Analise Real

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Universidade Federal de Rio de Janeiro Instituto de Matema´tica
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ANA´LISE REAL—EXERCI´CIOS PARA PROVA 2
Prof. Marianty Ionel
Material: : EL, capitulos 7-10; MC, capitulos 7-10.
Func¸o˜es continuas. Teorema de Valor Intermedia´rio (sem demostrac¸a˜o). Continuidade
uniforme. Derivada de uma func¸a˜o e propriedades. Teorema de Rolle (com demon-
strac¸a˜o). Teorema de Valor Medio (com demonstrac¸a˜o). Formula de Taylor com resto de
Lagrange (sem demonstrac¸a˜o). Func¸o˜es anal´ıticas. Integral de Riemann e propriedades
de liniaridade, monotonia, etc (com demonstrac¸o˜es). Soma superior e inferior. Teorema
Fundamental de Calculo (com demonstrac¸a˜o). Mudanc¸a de varia´vel em integral (com
demonstrac¸a˜o). Formula de integrac¸a˜o por partes. Sequeˆncia de func¸o˜es. Convergeˆncia
simples e uniforme. Teorema de Dini (com demonstrac¸a˜o). Teoremas de continuidade,
integral e derivada de sequeˆncias de func¸o˜es (com demonstrac¸o˜es). Se´ries de func¸o˜es.
Se´ries de poteˆncias. Func¸o˜es equicont´ınuas∗. Teorema de Arzela-Ascoli∗.
Exerc´ıcios:
1. Mostre que uma func¸a˜o f : R → R e´ continua s.s.s. para todo aberto U ⊂ R temos
que a preimagem f−1(U) e´ aberto.
2. De um exemplo de uma func¸a˜o cont´ınua f : R → R e um conjunto aberto A tal que
f(A) na˜o seja um conjunto aberto. Conclua que uma func¸a˜o continua na˜o leva, necessari-
amente, aberto em aberto.
3. Mostre que f : (−1, 1)→ R, f(x) = x
1−|x| e´ um homeomorfismo.
4. Diz-se que uma func¸a˜o real f definida em (a, b) e´ convexa se
f(λx+ (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y)
sempre que a < x < b, a < y < b, 0 < λ < 1. Prove que toda func¸a˜o convexa e´ continua.
5. (a) Qual e´ a principal diferenc¸a entre continuidade e continuidade uniforme?
(b) Demonstrar que a func¸a˜o f : (−10, 5) → R, definida por f(x) = x3 e´ uniformemente
cont´ınua.
(c) Demostrar que f : R→ R, f(x) = x2 na˜o e´ uniformemente cont´ınua.
6. Mostre que toda func¸a˜o Lipschitz f : X → R e´ uniformemente continua.
1
7. Seja f(x) =
√
x, x ∈ [0, 1].
(a) Mostre que f e´ uniformemente continua.
(b) Mostre que f na˜o e´ uma func¸a˜o Lipschitz, ou seja que na˜o existe uma constante K > 0
tal que |f(x)− f(y)| ≤ K|x− y|,∀x, y ∈ [0, 1].
8. Mostre que toda func¸a˜o continua f : X → R num compacto X e´ uniformemente
continua.
9. (a) Exibir o Teorema de Rolle.
(b) Usando o teorema de Rolles, demonstrar o Teorema de Valor Me´dio.
10. Demostrar que a func¸a˜o real definida por:
f(x) =
{
x2 sin 1
x
para x 6= 0
0 para x = 0
e´ deriva´vel em R.
11. Calcular a se´rie de Taylor da func¸a˜o f(x) = 1
x+1
em torno do ponto x = 1. Determine
os x para quais f(x) e´ a soma dessa serie Taylor.
12. Prove que uma func¸a˜o f : I → R deriva´vel num intervalo I, satisfaz a condic¸a˜o
de Lipschitz |f(x) − f(y)| ≤ k|x − y| para todo x, y ∈ I (k constante) se e somente se
|f ′(x)| ≤ k,∀x ∈ I.
13. Calcule a se´rie de Taylor de f(x) = e−
1
x2 em x = 0. Explique porque f na˜o e´
anal´ıtica em zero.
14. (a) Seja f : I → R deriva´vel num intervalo I. Se f ′(x) = 0 para todo x ∈ I, mostre
que f e´ constante.
(b) Seja f : R → R uma func¸a˜o tal que f ′(x) = f(x) para todo x ∈ R. Use (a) para
provar que existe C ∈ R tal que f(x) = Cex para todo x ∈ R.
15.
(a) De a definic¸a˜o de uma func¸a˜o integra´vel f : [a, b]→ R.
(b) Mostre que se f, g : [a, b]→ R sa˜o func¸o˜es integra´veis, enta˜o a soma f + g e´ tambe´m
integra´vel.
16. Deˆ um exemplo de func¸a˜o integra´vel que seja discont´ınua em um conjunto infinito.
17. Mostre que a func¸a˜o:
f(x) =
{
1 para x = 1
n
, n ∈ N
0 para x 6= 1
n
, n ∈ N
e´ integra´vel em [0, 1] e calcule
∫ 1
0
f(x)dx.
18. Seja f(x) = |x|. Define F (x) = ∫ x−1 f(x)dx.
(a)Encontra uma formula para F (x).
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(b) Encontre o conjunto onde F (x) e´ cont´ınua
(c) Encontre o conjunto onde F (x) e´ deriva´vel.
(d) Encontre o conjunto onde F ′(x) = f(x).
19. Considere a func¸a˜o:
f(x) =
{
1 para x < 0
2 para x ≥ 0
Define F (x) =
∫ x
−1 f(x)dx.
(a)Encontra uma formula para F (x).
(b) Encontre o conjunto onde F (x) e´ cont´ınua
(c) Encontre o conjunto onde F (x) e´ deriva´vel.
(d) Encontre o conjunto onde F ′(x) = f(x).
20. Considere:
f(x) =
{
x
2
+ x2 sin 1
x
para x 6= 0
0 para x = 0
Prove que f ′(0) > 0 mas que f na˜o e´ crescente em nenhuma vizinhanc¸a de 0.
21. Se f : [0, 2]→ R e g : [−1, 1]→ R sa˜o integra´veis, entao mostre que:∫ 2
0
(x− 1) · f [(x− 1)2]dx = 0 =
∫ pi
0
g(sinx) · cosxdx
22. Seja f : R → R deriva´vel tal que f(0) = 0 e para todo x ∈ R vale f ′(x) = [f(x)]2.
Mostre que f(x) = 0 para todo x ∈ R.
23. Mostre que se g : [c, d] → R e´ cont´ınua e f : [a, b] → [c, d] e´ integra´vel, enta˜o
g ◦ f : [a, b]→ R e´ integra´vel.
24. Mostre que a sequeˆncia de func¸o˜es fn(x) = nx(1−x)n converge simplesmente, pore´m
na˜o uniformemente em [0, 1], para a func¸a˜o identicamente nula.
25. Prove que toda sequeˆncia uniformemente convergente de func¸o˜es limitadas e´ uni-
formemente limitada.
26. Prove que a se´rie
∞∑
n=1
(−1)nx
2 + n
n2
converge uniformemente em todo intervalo limitado, mas na˜o converge absolutamente em
nenhum x.
27. Exiba uma sequeˆncia de func¸o˜es fn : [0, 1] → R que convirja uniformemente em
(0, 1) mas na˜o em [0, 1].
28*. Deˆ um exemplo de uma sequeˆncia equicont´ınua de func¸o˜es fn : (0, 1)→ (0, 1) que
na˜o possua subsequeˆncia uniformemente convergente em (0, 1).
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29*. Seja (fn) uma sequeˆncia de func¸o˜es cont´ınuas em [a, b] e suponha que exista uma
sequeˆncia nume´rica (Mn) tal que:
(a) |fn(x)| ≤Mn, para todo x ∈ [a, b] e para todo n ∈ N
(b)
∑∞
n=1Mn <∞.
Prove que a se´rie de func¸o˜es
∑∞
n=1 fn converge uniformemente em [a, b].
30*. Prove que a sequeˆncia fn(x) = sin(nx) na˜o e´ equicont´ınua em [0, 1].
31*. Prove que se fn converge uniformemente para f , enta˜o fn e´ equicont´ınua e limitada.
32*. Prove que se (fn) e´ Lipschitz cont´ınua com mesma constante K independente de
n, enta˜o (fn) e´ equicont´ınua.
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