w = ((x1, y1) + (x2, y2)) + (x3, y3)
(u+ v) + w = (x1 + x2, y1 + y2) + (x3, y3)
(u+ v) + w = ((x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3)
(u+ v) + w = (x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3))
(u+ v) + w = (x1, y1) + ((x2, y2) + (x3, y3))
(u+ v) + w = u+ (v + w)
A2. u+ v = v + u
u+ v = (x1, y1) + (x2, y2)
u+ v = (x1 + x2, y1 + y2)
u+ v = (x2, y2) + (x1, y1)
u+ v = v + u
A3. u+ 0 = 0 + u = u
u+ 0 = (x1, y1) + (0,0)
u+ 0 = (x1 + 0, y1 + 0)
u+ 0 = (x1, y1)
A4. u+ (−u) = 0
u+ (−u) = (x1, y1) + (−x1, y1)
u+ (−u) = (x1 − x1, y1 − y1)
u+ (−u) = (0,0)
M1. 1.u = u.1 = u 1.u = 1.(x1, y1)
1.u = (x1, y1).1
1.u = (x1, y1)
1.u = u.1 = u
M2. (αβ)u = α(βu)
(αβ)u = ((αβ)x1, (αβ)y1)
(αβ)u = (α(βx1), α(βy1)
(αβ)u = α(βx1, βy1)
(αβ)u = α(β(x1, y1)
40
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2.2. ESPAC¸OS VETORIAIS
(αβ)u = α(βu)
M3. (α+ β)u = αu+ βu
(α+ β)u = (α+ β)(x1, y1)
(α+ β)u = α(x1, y1) + β(x1, y1)
(α+ β)u = αu+ βu
M4. α(u+ v) = αu+ αu
α(u+ v) = α((x1, y1) + (x2, y2))
α(u+ v) = α(x1 + x2, y1 + y2)
α(u+ v) = (αx1 + αx2, αy1 + αy2)
α(u+ v) = (αx1, αy1) + αx2, αy2)
α(u+ v) = α(x1, y1) + α(x2, y2)
α(u+ v) = αu+ αv
Consequeˆncias imediatas da definic¸a˜o:
• Existe um u´nico vetor nulo em V (elemento neutro da adic¸a˜o);
• Cada vetor em V admite apenas um sime´trico: u ∈ V , enta˜o (−u) ∈ V .
Exemplo 37. Conjuntos que sa˜o espac¸os vetoriais.
• V = R2 e´ um espac¸o vetorial real.
R2 = {(x,y);x,y ∈ R} e´ o conjunto dos pontos no plano. Um par
ordenado pode ser um ponto ou um vetor no plano.
Com relac¸a˜o as operac¸o˜es usuais: dados −→u = (x1,y1) e −→v = (x2,y2) ,
enta˜o
(x1,y1) + (x2,y2) = (x1 + x2,y1 + y2)
λ(x1,y1) = (λx1,λy1)
41
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2.2. ESPAC¸OS VETORIAIS
• V = R3 e´ um espac¸o vetorial real.
R3 = {(x,y,z);x,y,z ∈ R} e´ o conjunto dos pontos do espac¸o.
• V = Mm×n(R) o conjunto das matrizes de ordem m×n, com elementos
em R e´ um espac¸o vetorial com as operac¸o˜es de adic¸a˜o de matrizes e
multiplicac¸a˜o de uma matriz por um escalar.
• V = M2×2(R) Adic¸a˜o:
[
a b
c d
]
+
[
e f
g h
]
=
[
a+ e b+ f
c+ g d+ h
]
.
Multiplicac¸a˜o por um escalar: α ·
[
a b
c d
]
=
[
αa αb
αc αd
]
.
• V = Pn(R) o conjunto dos polinoˆmios de grau menor ou igual a n.
Pn = {a0 + a1x+ · · ·+ anxn; ai ∈ R}.
• Tambe´m sa˜o considerados Espac¸os Vetoriais toda reta (no plano ou no
espac¸o) que passa pela origem. E, todo plano que passa pela origem
do R3.
Observac¸a˜o: Os s´ımbolos ⊕ e � sa˜o utilizados para indicar que a adic¸a˜o
e a multiplicac¸a˜o por escalar na˜o sa˜o as usuais.
Exemplo 38. Mostrar que o seguinte conjunto R2 = {(a,b)/a,b ∈ R} na˜o
e´ um espac¸o vetorial com relac¸a˜o as seguintes operac¸o˜es: (a,b) + (c,d) =
(a+ c,b+ d) e k � (a,b) = (k2a,k2b).
Soluc¸a˜o: Vamos verificar os axiomas do espac¸o vetorial.
Mas, observe que a operac¸a˜o de adic¸a˜o e´ a usual, portanto os axiomas da
adic¸a˜o sa˜o satisfeitos. Vamos analisar os axiomas da multiplicac¸a˜o:
M2 (αβ)u = α(βu)
(αβ)(a,b) = ((αβ)2a, (αβ)2b)
(αβ)(a,b) = (α2(β2a), α2(β2b)
(αβ)(a,b) = α2(β2a, β2b)
(αβ)(a,b) = α2(β2(a, b)
(αβ)(a,b) = α2(β2(a,b))
M3 (α+ β)u = αu+ βu
(α+ β)(a,b) = (α+ β)2(a, b)
(α+ β)(a,b) 6= α(a, b) + β(a, b).
Portanto falha o axioma M3, na˜o e´ espac¸o vetorial.
42
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2.3. SUBESPAC¸O VETORIAL
2.2.1 Agora tente resolver!
1. Verifique se os conjuntos abaixo sa˜o espac¸os vetoriais:
a. V e´ o conjunto de todas as matrizes 2× 2 ,
[
c d
a b
]
onde c = d.
b. V e´ o conjunto de todas as matrizes de ordem 3× 1.
c. O conjunto de todas as triplas ordenadas (x,y,z) de nu´meros reais
com as operac¸o˜es (x1,y1,z1) + (x2,y2,z2) = (x2,y1 + y2,z2) e a ·
(x1,y1,z1) = (ax1,ay1,az1) = (αx1, αy1, αz1).
d. O conjunto de todas as triplas ordenadas de nu´meros reais da
forma (x,0,0) com as operac¸o˜es (x,0,0) + (x′,0,0) = (x+ x′,0,0) e
α · (x,0,0) = (αx,0,0).
e. R2 = {(a,b)/a,b ∈ R}, com a operac¸a˜o usual de adic¸a˜o, mas com
a multiplicac¸a˜o por um escalar definida como β(x,y) = (x, βy).
Sa˜o espac¸os vetoriais: a,b,d.
2. Seja V o segundo quadrante do plano xy, isto e´, seja V = {(x,y) : x ≤
0,y ≥ 0}, responda: se u e v esta˜o em V, sera´ que u+ v esta´ em V ?
3. Verifique se o conjunto dos nu´meros reais positivos com as seguintes
operac¸o˜es: x + y = xy e αx = xα e´ um espac¸o vetorial. (Resposta: e´
um espac¸o vetorial.)
2.3 Subespac¸o Vetorial
Dado um espac¸o vetorial V , um subconjunto S, na˜o vazio, sera´ um su-
bespac¸o vetorial de V se:
a. Para quaisquer u,v ∈ S, tivermos u+ v ∈ S
b. Para quaisquer α ∈ R, u ∈ S, tivermos αu ∈ S
c. O vetor nulo 0 ∈ S.
Se um subconjunto S for parte de um espac¸o vetorial V conhecido, certos
axiomas na˜o precisam ser verificados pois eles sa˜o herdados do conjunto V .
Exemplo 39. Se S = {(x,y) ∈ R2; y = kx} = {(x,kx) ∈ R2}. Uma reta que
passa na origem e´ um subespac¸o vetorial. Considere S = {(x,y) ∈ R2; y =
3x}. Seja −→u= (x1,3x1) e −→u = (x2,3x2) ∈ S, enta˜o
(x1,3x1) + (x2,3x2) = (x1 + x2,3x1 + 3x2) = (x1 + x2,3(x1 + x2)) ∈ S
λ(x1,3x1) = (λx1,λ3x1) ∈ S
43
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2.3. SUBESPAC¸O VETORIAL
Observe que se considerarmos dois vetores da reta, o vetor soma ainda e´
da reta e se multiplicarmos o vetor por um escalar, o vetor resultante ainda
estara´ na reta.
Proposic¸a˜o 1. Se S e´ um subespac¸o vetorial V , enta˜o S tambe´m e´ um
espac¸o vetorial sobre R.
Exemplo 40. Quando a reta na˜o passa na origem, por exemplo, S = {(x,6−
3x);x ∈ R}, enta˜o o conjunto na˜o e´ um subespac¸o vetorial. Por queˆ?
Observac¸o˜es:
• As condic¸o˜es do subespac¸o garantem que ao operar vetores em S na˜o ob-
teremos vetores fora de S.
44
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2.3. SUBESPAC¸O VETORIAL
• Sendo va´lidas as condic¸o˜es citadas em S, os oito axiomas de espac¸o veto-
rial tambe´m se verificam.
• Todo espac¸o vetorial V admite, pelo menos, dois subespac¸os, o pro´prio
espac¸o vetorial S = V . E S = {0} o subespac¸o zero. Estes subespac¸os sa˜o
chamados de subespac¸os triviais de V .
2.3.1 Agora tente resolver!
1. Seja S = {(x,y,z) ∈ R3;x + y = 0}, verificar se S e´ um subespac¸o
vetorial.
2. Seja S = M2×3R =
{[
0 a b
0 a d
]
; a,b,d ∈ R
}
, o conjunto das matrizes
de ordem 2× 3, onde a primeira coluna todos os elementos sa˜o nulos.
S e´ um subespac¸o vetorial?
3. Verifique quais dos seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os vetoriais de R3.
(a) Todos os vetores da forma (x,0,0).
(b) Todos os vetores da forma (x,1,1).
(c) Todos os vetores da forma (a,b,c), onde b = a+ c.
4. Dados os conjuntos a seguir, verificar quais sa˜o subespac¸os em relac¸a˜o
a`s operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por um escalar:
a. S = {(x,y,z) ∈ R3;x = 6y e z = 0}
b. S = {(x,y,z) ∈ R3;x = z2}
c. S = {(x,y,z) ∈ R3; y = x+ 2 e z = 0}
d. S = {(x,x,x) ∈ R3;x ∈ R}
e. S =
{[
a b
b c
]
; a,b,c ∈ R
}
, conjunto das matrizes sime´tricas.
f. W =

 b−b
2b
 ; b ∈ R

5. Determine se o conjunto dado e´ um subespac¸o de Pn para um valor
apropriado de n:
a. Todos os polinoˆmios da forma p(t) = at2 com a ∈ R.
b Todos os polinoˆmios de grau no ma´ximo 3, com coeficientes in-
teiros.
6. Verdadeiro ou Falso:
45
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2.4. COMBINAC¸A˜O LINEAR
a O conjunto das soluc¸o˜es de um sistema linear consistente Ax = b
de m equac¸o˜es n inco´gnitas e´ um subespac¸o Rn ....
b O conjunto de matrizes de ordem n× n triangulares superiores e´
um subespac¸o do espac¸o vetorial de todas as matrizes de ordem
n× n....
Resposta: Sa˜o subespac¸os os exerc´ıcios de nu´mero 1, 2, 3: a e c, 4: a,d,e,f e
5: a.
Intersec¸a˜o de subespac¸os vetoriais: Como espac¸os vetoriais sa˜o conjun-
tos, a intersec¸a˜o de dois subespac¸os vetoriais do mesmo espac¸o vetorial V e´
tambe´m um subespac¸o vetorial de V .
Sejam U e W dois subespac¸os vetoriais de V . A intersec¸a˜o de U e W , e´
representada por U ∩W , onde U ∩W = {v ∈ V ; v ∈ U e v ∈ W}, e´ um
subespac¸o vetorial. O conjunto intersec¸a˜o na˜o e´ vazio pois cada um desses
subespac¸os conte´m o vetor nulo, enta˜o a intersec¸a˜o tambe´m possui o vetor
nulo.
A unia˜o de dois subespac¸os na˜o e´ necessariamente um subespac¸o de V .
Soma de subespac¸os vetoriais: Considere U e W dois subespac¸os veto-
riais de V . A soma de U e W , representada por U + W , e´ o conjunto de
todos os vetores u+w de V , definido como U+W = {u+w;u ∈ U e w ∈W}.
Soma direta de subespac¸os vetoriais: Sejam U e W dois subespac¸os ve-
toriais de V . A soma direta V = U ⊕W , se V = U +W e U ∩W = {0}.
2.4 Combinac¸a˜o Linear
Considere dois ou mais vetores de um espac¸o vetorial, esses vetores po-
dem ser “combinados” usando-se as duas operac¸o˜es de um espac¸o vetorial:
46
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2.4. COMBINAC¸A˜O LINEAR
adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por um escalar.
Definic¸a˜o: Seja V um espac¸o vetorial real, v1, v2,..., vn ∈ V e α1, α2,..., αn ∈
R.
O vetor
v =
n∑
i=1
αivi = α1v1 + α2v2...+ αnvn
E´ uma combinac¸a˜o linear de v1, v2,..., vn ∈ V .
Exemplo 41. Todo vetor de R2 e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores −→i =
(1,0) e
−→
j = (0,1).
Exemplo 42. Todo vetor de R3 e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores −→i =
(1,0,0),
−→
j = (0,1,0) e
−→
k = (0,0,1).
Exemplo 43. Escrever v = (4,2,9) como combinac¸a˜o linear dos vetores
v1 = (2,1,3), v2 = (1,0,3), v3 = (1,0,0).
Soluc¸a˜o: Procuramos escalares a,b,c tais que: v = av1 + bv2 + cv3 , sendo
assim:
(4,2,9) = a(2,1,3) + b(1,0,3) + c(1,0,0)
(4,2,9) = (2a,a,3a) + (b,0,3b) + (c,0,0)
(4,2,9) = (2a+ b+ c, a, 3a+ 3b)

2a+ b+ c = 4
a = 2→ a = 2, b = 1, c = −1
3a+ 3b = 9
v = 2v1 + v2 − v3
Exemplo 44. O vetor v = (1, 1, 2) na˜o e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores
(1, 0, 1) e (2, 1, 1).
Soluc¸a˜o: Ter´ıamos que encontrar valores para os escalares a e b tais que:
v = av1 + bv2, enta˜o:
(1,1,2) = a(1,0,1) + b(2,1,1)
(1,1,2) = (a,0,a) + (2b,b,b)
(1,1,2) = (a+ 2b,b,a+ b)
47
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2.4. COMBINAC¸A˜O LINEAR
De acordo com a condic¸a˜o de igualdade entre vetores:
a+ 2b = 1
b = 1
a+ b = 2
Na˜o existe soluc¸a˜o que satisfac¸a o sistema, portanto o vetor v na˜o pode ser
escrito como combinac¸a˜o linear dos vetores dados.
Exemplo 45. Modelos de cores nas telas dos monitores.
As cores nas telas costumam ter por base o chamado modelo RGB. As
cores sa˜o criadas juntando porcentagens de treˆs cores prima´rias, vermelho,
verde e azul. Podemos identificar as cores prima´rias como vetores e criar
outras a partir de uma combinac¸a˜o linear entre elas.
Exemplo 46. Seja a matriz A =
[
2 3
1 4
]
e´ uma combinac¸a˜o linear das
matrizes
[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]
.
Pois, [
2 3
1 4
]
= 2
[
1 0
0 0
]
+ 3
[
0 1
0 0
]
+ 1
[
0 0
1 0
]
+ 4
[
0 0
0 1
]
2.4.1 Agora tente resolver!
1. O vetor b =
11−5
9
, e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores u =
10
1
,
v =
−23
−2
 e w =
−67
5
?
48
IMEF - FURG
2.5. SUBESPAC¸OS GERADOS
2. V = M2(R) e considere:
v =
[
1 0
1 1
]
, u =
[−1 2
0 1
]
, w =
[
0 −1
2 1
]
Escrever o vetor y =
[
1 8
0 5
]
como combinac¸a˜o de v,u,w.
3. Expressar o polinoˆmio v = t2 + 4t−3 sobre R como combinac¸a˜o linear
dos polinoˆmios p1 = t
2 − 2t+ 5; p2 = 2t2 − 3t; p3 = t+ 3.
4. Expressar o polinoˆmio v = t2+6t−10 sobre R como combinac¸a˜o linear
dos polinoˆmios p1 = t
2 − 2t+ 5; p2 = 2t2 − 3t; p3 = t+ 3.
5. Escreva o vetor nulo O ∈ R2 como combinac¸a˜o linear dos vetores
u = (2,1) e v = (2,3).
6. Verifique se o vetor u e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores do conjunto
V : u = (2,− 2,16 ,16) e V = {(1,− 1,0,0),(2,0,1,1),(0,3,1,1)}.
7. Verdadeiro ou falso: As combinac¸o˜es lineares a1v1+a2v2 e b1v1+b2v2,
so´ podem ser iguais se a1 = b1 e a2 = b2.
2.5 Subespac¸os Gerados
Vimos em Geometria Anal´ıtica, que os vetores
−→
i = (1,0,0),
−→
j = (0,1,0) ∈
R3 geram o plano xOy. Isto significa, por exemplo, que todo vetor v =
(x,y,0) desse plano e´ combinac¸a˜o linear de
−→
i e
−→
j .
Sejam A = {v1,v2,. . . ,vn} vetores de um espac¸o vetorial V . Denotaremos
por W = [v1,v2,. . . ,vn] ou W = G(A) o conjunto de todas as combinac¸o˜es
lineares de v1,v2,. . . ,vn em V . Este conjunto e´ um subespac¸o de V e e´
chamado de subespac¸o gerado.
Proposic¸a˜o 2. W = [v1,v2,. . . ,vn], onde v1,v2,. . . ,vn sa˜o vetores de um
espac¸o vetorial V . Enta˜o as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o satisfeitas:
i. W e´ um subespac¸o de V .
ii. W e´ o menor subespac¸o de V contendo v1,v2,. . . ,vn, ou seja, qualquer
subespac¸o de V que conte´m v1,v2,. . . ,vn tambe´m conte´m W .
Demonstrac¸a˜o: Se u1 = a1v1 +a2v2 + ...+anvn e u2 = b1v1 + b2v2 + ...+
bnvn ∈ V . Temos:
a. u1 + u2 = (a1 + b1)v1 + (a2 + b2)v2 + ...+(an + bn)vn e´ tambe´m uma
combinac¸a˜o linear de v1 e v2. Em outras palavras, u1 + u2 ∈W .
49
IMEF - FURG
2.5. SUBESPAC¸OS GERADOS
b. Seja u1 ∈ W e β ∈ R. Enta˜o u1 = β(a1v1 + a2v2 + ... + anvn) =
(βa1v1) + (βa2v2) + ...+ (βanvn) e´ tambe´m uma combinac¸a˜o linear de
v1 e v2 , ou seja, βu1 ∈W .
Observe que o conjunto W 6= ∅, pois, 0 = 0v1 + ...+ 0vn. Logo 0 ∈W .
O subespac¸o W = {v ∈ V/v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn; a1...an ∈ R} diz-se
gerado pelos vetores v1, v2,. . . ,vn ou gerado pelo conjunto A.
Os vetores sa˜o chamados geradores do subespac¸o W . Todo conjunto
A ⊂ V gera um subespac¸o vetorial de V , podendo ocorrer G(A) = V . Nesse
caso, A e´ um conjunto gerador de V .
Exemplo 47. Os vetores
−→
i = (1,0),
−→
j = (0,1) geram o espac¸o vetorial
de R2 pois qualquer (x,y) ∈ R2 e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores i e j.
Enta˜o [i,j] = R2.
Exemplo 48. R3 = [(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]. Qualquer vetor do espac¸o pode
ser escrito como uma combinac¸a˜o linear desses treˆs vetores.
Observac¸a˜o: Considere o seguinte caso: {v1,v2,. . . ,vn} de um espac¸o
vetorial V , se w ∈ V e´ tal que w = a1v1 + a2v2 + ...+ anvn. Enta˜o,
[v1,. . . ,vn,w] = [v1,. . . ,vn]
Pois todo o vetor v que e´ uma combinac¸a˜o linear de v1,. . . ,vn,w e´ tambe´m
uma combinac¸a˜o linear de v1,. . . ,vn.
2.5.1 Agora tente resolver!
1. Determinar os subespac¸os gerados do R3 gerados pelos seguintes con-
juntos:
a. A = {(6,− 4,1)}
b. A = {(1,0,1),(0,1,1),(−1,1,0)}
c. A = {(4,1,3)}
2. Determinar o subespac¸o gerado G(A) para A = {(2, − 2),(−4,4)}. O
que representa geometricamente esse subespac¸o?
3. Considere o seguinte conjunto A = {(−1,3,−1),(1,−2,4)}. Determine
o subespac¸o G(A) e o valor de k para que o vetor u = (5,k,11) pertenc¸a
a G(A).
4. Mostre que os vetores (2,1) e (1,1) geram o R2.
50
IMEF - FURG
2.6. DEPENDEˆNCIA E INDEPENDEˆNCIA LINEAR
2.6 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Seja V um espac¸o vetorial e v1,v2, . . . ,vn ∈ V . Dizemos que o con-
junto {v1,v2, . . . ,vn} e´ Linearmente Independente (LI), ou que os vetores
v1,v2, . . . ,vn sa˜o LI, se a equac¸a˜o
a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn = 0.
Sabemos que essa equac¸a˜o admite pelo menos uma soluc¸a˜o: a1 = 0, a2 =
0, . . . , an = 0, chamada soluc¸a˜o trivial. O conjunto de vetores acima diz-se
LI ou os vetores v1, v2, . . . , vn sa˜o LI caso a equac¸a˜o acima admita apenas a
soluc¸a˜o trivial ⇒ a1 = a2 = . . . = an = 0.
No caso em que exista algum ai 6= 0 dizemos que {v1,v2, . . . ,vn} e´ Line-
armente Dependente (LD) ou que os vetores v1,v2, . . . ,vn sa˜o LD.
Os termos LI e LD pretendem indicar se os vetores de um dado conjunto
esta˜o inter-relacionados de alguma forma.
Teorema 2. O conjunto {v1,v2, . . . ,vn} e´ LD se, e somente se, um destes
vetores for uma combinac¸a˜o linear dos outros.
Observac¸o˜es:
1. Qualquer conjunto de vetores que contenha um subconjunto LD e´ LD.
2. Qualquer conjunto de vetores contendo o vetor nulo e´ LD.
3. Todo subconjunto de um conjunto LI e´ LI.
4. Um conjunto de dois vetores e´ LD se, e somente se, um deles e´ um
mu´ltiplo escalar do outro.
5. Um conjunto de exatamente um vetor e´ Linearmente Independente se,
e somente se, esse vetor na˜o e´ o vetor nulo.
Exemplo 49. Os vetores i = (1,0) e j = (0,1) sa˜o linearmente independen-
tes.
Exemplo 50. De forma ana´loga os vetores i = (1,0,0),j = (0,1,0) e k =
(0,0,1) tambe´m sa˜o linearmente independentes. Na˜o e´ poss´ıvel expressar o
vetor j como combinac¸a˜o linear de i e k. De forma ana´loga para as demais
combinac¸o˜es.
Exemplo 51. As func¸o˜es f1(x) = x, f2(x) = sen(x) sa˜o linearmente inde-
pendentes no espac¸o de func¸o˜es F (−∞,∞), pois um na˜o e´ mu´ltiplo escalar
do outro.
51
IMEF - FURG
2.6. DEPENDEˆNCIA E INDEPENDEˆNCIA LINEAR
Exemplo 52. As func¸o˜es f1(x) = sen(2x), f2(x) = sen(x)cos(x) sa˜o linear-
mente dependentes, pois pela identidade trigonome´trica sen(2x) = 2sen(x)cos(x)
verificamos a dependeˆncia linear das func¸o˜es.
Exemplo 53. O conjunto
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
e´ linearmente
independente.
Exemplo 54. Verifique se o seguinte conjunto e´ Linearmente Independente:
{(1,2),(−1,− 3)} em R2.
Soluc¸a˜o: Sa˜o LI pois,
V = a1(1,2) + a2(−1,3) = (0,0)
= (a1, 2a1) + (−a2,−3a2) = 0
= (a1 − a2, 2a1 − 3a2) = 0⇒
a1 − a2 = 0
2a1 − 3a2 = 0
⇒ a1 = a2 ⇒ a1 = 0, a2 = 0
2.6.1 Agora tente resolver!
1. Classificar os seguintes conjuntos em LI ou LD:
a. {(2,− 1,0),(−1,3,0),(3,5,0)} ∈ R3
b. {(1,2,− 1),(2,4,− 2),(1,3,0)} ∈ R3
c. 2 + x− x2,−4− x+ 4x2, x+ 2x2 ∈ P2
d. 1 + x, x+ x2, 1 + x2 ∈ P2
e. {(2,1,0,0),(1,0,2,1),(−1,2,0,− 1)} ∈ R4
f. {(1,1),(−1,1),(0,1)} ∈ R2
g. {(1,2),(−1,− 3)} ∈ R2
h. {1− t, 1 + t,t2} ∈ P2
i. {1, (t− 1), (t− 1)2} ∈ P2
2. Sendo V o espac¸o vetorial das matrizes 2 × 3, verificar se {A,B,C} e´
LI ou LD:
A =
[−1 2 1
3 −2 4
]
, B =
[
0 −1 2
−2 1 0
]
, C =
[−1 0 5
−1 0 3
]
3. Determinar o valor de k para que seja LI o conjunto: {(−1,0,2),(1,1,1),(k,−
2,0)}.
52
IMEF - FURG
2.7. BASE E DIMENSA˜O
2.7 Base e Dimensa˜o
Queremos determinar um conjunto de vetores geradores de V tal que
todos os elementos sejam realmente necessa´rios para gerar V . Se pudermos
encontrar tais vetores, teremos os alicerces de nosso espac¸o, com estes veto-
res fazendo o mesmo papel de
−→
i ,
−→
j ,
−→
k na geometria espacial.
Definic¸a˜o: Um conjunto {v1, v2,. . . ,vn} de vetores de V sera´ uma base
de V se:
a) {v1, v2,. . . ,vn} e´ Linearmente Independente (garante que na˜o ha´ inter-
relac¸a˜o entre os vetores da base);
b) [v1, v2,. . . ,vn] = V,B gera V (garante que ha´ vetores da base em
nu´mero suficiente para fornecer coordenadas para todos os vetores em
V ).
Se {v1, v2,. . . ,vn} e´ uma base para V , enta˜o qualquer vetor de V e´ escrito
de maneira u´nica como uma combinac¸a˜o linear dos vetores v1, v2,. . . ,vn.
Base padra˜o do Rn (Base Canoˆnica): E´ uma base que tem como coeficientes
da combinac¸a˜o linear os valores dos componentes do vetor:
R2 ⇒ Base canoˆnica e1 = (1,0), e2 = (0,1)
R3 ⇒ Base canoˆnica e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1)
...
Rn ⇒ Base canoˆnica e1 = (1,0,...,0), e2 = (0,1,...,0), e3 = (0,0,...,1)
Base canoˆnica das matrizes de ordem 2: {
[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]
}.
Exemplo 55. Verifique se B = {(2,3),(4,6)} e´ uma base do V = R2.
Soluc¸a˜o: a) B e´ Linearmente Independente?
a1(2,3) + a2(4,6) = (0,0)
{
2a1 + 4a2 = 0⇒ 2a1 = −4a2 ⇒ a1 = −2a2
3a1 + 6a2 = 0
3(−2a2) + 6a2 = 0
−6a2 + 6a2 = 0
53
IMEF - FURG
2.7. BASE E DIMENSA˜O
Portanto, B e´ linearmente dependente e na˜o e´ base de V = R2.
Teorema: Seja V espac¸o vetorial sobre R e {v1,v2,. . . ,vn} uma base
para V . Enta˜o qualquer conjunto no espac¸o V com mais de n vetores e´
necessariamente LD.
Exemplo 56. 1. Treˆs ou mais vetores no plano R2 sa˜o sempre L.D.
2. Quatro ou mais vetores no espac¸o R3 sa˜o sempre LD.
3. Cinco ou mais matrizes de ordem 2× 2 ( em M2(R)) sa˜o sempre LD.
Observac¸a˜o: O teorema anterior e´ equivalente a “Um espac¸o vetorial ge-
rado por n vetores tem no ma´ximo n vetores LI.” e tem como consequeˆncia
que “Qualquer base de um espac¸o vetorial V tem sempre o mesmo nu´mero de vetores”.
Exemplo 57. Verifique se o conjunto B = {(1,2,3),(0,1,2),(0,0,1)} de R3
forma uma base.
Soluc¸a˜o: Verificar se o conjunto e´ Linearmente Independente:
a = 0
2a+ b = 0
3a+ 2b+ c = 0
Resolvendo o sistema encontramos que a = b = c = 0, portanto e´ LI. Sera´
que o conjunto gera R3? 
a = x
2a+ b = y
3a+ 2b+ c = z
Assim, (x,y,z) = x(1,2,3) + (y − 2x)(0,1,2) + (x − 2y + z)(0,0,1), enta˜o
[(1,2,3),(0,1,2),(0,0,1)] = R3.
Dimensa˜o: A dimensa˜o do espac¸o vetorial V e´ o nu´mero de vetores da
base de V . Assim, sendo