Aula 2 Vetores FÍSICA I

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VETORES
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	“Um grupo de escoteiros ficou preso em uma floresta distante do acampamento. Com base em suas explorações, os escoteiros sabem que eles estão a 2,0 km do acampamento em uma direção de 30° a noroeste. Eles também sabem que o acampamento está localizado a 3,0 km da base, em uma direção de 45° a nordeste. Eles precisam passar a posição para a base a fim de que comida e suprimentos possam ser lançados pelo ar, o mais próximo possível da posição deles. Como eles podem descrever a localização em relação à base?”
(Halliday, vol.1)
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	Para resolver o problema dos escoteiros vamos utilizar os vetores.
Grandeza escalar x Grandeza vetorial
				
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	Desejamos encontrar o vetor r que localiza o grupo de escoteiros em relação à base. Matematicamente,
r = r1 + r2
O sinal + possui um significado diferente do utilizado na aritmética usual ou na álgebra.
Não significa que se pode somar 3,0 km + 2,0 km para obter a distância desde a base até o grupo de escoteiros;
Essa equação deve ter alguma informação sobre a direção, com o objetivo de ser útil na localização do grupo;
A equação não diz que a distância da base até o grupo é a mesma que a soma das distâncias medidas sobre r1 e r2.
Ela informa que é possível atingir o objetivo de percorrer a distância da base até o grupo por duas trajetórias distintas
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Propriedade dos vetores:
Para representar um vetor em um diagrama, desenha-se uma seta. O comprimento desta seta é proporcional à intensidade do vetor. 
A direção da seta corresponde à direção do vetor e sua extremidade define o sentido da direção.
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Componentes de Vetores
	Um vetor pode ser especificado através de seu comprimento e de sua direção.
	Frequentemente é mais útil descrever um vetor em termos de suas componentes.
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Sua intensidade ou comprimento é A e sua direção é especificada através do ângulo θ, medido em relação à parte positiva do eixo x.
Embora a intensidade de A seja sempre positiva, as suas componentes podem ser positivas ou negativas dependendo do ângulo.
Ao se conhecer A e θ, é possível determinar as componentes do vetor ou, se conhecermos as componentes podemos determinar a intensidade do vetor e o ângulo.
Relações trigonométricas do triângulo retângulo
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	O quadrante em que A está localizado, e portanto o ângulo θ, pode ser determinado a partir dos sinais das suas componentes.
Por exemplo,
 -45° 	Ax é positivo e 
			Ay é negativo
 
135° 		Ax é negativo e Ay é positivo
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	Uma maneira mais formal de escrever um vetor em termos de suas componentes baseia-se em um conjunto de vetores unitários.
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	Dois vetores são iguais somente se suas componentes correspondentes forem iguais!!!
SOMA DE VETORES
	Como no caso do problema dos escoteiros, desejamos somar dois ou mais vetores para encontrar sua soma. 
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Desenha-se o vetor a;
Em vez de desenhar b partindo da origem, move-se b de modo que ele parta da extremidade de a;
O vetor soma pode ser desenhado desde a origem de a até a extremidade de b.
No caso de soma de mais de dois vetores, continua-se o processo de localizar a origem e a extremidade dos vetores.
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	Outra maneira se somar vetores é a partir da soma de suas componentes:
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	Ao definir que as componentes em x do lado esquerdo da equação sejam iguais às do lado direito, e ao fazer o mesmo para as componentes em y, obtém-se:
	Decompomos cada vetor em suas componentes para encontrar as componentes do vetor soma.
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MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR
	O produto de um escalar e um vetor é definido como um novo vetor em que sua intensidade é n vezes a intensidade do vetor original.
	Para dividir um vetor por um escalar basta multiplicar o vetor por 1/n.
	A multiplicação por um escalar não modifica a direção de um vetor;
	Caso o escalar seja negativo, inverte-se o seu sentido
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Movimento em 
uma dimensão
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	Na cinemática, descrevemos o movimento de uma partícula utilizando vetores para descrever sua posição, velocidade e aceleração.
	Vamos considerar o movimento em três dimensões:
Em um tempo t, a partícula pode 
ser localizada a partir de suas 
coordenadas x, y e z, que 
representam as componentes
 do vetor posição r.
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r = xi + yj + zk
	Suponha que a partícula está localizada na posição r1 no tempo t1, e se move ao longo de sua trajetória para a posição r2 no tempo t2.
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	Vamos definir agora o vetor deslocamento ∆r como a mudança de posição que ocorre neste intervalo de tempo:
∆r = r2 – r1
	Os três vetores, r1, ∆r e r2 possuem a mesma relação da que estudamos na soma vetorial.
	O deslocamento não representa a distância percorrida pela partícula. Ele é definido apenas pelos pontos da origem e da posição final do intervalo e não pela trajetória percorrida entre eles.
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VELOCIDADE
	A velocidade média em um intervalo é medida como a relação entre o deslocamento (mudança de posição) e o intervalo de tempo durante o qual o deslocamento acontece:
v = ∆r/∆t
	v e ∆r possuem a mesma direção.
	Assim como o deslocamento, a velocidade média em qualquer intervalo depende somente da posição da partícula no início e no fim do intervalo; ela não depende do fato de a velocidade aumentar ou diminuir, ou mesmo se houver uma inversão do movimento dentro desse intervalo.
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	Se uma partícula retornar ao seu ponto de partida, sua velocidade média é nula.
	
	Para descrever detalhes do movimento de uma partícula é mais útil ter uma função matemática que forneça a velocidade em cada ponto do movimento – velocidade instantânea.
	
	Para determinar a velocidade instantânea, reduz-se o tamanho do intervalo ∆t. 
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	Assim, o vetor ∆r tende para a trajetória real e se torna, com isso, tangente à trajetória no limite em que ∆t→0.
A direção de v é tangente à trajetória da partícula, indicando a direção em que a partícula está se movendo em cada instante de tempo.
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	A equação anterior representa a definição de derivada, portanto podemos escrever:
	A derivada do vetor é avaliada por intermédio da derivada de cada uma das suas componentes:
v = vxi + vyj + vzk
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	Para que dois vetores sejam iguais, suas componentes devem ser iguais. 
	A equação original dá origem então a três equações:
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ACELERAÇÃO
	Conforme a partícula se move, sua velocidade pode variar a intensidade ou a direção. A mudança da velocidade com o tempo é chamada aceleração. Podemos definir a aceleração média em um intervalo como a variação de velocidade por unidade de tempo, ou seja,
a = ∆v/∆t
	A aceleração média não traz nenhuma informação sobre a variação de v ao longo do intervalo ∆t. A direção de a é a mesma de ∆v.
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	A aceleração instantânea é obtida a partir do limite da equação anterior para intervalos de tempo que tendem a zero:
	Do mesmo modo que procedemos para a velocidade, aplicamos a derivada:
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	E ainda, de maneira análoga ao que fizemos anteriormente para a velocidade, podemos escrever as componentes do vetor aceleração instantânea como:
	
	Em geral, a direção da aceleração não possui nenhuma relação com a direção de v. É possível que a e v sejam paralelos, perpendiculares ou façam um ângulo qualquer em relação ao outro.
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	Uma vez que v é uma grandeza vetorial, uma variação em sua direção acarreta uma aceleração mesmo quando sua intensidade permanece inalterada. Logo, um movimento com intensidade de velocidade constante pode ser um movimento acelerado.
	
	As componentes de v podem variar de tal forma que a sua intensidade permaneça a mesma. Normalmente vemos essa situação nos movimentos circulares uniformes.
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Uma partícula se move no plano xy de tal modo que suas coordenadas x e y variam com o
tempo de acordo com as expressões:
x(t) = At3 + Bt e y(t) = Ct2 + D
	em que A = 1,00 m/s3, B = -32,0m/s, C= 5,0m/s2 e D = 12,0m. Determine a posição, a velocidade e a aceleração da partícula quando t = 3s.
1º vamos escrever a posição da partícula:
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1º passo: vamos escrever a posição da partícula
r = xi + yj = (At3 + Bt)i + (Ct2 + D)j 
Em t = 3s:
r = (-69m)i + (57m)j
2º passo: a componentes da velocidade
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Em t = 3s:
v = vxi + vyj = (-5 m/s)i + (30m/s)j
3º passo: escrevemos as componentes da aceleração
Em t = 3s:
a = axi + ayj = (18 m/s2)i + (10m/s2)j
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	Vamos considerar o movimento unidimensional e, portanto utilizaremos apenas uma das componentes de cada grandeza.
	A partícula pode se mover apenas sobre uma linha reta. Ela pode variar a intensidade da sua velocidade ou mesmo inverter o sentido, mas o seu movimento será sempre sobre a linha.
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	Podemos descrever o movimento utilizando equações matemáticas ou gráficos. 
	Vamos agora ver alguns exemplos de como essas grandezas podem ser aplicadas:
Repouso
	A partícula ocupa a mesma posição para todos os instantes de tempo. Suponha que ela esteja sobre o eixo x, em uma coordenada A, então, para todos os instantes:
x(t) = A
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	A situação física apresentada pode ser, por exemplo, uma conta que está livre para deslizar sobre um fio esticado.
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2. Movimento com velocidade constante
	
	Para o movimento em uma dimensão, a velocidade vx é positiva se a partícula estiver se movendo no sentido positivo de x, e negativa se estiver se movendo em sentido oposto.
	Quando a velocidade é constante, o gráfico da posição contra o tempo é uma linha reta.
	Quanto maior a velocidade maior a inclinação dessa reta.
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	Podemos representar o gráfico da posição pela lei:
x(t) = A + Bt
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3. Movimento acelerado
	Como a aceleração é definida pela razão da variação da velocidade, o movimento acelerado corresponde a um movimento no qual a velocidade varia. 
	Uma vez que a velocidade é a inclinação do gráfico x(t), esta inclinação deve variar no movimento acelerado. Logo, estes gráficos são curvas e não retas.
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	Podemos representar dois exemplos de movimentos acelerados:
x(t) = A + Bt + Ct2
x (t) = Dcosωt
	No primeiro caso, assumindo que C é positivo, a inclinação está aumentando na mesma proporção em que a partícula se move, o que corresponde a um aumento na velocidade positiva da partícula.
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	No segundo caso, a partícula oscila entre x = +D e x = -D; sua velocidade varia de positiva a negativa à medida que o sinal da derivada da sua equação modifica seu sinal.
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4. Carro acelerando e freando
	
Um carro está em repouso
 em um instante e, então, 
começa a acelerar até atingir 
uma determinada velocidade.
 O carro se move por um 
tempo com esta velocidade 
e em seguida, é freado até 
atingir o repouso novamente.
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5. Um objeto em queda livre
	Quando um objeto está em queda livre próximo da superfície da Terra, ele experimenta uma aceleração constante, para baixo, devido à gravidade.
	Tomamos o eixo y como sendo vertical e adota-se o sentido positivo apontando para cima, tal que a aceleração possua uma componente y negativa, ay.
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	Se o objeto é largado desde o repouso, sua velocidade para baixo (negativa) aumenta em intensidade devido à sua aceleração.
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MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE
	Considere um movimento na direção x. Admita que ax represente a componente x do vetor aceleração; assim, ax pode ser positiva ou negativa. A velocidade inicial da partícula é v0x e sua posição inicial é x0.
	Estes dois valores são as componentes x de vetores, que podem ser positivas ou negativas.
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	Em um instante de tempo t, a partícula possui velocidade vx e está localizada em uma posição x. Deseja-se determinar a velocidade e a posição em um tempo t.
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Exemplos
A figura abaixo mostra a trajetória de um planeta em torno do sol, desenhe o vetor posição do ponto P1 (r1) e P2 (r2) em relação ao sol, desenhe o vetor- deslocamento entre as posições P1 e P2. Determine o módulo do vetor deslocamento, adote 1 cm:150 milhões de quilômetros.
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