Geometria analítica especial - circunferencia

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Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Espacial 
Prof. Vítor 
Agosto/2017 
 
 
Estudo da circunferência no plano 
 
Conceito 
Circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano eqüidistantes de um único 
ponto fixo do mesmo plano. 
 
Ponto fixo: centro. 
Distância: raio 
 
Equações da circunferência 
 
Equação vetorial da circunferência 
 
Seja o ponto C(x0,y0) e o raio R , no plano R2. 
 
 
 Y 
 
 
 
 P(x,y) 
 C . 
 
 
 
 O x 
 
O ponto P(x,y) pertence à circunferência. A equação espontânea é I 
CP
I = R ou 
 I 
CP
I2 = R2 
 
 I 
CP
I2 - R2 = 0 equação vetorial da circunferência 
 
 
Equação cartesiana da circunferência 
O vetor 
CP
 = (x - x0) + (y – y0) 
 
 I 
CP
I2 = (x - x0)2 + (y – y0) 2 
 
 2 
 
Substituindo na equação vetorial, vem: 
 
 (x - x0)2 + (y – y0) 2 - R2 = 0 equação reduzida 
 
 
ou 
 
 
 (x - x0)2 + (y – y0) 2 = R2 equação reduzida 
 
 
 
Como exemplo, vamos determinar a equação reduzida e geral da circunferência de centro 
C(2, -3) e raio r = 4. A equação reduzida da circunferência é: 
 
 
 
 ( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16 equação reduzida 
 
 
Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos: 
 
 Equação geral 
 
Se a circunferência estiver com o centro C (0,0), ou seja na origem dos eixos cartesianos, 
a equação fica: 
 
 x 2 + y 2 - R2 = 0 
 
Exercícios: 
 
1. Dar a equação reduzida da circunferência de centro C e raio r nos seguintes casos: 
a) (-2, -1) e 1 
b) (0, 2) e 5 
c) (0,0) e √3 
 
2. Escrever na forma geral a circunferência de centro C e raio r nos seguintes casos: 
a) C (1, -2) e r = 4 
b) C (2,0) e r = 1 
 
3. Obter o centro e o raio das circunferências: 
a) (x + 1) 2 + (y - 5)2 = 9 
b) x 2 + y 2 = 1 
c) x 2 + (y – 4) 2 = 5 
 
 
 3 
Determinação do centro e raio da circunferência a partir da equação geral 
 
Método de completar quadrados 
 
Seja a equação geral da circunferência 
 
 x2 + y 2 - 4x + 2y - 5 = 0 
 
10. passo: verificar se os coeficientes de x2 e y 2 são iguais a 1, caso contrário dividir 
toda a equação pelo coeficiente de x2 e y 2 . 
 
20. passo: Colocar os termos em x e y próximos: 
 
 x2 - 4x + y 2 + 2y - 5 = 0 
 
30. passo: Colocar os coeficientes de x e y na forma 2 vezes um outro número 
 
 x2 - 2. 2. x + y 2 + 2. 1. y - 5 = 0 
 
40. passo: Acrescentar na equação os números que estão sendo multiplicados por 2 nos 
termos em x e y, elevando-os ao quadrado e ao mesmo tempo subtrair estes mesmos 
números de forma a não alterar a equação. 
 
 x2 - 2. 2. x + 22 + y 2 + 2. 1. y + 12 - 5 - 22 - 12 = 0 
 
50. passo: colocar o produto notável na forma (x – a) 2 ou (x + a) 2 
(Fatoramos os trinômios quadrados perfeitos) 
 
 (x - 2)2 + ( y + 1) 2 - 10 = 0 
 
60. passo: obter o centro e o raio a partir da equação reduzida 
 
 
 C = (2, -1) e R = √10 . 
 
Exercícios: 
 
1. Determinar o centro e o raio da circunferência 
a) x2 + y 2 - 8x + 12y + 3 = 0 
b) x2 + y 2 - 4x - 6y -12 = 0 
c) x2 + y 2 - 12x + 16y = 0 
d) x2 + y 2 - 3y = 0 
e) x2 + y 2 + 8x + 2y + 11 = 0 
f) x2 + y 2 - 10x + 24 = 0 
g) x2 + y 2 - 4 = 0 
 
2. Determinar quais entre os pontos A(5,3) e B(1,0) pertencem à circunferência de 
equação x2 + y 2 - 2x - 24 = 0 
 4 
 
3. Quais os pontos onde a circunferência x2 + y 2 - 4x - 5y + 3 = 0 intercepta o 
eixo dos x? 
 
4. Determinar a equação da circunferência representada abaixo: 
 
 
 
 
 
5. Determinar a equação da circunferência que tem centro C(7,-6) e passa pelo ponto 
P(2,2). 
Resp.: (x – 7)2 + (y + 6)2 = 89. 
 
6. Determine a equação da circunferência, sabendo-se que um de seus diâmetros é o 
segmento de extremos A (1, 3) e B(5, -3). 
Resp.: (x - 3)2 + y 2 = 13 
 
7. A equação de uma circunferência é (x – 3)2 + (y + 4)2 = 36. Mostrar que o ponto (2,-5) 
se encontra no interior da circunferência e o ponto (-4,-1) no exterior. 
Resp.: o ponto se encontra no interior, pois a distância do centro ao ponto (2,-5) é menor 
que o raio . O outro ponto está no exterior, pois a distância do centro ao ponto (-4,-1) é 
maior que o raio. 
 
8. Determinar a equação da circunferência cujo raio é 5 e cujo centro é a interseção das 
retas 3x –2y – 24 = 0 e 2x + 7y + 9 = 0. 
8) (x - 6)2 + (y + 3)2 = 25. 
 
Desafios: 
 
 
9. Determinar a equação da circunferência de centro C (2, -1) e tangente à reta de 
equação t : 4x + 3y - 2 = 0 . 
Resp.: o raio é igual a 3/5, logo a equação é : (x - 2)2 + (y + 1) 2 = 9/25 
 
10. Determinar a equação da reta tangente à circunferência (x - 2)2 + (y – 1) 2 = 25 no 
ponto (-2, 4) . 
Resp.: 4x - 3y + 20=0