Lista de exercícios geometria analítica Cônicas

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PROF: VITOR DIAS PEREIRA - EXERCÍCIOS - 2017 1 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Espacial 
Prof. Vitor 
 
ELIPSE 
 
 
1) Achar a equação de uma elipse sabendo-se que: 
 a) os focos estão sobre o eixo das abscissas, C(0,0), eixo menor igual 6 e passa pelo 
ponto 
 2,52P 
; 
 b) focos F1(3,2) e F2(3,8), comprimento do eixo maior 8. 
 c) seus vértices são A1 (2,2), A2(4,2), B1(1,0), B2(1,4); 
 d) vértices (7,2) e (1,2), eixo menor=2; 
 
RESP: a) 
036y4x
22

 b)
0207y70x96y7x16 22 
 
 c)
04y36x8y9x4 22 
 d) 
043y36x8y9x 22 
 
 
2) Uma elipse é tangente ao eixo das abscissas no ponto A(3,0) e ao eixo das ordenadas 
no ponto B(0,−4). Formar a equação dessa elipse, sabendo-se que seus eixos de 
simetria são paralelos aos eixos de coordenadas. 
 
 Resp: 9x2 +16y2 −54x+128y+193=0 
 
3) Em cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas dos vértices, focos, 
centro. Faça um esboço do gráfico. 
 a)
1
36
y
100
x 22

 b) 
045y5x9 22 
 
 
Resp: a) C(0,0), A (±10,0), B(0,±6), F(±8,0), eixo maior horizontal; 
 b) C(0,0),A(0,±3),B(±
5
,0),F(0,±2), eixo maior vertical; 
 
4) Determinar o eixo maior, eixo menor, distância focal, coordenadas dos vértices, focos 
e centro. Faça um esboço do gráfico. 
 
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Resp: a) C(4,-1), eixo maior = 10, eixo menor = 8, distancia focal = 6, F(4, 2), F(4, -4), 
eixo maior vertical 
 
5) Achar a equação das elipses abaixo: 
a) 
 
Resp.: 
b) 
 
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Resp.: 
 
 
c) 
 
Resp.: 
1
9
)3(
1
)2( 22



 yx
 equação reduzida 
0366369 22  yxyx
 equação geral 
 
d) 
Resp.: 
1
1
)1(
4
)2( 22



 yx
 Equação reduzida 
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04844 22  yxyx
 Equação geral 
 
e) 
 
Resp: 
1
164
22

yx
 equação reduzida 
0164 22  yx
 equação geral 
 
 
6) Considere a elipse de equação 
. 
O ponto P = (3, 
5
12
) pertence à elipse? 
Resp.: Sim 
 
7) Determine a distância entre o centro da circunferência de equação x² + y² + 8x – 6y = 0 
e o foco de coordenadas positivas da elipse de equação . 
Resp.: 
58
 
8) Determinar a equação reduzida e geral da elipse. 
 
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Resp.: 
16
)7(
9
)5( 22 

 yx
, 
0697126160916 22  yxyx
 
 
 
HIPÉRBOLE 
 
1) Determine a equação da hipérbole, nos seguintes casos: 
 a) de focos F(0,5) e vértices A (0, 3); 
 b) centro na origem, que tem focos no eixo das abscissas e eixos real e imaginário 10 
e 8 , respectivamente; 
 c) centro na origem, que tem eixo real vertical de comprimento 8 e passa pelo ponto 
(6,5); 
 
Resp: a)
0144y16x9 22 
 b)
0400y25x16 22 
 
 c)
064y4x 22 
 
 
2) Determine a equação da elipse de centro na origem, cujos vértices coincidem com os 
focos da hipérbole 
02304y36x64 22 
e cujos focos são os vértices da hipérbole. 
 Resp: 
0400y25x16 22 
 
3) Em cada uma das equações de hipérbole abaixo, determine as coordenadas dos 
vértices, focos, centro, parâmetro, equação das diretrizes e das assíntotas. 
 a)
1
64
y
100
x 22

 b) 9x2 −16y2 =144 
 c) 4x2 −5y2 +20=0 d) x2 −y2 =1 
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Resp: a) C(0,0),A(10,0), 
 0,412F 
,
5
41
e 
,eixo real horizontal, 
5
4
y:ass 
, 
b)C(0,0), A(4,0), F(5,0), eixo real horizontal, 
x
4
3
y:ass 
; 
c)C(0,0), A(0,2), F(0,3), eixo real vertical, 
x
5
52
y;ass 
, 
3
4
y 
 ; 
d)C(0,0), A(1,0), 
 0,2F 
, eixo real horizontal, ass: y=x; 
 
4) Determinar a equação das hipérboles abaixo: 
 
 
 
 
 
PARÁBOLA 
 
1) Determinar a equação da parábola: 
 a) de vértice V (0,3) e diretriz x + 5=0; 
 b) de foco F (3,3) e diretriz y−5=0; 
 c) V (4,3) e F4,1) 
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 d) V(1,3), eixo de simetria paralelo ao eixo dos x, passa pelo ponto P(−1, −1) 
 
Resp: a) 
092062  Xyy
 b)
07y4x6x2 
 
 c)
08y8x8x2 
 d)
01x8y6y
2

 
 
2) Determinar as coordenadas do vértice, foco, a equação da diretriz e o parâmetro das 
seguintes parábolas. Faça um esboço do gráfico.: 
 a) y2 −12x=0 b) x2 −10y=0 c)y2 +4x=0 
 d) x2 + 4x + 8y+12=0 e) y2 +4y+16x -44=0 
Resp: a) V(0,0), 
 0,3F
, d: x+3=0, eixo de simetria horizontal,CVD; 
 b) V(0,0). 
 5,0F
, d: y+5=0, eixo de simetria vertical, CVC; 
 c) V(0,0), F(1,0). d: x = 1,eixo de simetria horizontal, CVE ; 
 d) (x +2)2 = −8 (y+1); V(−2, −1) ; F (−2, −3) ; y = 1 ; x =−2 
 e) (y + 2)2 = −16(x −3); V(3, −2); F (−1, −2); x = 7 ; y = −2 
 
3) Determinar a equação da parábola: 
a) 
 
 c) 
 
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Resp.: 
a) 
b) 
c) 
 
 4) Uma parábola tem equação Sabendo que ela passa pelos pontos 
(1, 3) e (3, -1), determinar: 
a) Determinar a e b, estabelecendo a equação da parábola; 
b) O ponto de mínima (ou máxima, se for o caso); 
b) Os pontos de interseção com o eixo x; 
c) O ponto de interseção com o eixo y;. 
d) Esboço do gráfico com os pontos de interseção do eixo x e , e o vértice. 
 
Resp.: a = 1 e b = - 6 ; y=x²-6x+8 ; xv = 3 e yv = -1 ; x1 = 2 e x2 = 4 ; (0, 8) ; CVC e eixo 
paralelo ao eixo y. 
5) Considere as equações apresentadas na coluna da esquerda e os nomes das curvas 
planas descritas na coluna da direita. Associe a 2ª coluna com a 1ª coluna. 
 
A associação que relaciona corretamente a equação ao tipo de curva plana na sequencia 
de cima para baixo, é: 
a) I, IV, II, V e III 
b) I, V, III, IV e II 
c) II, III, V, I e IV 
d) III, II, IV, I e V 
e) IV, II, V, I e III