Matemática Financeira AULA 2

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MATEMÁTICA 
 
FINANCEIRA 
 
Aula 2 
 
2. REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
• Quando um capital é aplicado a uma determinada taxa por 
vários períodos, o montante pode crescer segundo dois 
critérios ou regimes de capitalização: 
regime de capitalização simples e 
regime de capitalização composta. 
 
A) Regime de capitalização simples 
• Dizemos que um capital cresce segundo um regime de 
capitalização simples, quando os juros gerados em cada 
período são iguais, e todos valem o produto do capital pela 
taxa de juros. Além disso, os juros são pagos somente no 
final da operação. 
2 
 Exemplo 2.1 
• Um capital de $1.000,00 é aplicado durante 3 anos à taxa de 
10% a.a., em regime de capitalização simples. 
 Durante o 1° ano o juro gerado é 1.000 . 0,1 = 100 Durante o 2° 
ano o juro gerado é 1.000 . 0,1 = 100 Durante o 3° ano o juro 
gerado é 1.000 . 0,1 = 100 
• Ou seja, somente o capital inicialmente empregado é que rende 
juros; os juros obtidos não se agregam ao capital para formar 
juros no período seguinte. 
• Esquematicamente, temos: 
3 
• Dessa forma os juros no período considerado valem: 
J = 100 + 100 + 100 = 300 e o montante 
Vale: M = 1.000 + 300 = 1.300 
 
B) Regime de capitalização composta 
• Dizemos que um capital cresce segundo um regime de 
capitalização composta, quando o juro gerado em cada 
período se agrega ao montante do início do período e essa 
soma passa a render juros no próximo período. 
 
 Exemplo 2.2. 
 Um capital de $ 1.000,00 é aplicado durante 3 anos, à taxa de 
10% a.a., em regime de capitalização composta. 
4 
• Durante o 1 ° ano o juro gerado é 1.000 . 0,1 = 100 e o 
montante após esse ano é 1.000 + 100 = 1.100. 
• Durante o 2° ano o juro gerado é 1.100 . 0,1 = 110 e o 
montante após esse ano é 1.100 + 110 = 1.210. 
• Durante o 3º ano o juro gerado é 1.210 . 0,1 = 121 e o 
montante após esse ano é 1.210 + 121 = 1.331. 
 
• Diagrama do Fluxo de Caixa: 
5 
• Dessa forma, os juros gerados no período valem: 
 
J=100 + 110 + 121 = 331 
e o montante vale: 
M = 1.000 + 331 = 1.331 
 
 
Observação 
• Existe, ainda, o regime de capitalização contínua (pouco 
usado na prática), em que o montante cresce continuamente 
com o tempo. 
 
6 
2.1 FLUXO DE CAIXA DE UMA OPERAÇÃO 
• A representação gráfica do fluxo de caixa de uma operação é 
muito útil na resolução de problemas. Basicamente consiste 
de um eixo horizontal, onde é marcado o tempo, a partir de 
um instante inicial (origem); e a unidade de tempo pode ser 
definida como (ano, mês, dia, etc.). 
 
• As entradas de dinheiro são representadas por setas 
perpendiculares ao eixo horizontal no instante considerado e 
orientadas para cima; as saídas de dinheiro são indicadas da 
mesma forma, mas com setas orientadas para baixo. 
7 
500.000 
0 
700.000 
12 
Exemplo 2.3 
• Uma pessoa aplica $500.000,00 em um banco e 
recebe $200.000,00 de juros após 12 meses. 
• O fluxo de caixa do ponto de vista do aplicador é: 
 
 
 
 
• E o fluxo de caixa do ponto de vista do banco é: 
12 0 
500.000 
700.000 8 
2.2 JUROS SIMPLES 
 
• Vimos que no regime de capitalização simples, a taxa 
de juros incide sempre sobre o capital empregado e os 
juros são iguais em todos os períodos considerados. 
 
• Portanto, considerando-se um capital C, aplicado a taxa 
de juros simples i, durante n períodos, chega-se a 
seguinte fórmula de cálculo: 
 
9 
 Tem-se: 
 
• Juros após 1 período: J1 = Ci 
• Juros após 2 períodos: J2 = Ci + Ci = 2(Ci) 
• Juros após 3 períodos: J3 = Ci + Ci + Ci = 3(Ci) 
• Juros após n períodos: Jn= Ci + Ci + ... + Ci = n(Ci) 
 
• Portanto, eliminando o índice n quando não houver 
possibilidade de confusão, teremos: 
J = Jn = Cin 
 
• A fórmula do montante é imediata. 
M = C + J = C + Cin 
M = C (1 + in) 
10 
Observações 
1) Na fórmula dos juros e do montante é necessário que i e n 
sejam expressos em unidades compatíveis (por exemplo, 
se i for taxa mensal, n deve ser o número de meses). 
 
2) Embora a fórmula tenha sido deduzida para n inteiro, 
muitas vezes ela é utilizada para n fracionário. 
11 
Exemplo 2.4 
• Um capital de $ 500.000,00 é aplicado a juros simples 
durante 3 anos, à taxa de 12% a.a. 
(a) Obtenha os juros auferidos. 
(b) Obtenha o montante. 
 
• Solução: 
 i = 12% = 12/100 a. a. = 0,12 
 C = 500.000 
 n = 3 
(a) J = 500.000 . 0,12 . 3 = 180.000 
(b) M = 500.000 + 180.000 = 680.000 
12 
 Exemplo 2.5 
• Um capital de $ 7.000,00 é aplicado a juros simples durante 
um ano e meio, à taxa de 50% a.s. 
(a) Obtenha os juros. 
(b) Obtenha o montante. 
 
• Solução: 
i = 50% = 50/100 a. s. = 0,5 
C = 7.000 n = 3 (um ano e meio = 3 semestres) 
(a) J = 7.000 . 0,5 . 3 = 10.500 
(b) M = 7.000 + 10.500 = 17.500 
13 
 Exemplo 2.6 
 Qual o capital que rende juros de $ 3.000,00 durante 5 
meses, se a taxa de juros simples for 2% a.m.? 
 J = 3.000 
 i = 2% a.m. = 0,02 
 n = 5 
 
• Solução: 
3.000 = C . 0,02 . 5 
3.000 = C . 0,1 
C = (3.000/0,1) = 30.000 
14 
2.3 TAXAS EQUIVALENTES 
• Diz-se que duas taxas são equivalentes a juros simples, se 
aplicadas ao mesmo capital e durante um mesmo intervalo 
de tempo (múltiplo dos tempos a que se referem as taxas) 
produzirem juros iguais. 
 
• Portanto, se i1 e i2 forem as taxas e n1 e n2 os números de 
períodos contidos no intervalo de tempo considerado, 
devemos ter: 
C i1 n1 = C i2 n2 
ou 
i1 n1 = i2 n2 
 
15 
 Exemplo 2.7 
• Em juros simples, qual a taxa anual equivalente à taxa de 
2,5% a.m.? 
Solução: como os prazos são mês e ano, segue que: 
 i1 = ? i2 = 2,5% a. m. 
n1 = 1 ano n2 = 12 meses 
i1 × 1 = 0,025× 12 
i1 = 0,3 = 30% a.a. 
 
• Pode-se resolver diretamente aplicando a relação 
i1 = i2 . n2  i1 = 0,025 - 12 = 0,3 = 30% a.a. 
16 
2.4 JUROS EXATO E JUROS COMERCIAL 
• É muito comum certas operações ocorrerem por um ou 
alguns dias apenas. Nesses casos é conveniente utilizar a 
taxa diária equivalente, o cálculo pode ser feito seguindo 
duas convenções de período: 
1) Considerando o ano civil, que tem 365 (ou 366) dias e os 
meses em número real de dias. 
2) Considerando o ano comercial, com 360 dias e o mês 
comercial com 30 dias. 
• Os juros obtidos utilizando a 1ª convenção são chamados 
de exatos e os obtidos pela 2ª convenção são chamados de 
juros comerciais. 
17 
 Exemplo 2.8 
• Um capital de Cr$ 30.000,00 é aplicado por 5 dias à taxa de 
juros simples de 15% a.m. Obter o juros exato e o juros 
comercial, sabendo-se que o mês de operação tem 31 dias. 
a) Juros exato: 
 J = 30.000 × (0,15/31) × 5 = 725,81 
 
b) Juros comercial: 
 J = 30.000 × (0,15/30) × 5 = 750,00 
18 
2.5 VALOR NOMINAL × VALOR ATUAL OU PRESENTE 
• Suponha que uma pessoa tem uma dívida de $1.300,00 que 
vence daqui a 3 meses. Se ela aplicar uma certa quantia 
hoje, a juros simples e à taxa de 10% a.m., qual o valor que 
deverá aplicar para poder pagar a dívida na data do 
vencimento? 
 
• Neste caso, o valor de face do título (dívida) na data do 
vencimento é chamado de valor nominal. O valor que 
aplicado em data anterior e que produz um montante igual 
ao valor nominal, chama-se de valor atual ou presente. 
19 
• Denotando por VN o valor nominal e por VA o valor atual, 
tem-se graficamente: 
 
 
 
 
• Pela definição: VA + (VA × i × n) = VA (1 + in) = VN 
• Do exemplo, temos: N = 1.300; i = 10%a.m. e n = 3. 
• Logo, 
VA + (VA × 0,1 × 3) = VA × 1,3 = 1.300 ↔ 
VA = 1.300 / 1,3 = 1.000 
VN 
n o 
VA 
20 
Observações 
1) O conceito de valor nominal e atual é válido não só 
para avaliar valores presentes de dívidas, mas também 
de ativos; por exemplo, se uma pessoa possuir uma 
letra de câmbio vencível dentro de 3 meses, o valor 
atual ou presente é o quanto ela vale hoje. (Logo, é uma 
informação básica para a negociação de ativos.) 
 
2) O valor atual ou presente pode ser calculado em 
qualquer data entre a data do vencimento e a da 
aplicação. 
21 
2.6 MÉTODO HAMBURGUÊS 
• O método hamburguês é um processo que permite calcular, 
de forma simplificada, os juros produzidos por k capitais 
{C1, C2, C3, ..., Ck}, aplicados nos prazos (n1, n2, n3, ..., np), 
respectivamente, sendo i a taxa de juros simples. 
 
Ou seja, 
J1 = C1 n1 i 
J2 = C2 n2 i 
J3 = C3 n3 i 
.................... 
Jk = Ck nk i 
22 
• Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
• Os valores C1 n1 , C2 n2 , ..., Ck nk são chamados de 
números do método hamburguês. Este método é utilizado 
para o cálculo dos juros sobre cheques especiais, os juros 
são calculados sobre os saldos devedores nos prazos 
correspondentes. 
23 
J = J1 + J2 +⋯+ Jk = Js
k
s=1
 
J = C1n1i + C2n2i +⋯+ Cknk i ⟺ 
J = i × Csns
k
s= 1
 
Exemplo 2.9 
• Um banco cobra 12% a.m. de juros sobre os saldos 
devedores de cheques especiais, com vencimento no último 
dia do mês. Considere o seguinte extrato de um cliente: 
 
 Data Histórico Valor D/C Saldo D/C 
01/05/17 Transporte - 200,00 C 
13/05/17 Cheque 300,00 D 100,00 D 
19/05/17 Cheque 150,00 D 250,00 D 
21/05/17 Depósito 380,00 C 130,00 C 
28/05/17 Cheque 270,00 D 40,00 D 
24 
• Para o cálculo dos juros, considere o seguinte balancete: 
 
 
 Data Saldo D/C Nº de dias Saldo devedor 
 devedor 
01/05/17 200,00 C - - 
13/05/17 100,00 D 6 600,00 
19/05/17 250,00 D 2 500,00 
21/05/17 130,00 C - - 
28/05/17 140,00 D 3 420,00 
 Logo, 
 J = (0,12/30) (600 + 500 + 420) = 6,08 
• Portanto, o total de juros cobrados do cliente foi de $6,08 no 
dia 31 de maio de 2017. 
25 
2.7 SALDO MÉDIO 
• Em geral, para efeito de renovação de cheque especial, 
concessão de empréstimos ou descontos de títulos, as 
instituições bancárias utilizam o saldo médio em conta 
corrente do cliente como base de análise. 
 
• Consideremos os saldos C1, C2, C3 ..., Ck , vigorando nos 
prazos n1, n2, n3, ..., nk. 
 O saldo médio é definido por: 
 
Sm = C1 n1 + C2 n2 + .... + Ck nk 
 n1 + n2 + .... + nk 
26 
Exemplo 2.10 
No mês de abril um cliente apresentou os seguintes saldos 
credores. 
 Saldo Número de dias 
 600.000 5 
 710.000 4 
 280.000 12 
 110.000 9 
O saldo médio dessa empresa foi: 
Sm = 600.000 × 5 + 710.000 × 4 + 280.000 × 12 + 110.000 × 9 
 5 + 4 + 12 + 9 
Sm= $339.666,67 
27 
3. DESCONTO SIMPLES 
• Consideremos um título de valor nominal VN. Caso ele 
seja resgatado antes da data do vencimento, o seu valor 
de resgate será em geral inferior ao nominal. 
• A diferença entre o valor nominal do título e o valor pago 
no ato do seu resgate chama-se de desconto, a operação 
realizada chama-se de desconto de título. 
• Em geral os títulos que sofrem operação de desconto são 
as notas promissórias, letras de câmbio e duplicatas. 
28 
a) Nota Promissória 
• É um título de crédito no qual o seu emitente se obriga a 
pagar, na data do vencimento, o valor declarado no título 
(valor nominal de face). 
• Geralmente os portadores de notas promissórias negociam 
estes títulos com instituições financeiras em troca de um 
valor inferior ao nominal, chamado valor descontado 
(valor nominal menos o desconto) ou valor líquido da nota 
promissória. 
29 
b) Letras de Câmbio 
 São títulos de créditos emitidos por instituições 
financeiras, onde o seu portador tem o direito de resgatar 
na data do vencimento a quantia especificada no título 
(valor nominal de face). 
c) Duplicatas 
 São títulos de crédito, vinculados a operações de venda 
de bens ou serviços, que conferem ao portador o 
recebimento do valor nominal na data do vencimento. 
 
• Estes dois títulos, assim como as notas promissórias, 
também podem ser negociados com instituições 
financeiras em troca de um valor descontado. 
30 
3.1 DESCONTO RACIONAL SIMPLES OU "POR DENTRO" 
• Sejam VN o valor nominal de um título e VA o valor atual 
(ou líquido) n períodos antes do vencimento. O desconto 
racional simples (DR) do título resgatado n períodos antes 
do vencimento é a diferença entre o valor nominal e o atual. 
 
 
 
DR = VN – VA 
VA é calculado, conforme vimos anteriormente, pela relação 
VA(1 + in) = VN, e i é a taxa de juros considerada. 
DR 
VN 
n 
O 
VA 
31 
 Exemplo 3.1 
 Um título de valor nominal $600.000,00 é descontado 2 meses 
antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2% a.m. 
Qual o desconto racional? 
 
Temos que: VN = 600.000 ; i = 2 % a.m. e n = 2 
 Então, 
VA (1+ 0,02 × 2) = 600.000  
V = 576.923,08 
portanto, 
DR = 600.000 - 576.923,08 = 23.076,92 
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