gaal lista 05 retas e planos

Prévia do material em texto

Engenharia Civil - Campus Estoril
Geometria Analítica e Álgebra Linear - Lista de Exercícios Professor: Luiz Carlos Fernandes
Retas e Planos
Questão 1. Determine as equações paramétricas da reta que passa por Q(1,−3, 2) e tem direção dada
pelo vetor ~v = (−4, 3, 2).
Questão 2. Considere a reta r =

x = t+ 2
y = 2t+ 1
z = t− 2
.
(a) Qual ponto dessa reta é obtido com o parâmetro t = −3?
(b) Os pontos A = (3, 3,−1), B = (6, 9, 2) e C = (3, 3, 1) pertencem à r?
(c) Encontre um ponto que pertence à r e tenha coordenada z igual a 1.
Questão 3. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A(1, 2, 2) e B(4, 3, 3).
Questão 4. Determine as equações paramétricas das retas nos seguintes casos:
(a) passa pelo ponto (−1, 5, 3) na direção do vetor ~v = (−1, 2,−7).
(b) passa pelos pontos (1,−2, 3) e (0, 3,−1).
(c) passa pelo ponto (1,−2, 3) e é paralela à reta

x = 2t+ 1
y = −t
z = 3t− 3
.
(d) passa pelo ponto (−1, 2,−5) e é paralela à reta que passa pelos pontos (1, 0, 2) e (5,−3,−1).
(e) passa pelo ponto (−5, 3, 2) e é paralela ao eixo x.
Questão 5. Determine, se existir, a interseção das retas r1 =

x = t+ 1
y = −2t+ 3
z = −3t+ 1
e r2 =

x = 2s+ 3
y = 6s+ 4
z = 4s
.
Resolução: Iguale as equações paramétricas das duas retas t+ 1 = 2s+ 3−2t+ 3 = 6s+ 4−3t+ 1 = 4s
e resolva o sistema de duas incógnitas e 3 equações. Se o sistema possuir solução única, a interseção é
um único ponto e as retas são concorrentes. Se possuir infinitas soluções, as retas são coincidentes. Se
não possuir solução, as retas não se tocam, ou seja, são paralelas ou reversas. Neste caso, o sistema
possui a solução t = 1 e s = − 12 . Substituindo t = 1 na reta r1 ou s = − 12 na reta r2, obtemos o ponto
(2, 1,−2) que é a interseção das retas.
Questão 6. Determine, se existir, a interseção entre as retas
(a) r1 =

x = t+ 1
y = 2t− 3
z = t
e r2 =

x = s+ 5
y = −s+ 5
z = 2s+ 3
.
(b) r1 =

x = t
y = 3t− 1
z = 2t+ 1
e r2 =

x = s
y = 4s− 2
z = 3s
.
(c) r1 =

x = 2t+ 2
y = 3t
z = 4t+ 5
e r2 =

x = s+ 5
y = −s+ 2
z = −2s+ 7
.
1
(d) r1 =

x = t+ 4
y = 3t+ 1
z = −5t+ 7
e r2 =

x = −s+ 1
y = −7s+ 2
z = −s
.
(e) r1 =

x = t
y = 2t
z = t− 3
e r2 =

x = s+ 3
y = −3s+ 1
z = s
.
Questão 7. Verifique a posição relativa das retas.
(a) r1 =

x = 2t+ 1
y = t− 2
z = t
e r2 =

x = 6s+ 2
y = 3s− 2
z = 3s
.
Resolução: Como os vetores diretores ~v1 = (2, 1, 1) e ~v2 = (6, 3, 3) são múltiplos escalares,
~v2 = 3~v1, concluímos que as retas têm a mesma direção. Verificamos se elas possuem interseção
resolvendo o sistema  2t+ 1 = 6s+ 2t− 2 = 3s− 2
t = 3s
Como o sistema nao tem solução (verifique), concluímos que as retas não se intersectam, logo (como
têm a mesma direção), elas são paralelas.
(b) r1 =

x = 2t+ 1
y = −t+ 3
z = 4t
e r2 =

x = −5s+ 3
y = 2s+ 2
z = −3s+ 4
Resolução: Como os vetores diretores ~v1 = (2,−1, 4) e ~v2 = (−5, 2− 3) não são múltiplos,(ou seja,
não existe k ∈ R tal que ~v1 = k~v2) as retas não têm a mesma direção. A seguir determinamos se
as retas possuem interseção. Resolvendo o sistema, obtemos a solução única t = 1 e s = 0. Logo,
substituindo t = 1 nas equações da reta r1 vemos que as retas se intersectam no ponto (3, 2, 4) e,
portanto são concorrentes.
(c) r1 =

x = t+ 1
y = t+ 2
z = −3t
e r2 =

x = 2s
y = −s
z = s+ 1
Resolução: Os vetores diretores ~v1 = (1, 1,−3) e ~v2 = (2,−1, 1) não são múltiplos e, portanto, as
retas não têm a mesma direção. Verificamos através da resolução do sistema, que este não possui
solução e, logo, as retas não se intersectam. Portanto, as retas são reversas.
Questão 8. Verifique a posição relativa das retas.
(a) r1 =

x = −t+ 2
y = 2t+ 3
z = t+ 1
e r2 =

x = −2s+ 5
y = 4s+ 2
z = 2s+ 1
.
(b) r1 =

x = 2t+ 1
y = −t− 3
z = t
e r2 =

x = 3t2 +
1
2
y = t− 1
z = t3
.
(c) r1 =

x = t+ 2
y = −2t+ 4
z = 3t+ 1
e r2 =

x = 4s− 1
y = −s+ 3
z = 2s+ 2
.
Questão 9. Estabeleça as equações paramétricas das retas nos seguintes casos.
(a) passa pelo ponto (2, 3, 1) e é simultaneamente ortogonal às retas

x = 3
y = 1
z = t
e

x = s
y = −2s+ 1
z = −s− 3
.
(sugestão: use o produto vetorial. Lembre-se que o resultado do produto vetorial entre dois vetores é
ortogonal a eles.)
2
(b) passa pela origem e é simultaneamente ortogonal às retas

x = 2t
y = −t
z = −2t+ 3
e

x = s
y = 3s− 1
z = −s+ 4
.
(c) passa pelo ponto (−1, 4, 5) e é perpendicular à reta

x = 3t
y = 5t− 7
z = 2t+ 2
.
Questão 10. Dado um vetor ~n = (a, b, c), chamado vetor normal, e um ponto P0 = (x0, y0, z0), o
conjunto de todos os pontos P = (x, y, z) do espaço em que o vetor ~P0P é ortogonal ao vetor ~n é um
plano. Todos esses pontos satisfazem à propriedade ~n · ~P0P = 0. Isto nos dá a equação do plano
a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0. (1)
A equação reduzida do plano é da forma ax+ by+ cz+d = 0 em que o valor d é igual a −ax0− by0− cz0.
Use essas informações para determinar a equação do plano que passa pelo ponto Q = (1, 3,−2) e tem
vetor normal ~n = (2,−3, 2).
Resolução: Basta substituir as coordenadas do vetor normal ~n e o ponto Q.
2(x− 1)− 3(y − 3) + 2(z + 2) = 0.
Em seguida colocamos a equação na forma reduzida
2(x− 1)− 3(y − 3) + 2(z + 2) = 0 ⇒ 2x− 2− 3y + 9 + 2z + 4 = 0 ⇒ 2x− 3y + 2z + 11 = 0.
Questão 11. Determine a equação do plano que possui o vetor normal ~n dado e passa pelo ponto P0
dado.
(a) ~n = (1,−2, 3) e P0 = (0,−1, 1).
(b) ~n = (6,−1, 2) e P0 = (3,−5, 1).
(c) ~n = (2, 0,−3) e P0 = (0, 2, 1).
(d) ~n = (0, 0,−2) e P0 = (4,−2, 1).
(e) ~n = (−2, 3, 0) e P0 = (0, 0, 0).
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Algumas respostas
1.

x = −4t+ 1
y = 3t− 3
z = 2t+ 2
.
2. (a) (−1,−5,−5); (b) A e B sim e C não; (c) (5, 7, 1).
3.

x = 3t+ 1
y = t+ 2
z = t+ 2
4. (b)

x = −t+ 1
y = 5t− 2
z = −4t+ 3
; (c)

x = 2t+ 1
y = −t− 2
z = 3t+ 3
; (d)

x = 4t− 1
y = −3t+ 2
z = −3t− 5
; (e)

x = t− 5
y = 3
z = 2
.
6. (a) não se intersectam; (b) (1, 2, 3); (d) não se intersectam; (e) (2, 4,−1).
8. (a) paralelas; (b) reversas.
9. (a)

x = 2u+ 2
y = u+ 3
z = 1
; (c)

x = −1
y = 2s+ 4
z = s+ 5
.
10.
11.
12.
13.
Bibliografia
SANTOS, Fabiano José, FERREIRA, Silvimar F. Geometria Analítica, Bookman, 2009.
3