AULA 06 ELETROMAGNETISMO

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Engenharia Elétrica 
Eletromagnetismo 
 
Aula 6 
 
Professor Frank Coelho de Alcântara 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Chegamos a última aula da disciplina Eletromagnetismo. Aqui, 
veremos campos criados por correntes que variam no tempo. Ao 
final, vamos poder entender e ser capaz de enunciar e 
representar as leis do eletromagnetismo. Para tanto, nesta aula, 
vamos: 
 Enunciar a lei de Faraday e definir corrente de 
deslocamento 
 Demonstrar as equações de Maxwell nas formas pontuais 
e integrais, associando as leis físicas 
 Demonstrar matematicamente uma onda plana uniforme e 
a propagação de ondas eletromagnéticas em meios 
isotrópicos 
 Definir vetor de Poynting e compreender o conceito de 
potência das ondas eletromagnéticas 
 Compreender o efeito pelicular 
Cargas estáticas provocam campos elétricos. Cargas em 
movimento provocam campos magnéticos. Especificamente, 
veremos as Equações de Maxwell (nada novo, estamos 
trabalhando com estas equações desde a primeira aula, 
finalmente daremos nomes e contexto). Você verá equações 
conhecidas e definiremos as ondas eletromagnéticas usando 
estas equações. 
James Clerk Maxwell enunciou estas equações entre 1861 e 
1862, colocando um ponto final no desenvolvimento do 
eletromagnetismo. 
Saiba mais sobre Maxwell: 
https://pt.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwell 
 
De fato, estas equações são tão simples, elegantes e singelas 
que muitos estudiosos dizem que é tudo que você precisa saber 
em eletromagnetismo. Maxwell tem o mérito da síntese e do 
estudo profundo. Gastou anos de pesquisa e raciocínio 
matemático no estudo do eletromagnetismo, e o ápice do seu 
trabalho aparece nestas equações. Não parou aí: calculou a 
velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas no vácuo 
e chegou a um valor surpreendente a mesma velocidade da luz 
no vácuo. 
Por fim, vamos estudar ondas eletromagnéticas – talvez, o tópico 
mais importante de toda a disciplina. Selecionamos o 
conhecimento de ondas eletromagnéticas que será mais 
relevante na sua carreira de engenheiro eletricista: definição, 
transmissão de potência e efeito pelicular – este último, 
fundamental quando trabalhamos com altas frequências. 
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Frank. 
 
 
CONTEXTUALIZANDO 
O campo elétrico e o campo magnético são, de alguma forma, 
inter-relacionados. Relembre três aspectos fundamentais do que 
aprendemos nesta disciplina: 
 Um campo elétrico agindo sobre um condutor provoca o 
deslocamento de cargas entre o ponto de maior potencial 
e o ponto de menor potencial 
 Este deslocamento de cargas em uma determinada 
unidade de tempo é chamado de corrente elétrica 
 A corrente elétrica que transpassa um condutor produz, ao 
redor deste, um campo magnético 
 
 
Nesta aula, os campos magnéticos irão se mover, e este 
movimento provocará o surgimento de correntes. Este é o 
fenômeno que permitiu que Michael Faraday inventasse o 
gerador elétrico. O mesmo princípio que utilizamos até hoje: 
campos magnéticos em movimento gerando corrente elétrica. 
Conceitos básicos que suportam o funcionamento de qualquer 
gerador, esteja ele na sua casa ou em Itaipu. 
Veremos também as ondas eletromagnéticas (campos elétricos e 
magnéticos se propagando no espaço), capazes de transportar 
informação entre dois pontos distantes no espaço. Só por 
curiosidade: você sabia que as luzes que iluminam a estátua do 
Cristo Redentor, no Rio de Janeiro, foram acesas pela primeira 
vez por Marconi, via ondas de rádio? Depois disso, nunca mais 
paramos. Ondas eletromagnéticas são fundamentais em nosso 
mundo moderno. 
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Frank. 
 
 
Tema 1: Correntes de deslocamento e a Lei de Faraday 
Vamos seguir uma intuição de Faraday. Lá na primeira metade 
do século XIX, Michael Faraday acreditou que, se uma corrente 
elétrica produzia um campo magnético, então, um campo 
magnético deveria produzir um campo elétrico. Na época de 
Faraday, ainda não tínhamos a noção de campos. Trazendo o 
trabalho de Faraday para os dias de hoje, dizemos que um 
campo magnético que varie no tempo e atue sobre uma espira 
ou laço condutor, estático, produz uma força eletromotriz 
 e, consequentemente, uma corrente neste laço. 
 
Podemos interpretar esta equação dizendo que a força 
eletromotriz medida em volts, para qualquer circuito 
fechado, é igual à taxa de variação do fluxo magnético, no 
tempo. Se a força eletromotriz for medida em um circuito 
contendo espiras teremos: 
 
 
Onde é deve ser considerado como sendo o fluxo magnético 
que atravessa qualquer um dos percursos coincidentes 
(espiras). Uma força eletromotriz não nula pode ser obtida por 
meio de: 
 Um fluxo que varie no tempo acoplado a um circuito fixo 
 Um movimento relativo entre o fluxo estático e um circuito 
 Uma combinação dos dois anteriores 
Considerando apenas uma espira fixa, sujeita a um campo 
magnético que varia no tempo. O sinal menos indica que a força 
eletromotriz é tal que se a corrente criada produzir um fluxo e 
este for somado ao fluxo anterior, reduzirá a intensidade da força 
eletromotriz. Esta é a Lei de Lenz. 
A Lei de Lenz, proposta pelo físico Heinrich Lenz obedece ao 
princípio da conservação da energia e diz que: se existe uma 
 
 
corrente induzida, sua direção será sempre oposta ao sentido da 
variação que a gera. 
Quando estudamos eletrostática definimos a força eletromotriz 
em termos de diferença de potencial em torno de um circuito 
fechado ou, matematicamente falando: 
 
Neste caso, ficou fácil perceber que esta força é, na verdade, um 
escalar cuja intensidade é medida em volts. Mas já vimos outra 
forma de definir a : 
 
Ou seja: 
 
Podemos agora substituir o fluxo por sua integral em função 
da densidade de fluxo magnético e da área e teremos: 
 
Onde, usando a regra da mão direita, sobre a espira estática, 
seus dedos indicam a direção do percurso fechado e o polegar 
indica a direção do vetor normal . 
Uma densidade de fluxo magnético na direção de 
aumentando com o passar do tempo, induz um valor médio de 
em oposição a direção positiva do percurso fechado. Por sua 
vez, este campo provoca a existência de uma corrente elétrica 
. 
Vamos considerar continuar considerando que nossa espira, o 
percurso que será percorrido pela correte está estático e que o 
campo magnético varia com o tempo. Neste caso: 
 
Podemos agora usar o Teorema de Stokes para nos livrarmos da 
integral de linha e temos: 
 
Se consideramos duas áreas iguais e resolvermos as integrais, 
teremos que: 
 
Ou, simplificando: 
 
 
 
Que é uma das equações de Maxwell em forma pontual, ou 
diferencial. Se o campo magnético não for uma função do tempo 
então, a derivada parcial de será zero e teremos: 
 
Que concorda com o que vimos em eletrostática. 
 
Vamos agora considerar que uma espira que se move em um 
campo magnético estático. Novamente, uma força eletromotriz 
 é induzida nesta espira. Vamos recordar que força sobre 
uma carga movendo-se em velocidade constante u em um 
campo magnético é dada por: 
 
Como já vimos antes: 
 
Podemos então dizer que a o campo elétrico motriz é dado 
por: 
 
Resultado importante já que indica que o campo elétrico 
provocado na espira que se move em um campo magnético 
estático é o produto escalar entre o vetor velocidade desta espira 
e o vetor campo magnético. Agora, precisamos considerar que 
estaespira consiste, na verdade, de um grande número de 
cargas livres infinitesimais. 
Se a velocidade é constante, temos: 
 
Este é o tipo de força eletromotriz que é encontrada em motores, 
geradores, alternadores. Considere uma barra condutora de 
comprimento movendo-se através de um campo magnético 
uniforme de densidade , com velocidade constante , como 
mostrado na Figura 1. Observe que, neste caso, o campo 
magnético atravessa a barra perpendicular de dentro para fora 
da sua tela. Nesta barra, partículas com carga positiva, , 
sofrerão o efeito de uma força dada por: 
 
Esta força empurra estas partículas para cima, na barra, 
deixando as cargas negativas na parte de baixo. Esta separação 
de cargas dá origem a um campo elétrico no interior da barra, 
o qual produz uma força elétrica, para baixo, dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. Campo magnético estático, barra móvel 
 
No equilíbrio, onde as duas forças se cancelam e temos: 
 
Neste caso, entre os terminais da barra condutora existirá uma 
diferença de potencial dada por: 
 
Agora vamos supor que a barra condutiva se move através de 
uma região com um campo magnético com densidade na 
mesma direção, mas em sentido oposto de tal forma que 
, apontando para o interior da tela, deslizando sobre 
duas trilhas condutoras, sem atrito, separadas pela distância e 
conectadas por um resistor com resistência como mostrado na 
Figura 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2. Barra deslizando sobre condutores em campo 
magnético uniforme. 
 
Vamos aplicar uma força externa de tal forma que a barra 
se mova para a direita com velocidade constante . Em 
um dado instante, podemos escolher um elemento normal a 
superfície formada de tal forma que o fluxo magnético 
que atravessa o laço formado pela barra, as trilhas e o resistor 
será dado por: 
 
Esta barra está em movimento então, a cada instante a área 
muda logo: 
 
 
 
 
 
Como apenas o comprimento varia com tempo: 
 
Sendo assim, uma carga que esteja na barra em 
deslocamento sofrerá uma força dada por: 
 
Orientando o percurso fechado no sentido da rotação do relógio 
de forma que seu vetor normal , para manter a 
consistência com a integral de fluxo que calculamos 
anteriormente, teremos que a força eletromotriz será dada por: 
 
Onde a integral é calculada em um determinado instante e o 
vetor normal estará apontando para cima , dentro da 
barra, mesmo com a barra andando para a direita. Comparando 
a equação da força eletromotriz com a equação do fluxo variando 
no tempo, temos: 
 
 
 
De fato, o trabalho não está sendo realizado pelo campo 
magnético. A força que puxa a barra está realizando todo o 
trabalho. Para entender por que isso acontece precisamos, 
primeiro, observar que a força eletromotriz está forçando 
as cargas existentes na barra condutora a se moverem para cima 
, dentro da barra. Ou seja, as cargas em movimento, 
possuem um componente de velocidade adicional nesta direção. 
Logo: 
 
Consequentemente, a força magnética sobre as cargas no 
interior da barra condutora será dada por: 
 
 
Sendo assim, para que a barra possa se mover a força externa 
deve ter a mesma intensidade e sentido oposto ao componente 
 do campo magnético. Logo: 
 
Se a carga se move da base da barra até o topo da barra em um 
tempo muito pequeno , então seu deslocamento será dado por 
. Contudo, a barra também está se movendo na 
direção dos positivos em um deslocamento dado por 
. 
 
 
Sendo assim, em termos vetoriais, o deslocamento de uma carga 
na barra condutora será dado por: 
 
Se fizermos o produto escalar entre este deslocamento e a força 
magnética veremos que o resultado será zero, ou seja, a força 
magnética não realiza trabalho sobre as cargas na barra 
condutora. 
 
 
O mais interessante é que se calcularmos o trabalho realizado 
pela força externa sobre as cargas da barra condutora chegamos 
descobrimos que este é igual a força eletromotriz gerada, e não 
poderia ser diferente. 
 
Ou seja, a força eletromotriz é o produto da velocidade no eixo 
de deslocamento , a distância e a magnitude da densidade 
de fluxo magnético . 
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Frank. 
Tema 2: As equações de Maxwell 
James Clerk Maxwell viveu na Escócia no século XIX e teve o 
mérito de sintetizar todo o estudo do eletromagnetismo em 
quatro equações elegantes e simples. Já tivemos a oportunidade 
de trabalhar com estas equações ao longo desta disciplina. 
Contudo, vamos fazer um apanhado de todas elas na sua forma 
diferencial e integral. 
 
A lei de Gauss do campo elétrico 
Determina como o campo elétrico se comporta em torno de uma 
carga elétrica. Pode ser escrita em termos de uma relação entre 
a densidade de fluxo elétrico e a densidade de carga. 
 
Lê-se que a divergência do vetor densidade de fluxo elétrico é 
igual a densidade de carga. Esta equação é verdadeira em 
qualquer ponto do espaço e indica que se existir uma carga em 
algum ponto do espaço, a divergência do vetor densidade de 
carga será diferente de zero. Ou, se preferir, uma carga elétrica é 
uma fonte, ou um dreno, de fluxo elétrico. 
Isto fica mais fácil de entender quando vemos a forma integral da 
Lei de Gauss: 
 
Consequentemente: 
 
 
 
Ou, a integral de superfície da densidade de fluxo elétrico em 
uma superfície fechada é igual a carga por ela envolvida. 
 
A lei de Gauss do campo magnético 
A lei de Gauss do campo magnético indica a inexistência de 
monopolo magnético, ou seja, não é possível separar um polo 
norte do polo sul. Implicando que não existe uma superfície 
gaussiana que possa envolver apenas um dos polos. 
Em forma diferencial: 
 
Em forma diferencial: 
 
 
A lei de Faraday 
Indica que a variação de um campo magnético produz um campo 
elétrico. 
Na forma diferencial: 
 
Um campo magnético variando, em torno de um percurso 
fechado induz neste percurso um campo elétrico. Ou seja, na 
presença de um campo magnético variante no tempo, o campo 
elétrico deixa de conservativo e seu rotacional se torna não nulo. 
A variação pode ser provocada pela variação da intensidade do 
campo, pelo deslocamento da fonte do campo em relação ao 
percurso, pelo deslocamento do percurso em relação ao campo 
ou, qualquer forma que produza alguma relação de movimento 
entre o campo magnético e o percurso fechado. 
Na forma integral: 
 
 
A Lei Circuital de Ampére 
Demonstra que o campo magnético pode ser gerado por uma 
corrente elétrica e que um campo elétrico que varia no tempo 
também produz um campo magnético. 
 
Na sua forma diferencial: 
 
Na sua forma integral: 
 
Agora você deve ler o Capítulo 9.4 do livro do Hayt (HAYT e 
BUCK, 2012). 
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Frank. 
 
 
Tema 3: Ondas planas e a propagação de ondas 
Ondas são perturbações em um meio e, em geral, são uma 
forma de transportar energia. Neste tema vamos voltar nossos 
olhos para as equações de Maxwell e estudar a propagação de 
ondas eletromagnéticas nos seguintes meios: 
Uma onda é uma função do espaço e do tempo. Um movimento 
ondulatório tem sua origem em uma perturbação em algum ponto 
do espaço. Esta perturbação altera o meio e esta alteração se 
propaga no espaço. Se a perturbação ocorre em um ponto no 
instante será sentida em um ponto dado em um instante 
 mas, antes de entrar diretamente na onda, vamos 
consideraras equações de Maxwell. 
Maxwell sintetizou todo o estudo de eletromagnetismo em quatro 
equações, que tomam formas integrais e diferenciais. Que 
podem considerar a existência das características intrínsecas do 
meio, ou não. De uma forma ou de outra, podemos utilizar estas 
equações para explicar qualquer fenômeno eletromagnético. 
No caso de ondas, precisamos observar as equações que 
relacionam campos elétricos e magnéticos variando no tempo. 
 
 
 
 
Vemos que a variação do 
campo elétrico no tempo, produz um rotacional no campo 
magnético , ou seja, varia perpendicularmente a direção de 
. Observe também que um campo variando no tempo produz 
um campo também variando no tempo, não necessariamente 
da mesma forma. 
 
 
 
 
 
 
Figura 3. Campo elétrico variando no tempo produz um 
campo H. 
Da segunda equação, podemos inferir que um campo 
variando no tempo, produz um rotacional no campo , que varia 
espacialmente em uma direção normal a este rotacional. Desta 
vez, o campo será mínimo e afetará uma pequena área em torno 
da perturbação. 
 
 
 
 
 
Figura 4: Campo magnético variando no espaço produz um 
campo elétrico. 
 
 
Vamos postular a existência de uma onda plana, uniforme, 
composta destes dois campos (HAYT e BUCK, 2012). Imagine 
agora que exista um plano normal a direção de propagação 
desta onda. Neste caso, os campos existem, e variam, 
neste plano ortogonalmente entre si. 
 
 
 
 
 
 
Figura 5. Campos elétrico e magnético interagindo no 
espaço. 
 
De forma geral, e por definição, diremos que estes dois campos 
possuem a mesma amplitude, e se propagam de tal forma que a 
direção de propagação será na direção do eixo e no sentido 
dos números positivos. Se consideramos estas restrições o 
rotacional fica reduzido a um único termo: 
 
A direção do rotacional determina, inevitavelmente, a direção do 
campo no eixo confirmando nosso postulado anterior. Se 
usarmos o mesmo raciocínio para o campo , teremos: 
 
Mostrando que a direção do rotacional de H determina, 
inevitavelmente a direção do campo no eixo . 
Resumidamente: 
 
 
Com essas equações é possível provar que a velocidade de 
propagação é função das características do meio de tal forma 
que: 
Para o vácuo: 
 
E para todos os outros meios: 
 
“Esta velocidade é tão próxima da velocidade da luz que, 
aparentemente, temos fortes razões para concluir que a própria 
luz é um distúrbio eletromagnético, na forma de ondas que se 
propagam através dos campos eletromagnéticos e de acordo 
com as leis do eletromagnetismo. ” (MAXWELL, 1862). 
 
 
Esta afirmação de Maxwell em um trabalho de 1862 só foi 
comprovada no começo do século XX, contrariando tudo o que 
se pensava sobre a matéria, quando a física quântica finalmente 
entendeu a dualidade da partícula. 
http://www.universitario.com.br/noticias/n.php?i=16947 
 
Para que você não se perca, vamos resumir todos os conceitos 
importantes: 
1. A origem das ondas eletromagnéticas é eletromagnética. 
Qualquer carga elétrica em movimento acelerado irradia 
(cria) ondas eletromagnéticas 
2. Ondas eletromagnéticas são ondas transversais. O que 
oscila nelas não são partículas do meio, como no caso 
das ondas mecânicas, mas os campos e . Os últimos 
são perpendiculares mutuamente, e também em relação à 
direção de propagação. A onda se propaga na direção e 
sentido determinados pelo vetor . 
3. A razão entre os módulos (magnitudes) dos campos e 
 é constante: isso significa que esses 
campos sempre oscilam em fase: quando , 
necessariamente ; quando exibe valor máximo, 
o mesmo acontece com . 
4. Ondas eletromagnéticas se deslocam no vácuo com 
velocidade constante, igual à velocidade da luz. 
5. Não se precisa nenhum meio material para que as ondas 
eletromagnéticas se propagem. 
6. Ondas eletromagnéticas obedecem ao princípio de 
superposição. 
Por fim, há um último conceito que você precisa aprender. A 
impedância intrínseca . Dizemos que impedância é uma 
resistência do meio à propagação da onda eletromagnética. É 
possível provar que esta impedância intrínseca é característica 
de cada meio. No caso do vácuo: 
 
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Frank. 
 
 
Tema 4: Potência de Ondas Eletromagnéticas 
Como qualquer outra onda, a onda eletromagnética também 
transporta energia e momento. De fato, este estudo demanda o 
estudo do teorema da potência de campos eletromagnéticos, 
enunciado por John H. Poynting, em 1884, cuja demonstração 
pode ser vista no livro do Hayt (HAYT e BUCK, 2012) no 
capítulo 11.3. Mas, podemos entender esta transferência de 
uma forma mais simples. Observe que para que as ondas 
eletromagnéticas sejam capazes de transportar qualquer 
informação, elas devem obrigatoriamente transportar energia 
entre o ponto de origem, ou transmissor, e o ponto de destino, ou 
receptor. 
A taxa de transporte desta energia pode ser obtida das Equações 
de Maxwell: 
 
 
 
 
Aqui, em um formato que inclui as características físicas do meio, 
permissividade, permeabilidade e condutividade. Podemos 
trabalhar com a equação do campo magnético: 
 
Podemos, por exemplo, fazer o produto escalar do campo nos 
dois lados da igualdade e teremos: 
 
Que resultará em: 
 
Agora, precisamos recorrer as identidades da álgebra vetorial, 
para qualquer campo vetorial: 
 
 
 
Se fizermos teremos: 
 
Ou: 
 
Ou ainda: 
 
Guarde esta última equação, ela será importante em alguns 
minutos, mas, antes, vamos fazer algo parecido com a Equação 
de Maxwell do campo elétrico: 
 
Vamos fazer o produto escalar pelo campo magnético nos dois 
lados da igualdade: 
 
Voltando a equação que eu disse ser importante e substituindo 
teremos: 
 
 
 
 
 
Ou, substituindo, simplificando e usando as identidades vetoriais 
chegamos a: 
 
Ou, com os termos mais organizados e corrigindo o sinal de 
negativos 
 
Que é a equação de propagação da potência em forma 
diferencial. Precisamos, é claro, integrar. No caso uma integral 
volumétrica de ambos os lados e teremos: 
 
Como queremos encontrar a frente de onda, uma superfície que 
transporta a energia da onda. Podemos usar o Teorema da 
Divergência de Gauss e obter: 
 
Que pode ser lida como: 
 
Potência total deixando o 
volume 
 
Taxa de decaimento da 
energia armazenada nos 
campos elétrico e 
magnético 
 
Potência Ôhmica 
dissipada 
 
Esta última equação: 
 
É conhecida como Teorema de Poynting. O operando da integral 
de superfície que indica a potência total que deixa o volume que 
a onda engloba é conhecido como Vetor de Poynting e é dado 
por: 
 
Cuja unidade é watt por metro quadrado e representa 
o vetor densidade de potência instantânea associada a onda 
eletromagnética em um ponto específico do espaço. 
 
O Teorema de Poynting declara que a potência líquida total 
fluindo através de um volume qualquer é igual a taxa de 
redução da energia armazena em menos as perdas de 
condução (SADIKU, 2014). 
 
É importante observar que o Vetor de Poynting é perpendicular 
tanto ao campo quanto ao campo e, desta forma, aponta na 
direção de propagação da onda. 
 
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Frank. 
 
 
Tema 5: Efeito Pelicular e polarização 
Até o momento estudamos as ondas eletromagnéticas se 
propagando no vácuo, espaço livre, sem perdas devido a 
condutividade do meiojá que no vácuo esta condutividade é 
zero. Entretanto, frequentemente temos que observar ondas 
eletromagnéticas se propagando em um dielétrico, o ar, ou em 
meios condutores como o cobre, o ouro e a prata. 
Sabemos que uma corrente que não varia no tempo em um 
condutor homogêneo, uniforme e cilíndrico está distribuída 
uniformemente por toda seção reta do cilindro. Se o condutor não 
for cilíndrico, a corrente não será distribuída uniformemente, mas 
estará presente em todo condutor (POPOVIC e POPOVIC, 
2000). 
Veremos neste tema que uma corrente que varie no tempo tem a 
tendência de se concentrar próximo a superfície do condutor e 
daremos a este efeito o nome de efeito pelicular ou, em inglês 
skin effect. 
Considere o condutor mostrado na Figura 6 sobre o efeito de 
uma densidade de corrente , paralela a superfície, variante 
no tempo segundo uma senóide com frequência angular dada 
por . Considere ainda que este condutor tem condutividade e 
permeabilidade . 
 
 
 
 
 
Figura 6. Condutor sobre efeito de onda eletromagnética. 
Se, nesta condição, aplicarmos as Equações de Maxwell, 
veremos que a intensidade de corrente diminui de forma 
exponencial a medida que nos afastamos da superfície do 
condutor. Este efeito acontece devido à indutância 
eletromagnética. Um campo magnético variando no tempo é 
acompanhado por um campo elétrico induzido, também variando 
no tempo, que, por sua vez, cria correntes secundárias e campos 
magnéticos secundários, também variando no tempo. 
A Lei de Lentz garante que correntes induzidas produzem fluxo 
magnético que se opõe ao fluxo externo logo o fluxo total é 
reduzido. Quanto maior a condutividade do material, maiores são 
as correntes induzidas. Quanto maior a permeabilidade, maior a 
redução de fluxo. O resultado é que o campo magnético variando 
no tempo e as correntes induzidas serão menores que suas 
contrapartidas se a corrente for contínua. 
Tomemos as Equações de Maxwell adaptadas as nossas 
necessidades, considerando a frequência angular mas sem 
entrarmos nos conceitos de fasores. Sendo assim: 
 
 
Definimos fasor como sendo um vetor de fase. Trata-se da 
representação vetorial de um sinal senoidal com amplitude e 
frequência angular e fase constantes. O comprimento do 
fasor indica a amplitude do sinal enquanto a faz e é representada 
pelo ângulo que este vetor faz com uma referência. Se a 
grandeza representada pelo fasor varia no tempo, esta variação 
é expressa pela rotação do fasor. 
 
 
Assim representa o componente imaginário de um fasor 
senoidal escolhido para representar o campo magnético nesta 
demonstração. 
Por simplicidade, como e temos: 
 
 
Na descrição de nosso problema assumimos que nossa 
densidade de corrente teria apenas a componente , 
dependendo apenas de . Se tomarmos alguns cuidados com as 
condições de simetria e recorrermos a Lei de Biot-Savart 
perceberemos que, neste caso, existe apenas o componente 
do campo vetorial . 
Recorrendo a solução do rotacional em coordenadas cartesianas 
temos: 
 
 
Como dependem apenas de podemos nos dar ao luxo 
de usar derivadas ordinárias e: 
 
 
Podemos agora resolver este sistema, eliminado e obtemos: 
 
Cuja solução é direta: 
 
Que representa em forma exponencial a equação da densidade 
de corrente em função do componente , onde: 
 
Uma última consideração é muito importante. Vamos assumir 
que para , exatamente na fronteira, . Neste 
caso, para , densidade de corrente não pode crescer 
indefinidamente logo: e, finalmente temos: 
 
 
 
 
Ou, em muito bom português, a equação acima indica que a 
amplitude do vetor densidade de corrente decresce 
exponencialmente em função do crescimento do componente . 
Definimos profundidade de penetração o ponto onde a densidade 
original decresce para o valor de seu valor original. E 
calculamos este ponto por: 
 
A profundidade de penetração é função apenas da frequência 
angular, da permeabilidade e da condutividade. 
Agora você deveria ler o capítulo 11.4 do Hayt (2012), que 
contém uma demonstração um pouco diferente desta mas com o 
mesmo resultado. 
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Frank. 
 
 
NA PRÁTICA 
Uma das características mais interessantes das ondas 
eletromagnéticas é a polarização. Faça um estudo sobre 
polarização de ondas eletromagnéticas: 
 O que é isso? 
 Como funciona? 
 Qual é a relação da polarização com os cristais líquidos? 
 
SÍNTESE 
Esta foi uma longa, ainda que excitante, jornada. Finalmente 
chegamos às ondas eletromagnéticas. Ondas que, de tão 
complexas e importantes, são consideradas, por muitos, tudo 
que há no universo. No nosso ponto de vista, são as ondas 
eletromagnéticas que usaremos para transmitir informação entre 
dois pontos quaisquer no espaço. Estejam estes pontos no 
vácuo, no ar ou dentro de um condutor. Vimos a transmissão de 
energia por estas ondas e, finalmente, percebemos que se não 
fosse esta transmissão de energia nosso mundo seria muito 
diferente do que é hoje. 
Vimos ainda o skin effect, um efeito importantíssimo não só pela 
economia de material, mas também pela flexibilidade que permite 
em transmissões de altíssima frequência. Imagine que você pode 
inverter a polaridade de uma onda com uma ação mecânica, tão 
simples quanto torcer um guia de onda. 
Mesmo sem ter que recorrer aos cálculos, os conceitos sobre 
eletromagnetismo ajudam muito a resolver problemas ao longo 
da carreira. 
 
 
 
 
 
Figura 7. Guia de Onda, para frequências na faixa das micro-
ondas (CONTRIBUTORS, 2015). 
 
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Frank. 
 
 
Referências 
BAKSHI, U. A.; BAKSHI, A. V. Eletromagnetic Fields. Pune: 
Tchenical Publications Pune, 2000. 
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