Eletromagnetismo aula2

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Engenharia Elétrica 
 
 
 
 
 
Eletromagnestismo 
Aula 2 
 
 
Prof. Frank Coelho de Alcantara 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 
Conversa inicial 
Olá! Esta é a nossa segunda aula de Eletromagnetismo. 
Nesta aula veremos o trabalho de Johann Carl Friedrich Gauss, um dos 
cinco mais importantes matemáticos da história. Não nos aprofundaremos na 
matemática de Gauss. Mas, usaremos seus teoremas para entender como 
funciona o dipolo elétrico. 
Você usa um smartphone? Tem o hábito de ouvir rádio no carro? Já usou 
um GPS? Estes são exemplos de tecnologias modernas que não seriam 
possíveis sem o entendimento que Gauss proporcionou sobre campos vetoriais. 
(Isso mesmo, não há como ficarmos muito longe dos vetores, pois 
Eletromagnetismo é o estudo dos campos vetoriais, elétricos e magnéticos.) O 
trabalho de Gauss está relacionado à integração de campos vetoriais em 
superfícies e volumes e ao operador nabla. 
Ao longo desta disciplina, você verá que este é um mundo de 
encantamento. Os eletricistas fazem mágica desde o século XIX. De fato, a 
própria palavra eletricista tem origem na mágica de palco. Mas, como qualquer 
mágico, temos que praticar e conhecer. É uma honra poder acompanhá-lo neste 
aprendizado. 
Contextualizando 
O campo elétrico surge em uma carga qualquer e se propaga até o infinito. 
Este campo dá origem a um escalar, o potencial elétrico. 
Nesta aula veremos como o fluxo elétrico (grandeza que representa a 
quantidade de campo elétrico que atravessa uma superfície) é importante na 
determinação do potencial elétrico e pode ser utilizado para explicar como 
funcionam as antenas de rádio transmissores. A transmissão via ondas 
eletromagnéticas simplificou o mundo tornando a comunicação mais rápida e 
eficiente. Quase na velocidade da luz, transmissões via satélite permitem que 
você saiba agora o que está acontecendo, neste exato momento, em qualquer 
 
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lugar do mundo. Sem antenas (uma no transmissor e outra no receptor) não há 
transmissão de rádio, muito menos televisão e internet. 
Uma antena é o exemplo mais cotidiano do uso de dipolos elétricos. Todas 
as antenas são dipolos, pois apesar de apresentarem as formas mais diversas 
possíveis, todas obedecem aos mesmos princípios descobertos pelos cientistas 
do século XIX e precisam ser entendidas para avançarmos tecnologicamente. 
Só uma pequena curiosidade: hoje criamos antenas tão pequenas e complexas 
que já não são mais projetadas por seres humanos. Algoritmos genéticos 
criaram, por exemplo, a antena que está dentro do seu smartphone. 
Nossa grande questão é: o que o fluxo elétrico tem a ver com antenas de 
rádio transmissão? Você saberá a resposta no final desta rota. 
Assista à contextualização do professor Frank Coelho de Alcantara 
sobre os temas que serão analisados nesta rota no material online. 
Fluxo Elétrico 
O fluxo elétrico é uma medida da passagem do campo elétrico através de 
uma área determinada. Como podemos representar o fluxo elétrico por linhas de 
campo, podemos dizer que este fluxo é proporcional ao número de linhas que 
atravessam uma superfície dada. Por enquanto, vamos considerar que este fluxo 
será constante no tempo e no espaço. 
Ainda no século XIX, Michael Faraday, estudando cargas elétricas 
isoladas, percebeu que independente do isolante (ou dielétrico) parecia existir 
um fluxo elétrico (Ψ) entre estas cargas. Não satisfeito, Faraday também 
demonstrou que existe uma relação entre o fluxo e a carga por meio de uma 
constante de proporcionalidade (𝝐𝟎) que depende do sistema de unidades que 
utilizamos. 
No nosso caso, no Sistema Internacional de Unidades, o fluxo é medido 
em Coulombs: 
𝑄 = Ψ C 
 
 
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Por definição, o fluxo elétrico começa em uma carga positiva e termina 
em uma carga negativa. Esse conceito indica apenas que este sentido foi 
arbitrado, assim como o sinal das cargas, apenas para padronização de estudos 
e medidas. A figura a seguir mostra as linhas de campo, o fluxo elétrico, entre 
duas cargas: 𝑄+ 𝑒 𝑄−. 
 
Se 𝑄+ estivesse só no universo ou 𝑄− estivesse muito longe, as linhas 
sairiam de 𝑄+ em um ângulo fixo, na direção do raio, e se estenderiam de forma 
constante até o infinito. 
O fluxo elétrico é uma grandeza escalar. Entretanto, a densidade de fluxo 
elétrico 𝑫 é um campo vetorial com direção e sentido determinado pelas linhas 
de fluxo. Se nas proximidades do ponto 𝑃, as linhas de fluxo apresentam a 
direção e o sentido do vetor unitário (versor 𝑎) poderemos definir a densidade de 
fluxo elétrico relacionando um elemento diferencial de fluxo elétrico 𝑑Ψ a um 
elemento diferencial de área 𝑑𝑠. De tal forma que a densidade de fluxo que 
atravessa a área 𝑑𝑠 será dada por: 
 
Desta forma, podemos definir o fluxo elétrico, medido em Coulombs, em 
termos da densidade de fluxo elétrico por: 
Ψ = ∫ 𝑫 𝑑𝑠 𝐶 
 
 
 
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 Podemos ainda relacionar o vetor campo elétrico com o vetor 
densidade de fluxo, no vácuo, de tal forma que: 
𝑫 = 𝑬𝜖0 
 
Isto explicita a relação que existe entre as equações que deduzimos a 
partir da Lei de Coulomb com a densidade de fluxo elétrico. Por exemplo. 
Considere um plano infinito de cargas: 
 
𝑬𝑠 =
𝜌𝑠
2𝜖0
∴ 𝑫𝑠 = 
𝜌𝑠
2𝜖0
𝜖0 =
𝜌𝑠
2
 
 
Ou para uma distribuição volumétrica no vácuo, e somente no vácuo: 
 
𝑫 = ∫
𝜌𝑣 𝑑𝑣
4𝜋𝑅2
𝒂𝑅 
Exemplo 1: 
Calcule a carga contida em um volume definido por: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤
1 e 0 ≤ 𝑧 ≤ 1 com todas as distâncias estipuladas em metros supondo que 
exista uma densidade de cargas de 𝜌 = 30𝑥2𝑦 𝜇𝐶/𝑚 
Solução: 
Sabemos que 𝑑𝑄 = 𝜌𝑑𝑣 podemos fazer a integral entre os limites dados. 
𝑄 = ∫ ∫ ∫ 30𝑥2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
1
0
1
0
1
0
 
 
Em 𝑥 : ∫ 30𝑥2𝑦 𝑑𝑥
1
0
= 10𝑦 
 
Em 𝑦: ∫ 10𝑦 𝑑𝑦
1
0
= 5 
 
Em 𝑧: ∫ 5𝑑𝑧
1
0
= 
 𝑄 = 5 𝜇𝐶 
 
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Agora é com o professor Frank Coelho de Alcantara. Veja o que ele 
tem a dizer sobre o fluxo elétrico no material online. 
 
Lei de Gauss e Aplicações 
As experiências de Faraday podem ser extrapoladas para qualquer 
superfície. Podemos dizer que: o fluxo elétrico que atravessa qualquer superfície 
fechada é igual a carga total envolvida por essa superfície. Sendo este, o 
enunciado da Lei de Gauss. 
Se tomarmos Ψ como fluxo elétrico e 𝑄𝑒𝑣 como sendo a carga envolvida 
pela superfície fechada proposta por Gauss e os elementos diferenciais 𝑑Ψ e 𝑑𝑠, 
podemos afirmar que o fluxo total Ψ será dado pela integral de superfície fechada 
dos elementos diferenciais 𝑑𝑠. Ou: Ψ = ∮ 𝑑Ψ = ∮ 𝑫𝑠 ⋅ 𝑑𝑠 
Como a lei de Gauss determina: Ψ = ∮ 𝑫𝑠 ⋅ 𝑑𝑠𝑆 = 𝑄𝑒𝑣 
O que é válido para algumas distribuições de cargas: 
 
Perceba que quando uma superfície envolve uma carga forma-se um 
volume em torno dela. Logo, a carga total será dada pela integral de todos os 
componentes diferenciais de carga. 
𝑄 = ∫𝜌𝑣𝑑𝑣
𝑣
= ∮𝑫𝑠 ⋅ 𝑑𝑠
𝑆
 
 
 
 
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Considerando uma distribuição volumétrica de cargas em que o produto 
escalar entre 𝑫𝑠 e o elemento diferencial de superfície 𝑑𝑠 enfatiza que para cada 
elemento diferencial de áreada superfície que envolve a carga, este fluxo deve 
ser perpendicular a este elemento. Isso simplesmente comprova que o fluxo 
elétrico total que atravessa uma superfície fechada é igual a carga envolvida. 
Aplicações da Lei de Gauss 
As distribuições simétricas de carga são conhecidas como Superfícies 
Gaussianas. Todas atendem as seguintes condições: 
1. Trata-se de uma superfície fechada; 
2. Em cada ponto desta superfície (𝑫𝒔) é normal (ou tangencial) à 
superfície; 
3. D é constante para todos os pontos em que (𝑫𝑠) for normal. 
A segunda condição é importante por que, sendo 𝑫𝒔 normal à superfície 
𝑆, então 𝑫𝑠 ⋅ 𝑑𝑠 se torna simplesmente Dsds
 
, o que faz com que o processo de 
integração seja mais simples. Por outro lado, se 𝑫𝒔 for tangente à superfície 𝑫𝑠 ⋅
𝑑𝑠 = 0 , a integração se dispensa e resulta na inexistência de fluxo nesta 
direção.Ψ 
Esfera de Gauss 
Tomemos, como exemplo uma carga 𝑄, pontual, situada na origem. 
 
 
 
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Como 𝑫𝑠 é normal em todos os pontos da superfície e tem o mesmo valor 
em qualquer ponto da superfície, usando a Lei de Gauss: 
Ψ = ∫𝜌𝑣𝑑𝑣
𝑣
= ∮𝑫𝑠 ⋅ 𝑑𝑠
𝑆
 
Como vimos anteriormente a intensidade de campo elétrico de uma carga 
pontual é dada por: 
𝑬 = 
𝑄
4𝜋𝜖0𝑟2
 𝒂𝑟 
Vimos também que: 𝑫 = 𝜖0𝑬 substituindo, temos: 
𝑫 = 𝜖0
𝑄
4𝜋𝜖0𝑟2
𝒂𝑟 = 
𝑄
4𝜋𝑟2
𝒂𝑟 
Como, em cada ponto infinitesimal da superfície da esfera, 𝑫 será normal 
à superfície, mas ainda seguirá o versor 𝑎𝑟 assim temos: 
𝑫𝒔 = 
𝑄
4𝜋𝑟2
𝒂𝑟 
Por sua vez, o elemento diferencial de área de uma superfície esférica em 
coordenadas esféricas é dado por: 𝑑𝑠 = 𝑟2𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜙𝑑𝜃, este elemento diferencial 
seguirá o mesmo vetor unitário. Sendo assim: 
𝑑𝑠 = 𝑟2𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜙𝑑𝜃 𝒂𝑟 
Teremos então: 
Ψ = ∮
𝑄
4𝜋𝑟2
𝑟2𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜙𝑑𝜃 𝒂𝑟 ⋅ 𝒂𝑟
𝑆
 
Ψ = ∮
𝑄
4𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜙𝑑𝜃 
𝑠
 
 
Integrando de forma a cobrir toda a superfície da esfera, temos: 
Ψ = ∫ ∫
𝑄
4𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜙𝑑𝜃 
𝜙=2𝜋
𝜙=0
𝜃=𝜋
𝜃=0
=
𝑄
2
(− cos 𝜃)|
0
𝜋
= 𝑄 
 
O que, despudoradamente, confirma a Lei de Gauss. 
Q = ∮𝑫𝑠 ⋅ 𝑑𝑠
𝑆
 
 
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Linha infinita de cargas 
Tomemos uma linha infinita de cargas com 𝜌𝐿 𝐶/𝑚 coincidente com o eixo 
𝑧. Com esta distribuição, para determinar 𝑫 em um ponto 𝑃 qualquer, devemos 
optar por uma superfície também infinita e cilíndrica. 
 
Utilizando o sistema de coordenadas cilíndricas, podemos afirmar que a 
superfície que utilizaremos para cálculo do fluxo estará a uma distância 𝜌 da 
linha de cargas. Observe que, neste caso, o ponto 𝑃 deverá estar sobre a 
superfície gaussiana, ou seja, sobre o cilindro. Ainda que a linha de cargas seja 
infinita, nossa superfície gaussiana não é, estendendo-se de 𝑧 = 0 até 𝑧 = 𝐿. 
Utilizando a Lei de Gauss vemos que: 
𝑄 = ∮ 𝑫𝑠 ⋅ 𝑑𝑠 
Observe que o campo elétrico produzido pela linha de cargas não tem 
componente vetorial na direção do vetor unitário da própria linha. Neste caso o 
𝑫𝑡𝑜𝑝𝑜 = 𝑫𝑏𝑎𝑠𝑒 = 0. Consequentemente, a densidade de fluxo elétrico será 
determinada apenas pelo lado do cilindro, ou: 
𝑄 = 𝑫𝑠 ∫ 𝑑𝑠
𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠
 
 
 
 
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Utilizando os limites do cilindro e o elemento infinitesimal das 
coordenadas cilíndricas, temos: 
 
Novamente, como 𝑫𝑠 tem a mesma direção e sentido de 𝜌 temos que: 
𝑫𝑠 = 𝑫𝜌 =
𝑄
2𝜋𝜌𝐿
 
Se levarmos em consideração que a densidade de cargas é dada por 𝜌𝑙 =
𝑄/𝐿 podemos afirmar que: 
𝑫𝜌 =
𝜌𝑙
2𝜋𝜌
∴ 𝐸𝜌 = 
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0𝜌
 
Plano infinito de cargas 
Vamos estudar um plano infinito de cargas com 𝜌𝑠 𝐶/𝑚
2 sobre o plano 𝑧. 
Neste caso vamos escolher como superfície gaussiana uma caixa retangular 
com suas faces maiores perpendiculares ao plano. Lembre-se, se não conseguir 
encontrar uma superfície simétrica não poderá usar a Lei de Gauss. Para 
determinar 𝑫 em um ponto 𝑃 nas faces menores precisamos considerar que 
nossa distribuição de cargas é infinita, mas a superfície gaussiana escolhida é 
finita. 
 
 
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As faces menores são escolhidas já que nelas o campo elétrico existe e é 
perpendicular ao plano. Assim sendo, não existem os componentes ax e ay. Nas 
faces maiores, como 𝑫, não tem componentes nesta direção 𝑫𝑠 ⋅ 𝑑𝑠 = 0. 
Logo: 
𝑄 = ∮ 𝑫𝑠 ⋅ 𝑑𝑠 = 𝐷𝑧 [∫ 𝑑𝑠
𝑡𝑜𝑝𝑜
+ ∫ 𝑑𝑠
𝑏𝑎𝑠𝑒
] 
 
Considere agora que as áreas referentes ao topo e a base sejam 
representadas pela leta 𝐴. Como 𝑑𝑠 representa um elemento infinitesimal e 
superfície, temos: 
𝐴 = ∫ 𝑑𝑠
𝑡𝑜𝑝𝑜
+ ∫ 𝑑𝑠
𝑏𝑎𝑠𝑒
 
 
Como vimos antes, graças a Lei de Gauss: 
𝑄 = ∫𝜌𝑠𝑑𝑠
𝑠
= ∮ 𝑫𝑠 ⋅ 𝑑𝑠 
Ou, já que 𝜌𝑠 é constante temos: 
𝑄 = 𝜌𝑠 ∫𝑑𝑠
𝑠
= ∮ 𝑫𝑠 ⋅ 𝑑𝑠 
Lembrando que ∫ 𝑑𝑠
𝑠
 representa o somatório de todos os elementos 
infinitesimais de área, ou seja, área. Então: 
𝜌𝑠𝐴 = 𝑫𝑧(𝐴 + 𝐴) 
Novamente precisamos prestar atenção ao vetor unitário referente ao 
campo 𝑬. Neste caso, este vetor só possui o componente az, sendo assim: 
𝑫 =
𝜌𝑠
2
𝒂𝑧 ∴ 𝑬 =
𝜌𝑠
2𝜖0
𝒂𝑧 
Em que az = aS, já que só temos componentes neste eixo. 
 
 
 
 
 
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Leitura Complementar: 
Se puder, leia o capítulo 3.3 do livro do Hayt (2012), que demonstra 
cuidadosamente outros exemplos da Lei de Gauss. 
HAYT, W.; BUCK, J. A. Eletromagnetism. 8º. ed. New York, NY, USA: 
McGrawHill, 2012. 
No material online, o professor Frank Coelho de Alcantara explica 
um pouco mais sobre a Lei de Gauss e suas respectivas aplicações. Não 
perca! 
Teorema da Divergência e Potencial Elétrico 
Existem duas formas de determinar como um campo vetorial varia através 
do espaço. A divergência (ou divergente) e o rotacional. Nesta aula iremos 
estudar a divergência. O teorema da divergência de Gauss relaciona o fluxo 
elétrico através de uma superfície com o comportamento de um campo vetorial 
no interior desta superfície. Ou, literalmente: “A divergência do vetor densidade 
de fluxo elétrico 𝑫 é a variação do fluxo através de uma superfície fechada de 
um pequeno volume que tende a zero” (HAYT e BUCK, 2012). 
A divergência de um campo vetorial pode ser nula, negativa ou positiva. 
Quando a divergência é positiva diz-se que nesta região do espaço existe uma 
fonte, quando a divergência é negativa diz-se que existe um sorvedouro. Existe 
uma relação entre a divergência positiva, as fontes e as cargas positivas. 
Similarmente, podemos associar a divergência negativa com o sorvedouro e as 
cargas negativas. 
Se uma região do espaço contém cargas positivas, contém também fontes 
de fluxo Ψ e a divergência do vetor densidade de fluxo 𝑫 será positiva. 
Definimos a divergência de um campo vetorial 𝑨 qualquer no ponto 𝑃, 
como: 
 
 
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Divergência 
Para definir a divergência em coordenadas cartesianas usaremos um 
cubo de arestas Δ𝑥 , Δ𝑦, Δ𝑧 , como pode ser visto na figura a seguir. 
 
Usando o ponto 𝑃, vértice com as menores coordenadas, podemos definir 
o vetor 𝑨 por: 
𝑨 = 𝐴𝑧𝒂𝑧 + 𝐴𝑦𝒂𝑦 + 𝐴𝑧𝒂𝑧 
Para obter o produto vetorial entre a integral de superfície de 𝑨 e o 
elemento diferencial 𝑑𝑠, ∮ 𝑨 ⋅ 𝑑𝑠, somos forçados a analisartodas as seis faces 
de cubo. 
O vetor 𝑑𝑠 será normal e estará saído de todas as faces do cubo. Isso 
implica que cada par de faces paralelas será atravessado apenas por um 
componente de 𝑨. Tomemos, por exemplo, as faces marcadas com a e b 
paralelas ao eixo dos x. Neste caso, a área da face a esquerda será igual a área 
da face a direita e ambas, por serem infinitesimais serão iguais a Δ𝑦Δ𝑧. Logo: 
∫ 𝑨 ⋅ 𝒅𝒔 ≅ −𝐴𝑥(𝑥)Δ𝑦Δ𝑧
𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
 
∫ 𝑨 ⋅ 𝒅𝒔 ≅ 𝐴𝑥(𝑥 + Δ𝑥)Δ𝑦Δ𝑧
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
≅ [𝐴𝑥(𝑥) +
𝛿𝐴
𝛿𝑥
Δ𝑥] Δ𝑦Δ𝑧 
 
Desta forma, o fluxo total referente a estas duas faces será dado por: 
𝛿𝐴𝑥
𝛿𝑥
Δ𝑥Δ𝑦Δ𝑧 
 
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Extrapolando para todas as superfícies: 
∮ 𝑨 ⋅ 𝒅𝒔 = (
𝛿𝐴𝑥
𝛿𝑥
+
𝛿𝐴𝑦
𝛿𝑦
+
𝛿𝐴𝑧
𝛿𝑧
) Δ𝑥Δ𝑦Δ𝑧 
 
Ou: 
∮ 𝑫 ⋅ 𝒅𝒔 = (
𝛿𝐷𝑥
𝛿𝑥
+
𝛿𝐷𝑦
𝛿𝑦
+
𝛿𝐷𝑧
𝛿𝑧
) Δ𝑥Δ𝑦Δ𝑧 
Fazendo com que Δ𝑥Δ𝑦Δ𝑧 seja igual a um Δ𝑣 no limite, com Δ𝑣 → 0, temos: 
𝑑𝑖𝑣 𝑫 = 
𝛿𝐷𝑥
𝛿𝑥
+
𝛿𝐷𝑦
𝛿𝑦
+
𝛿𝐷𝑧
𝛿𝑧
 
Com um pouco de trabalho podemos chegar a divergência em 
coordenadas cilíndricas: 
𝑑𝑖𝑣 𝑫 =
1
𝜌
𝛿
𝛿𝜌
(𝜌𝐷𝜌) +
1
𝜌
𝛿𝐷𝜙
𝛿𝜙
+
𝛿𝐷𝑧
𝛿𝑧
 
E esféricas: 
𝑑𝑖𝑣 𝑫 =
1
𝑟2
𝛿
𝛿𝑟
(𝑟2𝐷𝑟) +
1
𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝛿
𝛿𝜃
(𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃) +
1
𝑟 𝑠𝑒𝑚 𝜃
𝛿𝜙
𝛿𝜙
 
 
Por fim, é necessário observar que a divergência é uma operação 
realizada em um vetor que resulta em um escalar (HAYT e BUCK, 2012). Desta 
forma, definimos o operador nabla (∇), ou del, como sendo um operador que 
possa ser multiplicado por 𝑫 e forneça 𝑑𝑖𝑣 𝑫 de tal forma que: 
𝑑𝑖𝑣 𝑫 = 
𝛿𝐷𝑥
𝛿𝑥
+
𝛿𝐷𝑦
𝛿𝑦
+
𝛿𝐷𝑧
𝛿𝑧
 
Sendo assim, podemos definir ∇ como sendo: 
∇ = 
𝛿
𝛿𝑥
𝒂𝑥 +
𝛿
𝛿𝑦
𝒂𝑦 +
𝛿
𝛿𝑧
𝒂𝑧 
 
Lembre-se, estamos trabalhando com vetores. Ou seja: 
∇ ⋅ 𝐃 = (
𝛿
𝛿𝑥
𝒂𝑥 +
𝛿
𝛿𝑦
𝒂𝑦 +
𝛿
𝛿𝑧
𝒂𝑧) ⋅ (𝐷𝑥𝒂𝑥+𝐷𝑦𝒂𝑦 + 𝐷𝑧𝒂𝑧) 
 
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Tomando ∇ ⋅ 𝐃, removendo os termos nulos por perpendicularidade 
teremos: 
∇ ⋅ 𝐃 =
𝛿𝐷𝑥
𝛿𝑥
𝒂𝑥 +
𝛿𝐷𝑦
𝛿𝑦
𝒂𝑦 +
𝛿𝐷𝑧
𝛿𝑧
𝒂𝑧 
Tome cuidado com o operador 𝜵. Este operador só é definido para 
coordenadas cartesianas. Podemos encontrar a divergência em coordenadas 
cilíndricas: 
 
Mas não encontraremos um: 
 
O mesmo vale para as coordenadas esféricas. 
Teorema da divergência de Gauss 
Partindo da Lei de Gauss e tomando uma carga elétrica sobre um volume 
qualquer temos que: 
∮ 𝑫 ⋅ 𝑑𝑠 = 𝑄 = ∫ 𝜌 𝑑𝑣
𝑣𝑜𝑙𝑠
 
Em termos vetoriais, a densidade de carga 𝜌 pode ser expressa por ∇ ⋅ 𝑫 
substituindo temos: 
∮𝑫 ⋅ 𝑑𝑠
𝑠
= 𝑄 = ∫ (∇ ⋅ 𝑫) 𝑑𝑣
𝑣𝑜𝑙
 
A integral da componente normal de qualquer campo vetorial sobre uma 
superfície fechada é igual a integral da divergência deste campo através do 
volume envolvido pela superfície fechada (HAYT e BUCK, 2012). 
A Lei de Gauss diz que a integral de superfície fechada ∮ 𝑫 ⋅ 𝑑𝑠
𝑠
 é igual a 
carga contida pela mesma. O Teorema de Divergência de Gauss afirma que 
conhecida da densidade de cargas 𝜌 do volume interno da superfície, a carga 
poderá ser encontrada por meio da integração de 𝜌 através do volume. 
 
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Não deixe de notar que o Teorema de Gauss tem uma função importante 
na solução de problemas complexos. Utilizando este teorema podemos resolver 
integrais de superfície em lugar de integrais de volume. Consequentemente, 
problemas de distribuição de cargas aparentemente insolúveis, dada sua 
geometria, são facilmente resolvidos com o uso de uma superfície gaussiana. 
Trabalho necessário para movimentar uma carga 
Uma carga pontual 𝑄 sujeita a um campo elétrico 𝑬 sobre a ação de uma 
força dada por: 𝑭 = 𝑄𝑬. Esta força dá origem a uma aceleração que tende a 
mover a partícula carregada segundo a direção do campo aplicado. Para manter 
essa partícula em equilíbrio precisamos de uma força de mesmo módulo, mesma 
direção e sentido oposto: 𝑭𝒂 = −𝑄𝑬. 
Uma linha de campo elétrico mostra a direção e o sentido da força que 
atua sobre uma carga de testes. E o número de linhas que desenhamos tem uma 
relação arbitrária com a carga. 
Definimos trabalho, positivo ou negativo, como a ação de uma força sobre 
determinada distância. Uma força aplicada a uma partícula que se desloque 
realiza um trabalho infinitesimal 𝑑𝑊 ao longo da distância, também infinitesimal 
𝑑𝑙. Quando a força e o deslocamento apresentarem direções distintas 
deveremos usar o componente da força segundo 𝑑𝑙: 
 
Em que 𝜃 é o ângulo ente o elemento de caminho e o vetor campo. Desta 
forma, como a força que devemos aplicar, segundo um agente externo, em um 
campo elétrico é dada por: 𝑭𝒂 = −𝑄𝑬 teremos: 
𝑑𝑊 = −𝑄𝑬 ⋅ 𝑑𝑙 
 
 
 
 
 
 
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De forma vetorial, podemos definir 𝑑𝑙 nos três sistemas de coordenadas. 
 
 
Tratando-se de quantidades infinitesimais, o trabalho necessário deve ser 
obtido a partir da integral entre os pontos que definem o deslocamento: 
𝑊 = ∫ −𝑄𝑬 ⋅ 𝑑𝑙
𝑓𝑖𝑚
𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜
 
Se a carga de prova for deslocada em uma direção perpendicular ao 
campo 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0, nenhum trabalho será realizado, pois este caminho é dito estar 
sobre uma linha equipotente (aprofundaremos isso mais adiante). Devemos 
também observar que o maior trabalho por unidade de distância será realizado 
quando 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 1 ou quando o movimento for normal a uma superfície 
equipotencial 
Diferença de Potencial 
A diferença de potencial (𝑽) de um ponto 𝑨 em relação a um ponto 𝑩 pode 
ser definida como o trabalho realizado por uma fonte externa para movimentar 
uma carga de prova 𝑸 de 𝑨 para 𝑩 dentro de um campo elétrico 𝑬. 
𝑉𝐴𝐵 =
𝑊
𝑄
= − ∫ 𝑬 ⋅ 𝑑𝑙
𝐴
𝐵
= − ∫ 𝐸 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑙
𝐴
𝐵
 
 
A diferença de potencial, ou 𝑑𝑑𝑝, será medida, no Sistema Internacional 
de Unidades em volts (V) ou joule por Coulomb (J/C). O potencial 𝑉𝐴𝐵 será 
positivo se existir trabalho durante o deslocamento da carga positiva do ponto 𝐵 
até 𝐴. Neste caso, dizemos que o potencial de 𝐴 é maior que o potencial de 𝐵. 
 
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Este é um resultado muito importante. Chamaremos ao longo de toda 
carreira como engenheiros este potencial elétrico de tensão e o usaremos como 
referência em todos nossos projetos 
Apesar de calcularmos 𝑉𝐴𝐵 , calcularemos o trabalho considerando o 
deslocamento de 𝐵 até 𝐴. Parece estranho, principalmente com relação a 
notação mas, isso se justificará, na prática o ponto 𝐴 acabará sendo mais 
significativo. Note também que se 𝑉𝐴𝐵 é negativo existe uma perda de energia 
potencial. Isso indica que o trabalho está sendo realizado pelo campo onde a 
carga está. Se 𝑉𝐴𝐵 é positivo, existe um ganho de energia potencial indicando 
que o trabalho está sendo realizado por um agente externo. 
Por fim, no futuro, veremos que 𝑉𝐴𝐵 é independente do caminho usado 
para o deslocamento da carga sobre o campo. 
Exemplo 2: 
Calcule o potencial elétrico entre os pontos 𝐴(2, 0, 0) e 𝐵(0, 2, 0), sabendo 
que um campo elétrico de E = 2xax – 4yay V/m desloca uma carga de +2 𝐶 sob 
a reta que liga estes dois pontos. 
Solução: primeiro calculamos o vetor trabalho diferencial: 
𝑑𝑊 = −𝑄𝑬 ⋅ 𝑑𝑙 
𝑑𝑊 = −(2)(2𝑥𝒂𝑥 − 4𝑦𝒂𝑦) ⋅ 𝑑𝑥𝒂𝑥 + 𝑑𝑦𝒂𝑦 + 𝑑𝑧𝒂𝑧 
𝑑𝑊 = −4𝑥𝒂𝑥 +8𝑦𝒂𝑦 ⋅ 𝑑𝑥𝒂𝑥 + 𝑑𝑦𝒂𝑦 + 𝑑𝑧𝒂𝑧 
𝑑𝑊 = −4𝑥𝑑𝑥 + 8𝑦𝑑𝑦 
A equação da reta é dada por: 𝑥 + 𝑦 = 2, resolvendo em função de 𝑥 e 
derivando temos que 𝑦 = 2 − 𝑥 e 𝑑𝑦 = −𝑑𝑥 substituindo: 
𝑑𝑊 = −4𝑥𝑑𝑥 + 8(2 − 𝑥)(−)𝑑𝑥 
𝑑𝑊 = −4𝑥𝑑𝑥 − 16𝑑𝑥 + 8𝑥𝑑𝑥 
𝑑𝑊 = (4𝑥 − 16)𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
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Sendo assim, o trabalho será dado por: 
𝑊 = ∫ (4𝑥 − 16)𝑑𝑥 = 24 𝐽
0
2
 
Com a intensidade do trabalho realizado, o cálculo da diferença de 
potencial é dado por: 
𝑉𝐴𝐵 =
𝑊
𝑄
=
24 𝐽
2 𝐶
= 12 𝑉 
 Potencial elétrico 
Na maior parte das vezes, o que mediremos será o potencial de um ponto. 
Contudo, este valor só terá sentido se concordarmos que estamos, na verdade, 
medindo a diferença de potencial entre este ponto e um ponto onde o potencial 
é zero. A referência mais utilizada em engenharia elétrica é a Terra. O potencial 
da superfície do planeta é no nível do mar e nas condições normais de 
temperatura e pressão. 
Na prática, consideramos a Terra como um terminal comum, ligado em 
um referencial conhecido. No seu celular, por exemplo, o potencial de referência 
será o terminal negativo da bateria. Em uma instalação industrial será o potencial 
existente em uma barra de cobre enterrada. 
O potencial elétrico pode ser calculado diretamente por meio da diferença 
de potencial: 
𝑉𝐴𝐵 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 
Entretanto, para que isso seja verdade, 𝑉𝐴 e 𝑉𝐵 deverão utilizar a mesma 
referência de zero. 
O potencial em qualquer ponto do espaço é a diferença de potencial entre 
este ponto e um ponto escolhido como referência, cujo potencial é zero. 
Leitura Complementar: 
Se puder, leia o capítulo 4.3 do livro do Hayt (2012), que descreve o valor 
potencial de referência. 
HAYT, W.; BUCK, J. A. Eletromagnetism. 8º. ed. New York, NY, USA: 
McGrawHill, 2012. 
 
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20 
Saiba mais sobre o teorema da divergência e potencial elétrico 
assistindo à explicação do professor Frank Coelho de Alcantara, no 
material online. 
Potencial Elétrico: casos específicos 
Potencial de uma carga pontual 
Vimos que o campo elétrico provocado por uma carga pontual 𝑄 é 
totalmente radial. Sendo assim, o valor da diferença de potencial elétrico 𝑉𝐴𝐵 será 
dado por: 
𝑉𝐴𝐵 =
𝑊
𝑄
= − ∫ 𝑬 ⋅ 𝑑𝑙
𝐴
𝐵
 
 
Substituindo e equação de 𝑬 em coordenadas esféricas temos: 
𝑉𝐴𝐵 = − ∫ 𝑬 ⋅ 𝑑𝑙 = 
𝐴
𝐵
− ∫ 𝑬𝒓 ⋅ 𝑑𝑟 = 
𝐴
𝐵
− ∫
𝑄
4𝜋𝜖0𝑟2
⋅ 𝑑𝑟𝒂𝑟 = 
𝐴
𝐵
 
𝑉𝐴𝐵 = −
𝑄
4𝜋𝜖0
∫
1
𝑟2
⋅ 𝑑𝑟𝒂𝑟 = 
𝑄
4𝜋𝜖0
(
1
𝑟𝑎
−
1
𝑟𝑏
) 
𝐴
𝐵
 
𝑉𝐴𝐵 = 
𝑄
4𝜋𝜖0
(
1
𝑟𝑎
−
1
𝑟𝑏
) 
 
Se a carga 𝑄 for positiva, o ponto 𝐴 estará em um potencial maior que o 
ponto 𝐵. Mas, queremos o potencial de uma carga pontual. Lembrando que o 
campo elétrico se estende da carga até o infinito, vamos colocar o ponto 𝐵 no 
infinito e teremos: 
𝑉𝐴∞ = 
𝑄
4𝜋𝜖0
(
1
𝑟𝑎
−
1
𝑟𝑏
) ∴ 
𝑄
4𝜋𝜖0
(
1
𝑟𝑎
−
1
∞
) 
𝑉 = 
𝑄
4𝜋𝜖0
(
1
𝑟
) 
 
 
 
 
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21 
Observe que não há razão para indicar o ponto 𝐴 no index da diferença 
de potencial. Esta equação define o valor do potencial elétrico em um ponto 
qualquer, distante 𝒓 metros da carga 𝑸 desde que tenhamos considerado o 
infinito como referência de potencial zero. 
A equação obtida para o potencial de uma carga pontual, ainda que não 
tenha sido explicitado, só estará correta se colocarmos a carga 𝑄 na origem do 
sistema de coordenadas. Fazemos isso para facilitar os cálculos. Contudo, se a 
carga 𝑄 não estiver na origem, tudo que teremos que fazer é encontrar o vetor 
posição 𝑹 referente ao ponto em que a carga se encontra e, neste caso, teremos: 
𝑉 = 
𝑄
4𝜋𝜖0
(
1
|𝑟 − 𝑟′|
) 
Superfície equipotencial 
Definimos o potencial de uma carga pontual. Podemos aplicar os mesmos 
conceitos para definir o potencial de outros tipos de distribuição de cargas. Para 
isso, tudo que precisamos é considerar qualquer distribuição de cargas como um 
conjunto de cargas pontuais. O princípio da superposição pode ser aplicado para 
o cálculo do potencial. Sendo assim, se tivermos um conjunto de 𝑛 cargas 
𝑄1, 𝑄2, … 𝑄𝑛 localizadas em pontos com vetores posição 𝑟1, 𝑟2, … 𝑟𝑛, teremos: 
𝑉(𝑟) = 
𝑄1
4𝜋𝜖0
(
1
|𝑟 − 𝑟1|
) +
𝑄2
4𝜋𝜖0
(
1
|𝑟 − 𝑟2|
) + ⋯ +
𝑄𝑛
4𝜋𝜖0
(
1
|𝑟 − 𝑟𝑛|
) 
 
O que, em notação mais amigável, nos leva a: 
𝑉(𝑟) =
1
4𝜋𝜖0
∑ (
𝑄𝑘
|𝑟 − 𝑟𝑘|
)
𝑛
𝑘=1
 
Para distribuições contínuas de carga, em que cada carga é infinitesimal, 
precisamos recorrer aos princípios da integração e a densidade de cargas. Neste 
caso a carga 𝑄 será substituída por: 𝜌𝑙𝑑𝑙, 𝜌𝑠𝑑𝑠 𝑜𝑢 𝜌𝑣𝑑𝑣 e os potenciais serão 
determinados por: 
 
 
 
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22 
 
Em que as coordenadas 𝑟 indicam o ponto de origem do campo elétrico e 
as coordenadas 𝑟´ o ponto em que o potencial precisa ser medido (SADIKU, 
2014). O potencial 𝑽𝒓 é definido em relação ao infinito (referência zero) e é o 
trabalho necessário para trazer uma carga do infinito até o ponto r (HAYT e 
BUCK, 2012). Uma vez que entendemos como podemos calcular o potencial 
devido a uma superfície, definimos superfície equipotencial como sendo uma 
superfície composta de pontos que tenham o mesmo potencial. Note que, em 
superfícies equipotenciais, não há trabalho para o deslocamento de cargas já 
que todas as cargas da superfície estão no mesmo potencial. (HAYT e BUCK, 
2012). 
Observe que nas equações de potencial das diversas superfícies, 
independente da superfície, o potencial elétrico é inversamente proporcional à 
distância do ponto e não há referência ao caminho entre a carga e o ponto em 
que o potencial é medido. 
Então, se a energia gasta para deslocar uma carga entre pontos em 
qualquer direção e sentido for sempre o mesmo, não há trabalho no 
deslocamento de cargas em circuitos fechados. 
∮ 𝑬 ⋅ 𝑑𝑙 = 0 
Esta é uma das mais importantes afirmações do eletromagnetismo e 
serve como explicação da lei de Kirchhoff, ainda que estejamos falando apenas 
de correntes contínuas e campos estáticos. 
 
 
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23 
Agora é com o professor Frank Coelho de Alcantara. Veja o que ele 
tem a dizer sobre os casos específicos do potencial elétrico no material 
online. 
Dipolo Elétrico 
Os métodos que vimos até o momento carecem de praticidade na 
determinação do potencial elétrico de um ponto. Mas, na maioria das vezes, não 
temos o conhecimento necessário do campo elétrico presente ou da distribuição 
de cargas sobre a superfície. 
Na vida real, geralmente, desejamos encontrar a capacitância que existe 
entre dois condutores, ou a distribuição de correntes sobre uma superfície, ou 
ainda, entender por que existe tanto ruído em um ponto do circuito. Nestes 
casos, por motivo de praticidade, precisamos relacionar o potencial elétrico com 
o campo elétrico. 
Gradiente de potencial elétrico 
Tomemos a equação da diferença de potencial entre dois pontos. 
𝑉𝐴𝐵 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = − ∫ 𝑬 ⋅ 𝑑𝑙
𝐴
𝐵
 
Se considerarmos, como o fizemos até o momento, o campo 𝑬 constante 
e lançarmos mão dos conceitos infinitesimais, poderemos representar esta 
equação em termos mais simples, antes da integração: 
Δ𝑉 = −(𝑬 ⋅ 𝚫𝒍) 
Considerando um ângulogenérico 𝜃 entre estes vetores, poderemos 
resolver o produto escalar de tal forma que: 
(𝑬 ⋅ 𝚫𝒍) = 𝐸Δ𝑙 cos 𝜃 ∴ Δ𝑉 = −𝐸Δ𝑙 cos 𝜃 
Desta equação podemos tirar que o elemento infinitesimal de potencial 
elétrico, a variação do potencial, pode ser relacionada com o elemento 
infinitesimal do caminho ou: 
𝑑𝑉
𝑑𝑙
= − 𝐸 𝑐𝑜𝑠𝜃 
 
 
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24 
Quando cos 𝜃 = −1, teremos o valor máximo desta relação em 𝜋. Ou seja, 
a magnitude do campo elétrico é dada pela taxa máxima de variação do potencial 
elétrico com a distância e esta magnitude será encontrada quando a direção do 
caminho infinitesimal for oposta a direção do campo elétrico. 
Considere, duas superfícies equipotenciais, como ilustrado na figura a 
seguir. Observe a existência de um ponto 𝑃, colocado sobre a superfície 
𝑉(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑣1 e queremos encontrar o potencial sobre a superfície 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑣2 >
𝑣1, sendo assim, a maior taxa de potenciais ocorrerá no sentido de Δ𝑉.] 
 
Como vimos, graças ao produto escalar a magnitude do campo elétrico 
será oposta a direção de Δ𝑉 . 
Consequentemente, podemos definir o vetor campo elétrico como sendo 
o produto desta variação máxima por um vetor unitário 𝑎𝑛 ou em termos 
matemáticos: 
 
Se fizermos a derivada direcional desta expressão podemos expressar o 
vetor campo elétrico máximo como sendo: 
𝑬 = −
𝑑𝑉
𝑑𝑁
𝒂𝑛 
 
 
 
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25 
A operação 
𝑑𝑉
𝑑𝑁
𝒂𝑛 é conhecida com gradiente do potencial elétrico, e pode 
ser escrito na forma: 
𝐸 = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 
 
O gradiente é uma operação vetorial realizada sobre um escalar, cujo 
resultado é um vetor. Trata-se de um termo para indicar a taxa de variação de 
um campo vetorial indicando a direção desta variação. 
Clique no link a seguir e acesse um site (em inglês) que explica um pouco 
mais sobre esse tipo de operação. 
http://betterexplained.com/articles/vector-calculus-understanding-the-
gradient/ 
 
A forma mais tradicional de representar o gradiente inclui o uso de 
derivadas parciais para expressar os componentes do vetor infinitesimal 𝑑𝑙. 
Neste caso podemos utilizar o operador ∇: 
∇ = 
𝛿
𝛿𝑥
𝒂𝑥 +
𝛿
𝛿𝑦
𝒂𝑦 +
𝛿
𝛿𝑧
𝒂𝑧 
 Como, em termos de derivadas parciais pode ser representado por: 
𝑑𝑉 = 
𝛿𝑉
𝛿𝑥
𝑑𝑥 +
𝛿𝑉
𝛿𝑦
𝑑𝑦 +
𝛿𝑉
𝛿𝑧
𝑑𝑧 = −𝐸𝑥𝑑𝑥 − 𝐸𝑦𝑑𝑦 − 𝐸𝑧𝑑𝑧 
 
De onde podemos tirar que: 
 
Em termos de derivadas parciais, considerando os sistemas de unidades 
estudados até agora, podemos representar o gradiente como: 
 
 
 
 
 
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26 
 
 
Exemplo 3: 
Dada a função potencial 𝑉 = 2𝑥 + 4𝑦 volts. Calcule a energia necessária 
para carregar um capacitor que possui um volume de 1 𝑚3 centrado na origem 
e no espaço livre. 
Solução: 
 
Resolvendo as derivadas parciais: 
𝐸 = −2𝒂𝑥 − 4𝒂𝑦 ∴ |𝐸| = √20 
O campo 𝑬 tem magnitude de √20, tem direção e sentido constantes e 
está definido em todo e qualquer ponto do espaço livre. Sendo assim, a energia 
acumulada é infinita. Seria necessária uma quantidade de trabalho infinita para 
carregar este capacitor. 
Exemplo 4: 
Dado um potencial de 𝑉 =
10
𝑟2
 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜙, calcule a densidade de fluxo 
elétrico em (2,
𝜋
2
, 0) 
Solução: 
𝑬 = −∇𝑉 = (
𝛿𝑉
𝛿𝑟
𝒂𝑟 +
1
𝑟
𝛿𝑉
𝛿𝜃
𝒂𝜃 +
1
𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝛿𝑉
𝛿𝜙
𝒂𝜙) 
 
 
 
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27 
 
Substituindo e calculando as diferencias parciais temos: 
𝐸 =
20
𝑟3
 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜙 𝒂𝑟 −
10
𝑟3
cos 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝒂𝜃 +
10
𝑟3
 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝒂𝜙 
 
Sabendo que 𝑫 = 𝜖0𝑬 no ponto (2,
𝜋
2
, 0), teremos: 
𝑫 = 𝜖0 (
20
𝑟3
 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜙 𝒂𝑟 −
10
𝑟3
cos 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝒂𝜃 +
10
𝑟3
 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝒂𝜙) 
𝑫 = 𝜖0 (
20
8
𝒂𝑟 − 0𝒂𝜃 + 0𝒂𝜙) = 22,1 𝒂𝑟 𝑝𝐶/𝑚
2 
Dipolo elétrico 
Damos o nome de dipolo elétrico, ou simplesmente dipolo, ao conjunto de 
duas cargas pontuais de igual magnitude e sinais contrários separados por uma 
pequena distância em relação ao ponto 𝑷, onde mediremos o potencial e o 
campo elétrico. A figura a seguir mostra uma distribuição de um dipolo em um 
sistema de coordenadas cartesianas. 
 
Vamos calcular o valor do potencial elétrico em 𝑃. Desta forma, vamos 
considerar as distâncias entre as cargas como 𝑅1𝑒 𝑅2, respectivamente. 
Sendo assim: 
𝑉(𝑟) = 
𝑄
4𝜋𝜖0
(
1
𝑅1
−
1
𝑅2
) 
𝑉(𝑟) = 
𝑄
4𝜋𝜖0
(
𝑅2 − 𝑅1
𝑅1𝑅2
) 
 
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28 
Neste caso, observe que se o ponto 𝑃 estiver muito distante das cargas, 
o potencial neste ponto tende a zero. 
Contudo, podemos colocar o ponto 𝑃 suficientemente distante para que o 
potencial não seja zero, mas suficientemente perto para que possamos 
considerar os vetores entre as cargas e o ponto com sendo paralelos na 
proximidade da carga. 
 
 
Sendo assim: 
𝑅1 − 𝑅2 = 𝑑 𝑐𝑜𝑠𝜃 
 
Desta forma: 
𝑉 =
𝑄𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃
4𝜋𝜖0𝑟2 
 
 
Usando o gradiente em coordenadas esféricas podemos encontrar 𝑬. 
𝑬 = −∇𝑉 
𝑬 = − (
𝛿𝑉
𝛿𝑟
𝒂𝑟 +
1
𝑟
𝛿𝑉
𝛿𝜃
𝒂𝜃 +
1
𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝛿𝑉
𝛿𝜙
𝒂𝜙) 
 
 
 
 
 
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29 
Substituindo: 
 
Voltando ao potencial 𝑉 , vamos escolher um dipolo onde 𝑄𝑑/4𝜋𝜖0 é igual 
a 1 e resolver a equação do potencial. 
𝑉 =
𝑄𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃
4𝜋𝜖0𝑟2 
∴ 𝑉 = 1 ×
1
𝑟2
× 𝑐𝑜𝑠𝜃 
 
Logo, como cos 𝜃 = 𝑉𝑟2, uma plotagem desta equação pode ser vista na 
figura a seguir, em que as linhas azuis indicam as linhas equipotenciais para 
valores diferentes de potencial elétrico. Observe também que o dipolo é vertical 
com carga positiva no topo e as linhas referentes ao campo elétrico, em preto, 
são obtidas das equações de campo elétrico em coordenadas esféricas. 
 
 
 
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30 
Podemos simplificar o cálculo do campo potencial de um dipolo elétrico 
fazendo uso do momento do dipolo. Primeiro identificamos o vetor dirigido de 
−𝑄 para 𝑄 com a letra 𝒅 minúsculo e em negrito, para indicar vetor e não 
confundir com derivada. Definimos o momento do dipolo 𝑄𝒅 e representamos 
por 𝒑, de tal forma que: 
𝒑 = 𝑄𝒅 
Como 𝒅 ⋅ 𝑎𝑟 = 𝑑 𝑐𝑜𝑠𝜃 o potencial elétrico do dipolo é dado por: 
𝑉 =
𝒑 ⋅ 𝒂𝑟
4𝜋𝜖0𝑟2
 
Que pode ser generalizado para qualquer dipolo por: 
𝑉 =
1
4𝜋𝜖0|𝑟 − 𝑟′|2
𝑝 ⋅
𝑟 − 𝑟′
|𝑟 − 𝑟′|
 
 
Em que 𝑟 localiza o ponto 𝑃 e 𝑟′ localiza o centro do dipolo, 
independentemente de qualquer sistema de coordenadas. 
Observe que no caso do dipolo, o campo potencial decresce com o 
quadrado do inverso da distância mais rápido que o campo potencial proveniente 
de uma carga pontual. Note também que, como o momento do dipolo é o produto 
da carga pela distância, ele e o potencial não variarão quando a carga crescer 
ou a distância decrescer desde que o produto permaneça constante. 
Leitura Complementar: 
Se puder, leia o capítulo 4.e do livro do Hayt (2012), que demonstra alguns 
exemplos de dipolo elétrico. 
HAYT, W.; BUCK, J. A. Eletromagnetism. 8º. ed. New York, NY, USA: 
McGrawHill, 2012. 
Aprofunde os seus conhecimentos sobre o dipoloelétrico 
assistindo à explicação do professor Frank Coelho de Alcantara, no 
material online. 
 
 
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31 
Na Prática 
Uma aplicação direta dos conceitos de potencial elétrico é utilizada para 
proteger vidas e propriedades: o para-raios. 
Use os conhecimentos sobre eletrostática e potencial elétrico, adquiridos 
nesta aula e pesquise o funcionamento do para-raios. Será enriquecedor. 
Que tal um pouco de prática por meio de uma atividade? 
Uma carga pontual de 𝑄 = 12 𝑛𝐶 está localizada na origem. Quatro linhas 
de cargas uniformes e infinitas estão localizadas no plano 𝑥 = 0 segundo a 
seguinte distribuição: 80 𝑛𝐶/𝑚 em 𝑦 = −1 𝑚 𝑒 𝑦 = −5 𝑚 e 50 𝑛𝐶/𝑚 em 𝑦 =
 −2 𝑚 𝑒 𝑦 = −4 𝑚. Encontre a densidade de fluxo elétrico 𝑫 no ponto 𝑃(0, −3,2) 
e a intensidade e a direção do fluxo elétrico que atravessa o plano 𝑦 = −3 𝑚. 
Solução: 
Primeiro temos que encontrar a densidade de fluxo no ponto especificado. 
Podemos começar plotando as cargas e linhas no espaço. Observe que o ponto 
𝑃(0, −3,2) se encontra equidistante de todas as linhas e que os componentes 
em x, y e z referentes as linhas será nulo. Logo a densidade de fluxo em 
𝑃(0, −3,2) será devida apenas a carga pontual. Sendo assim: 
 
 
 
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32 
Neste caso, ainda falta encontrar o vetor unitário entre a carga 𝑄 = 12 𝑛𝐶 
que está na origem e o ponto 𝑃(0, −3,2). 
𝒂𝒓 = (0 − 0, −3 − 0,2 − 0) = −3𝒂𝑦 + 2𝒂𝑧 
Agora podemos usar a Lei de Gauss para determinar a densidade de fluxo 
elétrico referente a uma carga elétrica pontual. 
Ψ = ∮ 𝑑Ψ = ∮ 𝑫𝑠 ⋅ 𝑑𝑠 = 𝑄𝑒𝑛𝑣 
∮ 𝑫𝑠 ⋅ 𝑑𝑠 = 𝑄𝑒𝑛𝑣 
Se colocarmos uma superfície gaussiana de raio 𝑟 em torno desta carga 
pontual, podemos observar que, devido a simetria, a densidade superficial de 
fluxo 𝑫, devido a 𝑸, será constante em módulo e normal a esta superfície em 
qualquer ponto. Sendo assim: 
𝑫𝑠 ∮ 𝑑𝑠 = 𝑄𝑒𝑛𝑣 
𝑫𝑠4𝜋𝑟
2 = 𝑄𝑒𝑛𝑣 
𝑫𝑠 =
𝑄𝑒𝑛𝑣
4𝜋𝑟2
𝒂𝑟 
Ou: 
𝑫𝑠 =
12 × 10−9(−3𝒂𝑦 + 2𝒂𝑧)
4𝜋(32 + 22)3/2
= −61,1𝒂𝑦 + 40,7𝒂𝑧 𝑝𝐶/𝑚
2 
Síntese 
Você viu que cargas elétricas provocam um campo no espaço que 
atravessa superfícies próximas. Viu também como calcular o fluxo desse campo 
elétrico em superfícies diversas. Durante todo este processo, você estava sendo 
preparado para entender o potencial elétrico. 
Todos os seus projetos terão que levar em consideração o potencial 
elétrico. Será esse escalar que irá definir os limites de funcionamento dos seus 
circuitos. Nesta aula, você pôde aprender que o potencial elétrico não tem 
sentido se não considerarmos uma referência, o que te fez entender o porquê 
das tomadas de sua casa terem pelo menos dois fios, bem como o motivo de 
 
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33 
usarmos um fio de aterramento. E, finalmente mergulhou na análise do dipolo 
elétrico. 
Esta foi uma jornada interessante. Observamos o trabalho de Gauss com 
superfícies fechadas e entendemos o teorema da divergência enquanto 
caminhávamos em direção as antenas de rádio transmissão. 
Agora fica fácil responder à pergunta que fizemos lá na contextualização, 
de como as antenas funcionam, não é mesmo? 
Solução: as antenas funcionam graças a existência de um dipolo elétrico 
que cria um campo elétrico em uma direção específica. 
Estamos formando a base do seu conhecimento de eletricidade e 
eletrônica. Foi uma honra poder acompanhá-los nesta jornada. 
Para finalizar, assista às considerações do professor Frank Coelho 
de Alcantara sobre os temas analisados nesta rota, no material online. 
 
Referências 
BAKSHI, U. A.; BAKSHI, A. V. Eletromagnetic Fields. Pune: Tchenical 
Publications Pune, 2000. 
EDMINISTER, J. A. Eletromagnetismo. [S.l.]: McGraw Hill, 1979. 
HAYT, W.; BUCK, J. A. Eletromagnetism. 8º. ed. New York, NY, USA: 
McGrawHill, 2012. 
JOHN D. KRAUS, K. R. C. Eletromagnetismo. 2º. ed. Rio de Janeiro, RJ: 
Editora Guanabara, 1990. 
OPENSTAX - RICE UNIVERSITY. College Physics. Houston, TX, USA: Rice 
University, 2013. 
SADIKU, M. Elements of Electromagnetics. London, UK: Oxford University 
Press, 2014. 
TAFLOVE, A. Why Study Electromagnetics: The First Unit in an 
Undergraduate Electromagnetics Course. Evanston, IL, USA. 2002.