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Uni - BH
Instituto de Engenharia e Tecnologia 
Geometria Analítica e Álgebra Linear – Lista de Exercícios 
Considere os pontos A = (2,3), B = (12,2), C = (11,9), D = (7,6), E = (5,10), F = (4,9), G = (1,10). 
Represente no plano cartesiano o polígono ABCDEFG
Determine o perímetro dessa figura
Considere os pontos A = (2t+1,3t+2) , B = (4t-3,2t-3). Determine t para que o segmento AB meça 23.
Considere o triângulo ABC em que A = (1,2,3), B = (9,5,3) e C = (6,8,3). Faça o que se pede: 
Determine as medidas de cada um dos lados do triângulo ABC.
Determine as medidas de cada um dos ângulos do triângulo ABC
Classifique o triângulo ABC quanto aos lados.
Classifique o triângulo ABC quanto aos ângulos.
Represente esse triângulo no espaço 
O triângulo ABC é equilátero. Sabendo que A = (-2,5), B = (3,-7) e C é um ponto do primeiro quadrante, determine as coordenadas do ponto C. 
Qual ponto está mais afastado da origem: (17,13,2) ou (19,9,1) ?
Considere os pontos A(-2,7,5), B(2,-1,0) e C(3,k,2). Determine k de forma que a distância de A até C seja 20. A seguir, determine a distância de B até C.
O ponto A(1,x,3) é equidistante dos pontos B(7,1,2) e D(8,5,3). Determine x.
O ponto C(2,1,y) é equidistante dos pontos A(4,-1,3) e B(-3,-5,4). Determine y.
A distância entre os pontos A(5,3,8) e B(2,5,k) é 120. Determine k.
Considere os pontos A(2,3,5) e B(5,7,2). Determine as coordenadas de um ponto P pertencente ao eixo x que é equidistante de A e B. Represente esses três pontos no espaço.
Considere os vetores u = (3,5), v = (-2,4), w = (3,-5) e k = (-3,-1). Faça o que se pede:
Calcule (u + v), (2u + 3v), (5u – 4v – w), (3u + k) e (5k – u + 5v)
Determine dois números reais x e y tais x.u + y.v = w
Determine dois números reais x e y tais que x.v + y.w = k
Considere os vetores u = (-2,5) e v = (3,-4). Represente esses dois vetores tendo como ponto inicial o ponto (-3,-2). 
Qual a distância entre os pontos finais desses dois vetores ? 
Qual o módulo de u, de v, de (u + v), de (u – v) e de (2u + 3v) ?
Considere os vetores u = (2,3,5), v = (7,2,1), w = (5,5,2). Determine as coordenadas de:
2u
3v
4u+v
v-w
w-u
2v+3w-5u
Considere os pontos A(1,2,3), B(5,4,8) e C(3,7,6). Faça o que se pede:
Represente esses três pontos no espaço e mostre a posição do triângulo ABC
Classifique o triângulo ABC quanto aos lados 
Determine o perímetro do triângulo ABC
Qual dos três pontos, A, B ou C, está mais próximo do ponto D(123,155,172) ? Não precisa representar esse ponto D na figura.
Considere os pontos A(1,34 ; 5,22 ; 7,34), B(6,45 ; 3,66 ; 8,97) e C = (7 ; 3,5 ; 9,22). Determine qual dos dois pontos, A ou B, está mais próximo de C.
Considere o quadrilátero ABCD em que A = (1,2,3), B = (8, 1,4), C = (7,9,2) e D = (3,8,1). Faça o que se pede:
Represente esse quadrilátero no espaço
Determine a medida de cada lado dessa figura
Considere o quadrilátero ABCD em que A = (2,4), B = (11, 1), C = (7,3) e D = (10,7). Faça o que se pede:
Represente essa figura no plano
Determine a medida de cada lado dessa figura
Considere os vetores = (1,1,3), = (2,3,5), = (3,6,4) e = (k , k+1, 2k)
Determine as coordenadas de 
Determine o módulo de 
Qual é maior: 
Determine k para que os vetores e tenham mesmo módulo.
Considere os pontos A(1,2,3), B(2,3,2) e C(1,3,4). 
Represente esses pontos no espaço, fazendo um desenho bem bonito e usando sua régua.
Qual segmento é maior: AB ou AC ?
Considere os vetores u = (5, 3, -4), v = (8 , 3, 2) e w = (7, -4, 3). 
Determine o módulo de cada um dos três vetores
Calcule o valor de (u.v).w + (v.w).u
Calcule o valor de (u x v) x w 
Calcule o valor de u x (v x w)
Calcule o valor de u . (v x w)
Calcule o valor de (u x v).w
Considere o triângulo ABC em que A = (8, 2, 3), B = (6, 5,7) e C = (1,1,2).
Represente esse triângulo no plano
Determine a medida de cada lado desse triângulo
Calcule o perímetro dessa figura
Calcule a área desse triângulo
Determine a medida de cada ângulo desse triângulo
Considere o triângulo ABC em que A = (1,2), B = (8,3), o ponto C está no quarto quadrante, o lado AC mede 18 e o lado BC mede 22. Determine a medida do ângulo C.
Uma pirâmide tem como base o quadrado ABCD, com A = (0,0,0), B = (10,0,0), C = (10,10,0) e D = (0,10,0). O vértice V da pirâmide é o ponto (4,6,7). 
Determine a distância de V a cada um dos pontos A, B, C e D.
Qual é o ângulo entre os segmentos VA e VB ?
Qual é o ângulo entre os segmentos VB e VC ?
Qual é o ângulo entre os segmentos VC e VD ?
Qual é o ângulo entre os segmentos VD e VA ?
Essa pirâmide está, fora de escala, desenhada abaixo
A figura abaixo mostra um cubo ABCDEFGH de lado 10cm. Os pontos I,J,K,L,M e N são os centros das faces do cubo.
Considere que F é a origem de um sistema cartesiano, com o eixo x na reta FE, o eixo y na reta FG e o eixo z na reta FB.
Quais são as coordenadas de todos os pontos mostrados na figura ?
Determine a distância de M até C
Qual o ângulo entre os segmentos LK e LI ?
Faça o que se pede:
Represente no plano o triângulo ABC, com A = (1,1), B = (7,2) e C = (5,6)
Determine a medida de cada lado desse triângulo 
Determine a medida de cada ângulo desse triângulo.
Represente no espaço o triângulo A’B’C’, com A’ = (1,1,0), B’ = (7,2,0) e C’ = (5,6,0)
Determine a medida de cada lado desse novo triângulo 
Determine a medida de cada ângulo desse novo triângulo.
Calcule a área desse novo triângulo.
Qual é a área do triângulo ABC ?
Considere os pontos A = (1,1,1), B = (8,2,3) e C = (4, 7, 5). 
Determine as coordenadas de um ponto D tal que ABCD seja um paralelogramo.
Represente esse paralelogramo no espaço 
Calcule o perímetro desse paralelogramo.
Pelos pontos (3,0,0), (0,4,0) e (0,0,5) passa um plano. Represente esses pontos e esse plano no espaço e determine as coordenadas de um vetor que seja perpendicular a esse plano.
Dado o vetor u = (1,2,2), determine as coordenadas e o módulo do vetor v = .
Observe a linda figura dada abaixo:
Ela mostra um sistema cartesiano (o eixo x em vermelho, o eixo y em verde e o eixo z em azul) e um sólido em azul escuro. A base desse sólido é o quadrado OABC (em verde), que possui lado medindo 5. O segmento BD mede 8 e é perpendicular tanto a AB quanto a BC. A parte superior do sólido também é um quadrado de lado 5.
Veja essa mesma figura com o sólido cheio.
Determine as coordenadas de todos os vértices do sólido
Determine o ângulo entre AD e AB
Determine a distância entre C e D.
ESSAS SÃO PARA O TRABALHO
A seguir temos várias imagens mostrando toda a estrutura metálica de um prédio de dois pavimentos. Nesse prédio temos AE = DF = CG = BD = 8 metros. Além disso, os pontos I, J, K e L são, respectivamente, os pontos médios dos segmentos AE, DF, CG e BH.
Nessas figuras, em cinza, está representado o lote no qual o prédio será construído. Esse lote é quadrado e tem 20 metros de lado. Observe as figuras atentamente. Atenção, eu disse que o LOTE é quadrado, não que o prédio (ABCD) é quadrado.
A posição do prédio no lote é dada na planta abaixo. Todas as medidas estão dadas em metros.
Veja atentamente a planta acima. Sejam P o vértice do lote que está mais próximo do ponto A, Q o vértice do lote que está mais próximo do ponto D, R o vértice do lote que está mais próximo do ponto C e S o vértice do lote que está mais próximo do ponto B.
Observe que podemos considerar que P = (0,0), Q = (0,20), R = (20,20) e S = (20,0), uma vez que o lote é um quadrado de lado 20, como foi dito anteriormente.
Faça o que se pede:
Vamos chamar o ponto D de ponto (x,y). A distância de D até Q é 4,47 e a distância de D até R é 18,44. Use essas duas informações e mostre como podemos chegar ao sistema 
Subtraia essas duas equações e isole x na resposta. A seguir, substitua esse valor de x na primeira equação. Usando 4 casas após a vírgula durante os cálculos e dando a resposta com apenas duas casas após a vírgula, resolvaeste sistema e verifique que ele tem duas soluções: x = 2 e y = 16 ou então x = 2 e y = 24. 
Explique por que o ponto D não pode ter coordenadas (2,24). Assim o ponto D tem coordenadas D = (2,16).
Vamos, agora, chamar o ponto C de ponto (x,y). A distância de C até R é 10 e a distância de C até S é 16,12 (olhe na planta do prédio). Use essas duas informações e mostre como podemos chegar ao sistema 
Subtraia essas duas equações e isole x na resposta. A seguir, substitua esse valor de x na primeira equação. Usando 4 casas após a vírgula durante os cálculos e dando a resposta com apenas duas casas após a vírgula, resolva este sistema e verifique que ele tem duas soluções: x = 12 e y = 14 ou então x = 28 e y = 14. 
Explique por que o ponto C não pode ter coordenadas (28,14). Assim o ponto C tem coordenadas C = (12,14).
Vamos, agora, chamar o ponto B de ponto (x,y). A distância de B até S é 8,49 e a distância de B até C (cujas coordenadas você acabou de achar) é 8,25 (olhe na planta do prédio). Use essas duas informações e mostre como podemos chegar ao sistema 
Usando 4 casas após a vírgula durante os cálculos e dando a resposta com apenas duas casas após a vírgula, resolva este sistema e verifique que ele tem duas soluções: x = 14 e y = 6 ou então x = 17,89 e y = 8,22. 
Observe atentamente a posição do ponto B na planta e explique por que esse ponto não pode ter coordenadas (17,89 , 8,22). Assim o ponto B tem coordenadas B = (14,6).
Vamos, agora, chamar o ponto A de ponto (x,y). A distância de A até B é 10,77 e a distância de A até D é 14,14 (olhe na planta do prédio). Use essas duas informações e mostre como podemos chegar ao sistema 
Usando 4 casas após a vírgula durante os cálculos e dando a resposta com apenas duas casas após a vírgula, resolva este sistema e verifique que ele tem duas soluções: x = 4 e y = 2 ou então x = 16,13 e y = 16,56. 
Observe atentamente a posição do ponto A na planta e explique por que esse ponto não pode ter coordenadas (16,13 , 16,56). Assim o ponto A tem coordenadas A = (4,2).
Se tudo estiver correndo bem até agora, você já viu que A = (4,2), B = (14,6), C = (12,14) e D = (2,16). Agora tudo fica mais fácil.
Determine a distância de C até D
Determine a distância de A até C
Determine a distância de B até D
Finalmente, agora você responde fácil: quantos metros de ferro precisamos comprar para fazer a estrutura do prédio ?
Nas figuras abaixo temos o desenho de uma ponte composta por dois arcos que são semicírculos e uma estrutura de ferro ligando os arcos entre si e ao solo. Nos vários desenhos está representada uma mesma ponte, vista de pontos de vista diferentes. No centro da ponte está a origem do sistema cartesiano e as coordenadas dos extremos dos arcos estão indicadas na figuras. O plano cinza é o plano xy, que é considerado como sendo o chão.
A próxima figura mostra uma visão superior com as coordenadas dos pontos em que a armação de metal é fixada nos dois arcos.
Observe na figura abaixo, usando uma visão inferior da ponte, que os pontos onde a armação de ferro toca o chão estão alinhados e igualmente espaçados.
Uma última visão detalhando a parte superior da ponte.
Agora que você sabe como ficará essa ponte, saiba que você deve encomendar o ferro para sua construção. Os arcos, a treliça superior ligando os arcos e as barras que vão do chão aos arcos serão todos feitos de ferro. 
A unidade da figura é o metro. Responda:
Quantos metros de ferro devem ser encomendados ?
Qual a altura máxima que um veículo poderá ter para passar pela ponte sem bater a sua cobertura superior ?