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Uni - BH
Instituto de Engenharia e Tecnologia
Geometria Analítica e Álgebra Linear – Lista de Exercícios
1a parte: probleminhas
Sendo A = (1,3) e B = (5,7), calcule a distância entre A e B
Sendo A = (3,7,9) e B = (2,-1,4), calcule a distância entre A e B
Um terreno triangular tem vértices nos pontos A(1,2), B(15,7) e C(11,28). A unidade de medida é o metro. Devemos cercar esse terreno com arame farpado, sendo que cada metro de arame custa R$ 22,00. Quanto custará o arame necessário para cercar o terreno ?
Uma casa tem uma sala em forma de pentágono, com vértices nos pontos A(0,0), B(5,0), C(5,5), D e E(0,5). A unidade de medida é o metro. A ordenada do ponto D é maior que 5, e os pontos C, D e E formam um triângulo equilátero. Um arquiteto pensou em colocar nessa sala um roda-teto que custa R$ 12,00 o metro e um piso que custa R$ 15,50 o m2. Quanto custará cada um desses dois artigos ?
Um avião está no ponto (3,2,1) e voa, em linha reta e com velocidade constante, na direção do ponto (4,5,2), sendo a unidade de medida o quilômetro. Se ele gasta 5 minutos para ir do primeiro ponto até o segundo, qual é sua velocidade ?
No instante t = 0 (o tempo está medido em horas) um navio cargueiro está no ponto (0,0) e um porta-aviões está no ponto (200,0). A unidade de medida é o quilômetro. O cargueiro vai para o norte, a 32km/h enquanto o porta-aviões vai para o oeste, a 46km/h. Qual é a distância entre esses dois navios no instante t = 2 ?
Em um instante t qualquer (t medido em segundos), um objeto está no ponto (2+3t, 4+5t,6+2t), sendo que essa posição é medida em m. Um observador está parado no ponto (23, 55, 66). Esse observador determina sua distância ao objeto que está se movendo nos instantes t = 12 e t = 20. Essa distância aumenta ou diminui ? 
A armação metálica de uma peça é composta pelos pontos A(3,2,5), B(2,-4,3), C(-5,-7,4), D(-4,3,1) e E(6,8,2). A unidade de medida é o centímetro. Pequenas hastes metálicas devem unir o ponto A a todos os demais pontos, e hastes feitas com um polímero especial devem unir os pontos B a C, C a D, D a E e E a B. Quantos metros de metal e quantos metros de polímero são necessários para construir a armação de 500 peças iguais a essa ?
Qual é a distância entre o ponto (2,5) e a reta de equação 3x + 4y + 17 = 0 ?
A reta r passa pelos pontos (1,1) e (3,2). Qual é a distância do ponto (-3,7) até essa reta ?
A reta r passa pelo ponto (1,2) e tem a direção do vetor u = (3,4). Qual a distância do ponto (3,-5) até essa reta ?
A reta r tem equação 2x + 4y + 3 = 0 e o ponto P tem coordenadas (1,K). Sabendo que a distância entre r e P é 16, qual é o valor de K ? 
Obs.: Há dois valores possíveis para K
Considere o triângulo ABC com A = (1,1), B = (8,3) e C = (5,7). Qual é a distância entre o ponto C e a reta AB ?
No chão de uma casa, um cano de esgoto reto passa pelos pontos (1,2) e (3,5). Devemos unir o ponto (2,9) a esse cano usando um outro cano reto. Qual a menor medida que esse segundo cano pode ter ?
A unidade de medida dessa questão é o centímetro. Uma fileira de formigas caminha em linha reta por uma parede, indo do ponto (3,7) (a saída do formigueiro) até o ponto (12,2), onde está um buraquinho por onde elas entram. Só uma formiguinha não está nessa reta. Ela está paradinha no ponto (5,17). Qual a menor distância que essa última formiguinha tem que percorrer para chegar até suas companheiras ?
ANTES DE CONTINUAR, LEIA ATENTAMENTE O TEXTO
Para calcular a distância entre um ponto P e uma reta r NO ESPAÇO, precisamos, antes de mais nada, conhecer dois pontos quaisquer A e B da reta r. Nesse caso, a distância entre P e r é dada pela fórmula
Por exemplo, para achar a distância entre o ponto P(3,2,5) e a reta r:, inicialmente tomamos dois pontos em r, por exemplo A = (3,4,2) (fazendo t = 0) e B = (5,5,7) (fazendo t = 1). Com isso temos (2,1,5) e = (0,-2,3). Calculamos o produto vetorial = (13, -6, -4) e temos . Essa é a distância entre P e r.
Calcule a distância entre o ponto P(1,2,2) e a reta r: 
Considere o triângulo ABC com A = (2,2,4), B = (3,-5,7) e C = (-3,9,5). Determine a distância do ponto A até a reta BC.
A unidade de medida dessa questão é o centímetro. Um fio está na reta de equação . Um sensor será colocado no ponto (6,0,0). O fio interferirá no funcionamento do sensor se estiver a menos de 10cm dele. Haverá interferência ?
Em um instante t qualquer, medido em segundos, a posição de um objeto é dada por . Um segundo objeto está parado no ponto (3,2,7). Qual será a menor distância entre esses dois objetos ? Em qual instante esses dois objetos estarão nessa menor distância ?
A unidade de medida dessa questão é o quilômetro. Um helicóptero está no ponto (3,5,7), mas a rota de pouso deve ser a reta de equação . Esse helicóptero vai voar em linha reta até a rota de pouso, percorrendo a menor distância possível. Quanto ele deverá se deslocar ?
Dado um ponto P(x0, y0, z0) e um plano de equação ax + by + cz + d = 0, a distância entre o ponto e o plano é
Observe que precisamos conhecer as coordenadas do ponto e a equação geral do plano.
Qual é a distância entre o ponto P(3,2,4) e o plano de equação 3x+2y+5z+7 = 0 ?
Um plano passa pelos pontos (3,2,1), (4,5,6) e (3,2,2). Qual é a distância do ponto (5,2,-4) até esse plano ?
A superfície de uma rampa é o plano de equação 3x + 4y + 6z = 0. No ponto (10,12,10) há uma fonte de luz. Qual é a distância entre essa fonte de luz e a rampa ? A unidade de medida dessa questão é o metro.
Um terreno plano e triangular tem vértices nos pontos (18,0,0), (0,20,0) e (0,0,3). No ponto (5,7,K) devemos colocar um poste, de tal forma que a distância entre esse poste e o chão seja 8. Qual é o valor de K ?
Para calcular a distância entre uma reta e um plano, primeiro temos que verificar que a reta é paralela ao plano (caso a reta corte o plano, a distância entre a reta e o plano é zero). Quando a reta é paralela ao plano, para calcular a distância entre eles, primeiro determinamos um ponto A qualquer da reta e, a seguir, calculamos a distância entre esse ponto e o plano. A distância entre A e o plano será a distância entre a reta e o plano.
Verifique que a reta r: é paralela ao plano de equação 4x + y – 11z + 7 = 0. A seguir, determine a distância entre a reta e o plano.
Uma rampa é um plano que passa pelos pontos (3,0,0), (0,0,5) e (0,4,0). Um cano reto passa pelo ponto ((6,7,8) e tem a direção do vetor (-5,8,3). Qual a distância do cano à rampa ?
A reta r tem equação e o plano passa pelos pontos (2,13,3), (5,23,7) e (1,39,9). Qual é a distância entre a reta e o plano ?
Para calcular a distância entre dois planos, primeiro temos que verificar se eles são paralelos. Caso os planos não sejam paralelos, a distância entre eles é zero. Quando eles são paralelos, para calcular a distância entre eles primeiro determinamos um ponto A qualquer de um deles e, a seguir, calculamos a distância entre esse ponto e o outro plano. A distância entre A e o segundo plano será a distância entre os planos.
Para verificar se dois planos são paralelos, calculamos o ângulo entre seus vetores normais. Se o ângulo for 0o ou 180o eles são paralelos. Qualquer outro valor para esse ângulo implica que os planos não são paralelos.
Os planos de equação 2x + 3y + 5z + 7 = 0 e 4x + 3y – 2z – 4 = 0 são paralelos ?
Qual a distância entre os planos de equação 2x + 5y – 7z – 3 = 0 e 4x + 10y – 14z – 3 = 0 ?
O plano passa pelos pontos (2,5,7), (3,2,4) e (1,1,1). O plano contem as retas r e s de equações respectivamente iguais a e Determine a distância entre esses dois planos.
O plano tem equação 2x + 3y + Kz – 7 = 0 e o plano passa pelos pontos (1,1,1), (2,1,3) e (1,4,2). Determine K de modo que eles sejam paralelos.
2a Parte: Agora, para sua diversão e preparação, problemas diversos. Olha a Avaliação Final aí, gente.
A figura abaixo mostra alguns pontos em um quadriculado. Cada quadradinhotem lado medindo 1 centímetro.
Laurito colocou um sistema cartesiano nessa figura com A sendo a origem, o eixo x na reta AB, sendo B um ponto de abscissa positiva, e o eixo y na reta AC, sendo C um ponto de ordenada positiva. Nesse sistema, qual é a equação da reta DE ? A inclinação desse reta, nesse sistema de coordenadas, é positiva ou negativa ?
Um plano passa pelos pontos A(1,1,1), B(2,3,2) e C(4,5,7). Determine as coordenadas dos pontos em que esse plano corta cada um dos eixos.
A base de uma pirâmide tem vértices (2,3,5), (7,3,5), (7,9,5) e (2,9,5) e seu vértice é o ponto (4,5,15). Determine o ângulo entre as faces laterais dessa pirâmide, sua área lateral, sua área total e seu volume.
Três cidades, quando representadas em um mapa, ficam nos pontos de coordenadas A = (2,1), B = (14,3) e C=(11,10). A unidade de medida é o quilômetro. Deseja-se construir um hospital que atenda às três cidades. Um engenheiro sugere a construção no ponto de coordenadas enquanto outro sugere que o hospital fique no ponto de coordenadas (10,6719 , 5,2401). O primeiro engenheiro afirma que o local que ele escolheu é o melhor porque fica a uma mesma distância de cada uma das três cidades, mas o segundo engenheiro afirma que sua escolha reduzirá o custo da construção das estradas que ligarão o hospital a cada uma das três cidades. Qual engenheiro fala a verdade e qual mente ? Onde você construiria o hospital ? Por que ?
Considere as retas r: e s: . 
Essas duas retas possuem um ponto em comum. Quais são suas coordenadas ?
Qual é a equação do plano que passa por essas duas retas ?
O ponto P(2319 , 851 , -2080) pertence a esse plano ? E o ponto Q(2324 , 892 , -1566) ?
Considere as retas r e s de equações respectivamente iguais a e . Seja A o ponto da reta r correspondente a t = 2. Determine:
A equação de uma reta t que passa por A e é paralela à reta s.
A equação de uma reta u que passa por A e é simultaneamente perpendicular às retas r e s.
A equação do plano que contem as retas r e u.
As coordenadas do ponto comum à reta s e ao plano . Chame esse ponto de B.
A equação de uma reta v que passa por B e é paralela à reta u.
As coordenadas do ponto comum às retas r e v. Chame esse ponto de C.
A distância entre os pontos B e C
Os vetores u = (3,2,5) e v = (4, K, 2) são perpendiculares. Qual é o valor de K ?
Em uma peça temos dois fios retos. Um deles une os pontos (1,1,-2) ao ponto (8,12,5) enquanto o segundo une os pontos (9,2 -7) e (2,11,3). A unidade de medida é o centímetro. Esses dois fios se tocam ? Caso eles não se toquem, queremos colocar um pedaço de madeira entre esses fios, sendo que a madeira deve, obrigatoriamente, tocar em cada fio. Qual é o menor tamanho que essa pedaço de madeira pode ter ?
Considere a reta r de equação 2x + 3y = 5 e o ponto C de coordenadas (6,7). Determine as coordenadas de dois pontos A e B nessa reta tais que o triângulo ABC seja equilátero. 
Considere a reta r de equação e o ponto C de coordenadas (6,7,-5). Determine as coordenadas de dois pontos A e B nessa reta tais que o triângulo ABC seja equilátero. 
Considere os pontos A(1,2,3), B(5,-2,7), C(-3,-4,5) e D(-2,1,4). Sejam M, N, P e Q, respectivamente, os pontos médios dos segmentos AB, BC, CD e DA. As retas MP e NQ são paralelas ? Caso sejam, qual é sua distância ?
Uma pirâmide tem uma base quadrada. O vértice V dessa pirâmide é o ponto de coordenadas (4,6,7) e sua base é o quadrado ABCD com esses pontos tendo coordenadas respectivamente iguais a (0,0,0), (10,0,0), (10,10,0) e (0,10,0). Uma reta r liga os pontos (5,0,1) e (2,10,3). Determine:
A área da lateral da pirâmide
As coordenadas dos pontos em que a reta r corta as faces da pirâmide.
A medida do segmento da reta r que está no interior da pirâmide.
O volume dessa pirâmide.
3a Parte – Desafios !!!
Considere a reta r de equação e o ponto P(6,6,6). Determine dois pontos A e B em r tais que o triângulo ABC seja equilátero.
Considere os vetores u = (2,5,7) e v = (3,4,9). Determine um vetor w tais que os três vetores u, v e w fiquem em um mesmo plano, mas w deve ser perpendicular a u.
Uma bomba inimiga está caindo seguindo a reta onde a unidade utilizada é o quilômetro e t é o tempo, medido em segundos. O alvo dessa bomba está no ponto de cota zero. Como você pode perceber, agora, que é o instante t = 0, a bomba está no ponto (5,6,8). Você está em uma base no ponto (10,10,0) e pode lançar um foguete em linha reta de tal forma que a equação da reta seguida por seu foguete é dada pela equação , em que (a,b,c) é um vetor qualquer de módulo 10. 
onde está o alvo da bomba inimiga
quais devem ser os valores de a, b e c para que seu foguete atinja a bomba inimiga ?
quando seu foguete intercepta a bomba inimiga e a que distância do alvo esse encontro ocorre ?
A figura abaixo mostra as coordenadas de três vértices de um sólido. As faces desse sólido são oito triângulos eqüiláteros iguais. 
Quais são as coordenadas dos outros três vértices ?
A figura abaixo mostra um cubo de lado 10cm. 
Determine a área e o perímetro do triângulo ABC.
Observe a figura abaixo
Ela mostra um plano que passa pelos pontos A(10,0,0), B(0,8,0) e C(0,0,6). O ponto P tem coordenadas (15,15,15). A reta PQ é perpendicular ao plano, sendo que o ponto M (ponto de interseção entre a reta e o plano) é o ponto médio do segmento PQ. Determine as coordenadas do ponto Q.
Considere os pontos A(1,0), B(5,0) e C, sendo C um ponto do quarto quadrante e o triângulo ABC equilátero. O ponto D também fica no primeiro quadrante de tal forma que o triângulo BCD é isósceles (BD = CD) com BD = 5 BC. A reta r passa pelo ponto D e é perpendicular à reta AD. Quais são as coordenadas dos pontos em que r corta os eixos ?
4a parte: Questões de provas finais de Geometria Analítica e Álgebra Linear de semestres anteriores
	Questão 1) Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas ao lado, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros. A reta de equação representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto , localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital medida em linha reta, não fosse maior que 5 km. 
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava previsto uma estação cuja saída fica no ponto:
(-3,2)
(-2,1) 
(0,4)
	
	Questão 3) Considere os planos e . O valor de k para que seja paralelo a será:
a) k = 1/4.
b) k = 3/4.
c) k = 12.
d) Os planos não podem ser paralelos.
e) k = 2/5
 
	
	Questão 5) José e Antônio viajarão em seus carros com as respectivas famílias para a cidade de Serra Branca. Com a intenção de seguir viagem juntos, combinam um encontro no marco inicial da rodovia, onde chegarão, de modo independente, depois das 12 horas e antes das 13 horas. Entretanto, como não querem ficar muito tempo esperando um pelo outro, combinam que o primeiro que chegar ao marco inicial esperará pelo outro, no máximo, 30 minutos; e após esse tempo, seguirá viagem sozinho. Chamando de x o horário de chegada de José e de y o horário de chegada de Antônio, e representando os pares (x; y) em um sistema de eixos cartesianos, a região OPQR indicada abaixo corresponde ao conjunto de todas as possibilidades para o par (x; y):
 
Na região indicada, a equação paramétrica da reta suporte que representa o evento “José e Antônio chegam ao marco inicial exatamente no mesmo horário” corresponde:
X = t e Y = t
 X = t e Y = 1 
 X = t e Y = 1- t
 X = t e Y = 0
X = 1 e Y = 1+ t
	Questão 6) Em uma tela de computador (monitor devídeo), a origem (0,0) do sistema de coordenadas está no canto superior esquerdo. O eixo x é orientado da esquerda para a direita e o eixo y é orientado de cima para baixo. 
Na figura abaixo, considere que cada quadradinho possui lado de 1 unidade de medida.
 
Em relação a esse sistema de coordenadas, considere as seguintes afirmativas:
As retas visualmente descendentes possuem coeficiente angular positivo, ou seja, possuem inclinação positiva.
As retas com coeficiente linear negativo interceptam o eixo das ordenadas em um ponto que não aparece na tela.
Os pontos mostrados são: e .
O ponto médio do segmento AB possui abscissa igual a 6.
A reta mostrada possui equação geral: .
Quais dessas afirmativas são VERDADEIRA(S)?
Somente (I), (II) e (III).
Somente (I), (II) e (IV).
Somente (I), (III) e (IV).
Somente (III), (IV) e (V).
Todas elas.
	
Questão 7) O detonador de uma bomba está localizado no ponto P = (2, 1, 2). Para provocar a explosão, acende-se a extremidade A = (2, 1, 1) de uma haste combustível paralela ao vetor cuja extremidade B toca o ponto inicial de um rastilho de pólvora retilíneo que termina no detonador. Sabendo que o fogo se propaga com velocidade unitária na haste e no rastilho e que este está contido no plano , o intervalo de tempo (em segundos) entre o início do processo e a explosão é de aproximadamente:
2 e 3
3 e 4
4 e 5
5 e 6
6 e 7
	Questão 8) Dois apaixonados por aeromodelismo observam, em uma apresentação, as manobras executadas por dois modelos A e B diferentes.
Considere que em um determinado período os movimentos sejam retilíneos e uniformes. Além disso, sabe-se que no instante a aeronave B ocupa a posição P = (1, 0, -2) e no instante posterior ela já se encontra em Q = (-2, -3, -5). Além disso, a aeronave A, tem um movimento descrito por .
Analisando essa situação é correto afirmar que:
As trajetórias seguidas por A e B são reversas e, por esta razão, não há perigo de colisão.
As trajetórias seguidas por A e B são paralelas e, por esta razão, não há perigo de colisão.
As trajetórias seguidas por A e B são concorrentes, mas não há perigo de colisão, já que as aeronaves não passam juntas pelo ponto de interseção.
As trajetórias seguidas por A e B são concorrentes e há colisão em C = (-1, -2, -4).
As trajetórias seguidas por A e B são concorrentes e há colisão em D = (-2, -4, -8).
	
	Questão 10) A figura abaixo mostra a rota de dois aviões.
Da sala de controle do espaço aéreo de um aeroporto observam-se dois aviões. O primeiro avião está no ponto A = (3 , -5 , 1) e segue a direção do vetor = (0,4 , 1,4 , 0,6). O segundo avião está no ponto B = (-4 , -4 , -2), seguindo a direção do vetor = (0,45 , 0,3 , 0,3). A unidade de medida usada é o quilômetro.
Nesse momento um alarme soa na sala do controle aéreo, indicando que esses aviões estão em rota de colisão. Na realidade, se os aviões mantiverem a direção em que estão voando, eles poderão colidir no ponto C. Determine as coordenadas do ponto C.
Geometria Analítica e Álgebra Linear – Noite
	
	
	
	Questão 4)As grandes cidades brasileiras, principalmente as capitais, têm sofrido com o elevado número de veículos circulando nas ruas. Se por um lado tivemos um aumento considerável na frota de veículos, o planejamento urbano e os investimentos em infraestrutura não acompanharam o crescimento da frota.
A ponte Rio-Niterói, também conhecida como Ponte Presidente Costa e Silva, inaugurada em 1974, se estende ao longo da Bahia da Guanabara ligando dois importantes centros urbanos do estado. Com um comprimento de 13,29 km, a ponte liga a cidade do Rio de Janeiro ao município de Niterói.
 Fonte: CCR Pontes – disponível 
 Fonte: CCR Pontes – disponível em: http://www.ponte.com.br/
Com um fluxo de quase 200 mil veículos/dia a própria ponte já se encontra em vias de ser um gargalo no trânsito da cidade.
Uma solução para evitar esse gargalo no trânsito seria uma saída/entrada alternativa para a ponte Rio-Niterói, partindo da Via Elevada da Perimetral (ponto C no mapa) que, pela menor distância possível, ligasse o continente à ponte. Suponha um sistema coordenado referenciado à figura acima de tal forma que tenhamos , com escala em . Suponha que a ponte liga os pontos por uma reta.
O comprimento da nova ponte que, partindo do ponto , ligasse o continente à ponte Rio-Niterói é, em , aproximadamente:
a) 3,89
b) 4,01
c) 4,65
d) 5,02
e) 5,19
	Questão 5) Em uma consulta a três comunidades na cidade de Belo Horizonte, a prefeitura constatou a necessidade da construção de uma UPA (Unidade de Pronto Atendimento) que pudesse atendê-las. Para isto solicitou um mapeamento da região e, segundo o gráfico abaixo, localizou as três comunidades, chamadas de A, B e C, por meio de suas coordenadas:
B
A
x
y
9
11
-6
-4
C
-5
8
Utilizando o sistema referenciado acima, as coordenadas do local onde a UPA deve ser construída, de tal forma que fique a uma mesma distância das três comunidades é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) (3,3)
	Questão 6) A figura representa um galpão. Os números representam as dimensões do galpão. Dadas as alternativas abaixo:
I - A equação do plano BCDG é 
II -BCDG ┴ EOAF
III – BCDG // ABGF
IV – A distância do ponto E ao plano BCDG é 12 .
É correto apenas o que se afirma em:
I e IV.
IV.
I
I, III, IV
II e III.
	Questão 7) 
Observe atentamente a figura. Ela representa um terreno após trabalhos de terraplenagem
Descrevendo matematicamente podemos afirmar que OABC é um quadrado de lado 25m, sendo O a origem do sistema cartesiano, A é um ponto do eixo x e C é um ponto do eixo y. Os pontos D, E, F, G, H e I estão em uma mesma altura e são as extremidades de um platô. O ponto F tem coordenadas (25 , -15 , 20) e o ponto D tem coordenadas (-10 , 25 , 20). As retas AO, FE e GH são paralelas, como também são paralelas as retas OC, DE e IH.
Considerando as ideias do texto e utilizando o metro como unidade de medida nessa questão, avalie as afirmações a seguir.
As coordenadas do ponto E são (-15 , -10 , 20)
A distância entre o ponto E e a origem é um pouco maior que 26,9m
O vetor (2 , 0 , 1) é perpendicular ao paredão OCDE
Os paredões OAFE e OCDE são perpendiculares.
É correto apenas o que se afirma em
II 
III
II e III
I e IV 
I e II
	Questão 8) Marcos trabalha no Aeroporto Internacional do Rio de Janeiro. Sua função é controlar o tráfico aéreo na região próxima ao aeroporto onde, devido ao grande número de decolagens e aterrissagens, o risco de colisão é muito maior. Durante um único turno de trabalho, Marcos deve analisar centenas de trajetórias percorridas pelos aeroplanos que aparecem na tela do radar, à sua frente. Se os cursos de dois aviões se aproximam perigosamente, Marcos deve avisar a um deles para alterar a sua rota. Para desempenhar sua tarefa com sucesso, Marcos necessita conhecer com precisão, a rota percorrida por cada aeroplano e o instante em que os aviões passam por cada ponto deste percurso. Analisando sua tela de trabalho, Marcos percebe que o avião A está seguindo uma rota que é a reta de equação x = −12 + 5t e y = −30 + 8t; enquanto o avião B segue outra rota reta, de equação x = 2 − t e y = −10 +2t. Quais são as coordenadas do ponto de encontro das rotas desses aviões ?
( 4,67 ; -3,32 )
( 3,34 ; -4,67 )
( 1,33 ; -8,67 )
( -4,67; 3,32 )
( -3,34; 4,67 )
	
Questão 9) Um trecho de uma estrada de rodagem, contido em uma planície, passa sob um viaduto. Um levantamento topográfico mostrou que, com boa aproximação, a planície pode ser representada pelo plano e o ponto mais baixo do viaduto pela reta . A unidade de medida adotada é o metro.Qual é a distância entre a estrada e o ponto mais baixo do viaduto ?
	Questão 10) Observe a figura abaixo
Ela representa dois terrenos, um em formato triangular e outro na forma quadrangular.Considere que cada unidade representada está expressa em quilômetros. 
Uma empresa deve construir um cabo de fibra ótica que atravessará os terrenos, unindo os pontos representados por C e D. Para isso terá que pagar R$ 2,50 por cada metro de cabo construído entre os pontos A e B ao proprietário desse terreno, a título de autorização de construção.
Qual o valor total a ser pago nessa autorização de construção?
Questão 1
Na malha quadriculada, os pontos A, B e C representam 3 cidades. Um projeto inicial de linha férrea propunha ligar as cidades A e B em linha reta, exceto talvez por alterações desprezíveis de percurso. Entretanto, posteriormente, foi decidido acrescentar a cidade C ao projeto. Deste modo, em vez de construir a linha ligando A a B, seriam feitas as linhas férreas ligando A a C e C a B. 
Suponha que as coordenadas cartesianas das cidades sejam dadas por A (5,30), B (25,5) e C (20,20), em km, em um certo sistema de coordenadas xy. Se o custo de cada quilômetro dessa linha férrea é de R$ 7.000,00, o valor adicional a ser pago para a execução do segundo projeto é aproximadamente:
R$ 6.510,00
R$ 10.640,00
R$ 12.740,00
R$ 17.920,00
R$ 23.380,00
Gabarito: C
Questão 02
No espaço considere os planos e de equações e Um estudante de engenharia, ao deparar-se com as equações, fez as seguintes anotações:
I – Os planos e são paralelos.
II – O vetor é perpendicular ao plano e paralelo ao plano 
III – O ângulo formado pelos planos é de 
IV – O vetor normal ao plano é 
Das anotações feitas pelo estudante, são corretas apenas as de número
I e IV.
IV.
I.
I, III e IV.
II. 
Gabarito: A
Questão 3
A figura abaixo representa um edifício construído sob pilotis, cuja garagem está localizada abaixo do nível dos apartamentos, e no mesmo plano da rua, localizada no plano xy. Este prédio tem arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 20, 10 e 30 m. (A escala adotada nos eixos x, y, z é 1 unidade = 10 m). Imagine que um funcionário, ao realizar uma inspeção de segurança no prédio, parta do vértice B. De lá, ele desloca-se para o vértice G, depois de G para H. Em seguida, desloca-se de H para A e, de lá, realiza um último deslocamento até atingir a projeção de A sobre a garagem no plano xy. Considere que todos os deslocamentos são feitos em linha reta. Sabendo-se que A (20, –10,20), o valor aproximado da distância total percorrida por este funcionário ao realizar a inspeção no edifício é:
Escala:
1 unidade = 10 metros
Sabendo-se que A (20, –10,20), o valor aproximado da distância total percorrida por este funcionário ao realizar a inspeção no edifício é:
55 m
60 m
72 m
86m
97 m
Gabarito: E
Questão 4
Um estudo mais cuidadoso a respeito do vôo de alguns animais nos permite identificar alguns tipos diferentes, sendo o pára-quedismo, o planeio e o vôo propulsionado os mais comuns.
No pára-quedismo, estes animais (o sapo de Bornéu é um exemplo) descem, utilizando os seus pára-quedas. Sobre eles age uma única força aerodinâmica paralela à direção do ar que passa por eles. Tal força é chamada força de arrastamento ou de resistência do ar e se origina do atrito entre eles e as moléculas de ar sendo, portanto, proporcional à velocidade de queda.
No planeio, o animal se desloca no ar, em movimento descendente, sem realizar trabalho, isto é, sem gastar energia para bater as suas asas. Nesse caso, o pássaro voa segundo um ângulo em relação à horizontal e sobre ele atuam três forças: A força de arrastamento , paralela ao fluxo relativo de ar, a força de sustentação , e o seu peso .
 Por fim, no vôo propulsionado, o animal desenvolve trabalho a fim de se manter e se locomover no ar. Esse trabalho mecânico é resultado da movimentação dos músculos que faz bater as asas dos pássaros e insetos. Devido à existência da força de arrastamento, um animal não pode planar horizontalmente, exceto por um intervalo de tempo muito curto, às custas da perda de velocidade. Para voar horizontalmente com velocidade , uma força de impulso deve ser fornecida .
Imagine que um pássaro, ao realizar um voo propulsionado, passe paralelamente ao telhado plano de um centro comercial. Sabendo-se que a posição P do animal varia no tempo de acordo com P(-2 +t , +2 , 3t -1), e que A(1, 2, -1); B(2,3,1) e C(3,-1,2) são pontos do telhado, a distância da ave até o telhado no instante t = 3 s é, em metros, aproximadamente igual a:
4,0 m
5,0 m
6,0 m
7,0 m
8,0 m
Gabarito: A
Questão 5
Na indústria de lentes, é comum a existência de sistemas ópticos, montados em bancadas especiais, projetados para a caracterização de lentes, tanto na etapa de desenvolvimento de novos produtos quanto nos testes de conformidade da linha de produção. Estes sistemas são montados em mesas repletas de furos, nos quais são atarraxados os componentes ópticos como lentes e espelhos. Nestes sistemas, o alinhamento dos componentes é imprescindível e a direção de propagação dos feixes luminosos precisa ser determinada com precisão. Um certo sistema está sendo montado em uma mesa como a mostrada na figura abaixo. Nele, um feixe de luz laser passa por dois filtros ópticos (F1 e F2). Deseja-se posicionar um espelho (E) para refletir o feixe de luz incidente sobre duas lentes (L1 e L2) já posicionadas na bancada. A posição de cada componente é indicada na bancada por meio dos furos, que distam de 10cm um do outro nas direções horizontal e vertical. A numeração dos furos é indicada na figura. O feixe de luz é indicado pelas setas pontilhadas. 
F1
F2
L1
L2
E
0
0
4
8
3
5
2
4
7
11
5
2
Por se tratarem de elementos ópticos de precisão, esta reflexão é do tipo especular e, portanto, o ângulo de giro do espelho é a metade do ângulo entre as direções dos feixes incidente e refletido. Para que o feixe de luz incida exatamente sobre o centro de ambas estas lentes, de que ângulo deve ser girado o espelho, em relação à direção do feixe incidente?
90o
15o
30o
45o
60o
Gabarito: D
Questão 6
Dentro de um computador, palavras são representadas como vetores numéricos, usando uma codificação conhecida como “tabela ASCII”. Por exemplo, considere as palavras abaixo, que têm a mesma quantidade de letras: 
alvo = (97; 108; 118; 111)
bola = (98; 111, 108; 97)
cara = (99; 97; 114; 97)
cela = (99; 101; 108; 97)
cima = (99; 105; 109; 97)
cone = (99; 111; 110; 101)
cume= (99; 117; 109; 101)
dedo = (100; 101; 100; 111)
Suponha que a “distância” entre duas palavras seja medida pelo módulo do vetor diferença entre os vetores que representam as palavras. Por exemplo:
alvo–bola = (–1; 3; –10; 14)
Módulo da diferença = 
Considere a palavra dedo. Das cinco palavras abaixo, a mais próxima dela é:
cara.
cela.
cima.
cone.
cume.
Gabarito: B
Questão 07
Duas rodovias, rota 66 e rota 68, são definidas pelas seguintes equações de reta:
Rota 66: 		Rota 68: = 
Em seu ponto de encontro, o ângulo formado por essas rodovias é de aproximadamente:
14o
87o
109o
117o
132o
Gabarito: E
Questão 8
Um losango é um quadrilátero com os quatro lados tendo a mesma medida. Outra característica do losango é que suas diagonais são perpendiculares e se cortam em seus respectivos pontos médios. 
Sendo o ponto A(8, -2) um vértice de um losango ABCD e 2x + y + 1 = 0 a reta que contem os vértices B e D, assinale a opção correspondente ao vértice C.
(-2 , -8)
(0 , -4)
(4 , 3)
(-4 , -8)
(-1 , 7) 
Gabarito: D
Questão 9
A figura abaixo mostra um quadrado ABCD e um triângulo equilátero BEF, ambos de lado medindo 3cm. 
Nessa figura consideramos um sistema cartesiano com origem no ponto B, o eixo x passando pelos pontos A, B e E e o eixo y passando por B, G e C.
Determine a medida do segmentoGH.
Questão 10
A figura abaixo mostra os eixos x, y e z do espaço com origem no ponto O e dois triângulos: ABC e DEF.
Sabe-se que A = (1,2,6), B = (2,3,1) e C = (3,1,2). Os pontos D, E e F são os pontos em que o plano definido pelo triângulo ABC corta os eixos coordenados.
Determine a área do triângulo DEF.
Questão 1
Em certo videogame, a heroína, a motociclista Gaalática, pilota num plano horizontal (modelado matematicamente pelo programador como o plano xy) até um plano inclinado (plano de vetor normal e contendo o ponto A(3,1,5).
A motociclista atinge o plano inclinado no ponto P(6,2,0) (escala em quilômetros). Ela deve subir em linha reta até o ponto Q (ponto do plano inclinado que possui as três coordenadas iguais), pois nesse ponto existe um tesouro. Aproximadamente, qual a distância PQ?
1,47 km.
2,47 km.
3,47 km.
4,47 km.
5,47 km
GABARITO: D
Questão 2
Para esta questão, se necessário, utilize a fórmula )
Em uma determinada obra, duas roldanas são usadas para erguer o peso P, puxando uma corda no ponto F, conforme a figura. Em certo instante, o peso P encontra-se no ponto C(3,4). Considere que as roldanas possuem diâmetro desprezível e estão localizadas nos pontos B e D de coordenadas (0,10) e (5,7), respectivamente. 
O valor do ângulo C é, aproximadamente: 
60º
90º
120º
135º
150º
GABARITO: A
Questão 3
Dois jogadores de golfe, após realizarem duas tacadas cada, se deparam com a situação ilustrada na figura abaixo. O ponto em vermelho, com coordenadas (7,4) representa o buraco. O ponto (0,0) representa o ponto de partida onde cada jogador deu sua primeira tacada. O primeiro gráfico apresenta as duas tacadas do jogador 1 e o gráfico 2 apresenta as duas tacadas do jogador 2. 
 
De acordo, com a análise dos gráficos foram feitas as seguintes observações:
I – Na primeira tacada a posição da bola do primeiro jogador é ponto (3,1) e do segundo jogador o ponto (10,10).
II – Na segunda tacada do jogador 1, o vetor é um representante para o vetor que indica o movimento da bola.
III – A distância percorrida pela bola do jogador 1 é menor que a distância percorrida pela bola do jogador 2. 
IV – Para que ambos os jogadores acertem o buraco na terceira tacada, o Jogador 1 e o Jogador 2 devem fazer suas jogadas de acordo com os vetores, e , respectivamente.
É correto apenas o que se afirma em:
I e IV.
IV.
I.
I, III e IV.
II.
 
Gabarito: D
Questão 4
Em Física, sempre que uma força é aplicada a um corpo, provocando o seu deslocamento , dizemos que um trabalho W foi realizado, sendo este W calculado por e medido em J (Joule) = N . m (newton. metro) .
Com base nessas informações, considere as situações descritas a seguir.
	Situação 1
	Situação 2
	Situação 3
	
	
	
 
Nas situações 1 e 2, um indivíduo, ao se deslocar em um aeroporto, carrega uma mala de peso , exercendo, para isso, uma força 
Na situação 3, um atleta ergue um peso e o sustenta durante cinco segundos acima de sua cabeça.
Sobre essas situações, são feitas as seguintes afirmações.
A força peso (vertical para baixo) da mala, realiza trabalhos de módulos diferentes nas situações 1 e 2, sendo menor na primeira.
Se a força feita na situação 1 para deslocar a mala é e o deslocamento é então o ângulo formado por e é de aproximadamente 19o. 
Durante o movimento de subida do peso, a força exercida pelo atleta realiza um trabalho negativo.
Não há realização de trabalho, durante os 5 segundos que o atleta sustenta o peso acima de sua cabeça.
Estão corretas apenas as afirmativas
I e II
II e IV
I e III
II , III e IV
I,III e IV
Gabarito: B
Questão 5
O excesso de peso pode prejudicar o desempenho de um atleta profissional em corridas de longas distâncias como a maratona (42,195 km), a meia maratona (21,098 km,) ou uma prova de 10 km. Para saber uma aproximação do intervalo de tempo a mais perdido para completar uma corrida devido ao excesso de peso, muitos atletas utilizam os dados apresentados na tabela e no gráfico:
Usando essas informações, um atleta de ossatura grande, pesando 63 kg e com uma altura igual a 1,59 m, que tenha corrido uma meia-maratona, pode estimar que, em condições de peso ideal, teria melhorado seu tempo na prova em
0,32 minuto
0,67 minuto
1,60 minuto
2,68 minutos
3,35 minutos
GABARITO: E
Questão 6
Um grupo de peritos analisa o cenário de um crime em que uma vítima foi atingida dentro de casa por dois tiros. Em um papel, os peritos fizeram algumas medições e elaboraram o desenho abaixo, em que PS representa a parede sul e PO representa a parede oeste. Estas paredes são perpendiculares e o encontro entre elas foi definido como a origem da referência adotada para as medições. A vítima foi encontrada no ponto V. O primeiro tiro atravessou uma janela no ponto A e um objeto de decoração no ponto M, antes de atingir a vítima. O segundo atravessou uma porta de vidro no ponto B e atingiu de raspão a quina de duas paredes no ponto N, antes de atingir a vítima em V. O ponto A encontra-se a 3 m da parede sul e o ponto B encontra-se a 2 m da parede oeste. Os pontos M e N encontram-se, respectivamente, a 1 m e 2,5 m da parede oeste e a 3,5 m e 2,25 m da parede sul. 
Com base nestas informações, os peritos calcularam a posição da vítima e o ângulo formado pelas direções dos dois tiros e encontraram como resultados, respectivamente:
2,5 m da parede oeste e 4,5 m da parede sul e ângulo de 36˚.
3 m da parede oeste e 4 m da parede sul e ângulo de 41˚.
3 m da parede oeste e 4,5 m da parede sul e ângulo de 51˚.
3,5 m da parede oeste e 4 m da parede sul e ângulo de 56˚.
4 m da parede oeste e 3,5 m da parede sul e ângulo de 61˚.
GABARITO: C
Questão 7
A equação geral do plano que passa pelo ponto A(2, 1, 3) e é paralelo ao plano α: 3x – 4y – 2z + 5 = 0 é
3x – 4y – 2z + 5 = 0
3x – 4y – 2z + 4 = 0
–3x + 4y + 2z + 5 = 0
2x + 2y + z – 9 = 0
2x + y + 3z – 14 = 0
Gabarito: B
Questão 8
A rodovia Rota 45 é uma reta definida pelas seguintes equações:. 
A cidade de Andorinhas é tal que seu centro tem as coordenadas geográficas C(2, 1, 4). A distância do centro de Andorinhas até a Rota 45 é aproximadamente 
1,5
1,7
2,6
2,9 
3,2
 
Gabarito: D
Questão 9
Imagine que você é o comandante de um submarino está parado no fundo do oceano na posição (0,0,0) de um sistema cartesiano. A unidade de medida é o quilômetro.
Através de seus equipamentos, você monitora dois outros submarinos de sua frota que estão próximos, o primeiro deles, chamado de submarino A, está no ponto (5,3,2) a uma velocidade de 12km/h enquanto o outro, chamado de submarino B, está no ponto (2,4,1) a uma velocidade de 15km/h. Os dois submarinos deslocam-se em linha reta,o submarino A em direção à superfície e o submarino B em direção ao fundo do oceano.
Após 15 minutos de monitoramento, ambos submarinos continuam se movendo em linha reta e com velocidade constante, sendo que o submarino A deslocou-se para o ponto (6,2,M) e o submarino B para o ponto (1,2,N).
Determine os valores de M e N.
Questão 10
Considere os pontos A = (1,2,1), B = (3,5,4) e C = (5,3,2).
A reta r passa pelos pontos A e B enquanto a reta s passa pelos pontos A e C.
Determine a equação de uma reta t passando por A que seja coplanar com r e s e que também seja perpendicular à reta r.
ESSAS SÃO PARA O TRABALHO
1a parte: 4 e 23
2a parte: 34
3a parte: 49
Por esse semestre é só, pessoal. Façam tudo que não precisarão fazer mais Geometria Analítica e Álgebra Linear no semestre que vem.