Problemas de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Engenharia Civil – Campus Estoril
	Geometria Analítica e Álgebra Linear – Problemas contextualizados – Professor: Luiz Carlos Fernandes
	Questão 1) As grandes cidades brasileiras, principalmente as capitais, têm sofrido com o elevado número de veículos circulando nas ruas. Se por um lado tivemos um aumento considerável na frota de veículos, o planejamento urbano e os investimentos em infraestrutura não acompanharam o crescimento da frota.
A ponte Rio-Niterói, também conhecida como Ponte Presidente Costa e Silva, inaugurada em 1974, se estende ao longo da Bahia da Guanabara ligando dois importantes centros urbanos do estado. Com um comprimento de 13,29 km, a ponte liga a cidade do Rio de Janeiro ao município de Niterói.
 Fonte: CCR Pontes – disponível 
 Fonte: CCR Pontes – disponível em: http://www.ponte.com.br/
Com um fluxo de quase 200 mil veículos/dia a própria ponte já se encontra em vias de ser um gargalo no trânsito da cidade.
Uma solução para evitar esse gargalo no trânsito seria uma saída/entrada alternativa para a ponte Rio-Niterói, partindo da Via Elevada da Perimetral (ponto C no mapa) que, pela menor distância possível, ligasse o continente à ponte. Suponha um sistema coordenado referenciado à figura acima de tal forma que tenhamos , com escala em . Suponha que a ponte liga os pontos por uma reta.
O comprimento da nova ponte que, partindo do ponto , ligasse o continente à ponte Rio-Niterói é, em , aproximadamente:
a) 3,89
b) 4,01
c) 4,65
d) 5,02
e) 5,19
	Questão 2) A rodovia Rota 45 é uma reta definida pelas seguintes equações:. 
A cidade de Andorinhas é tal que seu centro tem as coordenadas geográficas C(2, 1, 4). A distância do centro de Andorinhas até a Rota 45 é aproximadamente 
1,5
1,7
2,6
2,9 
3,2
	Questão 3) 
Observe atentamente a figura. Ela representa um terreno após trabalhos de terraplenagem
Descrevendo matematicamente podemos afirmar que OABC é um quadrado de lado 25m, sendo O a origem do sistema cartesiano, A um ponto do eixo x e C é um ponto do eixo y. Os pontos D, E, F, G, H e I estão em uma mesma altura e são as extremidades de um platô. O ponto F tem coordenadas (25 , -15 , 20) e o ponto D tem coordenadas (-10 , 25 , 20). As retas AO, FE e GH são paralelas, como também são paralelas as retas OC, DE e IH.
Considerando as ideias do texto e utilizando o metro como unidade de medida nessa questão, avalie as afirmações a seguir.
As coordenadas do ponto E são (-15 , -10 , 20)
A distância entre o ponto E e a origem é um pouco maior que 26,9m
O vetor (2 , 0 , 1) é perpendicular ao paredão OCDE
Os paredões OAFE e OCDE são perpendiculares.
É correto apenas o que se afirma em
II 
III
II e III
I e IV 
I e II
	Questão 4) A figura abaixo mostra os eixos x, y e z do espaço com origem no ponto O e dois triângulos: ABC e DEF.
Sabe-se que A = (1,2,6), B = (2,3,1) e C = (3,1,2). Os pontos D, E e F são os pontos em que o plano definido pelo triângulo ABC corta os eixos coordenados.
Determine a área do triângulo DEF.
	Questão 5) Em uma determinada obra, duas roldanas são usadas para erguer o peso P, puxando uma corda no ponto F, conforme a figura. Em certo instante, o peso P encontra-se no ponto C(3,4). Considere que as roldanas possuem diâmetro desprezível e estão localizadas nos pontos B e D de coordenadas (0,10) e (5,7), respectivamente. 
O valor do ângulo C é, aproximadamente: 
60º
90º
120º
135º
150º
	Questão 6) Considere os planos e . 
Qual deve ser o valor de k para que seja paralelo a .
Considere k = 2. Assim, os planos não serão paralelos. Determine as equações paramétricas da reta de interseção entre os dois planos.
 
	Questão 7) Dois jogadores de golfe, após realizem duas tacadas cada, se deparam com a situação ilustrada na figura abaixo. O ponto em vermelho, com coordenadas (7,4) representa o buraco. O ponto (0,0) representa o ponto de partida onde cada jogador deu sua primeira tacada. O primeiro gráfico apresenta as duas tacadas do jogador 1 e o gráfico 2 apresenta as duas tacadas do jogador 2. 
 
De acordo, com a análise dos gráficos foram feitas as seguintes observações:
I – Na primeira tacada a posição da bola do primeiro jogador é ponto (3,1) e do segundo jogador o ponto (10,10).
II – Na segunda tacada do jogador 1, o vetor é um representante para o vetor que indica o movimento da bola.
III – A distância percorrida pela bola do jogador 1 é menor que a distância percorrida pela bola do jogador 2. 
IV – Para que ambos os jogadores acertem o buraco na terceira tacada, o Jogador 1 e o Jogador 2 devem fazer suas jogadas de acordo com os vetores, e , respectivamente.
É correto apenas o que se afirma em:
I e IV.
IV.
I.
I, III e IV.
II.
	Questão 8) A figura abaixo representa um edifício construído sobre pilotis, cuja garagem está localizada abaixo do nível dos apartamentos, e no mesmo plano da rua, localizada no plano xy. Este prédio tem arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 20, 10 e 30 m. (A escala adotada nos eixos x, y, z é 1 unidade = 10 m). Imagine que um funcionário, ao realizar uma inspeção de segurança no prédio, parta do vértice B. De lá, ele desloca-se para o vértice G, depois de G para H. Em seguida, desloca-se de H para A e, de lá, realiza um último deslocamento até atingir a projeção de A sobre a garagem no plano xy. Considere que todos os deslocamentos são feitos em linha reta. Sabendo-se que A (20, –10,20), o valor aproximado da distância total percorrida por este funcionário ao realizar a inspeção no edifício é:
Escala:
1 unidade = 10 metros
Sabendo-se que A (20, –10,20), o valor aproximado da distância total percorrida por este funcionário ao realizar a inspeção no edifício é:
55 m
60 m
72 m
86m
97 m
	Questão 9) A figura abaixo mostra a rota de dois aviões. Da sala de controle do espaço aéreo de um aeroporto observam-se dois aviões. O primeiro avião está no ponto A = (3 , -5 , 1) e segue a direção do vetor = (0,4 , 1,4 , 0,6). O segundo avião está no ponto B = (-4 , -4 , -2), seguindo a direção do vetor = (0,45 , 0,3 , 0,3). A unidade de medida usada é o quilômetro.
Nesse momento um alarme soa na sala do controle aéreo, indicando que esses aviões estão em rota de colisão. Na realidade, se os aviões mantiverem a direção em que estão voando, eles poderão colidir no ponto C. Determine as coordenadas do ponto C.
	Questão 10) Observe a figura abaixo
Ela representa dois terrenos, um em formato triangular e outro na forma quadrangular.Considere que cada unidade representada está expressa em quilômetros. 
Uma empresa deve construir um cabo de fibra ótica que atravessará os terrenos, unindo os pontos representados por C e D. Para isso terá que pagar R$ 2,50 por cada metro de cabo construído entre os pontos A e B ao proprietário desse terreno, a título de autorização de construção.
Qual o valor total a ser pago nessa autorização de construção?