Lista de Fund. Equações Diferenciais

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Pontif´ıcia Universidade Cato´lica de Minas Gerais
Fundamentos de Eq. Diferenciais - 2o Sem/2017
7a Lista de Exerc´ıcios
Questa˜o 1. Sabendo-se que o problema de valor inicial que descreve um sistema massa-mola e´
dado por
y′′ + 2y = 0; y(0) = 0; y′(0) = 1
a) Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial e resolva o problema de valor inicial. Determine
a amplitude, a frequeˆncia, a fase e o per´ıodo.
b) Esboce o gra´fico da soluc¸a˜o obtida.
Questa˜o 2. Sabendo-se que o problema de valor inicial que descreve um sistema massa-mola e´
dado por
2y′′ + 3y = 0; y(0) = 1; y′(0) = 0
a) Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o e resolva o problema de valor inicial. Determine a ampli-
tude, a frequeˆncia, a fase e o per´ıodo.
b) Esboce o gra´fico da soluc¸a˜o obtida.
Questa˜o 3. Uma mola, de um sistema massa-mola sem amortecimento, tem constante de elas-
ticidade igual a 3N/m. Pendura-se na mola uma massa de 2 kg e o sistema sofre a ac¸a˜o de uma
forc¸a externa de 3 cos(3t). Determine a func¸a˜o que descreve o movimento da massa em qualquer
instante t, considerando a posic¸a˜o inicial igual a u0 e a velocidade inicial u
′
0.
Questa˜o 4. Uma massa de 100 gramas estica uma mola 10 cent´ımetros. Suponha que na˜o haja
amortecimento e que a acelerac¸a˜o da gravidade seja de 103 cent´ımetros por segundo ao quadrado.
Encontre a frequeˆncia, o per´ıodo e a amplitude do movimento. Determine a posic¸a˜o u em func¸a˜o
do tempo t e fac¸a um esboc¸o do seu gra´fico.
a) Se a massa e´ colocada em movimento a partir da sua posic¸a˜o de equil´ıbrio com uma velocidade
apontada para cima de 4 cent´ımetros por segundo.
b) Se a massa e´ puxada para baixo contraindo a mola 1 cent´ımetro e depois colocada em movi-
mento com uma velocidade para baixo de 10 cent´ımetros por segundo.
c) Se a massa e´ puxada para baixo contraindo a mola 2 cent´ımetros e depois e´ solta.
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Fundamentos de Eq. Diferenciais - 2o Sem/2017
7a Lista de Exerc´ıcios
Questa˜o 5. Se um sistema massa-mola com uma massa de 2 kg e uma mola com constante
de elasticidade igual 0, 5N/m e´ colocado em movimento, no instante t = 0, num meio em que a
constante de amortecimento e´ igual a 1N.s/m, determine a posic¸a˜o da massa em qualquer instante
t, considerando a posic¸a˜o inicial igual a u0 e a velocidade inicial u
′
0.
Questa˜o 6. Uma massa de 100 gramas estica uma mola 10 cent´ımetros. A massa esta´ presa a um
amortecedor viscoso. Suponha que a acelerac¸a˜o da gravidade seja de 103 cent´ımetros por segundo
ao quadrado.
a) Para quais valores da constante de amortecimento o sistema e´ super-amortecido, tem um
amortecimento cr´ıtico e e´ sub-amortecido.
b) Suponha que o amortecedor exerce uma forc¸a de 104 dinas (= gramas·cent´ımetros por segundos2)
quando a velocidade e´ de 10 cent´ımetros por segundo. Se a massa e´ puxada para baixo 2
cent´ımetros e depois e´ solta, determine a posic¸a˜o u em func¸a˜o do tempo t e fac¸a um esboc¸o
do seu gra´fico. Qual o valor do quase-per´ıodo?
Questa˜o 7. Uma massa de 100 gramas estica uma mola 10 cent´ımetros. Suponha que na˜o haja
amortecimento e que a acelerac¸a˜o da gravidade seja de 103 cent´ımetros por segundo ao quadrado.
Se o sistema e´ colocado em movimento com uma forc¸a externa de 9600 cos(6t) dinas, determine a
posic¸a˜o da massa como func¸a˜o do tempo e fac¸a um esboc¸o do seu gra´fico.
Questa˜o 8. Uma massa de 100 gramas estica uma mola 10 cent´ımetros. Suponha que na˜o
haja amortecimento e que a acelerac¸a˜o da gravidade seja de 103 cent´ımetros por segundo ao
quadrado. Se o sistema e´ colocado em movimento na posic¸a˜o de equil´ıbrio com uma forc¸a externa
de 1000 cos(ωt) dinas, para ω igual a frequeˆncia de ressonaˆncia, determine a posic¸a˜o da massa
como func¸a˜o do tempo e fac¸a um esboc¸o do seu gra´fico.
Questa˜o 9. Uma massa de 100 gramas estica uma mola 10 cent´ımetros. A massa esta´ presa a um
amortecedor viscoso. Suponha que a acelerac¸a˜o da gravidade seja de 103 cent´ımetros por segundo
ao quadrado. Suponha que o amortecedor exerce uma forc¸a de 4200 dinas quando a velocidade e´
de 1 cent´ımetro por segundo. Se a massa esta´ sob a ac¸a˜o de uma forc¸a externa de 26000 cos(6t)
dinas, determine a posic¸a˜o u em func¸a˜o do tempo t e fac¸a um esboc¸o do seu gra´fico, considerando
somente a soluc¸a˜o estaciona´ria.