apostila_I_algebra_Linear2014

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A´lgebra linear e geometria anal´ıtica
Enori Carelli - Jane Mery Richter Voigt
Estudante:
Univille - 2014
2
1 Algebra vetorial 3
1 Vetores: Conceitos iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Operac¸o˜es com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Combinac¸a˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Vetores no espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Pontos no plano e no espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Expressa˜o anal´ıtica de um vetor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Igualdade de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Adic¸a˜o de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Vetor definido por dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Produto de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Mo´dulo de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 @Produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 Propriedades do produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6 Interpretac¸a˜o geome´trica do produto misto . . . . . . . . . . . . . 48
4 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1 Objetivos do cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Equac¸o˜es da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3 Equac¸o˜es parame´tricas da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 Equac¸o˜es Sime´tricas da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5 Reta definida por dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.6 Condic¸a˜o para que treˆs pontos estejam em linha reta . . . . . . . 63
4.7 Equac¸o˜es reduzidas da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.8 Retas paralelas aos planos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.9 Posic¸o˜es relativas das retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.10 Condic¸a˜o de paralelismo entre duas retas . . . . . . . . . . . . . . 68
4.11 Condic¸a˜o de ortogonalidade entre duas retas . . . . . . . . . . . . 69
4.12 Condic¸a˜o de coplanaridade de duas retas . . . . . . . . . . . . . . 70
4.13 Ponto de intersec¸a˜o entre duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.14 Distaˆncia entre um ponto Q e reta r, d(Q,r) . . . . . . . . . . . . 74
4.15 Distaˆncia entre duas retas r e s, d(r,s) . . . . . . . . . . . . . . . 75
5 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.1 Objetivos do cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2 Equac¸o˜es do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3 Equac¸o˜es parame´tricas de um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.4 Determinac¸a˜o de um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5 Caso I: o plano passa por um ponto A e e´ paralelo a dois vetores−→u e −→v na˜o colineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.6 Caso II: o plano passa por dois pontos A e B e´ paralelo a um vetor
−→v na˜o colinear ao vetor −→AB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.7 Caso III: o plano passa por treˆs pontos A, B e C na˜o colineares. . 89
5.8 Caso IV: o plano conte´m duas retas r e s concorrentes. . . . . . . 90
5.9 Caso V: o plano conte´m duas retas r e s paralelas. . . . . . . . . 91
5.10 Caso VI: o plano conte´m uma reta r e um ponto B /∈ r. . . . . . 93
5.11 Casos particulares para equac¸a˜o geral de um plano . . . . . . . . 95
5.12 Intersec¸a˜o de dois planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.13 Intersec¸a˜o entre reta e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.14 Intersec¸a˜o de um plano com os eixos e planos coordenados. . . . . 99
1. Algebra vetorial
1. Vetores: Conceitos iniciais
Reta orientada
Uma reta e´ orientada quando munida de um sentido de percurso, indicado por uma
seta, que pode ser positivo ou negativo. Veja a reta r na figura 1.1. Quando e´ fixado
o sentido positivo, o sentido oposto e´ o negativo. Uma reta orientada e´, tambe´m,
denominada eixo. Por exemplo, eixo das abscissas ou das ordenadas.
Segmento orientado.
Um segmento orientado e´ determinado por um par ordenado de pontos em que o primeiro
e´ denominado origem e o segundo extremidade. Por exemplo, o segmento orientado
de origem A e extremidade B sera´ denotado algebricamente por AB ou AB e, geo-
metricamente, por uma seta que caracteriza visualmente o sentido do segmento. Neste
documento usaremos a notac¸a˜o alge´brica AB para o segmento orientado de origem A e
extremidade B. Ver figura 1.1.
r
A
B
Figura 1.1: Reta orientada e segmento orientado
Segmento nulo
Um segmento e´ nulo quando sua origem coincide com sua extremidade.
3
4
Segmentos opostos
Se AB e´ um segmento orientado, enta˜o o segmento BA e´ seu oposto.
Note que nos segmentos opostos a origem de AB e´ a extremidade de BA.
Medida de um segmento.
Amedida de um segmento AB e´ seu comprimento ou seu mo´dulo, denotado porm
(
AB
)
.
Para medir um segmento procedemos como segue:
1. Estabelecemos uma unidade de comprimento;
2. Associamos a esta unidade um nu´mero real na˜o negativo que sera´ a medida do
segmento em relac¸a˜o a` unidade.
Por exemplo, a medida do segmento representado na figura 1.2 e´ de 5 unidades
de comprimento ou m
(
AB
)
= 5uc
observac¸a˜o 1. Observac¸a˜o: A medida do segmento nulo e´ zero se a origem A e a
extremidade B sa˜o coincidentes, isto e´ AB = AA = BB.
A
B
uc
Figura 1.2: Unidade uc de comprimeno do segmento AB
Direc¸a˜o e sentido de um segmento
A direc¸a˜o de um segmento e´ dada pelo aˆngulo que ele forma com uma reta suporte.
Assim, dois segmentos AB e CD tem a mesma direc¸a˜o quando suas retas suportes sa˜o
paralelas ou coincidentes como na figura 1.3.
Na figura 1.3, o segmentos AB e CD tem mesma direc¸a˜o e mesmo sentido,
pore´m direc¸a˜o diferente do segmento EF . Ja´ os segmentos GH e IJ tem mesma direc¸a˜o,
pore´m sentidos opostos.
5
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
ϕ ϕ β
Figura 1.3: Direc¸a˜o e sentido de um segmento orientado
Segmentos equipolentes
Dois segmentos AB e CD sa˜o equipolentes e sa˜o denotados por AB ∼ CD se satisfazem
as seguintes condic¸o˜es
1. mesma direc¸a˜o;
2. mesmo sentido;
3. mesmo comprimento (mo´dulo)
Na figura 1.4 sa˜o equipolentes os segmentos AB e DC, AD e BC, ja´ FG
na˜o e´ equipolente a nenhum deles.
Propriedades dos segmentos equipolentes
Os segmentos equipolentes apresentam as seguintes propriedades.
1. Reflexiva - qualquer segmento e´ equipolente a ele mesmo, isto e´ AB ∼ AB;
2. Sime´trica — se AB for equipolente a CD enta˜o CD e´ equipolente a AB, isto e´ se
AB ∼ CD enta˜o CD ∼ AB;
3. Transitiva — se AB for equipolente a CD e CD for equipolente a FG enta˜o AB e´
equipolente a FG; isto e´, se AB ∼ CD e CD ∼ FG enta˜o AB ∼ FG.
6
A
B
C
D
F
G
Figura 1.4: Segmentos equipolentes
1.1. Vetor
Vetor determinado por um segmento orientado AB e´ o conjunto de todos os segmentos
orientados XY que sa˜o equipolentes ao segmento AB. Nesse caso, simbolicamente,
denotamos −→v = −→AB. Assim,−→v = {XY tais que XY ∼ AB}. Ver figura 1.5
O vetor determinado por AB sera´ denotado por
−→
AB, B − A, ou −→v .
observac¸a˜o 2. O qualquer segmento orientado XY representado pelo vetor
−→
AB tem
as mesmas caracter´ısticas, isto e´, mesma direc¸a˜o, mesmo sentido e mesmo mo´dulo do
vetor
−→
AB. O mo´dulo do vetor −→v sera´ denotado simbolicamente por |−→v|.
A
B
X
Y
Figura 1.5: O vetor −→v =−→AB e´ um representante de todos os segmentos orientados XY
do conjunto.
Vetores iguais
Dois vetores
−→
AB e
−→
CD sa˜o iguais se, e somente se, AB ∼ CD
7
Vetor nulo
Os segmentos nulos sa˜o equipolentes entre si, logo determinam um u´nico vetor, denom-
inado vetor nulo e indicado por
−→
0
Vetores opostos
Dado um vetor −→v = −→AB, o vetor −→BA e´ o oposto de −→AB e sera´ indicado por −−→AB ou
−−→v .
Vetor unita´rio
Um vetor v e´ unita´rio se tiver o mo´dulo igual a unidade, isto e´, |−→v | = 1.
Versor de um vetor
O versor de um vetor na˜o nulo −→v = −→AB e´ o vetor unita´rio −→u de mesma direc¸a˜o e
sentido de −→v figura 1.6. Note que um vetor unita´rio −→a de mesma direc¸a˜o, pore´m
sentido oposto a −→v na˜o e´ seu versor.
A
B
u
a
Figura 1.6: Versor de um vetor
Vetores colineares
Dois vetores −→u e −→v sa˜o colineares se tiverem a mesma direc¸a˜o, isto e´, dois vetores −→u e−→v sa˜o colineares se tiverem segmentos representantes AB e CD pertencentes a mesma
reta ou a retas paralelas.
Na figura 1.7, AB e CD pertencem a` retas paralelas, ja´ EF e GH pertencem
a` mesma reta.
Vetores coplanares.
Treˆs ou mais vetores −→u , −→v , −→w , etc , que pertencem ao mesmo plano sa˜o denominados
coplanares. Dois vetores sa˜o sempre coplanares pois e´ sempre poss´ıvel passar um plano
8
A
B
C
D
E F G
H
Figura 1.7: Vetores colineares
por dois vetores quaisquer. Treˆs ou mais vetores podem ser coplanares ou na˜o. Os
vetores da figura 1.7 sa˜o todos coplanares enquanto que os vetores
−→
AB,
−→
AD e
−→
AC da
figura 1.8 na˜o sa˜o coplanares. Podemos observar que os vetores
−→
AB,
−→
AD determinam o
plano da face lateral do paralelepipedo, os vetores
−→
AC e
−→
AD determinam o plano da base
e os vetres
−→
AB e
−→
AC determinam o plano da face lateral esquerda do paralelepipedo.
A
B
C
D
Figura 1.8: Vetores na˜o coplanares
1.2. Operac¸o˜es com vetores
Dois ou mais vetores podem ser adicionados ou subtra´ıdos.
9
Adic¸a˜o de vetores.
Seja −→v = −→AB e −→u = −→CD dois vetores. Suponhamos que desejamos determinar −→v +−→u .
Enta˜o para adiciona´-los procedemos como segue:
1. Deslocamos o vetor −→u de forma que sua origem C coincida com a extremidade B
de −→v ;
2. Trac¸amos o vetor
−→
AD = −→v +−→u cuja origem e´ a origem A de −→v e a extremidade
e´ a extremidade D de −→u . Figura 1.9
Propriedades da adic¸a˜o
A adic¸a˜o de vetores apresenta as seguintes propriedades:
1. Comutativa: −→v +−→u = −→u +−→v
2. Associativa: (−→v +−→u ) +−→w = −→v + (−→u +−→w )
3. Elemento neutro: −→v +−→0 = −→v
4. Elemento inverso: −→u + (−−→u ) = −→0
A
B
C
D
A
B C
D
Figura 1.9: Soma de vetores
Subtrac¸a˜o de vetores
Seja −→v = −→AB e −→u = −→CD dois vetores. Suponhamos que desejamos determinar −→v −−→u .
Enta˜o para subtra´ı-los procedemos como segue:
1. Trac¸amos o vetor −−→u com origem D na extremidade B de −→v ;
2. Trac¸amos o vetor −→v −−→u = −→AC cuja extremidade e´ a origem A de −→v e a extrem-
idade e´ a extremidade C de −−→u .Figura ??
10
A
B
C
D
A
B
C
D
D
Figura 1.10: Subtrac¸a˜o de vetores
Multiplicac¸a˜o de um vetor por um nu´mero real
Dado um vetor −→v e um escalar k �= 0, denominamos produto do nu´mero real k pelo
vetor −→v ao vetor −→p = k−→v que satisfaz as seguintes condic¸o˜es em relac¸a˜o:
1. ao mo´dulo: |−→p | = |k−→v | = |k| |−→v |;
2. a` direc¸a˜o: a direc¸a˜o de −→p e´ a mesma de −→v ;
3. ao sentido: o sentido de −→p e´ a mesma de −→v se k > 0 e oposto a −→p se k < 0.
Versor de um vetor
O versor de um vetor na˜o nulo −→v = −→AB e´ o vetor unita´rio −→u dado por:
−→u =
−→v
|−→v | (1.1)
Note que |−→u | =
∣∣∣∣ −→v|−→v |
∣∣∣∣ = |−→v ||−→v | = 1
Da fo´rmula 1.1 conclu´ımos que −→v = |−→v | −→u .
Propriedades da multiplicac¸a˜o de um vetor por ou nu´mero real.
Sejam−→v , −→u dois vetores quaisquer e a, b dois nu´meros reais quaisquer, enta˜o sa˜o va´lidas
as seguinte propriedades:
1. associativa: (ab)−→v = a (bv);
2. distributiva em relac¸a˜o a` adic¸a˜o de escalares: (a+ b)−→v = a−→v + b−→v ;
3. distributiva em relac¸a˜o a adic¸a˜o de vetores: a (−→v +−→u ) = a−→v + a−→u ;
4. identidade −→v · 1 = −→v .
11
Aˆngulo entre dois vetores
Sejam −→v = −→AB e −→u = −→CD dois vetores quaisquer na˜o nulos. Para determinar o aˆngulo
entre esses vetores procedemos como segue:
1. reproduz os vetores fazendo com que a origem A de −→v = −→AB coincida com a
origem C de −→u = −→CD;
2. mede o aˆngulo φ que eles formam junto unia˜o das origens. Ver figura 1.11
A
B
C
D
A
B
C
D
φ
Figura 1.11: Aˆngulo entre dois vetores
1.3. Combinac¸a˜o linear
Dados dois vetores −→v = −→AB e −→u = −→CD e dois nu´meros reais a e b a combinac¸a˜o linear
entre eles e´ o vetor −→w = a−→v + b−→u . Quando a = b = 1, a combinac¸a˜o linear e´ a soma
−→w = −→v +−→u . Na figura 1.12 o vetor −→w e´ a combinac¸a˜o linear dos vetores −→v = −→AB e
−→u = −→CD em que a = 3 e b = 1
2
, isto e´, −→w = 3−→AB +
−→
CD
2
.
Qualquer vetor −→w no plano pode ser escrito como combinac¸a˜o linear de dois
outros vetores −→u e −→v na˜o colineares. O problema consiste em determinar dois nu´meros
reais a e b tais que −→w = a−→v + b−→u . Na figura 1.13 vemos no primeiro caso os vetores−→w , −→u e −→v em qualquer posic¸a˜o no plano e, no segundo, a combinac¸a˜o linear de −→w .
Note que para escrever −→w como combinac¸a˜o linear de −→v e −→u consiste em
formar um paralelogramo em que os vetores a−→v e b−→u sa˜o os lados e −→w a diagonal.
12
A
B
C D
3AB
(CD)/2
w = 3AB+(CD)/2
Figura 1.12: Combinac¸a˜o linear
Exerc´ıcios para entregar no dia da prova valendo 20% da nota
obtida na prova
1. Dados os vetores !u e !v da figura, mostrar num gra´fico, um representante do vetor:
a) !u− !v
b) !v − 2!u
c) !u− 3!v
���
��
!v
!u
2. Na figura abaixo, representa-se um cubo. Desenhe a flecha de origem H que
representa
a) (E − F ) + (B −D) + (C −D);
b) −(G−B) + (B −A).
�
�
�
�
�
�
�
�
A B
CD
E
H
F
G
3. Sabendo que o aˆngulo entre os vetores !u e !v e´ de 60◦, determinar o aˆngulo formado
pelos vetores −!u e 2!v.
4. Considerando a figura 1.14, em que valem as igualdades
−→
AC =
2
−→
FC
3
,
−→
DE =
−→
CE
4
,
13
v
u
w
av
bu
w = av+bu
Figura 1.13: Combinac¸a˜o linear
−→
BG =
−→
BD
4
,
−→
AB = −→a , −→CE = −→b , sabendo que C e´ o ponto me´dio do segmento
−→
FE escreva
−→
AG como combinac¸a˜o linear (soma) dos vetores −→a e −→b .
F A C D E
B
G
Figura 1.14: Combinac¸a˜o linear de vetores
5. Um jovem parte de um ponto A, caminha 100 metros para norte, ate´ um ponto
B; em seguida, orienta-se para o leste e caminha mais 50 metros do ponto B ate´
um ponto C.
1. Determine o mo´dulo do deslocamento resultante.
14
2. Encontre o aˆngulo formado pelo entre vetor que representa o deslocamento
resultante e o vetor
−→
AB.
6. Observe a figura 1.15 em que M e´ o ponto me´dio do segmento CB,
−→
CB = −→a ,
−→
AB =
−→
b e
−−→
HD =
−→
CD
4
. Escreva os vetores
−→
OC e
−→
OH em func¸a˜o dos vetores −→a e
−→
b .
A
B
O D
C
H
M
A
B
O D
C
H
M
Figura 1.15: Figura para o exerc´ıcio
7. No trape´zio ABCD da figura 1.16 tem-se
−→
AB = −→a , −→DC = 2−→a , −→DA = −→b e
−→
BE =
−→
BC
3
. Expressar os vetores
−→
AC e
−→
DE como combiac¸a˜o linear dos vetores
−→a e −→b .
15
AB
C D
E
2a
a
b
Figura 1.16: Trape´zio
2. Vetores no espac¸o
2.1. Pontos no plano e no espac¸o
O conjunto R2 = {(x, y)/x, y ∈ R} e´ interpretado geometricamente como sendo o plano
cartesiano de eixos x ey. Ja´ o conjunto R3 = {(x, y, z)/x, y, z ∈ R} e´ interpretado
geometricamente como sendo e espac¸o tridimensional de eixos x, y e z. Assim, cada
ponto no plano tera´ coordenadas (x, y) e cada ponto no espac¸o, coordenadas (x, y, z).
Por exemplo, na figura 2.1, os pontos P(1,2) e Q(-2,3) pertencem ao plano
R
2, ja´ o ponto M(2,3,5) e pertence ao espac¸o R3.
1
2
-2
3
x
y
P(1,2)
Q(-2,3)
2
3
5
M(2,3,5)
x
y
z
Figura 2.1: Pontos no plano e no espac¸o
2.2. Expressa˜o anal´ıtica de um vetor.
Qualquer vetor no plano R2 pode ser escrito como combinac¸a˜o linear de dois vetores
na˜o paralelos ou, de treˆs vetores na˜o coplanares, no caso no espac¸o R3. Por exemplo,
16
nas figuras a e b abaixo, temos −→v = a−→v 1 + b−→v 2 para o um vetor no plano e−→v = a−→v 1 + b−→v 2 + c−→v 3 para um vetor no espac¸o.
Para escrever um vetor−→v do plano R2 como combinac¸a˜o linear sa˜o necessa´rio,
no mı´nimo dois vetores −→v 1e −→v 2 na˜o paralelos. O conjunto de vetores {−→v 1,−→v 2} e´ de-
nominados base do plano. Ja´ escrever um vetor −→v do plano R3 como combinac¸a˜o linear
sa˜o necessa´rio, no mı´nimo treˆs vetores −→v 1,−→v 2 e −→v 3 na˜o coplanares. O conjunto de
vetores {−→v 1,−→v 2,−→v 3} e´ denominados base do espac¸o R3. Os nu´meros a, b, c ∈ R sa˜o
denominadas coordenadas o vetor −→v em relac¸a˜o a base. Por outro lado, os vetores
a−→v 1, b−→v 2 e c−→v 3 sa˜o as projec¸o˜es de −→v sobre −→v 1,−→v 2 e −→v 3 respectivamente.
av
bvav
 +
bv
1
2
1
2
Figura a: Combinac¸ao linear no plano
v1
v2
v
3
av
bv
cv
av
 +
bv
 +
cv
1
1
3
2
2
3
Figura b: Combinac¸ao linear no espac¸o
Bases ortogonais e ortonormais
Definic¸a˜o 2.1. Uma base e´ denominada ortogonal quando seus vetores sa˜o dois a dois
ortogonais. Isto e´, o aˆngulo entre eles e´ 90o.
Definic¸a˜o 2.2. Quando uma base for ortogonal e o mo´dulo dos vetores que a compo˜e
e´ igual a` unidade, enta˜o ela e´ denominada base ortonormal.
observac¸a˜o 3. Existem muitas bases ortonormais, mas uma base importante e´ a base
canoˆnica, em que os segmentos teˆm origem no ponto O(0, 0) e cujas extremidades
sa˜o(1, 0) e (0, 1) quando no plano R2. No espac¸o R3, os segmentos tem origem O(0, 0, 0)
e extremidades (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1).
Nesse caso os vetores da base sa˜o denotados por
−→
i = (1, 0) e
−→
j = (0, 1)
quando no plano e
−→
i = (1, 0, 0),
−→
j = (0, 1, 0) e
−→
k = (0, 0, 1) quando no espac¸o R3.
Veja na figura 2.2
Um ponto importante da base canoˆnica e´ que qualquer vetor pode ser deno-
tado analiticamente pelas coordenadas da extremidade do segmento
−→
OP , em que O e´
origem do sistema e P tem coordenadas (x, y) ou (x, y, z) conforme o espac¸o em que e´
representado.
Assim, um vetor
−→
OP no R3 sera´ representado por:
17
x
y
x
y
z
V
(0,1)
(1,0)
(0,0)
(0,0,1)
(0,1,0)
(1,0,0)
i
i
j
j
k
Figura 2.2: Bases canoˆnicas
−→
OP = P −O
= (x, y, z)− (0, 0, 0)
= (x, y, z)
Pois, quando escrito como combinac¸a˜o linear dos vetores
−→
i = (1, 0, 0),−→
j = (0, 1, 0) e
−→
k = (0, 0, 1) assumem a mesma forma, isto e´,
−→
OP = x
−→
i + y
−→
j + z
−→
k
= x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)
= (x, 0, 0) + (0, y, 0) + z(0, 0, 1)
= (x, y, z)
Ver figura 2.3
Exemplo 2.3. Vetores escritos na forma anal´ıtica e como combinac¸a˜o dos vetores da
base
{−→
i ,
−→
j ,
−→
k
}
.
1) −→v = (3, 4, 5) ou −→v = 3−→i + 4−→j + 5−→k
ou −→v = 3 (1, 0, 0) + 4 (0, 1, 0) + 5 (0, 0, 1)
2) −→u = (−2, 1, 5) ou −→u = −2−→i +−→j + 5−→k−→u = −2 (1, 0, 0) + (0, 1, 0) + 5 (0, 0, 1)
3) −→w = (1, 3, 2) ou −→w = −→i + 3−→j + 2−→k−→w = (1, 0, 0) + 3 (0, 1, 0) + 2 (0, 0, 1)
2.3. Igualdade de vetores
Definic¸a˜o 2.4. Dizemos que dois vetores −→v = (x, y, z) e −→u = (r, s, t) sa˜o iguais se
(x, y, z) = (r, s, t), isto e´, se ocorrer x = r, y = s e z = t.
Exemplo 2.5. Os vetores −→v = (3, 2, 6) e −→u = (3, 2, 6) sa˜o iguais, pois satisfazem as
condic¸o˜es da igualdade.
18
x
y
z
(0,0,1)
(0,1,0)
(1,0,0)
i
j
k
y j
x i
z k
O
P
=x
 i+
y 
j+
z 
k
P(x,y,z)
Figura 2.3: Forma anal´ıtica de um vetor
Exemplo 2.6. Dados os vetores −→v = (3 + a, 2− b, 6 + c) e −→u = (1, 3, 4) determine
x, y, e z para que a igualdade −→v = −→u seja verdadeira.
Soluc¸a˜o: Sabendo que o vetores −→v = (x, y, z) e −→u = (r, s, t) sa˜o iguais se
ocorrer x = r, y = s e z = t resolvemos as equac¸o˜es
x = r y = s z = t ou seja
3 + a = 1 2− b = 3 6 + c = 4
a = 1− 3 −b = 3− 2 c = 4− 6
a = −2 b = −1 c = −2
Portanto, a igualdade −→v = −→u ocorre se a = −2 b = −1 c = −2
2.4. Adic¸a˜o de vetores
I caso: Vetores escritos na forma anal´ıtica
Definic¸a˜o 2.7. Sejam os vetores −→v = (x, y, z) e −→u = (r, s, t), enta˜o −→v + −→u e´ dada
por −→v + −→u = (x, y, z) + (r, s, t) ou −→v + −→u = (x+ r, y + s, z + t).
Exemplo 2.8. Adicionar os vetores −→v = (3, 4, 5) , −→u = (−2, 1, 5)
Soluc¸a˜o: Como a soma −→v + −→u e´ dada por−→v +−→u = (x, y, z) + (r, s, t) = (x+ r, y + s, z + t) temos−→v +−→u = (3, 4, 5) + (−2, 1, 5) = (3 + (−2) , 4 + 1, 5 + 5)−→v +−→u = (1, 5, 10)
19
II caso: Vetores escritos como combinac¸a˜o dos vetores da base
{−→
i ,
−→
j ,
−→
k
}
.
Exemplo 2.9. Adicionar os vetores −→v = (3, 4, 5) , −→u = (−2, 1, 5)
Soluc¸a˜o: Como −→v = 3−→i + 4−→j + 5−→k e −→u = −2−→i +−→j + 5−→k , a soma−→v + −→u e´ dada por
−→v +−→u =
(
3
−→
i + 4
−→
j + 5
−→
k
)
+
(
−2−→i +−→j + 5−→k
)
−→v +−→u = (3− 2)−→i + (4 + 1)−→j + (5 + 5)−→k
−→v +−→u = −→i + 5−→j + 10−→k−→v +−→u = (1, 0, 0) + 5 (0, 1, 0) + 10 (0, 0, 1)−→v +−→u = (1, 0, 0) + (0, 5, 0) + (0, 0, 10)−→v +−→u = (1, 5, 10)
Exemplo 2.10. Na figura abaixo temos a representac¸a˜o geome´trica da soma dos vetores−→v = (2, 3, 1) e −→u = (4, 4, 3) com resultado −→v +−→u = (6, 7, 4)
2
3
1
4
4 7
6
3
4
v
u
v+
u
Figura 2.4: Soma
Propriedades da adic¸a˜o
As propriedades da adic¸a˜o de vetores, ja´ apresentadas anteriormente, sa˜o:
20
1. Comutativa: −→v +−→u = −→u +−→v
2. Associativa: (−→v +−→u ) +−→w = −→v + (−→u +−→w )
3. Elemento neutro: −→v +−→0 = −→v
4. Elemento inverso: −→u + (−−→u ) = −→0
Multiplicac¸a˜o de um vetor por um nu´mero real
Dado um vetor −→v = (x, y, z) e um escalar k �= 0, denominamos produto do nu´mero real
k pelo vetor −→v ao vetor −→p = k−→v dado por:
−→p = k−→v−→p = k (x, y, z)−→p = (kx, ky, kz)
Propriedades da multiplicac¸a˜o de um vetor por ou nu´mero real.
Sejam−→v , −→u dois vetores quaisquer e a, b dois nu´meros reais quaisquer, as propriedades
da multiplicac¸a˜o, ja´ apresentadas anteriormente, sa˜o:
1. associativa: (ab)−→v = a (b−→v );
2. distributiva em relac¸a˜o a` adic¸a˜o de escalares: (a+ b)−→v = a−→v + b−→v ;
3. distributiva em relac¸a˜o a adic¸a˜o de vetores: a (−→v +−→u ) = a−→v + a−→u ;
4. identidade −→v · 1 = −→v .
2.5. Vetor definido por dois pontos
Definic¸a˜o 2.11. Sejam P (x, y, z) e Q (r, s, t) dois pontos de R3, enta˜o as coordenadas
do vetor
−→
PQ sa˜o dadas como segue:−→
PQ = Q− P−→
PQ = (r, s, t)− (x, y, z)−→
PQ = (r − x, s− y, t− z)
Na figura 2.5 podemos observar os pontos P (x, y, z) e Q (r, s, t) como sendo
ve´rtices de dois paralelep´ıpedos. Ja´ o vetor
−→
PQ e´ dado pelo segmento orientado que une
os dois ve´rtices P e Q. O vetor
−→
PQ de coordenadas (r − x, s− y, t− z) e´ representado
em forma anal´ıtica na origem do sistema cartesiano R3.
Exemplo 2.12. Consideremos os pontos P (2, 3, 5) e Q (4, 7, 8), enta˜o o vetor −→v = −→PQ
tem coordenadas −→v = (4− 2, 7− 3, 8− 5) = (2, 4, 3). Veja a representac¸a˜o na figura
2.6.
21
x
y
z
P(x,y,z)
r
s
t
Q(r,s,t)
Figura 2.5: Vetor determinado por dois pontos
Vetores paralelos
Definic¸a˜o 2.13. Sejam −→v e −→u dois vetores, dizemosque −→v e´ paralelo (ou colinear) a−→u se existir k ∈ R tal que −→v = k−→u .
Exemplo 2.14. Verifique se os vetores −→v = (4, 6, 4) e −→u = (2, 3, 4) sa˜o paralelos.
Soluc¸a˜o: Devemos verificar se existir k ∈ R tal que −→v = k−→u . Assim,−→v = k−→u
(4, 6, 4) = k (2, 3, 4)
(4, 6, 4) = (k2, 3k, 4k)
isso implica em
{
4 = 2k
6 = 3k
4 = 4k
ou seja
{
k = 2
k = 2
k = 1
Como o valor de k na˜o e´ u´nico significa que os vetores −→v e −→u na˜o sa˜o
paralelos.
22
2
3
5
P(2,3,5)
4
7
8
Q(4,7,8)
2
4
3
P(2,4,3)
Figura 2.6: Vetor determinado por dois pontos no espac¸o representado na origem do
sistema
Exerc´ıcios
1. Fac¸a o gra´fico do paralelep´ıpedo para cada um dos pontos: A (2,−3, 1), B (4, 5,−2),
C (2, 3, 2), D (4, 5, 3), E (−2,−3,−1) e F (4,−5,−2)
2. Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor !u = (2,−5), sabendo
que sua origem e´ A (−1, 3). R: (1,−2)
3. Dados os vetores −→u = (3,−1) e −→v = (−1, 2) encontre o vetor −→w tal que:
1. 4 (−→u −−→v ) +
−→w
3
= 2 −→u −−→w . R: (15
2
,−15
2
)
2. 3−→w− (2−→v −−→u ) = 2 (4−→w − 3−→u ). R: (23
5
,−11
5
)
4. Dados os pontos A (−1, 3), B (2, 5) e C (3,−1), encontre −→OA −−→AB, −→OC − −→BC e
3
−→
BA− 4−→CB.
5. Dados os vetores −→u = (3,−4) e −→v = (−9
4
, 3
)
, verifique se existem s, t ∈ R tais
que −→u = s−→v e −→v = t−→u .
6. Dados os vetores −→u = (2, 4), −→v = (−5, 1) e −→w = (−12, 6), verifique se existem
s, t ∈ R tais que −→w = s−→u + t−→v . R: s = 9
11
, t = 30
11
.
23
7. Dados os pontos A (2,−3, 1) e B (4, 5,−2), determine o ponto P tal que −→AP = −→PB.
R: P
(
3, 1,−1
2
)
8. Dados os pontos A (−1, 2, 3) e B (4,−2, 0), determine o ponto P tal que −→AP =
3
−→
AB. R: P (14,−10,−6)
9. Dados os pontos A (3, 7, 1) e B (6, 10, 4), determine o vetor !v tal que A+2!v = B−!v.
R: (1, 1, 1)
10. Dados os vetores −→u = (1,−2, 1), −→v = (2, 0,−4) e −→w = (−4,−4, 14), verifique
se existem s, t ∈ R tais que −→w = s−→u + t−→v .
11. Dados os vetores −→u = (8, 1,−3), −→v = (4, a, b) determinar a e b tais que −→u e −→v
sejam paralelos. R: a = 1
2
, b = −3
2
.
12. Verificar se sa˜o colineares os pontos:
1. A (−1,−5, 0), B (2, 1, 3) e C (−2,−7,−1);
2. A (2, 1,−1), B (3,−1, 0) e C (1, 0, 4);
13. Dados os pontos A (3, 1,−2), B (1, 5, 1) e C (a, b, 7), encontre a, b ∈ R tais que A,
B e C sejam colineares. R: a = −3, b = 13
14. Sabendo que o aˆngulo entre os vetores !u e !v e´ de 60◦, determinar o aˆngulo formado
pelos vetores −!u e −2!v.
15. Dados os vetores !u = (1, 3, 2) e !v = (2, 1, 3), calcular !u + !v e 2!u. Fazer a repre-
sentac¸a˜o geome´trica desses vetores. R: !u+ !v = (3, 4, 5) e 2!u = (2, 6, 4)
16. Dados os vetores !u = (3,−1, 1) e !v = (−1, 2, 2), determinar o vetor !w tal que
4(!u− !v) + !w = !u− 2!w. R: (−13
3
, 11
3
, 5
3
)
17. Dados os pontos A(2,−1, 0), B(−1, 3, 0) e C(4,−2, 0), determinar D(x, y, z) de
modo que !CD = 3 !AB.
18. Dados os vetores !u = (−2, 3,−4) e !v = (−4, 3,−8), verificar se sa˜o paralelos.
19. Determinar a e b de modo que sejam colineares os pontos A(3, a, b), B(1, 5, 1) e
C(−3, 13, 7). R: a = 1, b = 2
20. Dar as expresso˜es das coordenadas do ponto me´dio do segmento da reta de ex-
tremidades A(x1, y1) e B(x2, y2).
21. Determinar a e b de modo que sejam colineares os pontos A(3, a, b), B(1, 4, 1) e
C(−3, 12, 7). R: a = 0, b = −2
22. Na figura abaixo tem-se CM = CA
3
, CN = CB
3
. Prove que os segmentosMN e AB
sa˜o paralelos, e que o comprimento do primeiro e´ 1
3
do comprimento do segundo.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A B
M N
C
24
23. Represente no espac¸o os seguintes vetores:
1. −→u = 2−→i + 3−→j + 5−→k ;
2. −→v = −→i + 2−→j + 3−→k ;
3. −→w = 3−→i + 2−→j + 5−→k .
25
3. Produto de Vetores
3.1. Produto escalar
Introduc¸a˜o
Ana´lise de uma nota convencional de compra e venda: Tomemos como exemplo
uma nota de compra e venda emitida por uma loja na˜o infomatizada. Em geral, a forma
e´ a seguinte:
Tabela 3.1: Padaria serve bem
Ordem Descric¸a˜o das mercadorias Quantidade Prec¸o unita´rio $ Total
1 Cafe´ 2 pacotes 4,00 8,00
2 Pa˜o de queijo 1 kg 7,00 7,00
3 Sonhos 5 unidades 1,00 5,00
Total a pagar 20,00
Nesta nota, o total a pagar e´ $ 20.
Obtendo o total a pagar por meio de multiplicac¸a˜o de matrizes: Para poder
usar uma calculadora que fac¸a produto de matrizes, poder´ıamos formar duas matrizes,
uma matriz linha, digamos matriz U = [ 2 1 5 ], distribuindo o nu´mero de unidades
vendidas de cada item e uma matriz coluna, digamos matriz P =
[
4
7
1
]
, com a dis-
tribuic¸a˜o dos prec¸os unita´rios. Nesse caso, o total a pagar e´ a matriz T dada pelo
produto das matrizes U e P , isto e´, T = UP . Portanto,
T = [ 2 1 5 ]
[
4
7
1
]
= [ 2 ∗ 4 + 1 ∗ 7 + 5 ∗ 1 ] = 20
Obtendo o total a pagar com uma calculadora que opere com vetores:
Tambe´m as matrizes U e P podem ser interpretadas como vetores escritos na forma
canoˆnica, isto e´:
−→u = (2, 1, 5) e −→p = (4, 7, 1)
Nesse caso, a operac¸a˜o e´ efetuada como segue:
−→u · −→p = (2, 1, 5) · (4, 7, 1)
= 2 ∗ 4 + 1 ∗ 7 + 5 ∗ 1
= 8 + 7 + 5
= 20
26
A operac¸a˜o −→u · −→p e´ denominada produto escalar dos vetores −→u e −→p . For-
malmente, podemos definir o produto escalar de vetores como segue:
Definic¸a˜o 3.1. Sejam −→u e −→v dois vetores escritos como combinac¸a˜o linear na base
canoˆnica, isto e´, −→u = x−→i +y−→j + z−→k e −→v = r−→i + s−→j + t−→k , enta˜o o produto escalar
entre −→u e −→v , denotado por −→u · −→v e´ o nu´mero real −→u · −→v = xr+ ys+ zt obtido como
segue:
−→u · −→v =
(
x
−→
i + y
−→
j + z
−→
k
)
·
(
r
−→
i + s
−→
j + t
−→
k
)
−→u · −→v = (x, y, z) · (r, s, t)
−→u · −→v = xr + ys+ zt
Notac¸a˜o 3.2. Alguns autores denotam o produto escalar por < −→u ,−→v >.
Exemplo 3.3. Sejam −→u e −→v dois vetores −→u = (2, 1, 5) e −→v = (4, 7, 1), encontrar o
produto escalar −→u · −→v .
Soluc¸a˜o: A operac¸a˜o e´ efetuada como segue:
−→u · −→v = (2, 1, 5) · (4, 7, 1)−→u · −→v = 2 ∗ 4 + 1 ∗ 7 + 5 ∗ 1−→u · −→v = 8 + 7 + 5−→u · −→v = 20
Exemplo 3.4. Dados os vetores −→u = (4, a,−2) e −→v = (a, 2, 3) e os pontos A(4, 2, 3) e
B(3, 4, 5)¸ determine o valor de a para que −→u ·(−→v +−→AB) = 10.
Soluc¸a˜o: A operac¸a˜o e´ efetuada como segue:
Dados do Problema
I)
{ −→u = (4, a,−2)−→v = (a, 2, 3)
II)
{
A(4, 2, 3)
B(3, 4, 5)
III)
{
Encontrar
−→u · (−→v +−→AB) = 10
Inicialmente temos−→
AB = B − A−→
AB = (3, 4, 5)− (4, 2, 3)−→
AB = (−1, 2, 2)
Agora
−→u · (−→v +−→AB) = 10
(4, a,−2) · ((a, 2, 3) + (−1, 2, 2)) = 10
(4, a,−2) · (a− 1, 4, 5) = 10
4 (a− 1) + 4a− 10 = 10
4a− 4 + 4a− 10 = 10
8a− 14 = 10
8a = 24
Logo, a = 3
27
3.2. Mo´dulo de um vetor
Introduc¸a˜o:
Sejam os pontos O (0, 0, 0) e P (x, y, z) vamos determinar a distaˆncia entre os pontos O
e P .
Na figura I podemos ver que a distaˆncia entre os pontos O e P e´ dada pelo
teorema de Pita´goras, isto e´,(
OP
)2
=
(
OQ
)2
+
(
QP
)2
mas
(
OQ
)2
=
(
OE
)2
+
(
EQ
)2
Assim(
OP
)2
=
(
OE
)2
+
(
EQ
)2
+
(
QP
)2
Como OE = x, EQ = y e QP = z obtemos(
OP
)2
= x2 + y2 + z2
Finalmente∣∣OP ∣∣ =√x2 + y2 + z2
observac¸a˜o 4. No caso de dois pontos fora da origem A(x, y, z) e B(r, s, t), a distaˆncia
entre A e B e´ obtida considerando o vetor −→v = −→AB transportando para origem dos
sistema, isto e´ −→v = (r − x, s− y, t− z), ou seja
|−→v | =
√
(r − x)2 + (s− y)2 + (t− z)2
�
�
�
�
�
�
�
�
��
O
P
x
y
z
QE
�
−→v
d
Figura I
28
Relac¸a˜o entre produto escalar e mo´dulo −→v :
Sendo −→v = −→OP e |−→v | =
∣∣∣−→OP ∣∣∣ por analogia com a definic¸a˜o de produto escalar obtemos
∣∣∣−→OP ∣∣∣2 = x2 + y2 + z2
|−→v|2 = xx+ yy + zz
|−→v |2 = (x, y, z) · (x, y, z)
|−→v |2 = −→v · −→v
|−→v | =
√−→v · −→v
Em outras palavras ”o mo´dulo do vetor |−→v | e´ igual a raiz quadrada do
produto escalar −→v · −→v .”
Exemplo 3.5. Sabendo que a distaˆncia entre os pontos A(−1, 2, 3) e B(−3, 5, α) e´
d = 7, encontre o valor de α.
Soluc¸a˜o: A operac¸a˜o e´ efetuada como segue:
Dados do Problema
I)
{
A(−1, 2, 3)
B(−3, 5, α)
II) {d = 7
III)
{
Encontrar
α
Inicialmente temos−→
AB = B −A−→
AB = (−3, 5, α)− (−1, 2, 3)−→
AB = (−2, 3, α− 3)
Agora
|−→v | =
∣∣∣−→AB∣∣∣ = 7√−→v · −→v = 7√
x2 + y2 + z2 = 7√
(−2)2 + (3)2 + (α− 3)2 = 7
4 + 9 + α2 − 6α+ 9 = 49
α2 − 6α− 27 = 0
de onde vem
α = 9 ou α = −3
Propriedades do produto escalar
Para quaisquer vetores −→u , −→v e −→w valem as seguintes propriedades:
1. para o produto escalar −→u · −→u :
1. −→u · −→u ≥ 0;
2. −→u · −→u = 0 somente se −→u = −→0 ;
3. −→u · −→u = |−→u |2
29
2. comutativa −→u · −→v = −→v · −→u ;
3. distributiva em relac¸a˜o a adic¸a˜o de vetores −→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w ;
4. seja m ∈ R, enta˜o m (−→u · −→v ) = (m−→u ) · −→v = −→u · (m−→v )
Igualdades importantes Dados os vetores −→u e −→v sa˜o importantes para
o desenvolvimento dos estudos as seguintes igualdade obtidas pela aplicac¸a˜o das pro-
priedades:
1. Igualdade associada ao |−→u +−→v |2
|−→u +−→v |2 = (−→u +−→v ) · (−→u +−→v ) , pela propriedade 1c
= −→u · −→u +−→u · −→v +−→v · −→u +−→v · −→v - pela propriedade 3
= |−→u |2 + 2 (−→u · −→v ) + |−→v |2 − pelas propriedade 1c e 2
2. Igualdade associada ao |−→u −−→v |2
|−→u −−→v |2 = (−→u −−→v ) · (−→u −−→v ) − pela propriedade 1c
= −→u · −→u −−→u · −→v −−→v · −→u +−→v · −→v - pela propriedade 3
= |−→u |2 − 2 (−→u · −→v ) + |−→v |2 − pelas propriedades 1c e 2
Determinac¸a˜o do aˆngulo entre dois vetores por meio do produto escalar
A figura II representa a diferenc¸a entre os vetores −→u e −→v
Pela lei dos cossenos podemos escrever a igualdade
|−→u −−→v |2 = |−→u |2 − 2 |−→u | |−→v | cos θ + |−→v |2
Tomando a igualdade 2 mais a lei dos cossenos podemos escrever o sistema
de equac¸o˜es:{ |−→u −−→v |2 = |−→u |2 − 2 (−→u · −→v ) + |−→v |2
|−→u −−→v |2 = |−→u |2 − 2 |−→u | |−→v | cos θ + |−→v |2
Resolvendo o sistema de equac¸o˜es acima temos:
|−→u |2 − 2 |−→u | |−→v | cos θ + |−→v |2 = |−→u |2 − 2 (−→u · −→v ) + |−→v |2
− 2 |−→u | |−→v | cos θ = −2 (−→u · −→v )
|−→u | |−→v | cos θ = −→u · −→v
obtemos as igualdades I) e II) dadas por

I) −→u · −→v = |−→u | |−→v | cos θ
II) cos θ =
−→u · −→v
|−→u | |−→v |
30
	
�
−→u
−→v
θ
	
�
−→u
-−→v
−→u -−→v
� −→u -−→v
figura II
Exemplo 3.6. Dados os vetores −→u = (1, 1, 4) e −→v = (−1, 2, 2) encontre o produto
escalar −→u · −→v e o aˆngulo entre −→u e −→v .
Soluc¸a˜o: I) O produto escalar e´ dado por:
−→u · −→v = (1, 1, 4) · (−1, 2, 2)−→u · −→v = 1 (−1) + 1 (2) + 4 (2)−→u · −→v = −1 + 2 + 8−→u · −→v = 9
II) Para determinar o aˆngulo entre −→u e −→v , primeiro encontraremos cos θ.
31
cos θ =
−→u · −→v
|−→u | |−→v |
=
−→u · −→v(√−→u · −→u )(√−→v · −→v )
=
9(√
(1, 1, 4) · (1, 1, 4)
)(√
(−1, 2, 2) · (−1, 2, 2)
)
=
9√
(1 + 1 + 16
√
1 + 4 + 4
=
9√
18
√
9
=
9(
3
√
2
)
3
=
1√
2
=
√
2
2
Conclusa˜o: como cos θ =
√
2
2
segue que θ = 45o.
Exemplo 3.7. Sejam os pontos A(3, 1,−2) e B(4, 0, α) e −→u = (2, 1,−1) um vetor que
forma um aˆngulo de 60o com o vetor
−→
AB, determinar o valor de α.
Soluc¸a˜o: Dados do problema:
I) Pontos A(3, 1,−2) e B(4, 0, α)
II) −→u = (2, 1,−1)
III) aˆngulo entre −→u e −→AB igual a 60o
isto e´ cos 60o =
−→u · −→AB
|−→u |
∣∣∣−→AB∣∣∣
Tarefa: Determiar α
de I)
−→
AB = B −A
= (4, 0, α)− (3, 1,−2)
= (1,−1, α+ 2)
Agora:
1) −→u · −→AB = (2, 1,−1) · (1,−1, α+ 2)
= 2 + (−1) + (−1) (α+ 2)
= 2− 1− α− 2
= −α− 1
2) |−→u | =√(2, 1,−1) · (2, 1,−1)
=
√
4 + 1 + 1 =
√
6
3)
∣∣∣−→AB∣∣∣ =√(1,−1, α+ 2) · (1,−1, α+ 2)
=
√
1 + 1 + (α+ 2)2
=
√
2 + α2 + 4α+ 4
=
√
α2 + 4α+ 6
Substituindo 1), 2) e 3 em cos 60o =
−→u · −→AB
|−→u |
∣∣∣−→AB∣∣∣ vem
32
cos 60o =
−→u · −→AB
|−→u |
∣∣∣−→AB∣∣∣
1
2
=
−α− 1√
6
√
α2 + 4α+ 6(
1
2
)2
=
(−α− 1)2(√
6
)2 (√
α2 + 4α+ 6
)2
1
4
=
α2 + 2α+ 1
6 (α2 + 4α+ 6)
6 (α2 + 4α+ 6) = 4 (α2 + 2α+ 1)
6α2 + 24α+ 36 = 4α2 + 8α+ 4
α2 + 8α+ 16 = 0
A soluc¸a˜o da equac¸a˜o α2 + 8α+ 16 = 0 e´ a raiz dupla α = −4.
Versor de um vetor
Definic¸a˜o 3.8. Seja −→v um vetor, como ja´ estudamos, o versor de −→v e´ o vetor unita´rio−→u que tem a mesma direc¸a˜o de −→v e e´ dado por:
−→u =
−→v
|−→v |
Exemplo 3.9. Determinar o versor do vetor −→v = (2, 4, 4).
Soluc¸a˜o: devemos determinar o vetor −→u tal que |−→u | = 1.
Usando a fo´rmula da definic¸a˜o 3.8 teremos
−→u =
−→v
|−→v |
=
(2, 4, 4)√
22 + 42 + 42
=
(2, 4, 4)√
36
=
(2, 4, 4)
6
=
(
1
3
, 2
3
, 2
3
)
E´ fa´cil ver que |−→u | = 1, pois
|−→u | =
√(
1
3
)2
+
(
2
3
)2
+
(
2
3
)2
=
√
1
9
+ 4
9
+ 4
9
=
√
9
9
= 1
Assim, |−→u | = (1
3
, 2
3
, 2
3
)
e´ o versor de −→v = (2, 4, 4).
33
Condic¸a˜o de ortogonalidade
Sejam −→u e −→v dois vetores ortogonais, enta˜o o aˆngulo entre eles e´ θ = 90o. Assim, na
fo´rmula cos θ =
−→u · −→v
|−→u | |−→v | podemos escrever:
cos 90o =
−→u · −→v
|−→u | |−→v |
0 =
−→u · −→v
|−→u | |−→v |−→u · −→v = 0 (|−→u | |−→v |)−→u · −→v = 0
Desse modo, definimos vetores ortogonais como segue:
Definic¸a˜o 3.10. Dois vetores −→u e −→v sa˜o ortogonais se −→u · −→v = 0.
Exemplo 3.11. Sejam os pontos A(3, 1,−2) e B(4, 0, α) e −→u = (2, 1,−1) um vetor
ortogonal ao vetor
−→
AB, determinar o valor de α.
Soluc¸a˜o: Dados do problema:
I) Pontos A(3, 1,−2) e B(4, 0, α)
II) −→u = (2, 1,−1)
III)−→u e −→AB sa˜o ortogonais
isto e´ −→u · −→AB = 0
Tarefa: Determiar α
de I)
−→
AB = B −A
= (4, 0, α)− (3, 1,−2)
= (1,−1, α+ 2)
Agora:
1) −→u · −→AB = (2, 1,−1) · (1,−1, α+ 2)
= 2 + (−1) + (−1) (α+ 2)
= 2− 1− α− 2
= −α− 1
Substituindo 1) em −→u · −→AB = 0 vem
−→u · −→AB = 0
−α− 1 = 0
α = −1
Portanto, para que −→u e −→AB sejam ortogonais deve ocorrer α = −1.
Exemplo 3.12. Sejam os pontos A(3, 1,−2) e B(4, 0, α), −→u = (2, β,−1) e−→v = (β, 4, 2) dois vetores, determinar os valores de α e β para que −→u e −→v sejam
simultaneamente ortogonais ao vetor
−→
AB.
34
Soluc¸a˜o: Dados do problema:
I) Pontos A(3, 1,−2) e B(4, 0, α)
II) −→u = (2, β,−1) e −→v = (β, 4, 2)
III)−→u e −→v sa˜o simultaneamente ortogonais a −→AB
isto e´ −→u · −→AB = 0 e −→v · −→AB = 0
Tarefa: Determinar α
de I)
−→
AB = B − A
= (4, 0, α)− (3, 1,−2)
= (1,−1, α+ 2)
Para determinar α devemos resolver o sistema de equac¸o˜es{ −→u · −→AB = 0
−→v · −→AB = 0 Assim,
1) −→u · −→AB = (2, β,−1) · (1,−1, α+ 2)
= 2− β + (−1) (α+ 2)
= 2− β − α− 2
= −β − α
2) −→v · −→AB = (β, 4, 2) · (1,−1, α+ 2)
= β + (−4) + 2 (α+ 2)
= β − 4 + 2α+ 4
= β + 2α
Substituindo 1) e 2) em
{ −→u · −→AB = 0
−→v · −→AB = 0 obtemos{ −β − α = 0
β + 2α = 0
cuja soluc¸a˜o e´ α = 0 e β = 0.
Exemplo 3.13. Detreminar o vetor −→v que satisfaz as seguintes condic¸o˜es: −→v e´ ortog-
onal ao vetor −→u = (2,−3,−12), e´ colinear ao vetor −→w = (−6, 4,−2) e |−→v | = √56.
Soluc¸a˜o: Condic¸o˜es para soluc¸a˜o
i) −→v · −→u = 0;
ii) −→v = k−→w
iii) |−→v | = √56
Seja −→v = (x, y, z)
enta˜o
i) −→v · −→u = 0 ii)−→v = k−→w
(x, y, z) · (2,−3,−12) = 0 (x, y, z) = k (−6, 4,−2)
2x− 3y − 12z = 0 x = −6k
y = 4k
z = −2k
35
iii) |−→v | = √56√
(−6k)2 + (4k)2 + (−2k)2 = √56
56k2 = 56
k = ±1
Resposta: os vetores −→v = (−6, 4,−2) ou −→v = (6,−4, 2) satisfazem tambe´m
a condic¸a˜o i), logo correspondem a` soluc¸a˜o.
Aˆngulos diretores e cossenos diretores
Os aˆngulosdiretores do vetor −→v sa˜o os aˆngulos que ele forma com suas projec¸o˜es sobre
os eixos x, y e z. Na figura III α, β e γ sa˜o os aˆngulos diretores do vetor −→v = −→OH
Os cossenos diretores sa˜o dados por
cosα =
−→
i · −→v∣∣∣−→i ∣∣∣ |−→v | , cosβ =
−→
j · −→v∣∣∣−→j ∣∣∣ |−→v | e cos γ =
−→
k · −→v∣∣∣−→k ∣∣∣ |−→v |
�
�
B C
D
EF
G H
�
�
�
�
��
A
α
β
γ
figura III
Propriedade: cos2 α+ cos2 β + cos2 γ = 1.
36
Projec¸a˜o de um vetor sobre outro
Na figura IV, os vetores −→w e −→v tem a mesma direc¸a˜o, logo sa˜o colineares, isto e´, existe
k ∈ R tal que −→w = k−→v
Sendo |−→u | a hipotenusa do triaˆngulo retaˆngulo de base |−→w | podemos escrever
1. cos θ = |
−→w |
|−→u | , o que implica em |−→w | = |−→u | |cos θ|;
2. mas ja´ sabemos que cos θ =
−→u · −→v
|−→u | |−→v | . Enta˜o substituindo este resultado em
|−→w | = |−→u | |cos θ| obtemos
3. |−→w | = |−→u |
∣∣∣∣ −→u · −→v|−→u | |−→v |
∣∣∣∣, de modo que resulta em |−→w | = |−→u · −→v ||−→v | ;
4. da igualdade−→w = k−→v obtemos |−→w | = |k−→v |, ou seja, |−→w | = |k| |−→v |. Substituindo
|−→w | em 4, pelo resultado de 3, obtemos |
−→u · −→v |
|−→v | = |k| |
−→v |. Assim, o valor de |k|
em func¸a˜o de −→u e −→v dado por |k| = |
−→u · −→v |
|−→v |2 . Consequentemente, encontramos
k =
−→u · −→v
|−→v |2
�
�−→u
−→v
��
−→w=k−→v
θ
Figura IV
37
1. Finalmente, como −→w = k−→v substituindo k por
−→u · −→v
|−→v |2 obtemos a fo´rmula do
vetor projec¸a˜o de −→u sobre −→v dada por:
−→w =
(−→u · −→v
|−→v |2
)
−→v
Denotaremos por proj
−→u−→v =
(−→u · −→v
|−→v |2
)
−→v
Exemplo 3.14. Determinar a projec¸a˜o do −→u = (1, 2, 4) sobre −→v = (2, 2, 1).
Soluc¸a˜o: usando fo´rmula proj
−→u−→v =
(−→u · −→v
|−→v |2
)
−→v obtemos
proj
−→u−→v =
(−→u · −→v
|−→v |2
)
−→v
=
 (1, 2, 4) · (2, 2, 1)(√
(2, 2, 1) · (2, 2, 1)
)2
 (2, 2, 1)
=
(
2 + 4 + 4
4 + 4 + 1
)
(2, 2, 1)
=
10
9
(2, 2, 1)
=
10
9
(2, 3, 1) =
(
20
9
,
10
3
,
1
9
)
Exemplo 3.15. Encontre as coordenadas do ponto H, pe´ da altura relativa ao ve´rtice
B, do triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o os pontos A (1, 1, 1), B (1, 5, 4) e C (1, 11, 1).
Soluc¸a˜o:
I) Calculamos a projec¸a˜o do vetor
−→
AB = (0, 4, 3) sobre o vetor
−→
AC =
(0, 10, 0).
Assim
Pr oj
−→
AB−→
AC
=
(
(0, 4, 3) · (0, 10, 0)
(0, 10, 0) · (0, 10, 0)
)
(0, 10, 0) = 40
100
(0, 10, 0) = (0, 4, 0).
Seja H (x, y, z) pe´ da altura relativa ao ve´rtice B, enta˜o as coordenadas dos
vetor
−→
AH a`s coordenadas da Pr oj
−→
AB−→
AC
. Desse modo,
−→
AH = Pr oj
−→
AB−→
AC
, implica em
H −A = (0, 4, 0)
(x, y, z)− (1, 1, 1) = (0, 4, 0).Logo,
38{
x− 1 = 0
y − 1 = 4
z − 1 = 0
,
portanto, o ponto H e´ dado por H (1, 5, 1).
Exemplo 3.16. Na figura V, aplicando os conceitos de vetores e conhecendo |!a| = √2
e |!b| = 2√2, determine o aˆngulo θ entre os vetores !b e !c;
�
!a
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
!b
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
!c
�
�
�
�
�
�
60◦
θ
Figura V
Soluc¸a˜o:
1) !b · !c = |!b||!c| cos θ implica em cos θ =
!b · !c
|!b||!c|
Mas, !c = !a−!b.
Enta˜o, cos θ =
!b · (!a−!b)
|!b||!c|
=
!b · !a−!b ·!b
|!b||!c|
=
!b · !a− |!b|2
|!b||!c|
.
Ale´m disso, !a ·!b = |!a||!b| cos 60◦ = √2 (2√2) 1
2
= 2.
E, pela lei dos cossenos, temos que
|!c|2 = |!a|2 + |!b|2 − 2|!a||!b| cos 60◦ = 2 + 8− 2√2 2√2 1
2
= 6.
Portanto, |!c| = √6.
Substituindo os valores, cos θ = 2−8
2
√
2
√
6
= −
√
3
2
.
Logo, θ = 150◦ = 5π
6
.
39
3.3. Produto Vetorial
Definic¸a˜o 3.17. Dados dois vetores −→u = (x, y, z) e −→v = (r, s, t), tomados nesta or-
dem, o produto vetorial de −→u por −→v e´ o vetor −→u ×−→v dado pelo determinante
−→u ×−→v =
∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
x y z
r s t
∣∣∣∣∣∣
−→u ×−→v = (yt− zs)−→i + (zr − xt)−→j + (xs− yr)−→k
Exemplo 3.18. Determinar o produto vetorial de −→u = (1, 3, 4) por −→v = (2, 5, 6).
Soluc¸a˜o: Para determinar −→u ×−→v basta encontrar o determinante:
−→u ×−→v =
∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
1 3 4
2 5 6
∣∣∣∣∣∣
Uma te´cnica para encontrar determinantes e´ a regra de Sarrus que consiste
em:
a)Formar uma nova matriz acrescida das duas primeiras colunas
−→
i
−→
j
−→
k
−→
i
−→
j
1 3 4 1 3
2 5 6 2 5
b) multiplicar os valores de cada diagonal descendente partindo do canto
superior esquerdo e somar os resultados
−→
i ց −→j ց −→k ց −→i −→j
1 3ց 4ց 1ց 3
2 5 6 2 5
(−→
i ∗ 3 ∗ 6
)
+
(−→
j ∗ 4 ∗ 2
)
+
(−→
k ∗ 1 ∗ 5
)
= 18
−→
i + 8
−→
j + 5
−→
k
c) multiplicar os valores de cada diagonal ascendente partindo do canto inferio
esquerdo e somamr os resultados
−→
i
−→
j
−→
k
−→
i
−→
j
1 3ր 4ր 1ր 3
2ր 5ր 6ր 2 5
40(
2 ∗ 3 ∗ −→k
)
+
(
5 ∗ 4 ∗ −→i
)
+
(
6 ∗ 1 ∗ −→j
)
= 6
−→
k + 20
−→
i + 6
−→
j
d) Subtrair o resultado b) do resultado c), isto e´:
(−→u ×−→v ) =
(
18
−→
i + 8
−→
j + 5
−→
k
)
−
(
20
−→
i + 6
−→
j + 6
−→
k
)
Assim ,
(−→u ×−→v ) = −2−→i + 2−→j −−→k
Propriedades do produto vetorial
Como o produto vetorial e´ um vetor obtido por meio do ca´lculo de determinantes, as
suas propriedades sa˜o as mesmas associadas aos determinantes.
Assim, sejam −→u , −→v e −→w treˆs vetores, enta˜o valem as seguintes propriedades
para −→u ×−→v :
1. −→u ×−→u = −→0 , pois e´ um determinante com duas linhas iguais;
2. −→u ×−→v = −−→v ×−→u , pois ha´ uma troca na posic¸a˜o das linhas;
3. −→u × (−→v +−→w ) = −→u ×−→v +−→u ×−→w , distributiva em relac¸a˜o a soma de vetores;
4. −→u ×−→v e´ simultaneamente ortogonal aos vetores −→u e −→v ; (ver figura VI)
5. m (−→u ×−→v ) = m−→u ×−→v = −→u ×m−→v para m ∈ R;
6. |−→u ×−→v |2 = |−→u |2 |−→v |2 − (−→u · −→v )2.
41
�
�
�
�
−→u
−→v
−→u ×−→v
−→v ×−→u
Figura VI
Igualdade importante
Problema 3.19. Da propriedade 6 obtemos a seguinte igualdade;
|−→u ×−→v |2 = |−→u |2 |−→v |2 − (−→u · −→v )2
= |−→u |2 |−→v |2 − (|−→u | |−→v | cos θ)2
= |−→u |2 |−→v |2 − |−→u |2 |−→v |2 cos2 θ
= |−→u |2 |−→v |2 (1− cos2 θ)
= |−→u |2 |−→v | sen2θ
consequentemente
|−→u ×−→v | = |−→u | |−→v | senθ
Exemplo 3.20. Dados os vetores −→u = (1,−1, 2) e −→v = (−5,−1, 2), −→w = (2,−4, 3),
determine o vetor−→a , tal que−→a seja paralelo ao−→w , e −→v seja simultaneamente ortogonal
aos vetores −→a e −→u .
Soluc¸a˜o: Condic¸o˜es para soluc¸a˜o
I) −→a = t −→w
II) −→v = −→a × −→u
42
Seja −→a = (x, y, z), enta˜o como de I) −→a = t −→w
(x, y, z) = t (2,−4, 3), ou seja
{
x = 2t
y = −4t
z = 3t
Da condic¸a˜o II) temos −→v = −→a × −→u , assim,
(−5,−1, 2) =
∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
2t −4t 3t
1 −1 2
∣∣∣∣∣∣ = −5t−→i − t−→j + 2t−→k
(−5,−1, 2) = (−5t,−t, 2t)
Logo t = 1 assim, −→a = (2,−4, 3).
Exemplo 3.21. Encontre o vetor −→w , simultaneamente ortogonal aos vetores
−→u = −−→i − 2−→j e −→v = −−→i − 4−→j − 3−→k que satisfaz a condic¸a˜o |−→w | = 14.
Soluc¸a˜o: As condic¸o˜es para resoluc¸a˜o sa˜o:
i) −→w = t (−→u ×−→v ) pois −→w e´ qualquer vetor simultaneamente ortogonal aos
vetores −→u e −→v .
ii)|−→w | = 14
de (i) vem
(x, y, z) = t det
[
i j k
−1 −2 0
−1 −4 −3
]
= t (2k − 3j + 6i) = (6t,−3t, 2t)
Logo,
{
x = 6t
y = −3t
z = 2t
ii) substiuindo em |−→w | = 14 vem√
x2 + y2 + z2 = 14√
(6t)2 + (−3t)2 + (2t)2 = 14√
(6t)2 + (−3t)2 + (2t)2 = 14√
49t2 = 14
49t2 = 142
t = ±2
Logo
{
x = ±12
y = ±6
z = ±4
Portanto, teremos −→w = (12, 6, 4) ou −→w = (−12,−6,−4)
43
Exemplo 3.22. Dados os vetores −→u = (12, 8, 4) e −→v = (1,−2, 2) e −→w = (2,−3, 0),
determine as coordenadas do vetor
−→
b , tal que
−→
b seja paralelo ao −→w − −→v e −→u seja
simultaneamenteortogonal aos vetores
−→
b e −→v .
Soluc¸a˜o: Condic¸o˜es para soluc¸a˜o
I)
−→
b = t (−→w −−→v )
II) −→u = −→b × −→v
Seja
−→
b = (x, y, z) enta˜o
I)
−→
b = t (−→w −−→v )
(x, y, z) = t ((2,−3, 0)− (1,−2, 2)) = (t,−t,−2t){
x = t
y = −t
z = −2t
II) sendo −→u = −→b × −→v vem
(12, 8, 2) =
 −→i −→j −→kt −t −2t
1 −2 2
= −6it− 4jt− kt=(−6t,−4t,−t)
Logo t = −2 assim, −→b = (−2, 2, 4).
Interpretac¸a˜o geome´trica do mo´dulo do produto vetorial
Geometricamente o mo´dulo do produto vetorial de −→u por −→v e´ a a´rea do paralelograma
de arestas |−→u | e |−→v |. Vamos demonstrar essa afirmac¸a˜o.
Seja S a a´rea do paralelogramo ACDB de arestas|−→u | e |−→v | representado na
figura VII. Enta˜o,
S = |−→v | h
mas h = |−→u | senθ enta˜o
S = |−→v | |−→u | senθ
Considerando a igualdade 3.19 temos o sistema de equac¸o˜es{
S = |−→v | |−→u | senθ
|−→u ×−→v | = |−→u | |−→v | senθ que implica em
S = |−→u ×−→v |
44
�
�
��
−→u
−→v
θ
A
B
C D
Figura VII
h
Exemplo 3.23. Encontre o valor de x para que a a´rea do retaˆngulo em que treˆs dos
ve´rtices sa˜o os pontos A (x, 1, 1), B (1,−1, 0) e M (2, 1,−1) seja √29.
Soluc¸a˜o: Condic¸o˜es para soluc¸a˜o
I) se S =
√
29 enta˜o devemos ter |−→u ×−→v | = √29
II) Sejam −→u = −→BA e −→v = −−→BM
Enta˜o,
−→u = −→BA = (1,−1, 0)− (x, 1, 1) = (1− x,−2− 1)
−→v = −−→BM = (2, 1,−1)− (1,−1, 0) = (1, 2,−1)
Agora,
|−→u ×−→v | =
∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
1− x −2 −1
1 2 −1
∣∣∣∣∣∣ = 4−→i − x−→j + (4− 2x)−→k = (4,−x, 4− 2x)
Como |−→u ×−→v | = √29 teremos
45
|−→u ×−→v | = √29√
42 + (x)2 + (4− 2x)2 = √29
(2x− 4)2 + x2 + 16 = 29
5x2 − 16x+ 32− 29 = 0
5x2 − 16x+ 3 = 0
cujas raizes sa˜o x = 3 ou x = 1
5
Portanto, ocorre A (3, 1, 1) ou A
(
1
5
, 1, 1
)
.
Exemplo 3.24. Os pontos A(1, 2,−1), B (0, 4, 5) e C (−2, 0, 1) sa˜o ve´rtices de um
triaˆngulo, encontre um vetor −→u perpendicular aos lados do triaˆngulo ABC tal que
|−→u | = 48
Soluc¸a˜o: Condic¸o˜es para soluc¸a˜o
I −→u = t −→AB× −→AC
II |−→u | = 48
Seja −→u = (x, y, z) e sendo{ −→
AB = (0, 4, 5)− (1, 2,−1) = (−1, 2, 6)−→
AC = (−2, 0, 1)− (1, 2,−1) = (−3,−2, 2)
De I) vem
(x, y, z) = t
∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
−1 2 6
−3 −2 2
∣∣∣∣∣∣ = 16t−→i − 16t−→j + 8t−→k
Portanto,{
x = 16t
y = −16t
z = 8t
Da condic¸a˜o II) |−→u | = 48√
x2 + y2 + z2 = 48√
(16t)2 + (−16t)2 + (8t)2 = 48√
576t2 = 48
±24t = 48
t = ±2
consequentemente para t = 2 teremos,{
x = 32
y = −32
z = 16
e, assim, −→u = (32,−32, 16). Para t = −2, o vetor sera´ −→u =
(−32, 32,−16)
46
3.4. Produto misto
De forma simplificada o produto misto e´ a mistura do produto escalar com o produto
vetorial.
Definic¸a˜o 3.25. Sejam −→u = (x, y, z) e −→v = (r, s, t) e −→w = (a, b, c) tomados nesta or-
dem, denominamos produto misto dos vetores −→u ,−→v e −→w ao nu´mero real −→u ·(−→v ×−→w ),
denotado por (−→u ,−→v ,−→w ), dado pelo determinante
−→u · (−→v ×−→w ) =
∣∣∣∣∣ x y zr s ta b c
∣∣∣∣∣
Para mostrar que −→u · (−→v ×−→w ) e´ realmente dado pelo determinante∣∣∣∣∣ x y zr s ta b c
∣∣∣∣∣ procedemos como segue:
−→u · (−→v ×−→w ) = −→u ·
∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
r s t
a b c
∣∣∣∣∣∣
Realizando o abaixamento de ordem obtemos
−→u · (−→v ×−→w ) = −→u ·
(−→
i
∣∣∣∣ s tb c
∣∣∣∣−−→j ∣∣∣∣ r ta c
∣∣∣∣+−→k ∣∣∣∣ r sa b
∣∣∣∣)
−→u · (−→v ×−→w ) = (x, y, z) ·
(∣∣∣∣ s tb c
∣∣∣∣ ,−
∣∣∣∣ r ta c
∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣ r sa b
∣∣∣∣)
−→u · (−→v ×−→w ) = x
∣∣∣∣ s tb c
∣∣∣∣− y ∣∣∣∣ r ta c
∣∣∣∣+ z ∣∣∣∣ r sa b
∣∣∣∣
−→u · (−→v ×−→w ) =
∣∣∣∣∣ x y zr s ta b c
∣∣∣∣∣
Exemplo 3.26. Dados os vetores −→u = (2, 3, 4) e −→v = (1, 2, 1) e −→w = (2, 3, 1), deter-
minar o produto misto −→u · (−→v ×−→w ).
Soluc¸a˜o: Vamos encontrar −→u · (−→v ×−→w ) por meio de dois me´todos;
I) Pelo metodo do abaixamento de ordem
−→u · (−→v ×−→w ) =
∣∣∣∣∣ 2 3 41 2 12 3 1
∣∣∣∣∣ = 2
∣∣∣∣ 2 13 1
∣∣∣∣− 3
∣∣∣∣ 1 12 1
∣∣∣∣+ 4
∣∣∣∣ 1 22 3
∣∣∣∣
−→u · (−→v ×−→w ) = 2 (2 ∗ 1− 3 ∗ 1)− 3 (1 ∗ 1− 2 ∗ 1) + 4 (1 ∗ 3− 2 ∗ 2)
−→u · (−→v ×−→w ) = 2 (2− 3)− 3 (1− 2) + 4 (3− 4)
−→u · (−→v ×−→w ) = 2 (−1)− 3 (−1) + 4 (−1) = −3
47
−→u · (−→v ×−→w ) = −3
II) Pelo metodo da regra de Sarrus (outra foram de fazer)
−→u · (−→v ×−→w ) =
∣∣∣∣∣ 2 3 41 2 12 3 1
∣∣∣∣∣
a)Forma-se uma nova matriz acrescida das duas primeiras linhas
2 3 4
1 2 1
2 3 1
2 3 4
1 2 1
b) multiplicam-se os valores de cada diagonal descendente partindo do canto
superior esquerdo e somam-se os resultados
2ց 3 4
1ց 2ց 1
ց 2 ց 3 ց 1
2 ց 3 ց 4
1 2 ց 1
2 ∗ 2 ∗ 1 + 1 ∗ 3 ∗ 4 + 2 ∗ 3 ∗ 1 = 22
c) multiplicam-se os valores de cada diagonal ascendente partindo do canto
inferio esquerdo e somam-se os resultados
2 3 ր 4
1 ր 2 ր 1
ր 2 ր 3 ր 1
ր 2 ր 3 4
ր 1 2 3
2 ∗ 2 ∗ 4 + 2 ∗ 3 ∗ 1 + 1 ∗ 3 ∗ 1 = 25
d) Subtrai-se o resultado de b) do resultado de c), isto e´:
−→u · (−→v ×−→w ) = 22− 25 = −3
3.5. Propriedades do produto misto
Como o produto misto resulta de um determinante, suas propriedades sa˜o as mesmas
dos determinantes. Sejam −→u e −→v e −→w vetores na˜o nulos, enta˜o produto misto de
vetores apresenta as seguintes propriedades:
1. (−→u ,−→v ,−→w ) = 0 nos seguites casos:
1. se um dos vetores for nulo;
48
2. se dois vetores na˜o nulos sa˜o colineares;
3. se −→u e −→v e −→w sa˜o coplanares;
2. (−→u ,−→v ,−→w ) = (−→v ,−→w ,−→u ) = (−→w ,−→u ,−→v ), isto e´ independe da ordem circular, mas
(−→u ,−→v ,−→w ) = − (−→v ,−→u ,−→w );
3. (−→u ,−→v ,−→w +−→r ) = (−→u ,−→v ,−→w ) + (−→u ,−→v ,−→r );
4. (m−→u ,−→v ,−→w ) = (−→u ,m−→v ,−→w ) = (−→u ,−→v ,m−→w ) = m (−→u ,−→v ,−→w );
3.6. Interpretac¸a˜o geome´trica do produto misto
Considere o paralelep´ıpedo da figura VIII cujas aresta da base sa˜o os vetores −→u e −→v e
arestas laterais o vetor −→w .
Sabe-se que volume do paralelep´ıpedo e´ igual a a´rea da base Ab multiplicada
pela altura h, e tambe´m sabemos que Ab = |−→u ×−→v |. Assim,
i)V = Abh
V = |−→u ×−→v |h pore´m,
II) cos θ =
h
|−→w | ou
|h| = |−→w | |cos θ|
Substituindo II) em I) obtemos
V = |−→u ×−→v | |−→w | |cos θ|
= |−→w | (|−→u ×−→v | |cos θ|)
como −→p · −→q = |−→p | |−→q | cos θ, fazendo |−→p | = |−→w | e |−→q | = |−→u ×−→v |
obtemos
V = |−→w · (−→u ×−→v )|
49
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
−→u −→v
−→w
�
h
θ
�Figura VIII
Exemplo 3.27. Dados os pontos A (3,−1, 4) e B (3, 0, 2) e os vetores −→u = (2x, 0, y)
e −→w = (−3x, 1, 2y)., um paralelep´ıpedo de volume V = 12 e´ gerado pelos vetores −→u ,
−→v e −→w . Sabendo que −→w e´ combinac¸a˜o linear dos vetores −→u e −→v = −→AB dada por−→w = 3−→u −−→v encontre as relac¸o˜es entre x e y.
Soluc¸a˜o: I) Sabemos que o volume do paralelep´ıpedo formado pelos vetores−→u , −→v e −→w e´ dado por
V = |(−→u ,−→v ,−→w )| = 12.
II) −→v = −→AB = B − A logo −→v = (0, 1,−2) .
III) o produto misto dos vetores −→u , −→v e −→w e´ dado por:
(−→u ,−→v ,−→w ) = det
∣∣∣∣∣ 2x 0 y0 1 −2−3x 1 2y
∣∣∣∣∣
Portanto, sendo o volume do paralelepipedo igual a 12 obtem-se
50
(−→u ,−→v ,−→w ) = V
|4x+ 7xy| = 12
Logo,
4x+ 7xy = 12 e 4x+ 7xy − 12.
Portanto, as relac¸o˜es entre x e y sa˜o 4x+ 7xy = 12 ou 4x+ 7xy = −12.
Exemplo 3.28. Determine o valor de α para que os vetores −→v = (2,−1, 0), −→u =
(6, α,−2) e −→w = −4−→i +−→k satisfac¸am as condic¸o˜es nos casos:
1. −→v , −→u e −→w sejam coplanares;
2. −→v , −→u e −→w formem um paralelep´ıpedo de volume igual a 8 unidades.
Soluc¸a˜o: 1) os pontos sa˜o coplanares se −→u . (−→w ×−→v ) = 0.
−→u . (−→w ×−→v ) =
∣∣∣∣∣ 2 −1 06 α −2−4 0 1
∣∣∣∣∣ = 2α− 2 = 0
Logo α = 1
2) O volume do paralelep´ıpedo e´ dado por |−→u . (−→w ×−→v )| = 8, o que implica
em: |2α− 2| = 8.
Portanto, teremos
2α− 2 = 8 ou 2α− 2 = −8.
Consequentemente, α = 5 ou α = −3.
51
Exerc´ıcos
1. Dados os vetores −→u =(2, 1, 5) e −→v = (2, 1, 2) encontre:
1. |−→u | e |−→v |; Respostas: √30 e 3.
2. −→u · −→v e o aˆngulo entre −→u e −→v ; Respostas: arccos
(√
30
3
)
.
3. os versores de −→u e −→v . Respostas:
(
2√
30
, 1√
30
, 5√
30
)
e
(
2
3
, 1
3
, 2
3
)
.
2. Dados os vetores −→u = α−→i − 2α−→j + 2−→k e −→v = −3−→i +−→j + 3−→k , determine α
para que −→u e −→v seja ortogonais. Resposta: α = 6
5
.
3. Dados os vetores −→u = (2, α,−2α− 1), −→v = (α,α− 1, 1) e −→w = (α, 1, 1) deter-
mine α para que a igualdade −→u · −→v = (−→u +−→v ) · −→w seja verdadeira. Resposta:
α = 0.
4. Dados os pontos A (−1, 0, 2), B (−4, 1, 1) e M (0, 1, 3) determine o vetor −→v tal
que 2−→v −−→AB = −→v +
(−−→
BM · −→AB
)−−→
AM . Resposta: −→v = (−17,−13,−15).
5. Os pontos A, B e M sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo equila´tero de lado igual a 10cm,
determine o produto
−→
AB · −−→AM . Resposta: 50.
6. Dados os vetores −→u = (2, 1, α), −→v = (α+ 2,−5, 2) e −→w = (2α, 8, α) determine α
para que:
1. −→u +−→v seja ortogonal ao vetor −→w −−→u . Respostas: α = 3 ou α = −6.
2. −→u +−→v seja ortogonal ao vetor −→w ×−→u . Resposta: α = −4±
√
35
17
.
7. Dados os vetores −→u = (−2,−1, 1), −→v = (1,−1, 0) e −→w = (−1, 2, 2) determine:
1. −→w ×−→v ; Resposta: (2, 2,−1).
2. −→v × (−→w −−→u ); Resposta: (−1,−1, 4)
3. (−→u +−→v )× (−→u −−→v ); Resposta: (−2,−2,−6)
4. (−→u +−→v ) · −→w ; Resposta: −1.
5. (−→u +−→v ) · (−→w ×−→v ). Resposta: −7.
8. Dados os vetores −→u = (3,−1, 2), −→v = (1, 0,−3) determine um vetor simultanea-
mente ortogonal aos vetores 2−→u +−→v e −→v −−→u . Resposta: t (3, 11, 1).
9. Dados os vetores −→w = (1, 2, α), −→v = (2,−1, 0) e −→u = (1,−3,−1), determine
α para que −→w seja simultaneamente ortogonal aos vetores −→u e −→v . Resposta:
α = −5.
10. Dados os vetores −→u = (−2,−1, 1), −→v = (1,−1, 0) e −→w = (−1, 2, 2) determine a
a´rea dos paralelogramos de arestas:
1. |−→u |e |−→v |; Resposta: √11.
2. |−→u |e |−→w |; Resposta: 5√2.
52
3. |−→v |e |−→w |. Resposta: 3
11. Dados os vetores −→u = (−2,−1, 1), −→v = (1,−1, 0) e −→w = (−1, 2, 2) determine:
1. −→u · (−→v ×−→w ); −→w · (−→u ×−→v ); −→v · (−→w ×−→u ); Resposta: 7.
2. Compare os resultados.
12. Verifique se sa˜o coplanres os pontos:
1. A (1, 1, 1), B (−2,−1,−3),M (0, 2,−2) eN (−1, 0,−2); Resposta: sa˜o coplanares.
2. A (1, 0, 2), B (−1, 0, 3),M (2, 4, 1) eN (−1,−2, 2); Resposta: na˜o sa˜o coplanares.
3. A (2, 1, 3), B (3, 2, 4),M (−1,−1,−1) eN (0, 1,−1); Resposta: na˜o sa˜o coplanares.
13. Determine o valor de α para que os pontos A (α, 1, 2), B (2,−2,−3), M (5, 1,−1)
e N (3,−2,−2) sejam coplanares. Resposta α = 8.
14. Determine o valor de α para que vetores −→u = (2,−1, α), −→v = (1, 0, 2) e −→w =
(α, 1, α) sejam coplanares. Resposta: na˜o existe α.
15. Dados os vetores −→u = (1, 1, 0), −→v = (2, 0, 1), −→w1 = 3−→u −−→v , −→w2 = −→u + 3−→v e−→w3 = −→i +−→j − 2−→k , determine o volume do paralelep´ıpedo definido pelos vetores−→w1, −→w2 e −→w3; Resposta: V = 40.
16. Dados os vetores −→u = 2−→i − −→j , −→v = 6−→i + α−→j − 2−→k e −→w = −4−→i + −→k ,
determine o valor de α para que o volume do paralelep´ıpedo definido pelos vetores−→u ,−→v e −→w seja igual a 10 unidades. Resposta: α = 6 ou α = −4.
17. Ddos os pontos A (1,−2, 3), B (2,−4, 4), M (0, 2, 0) e N (−1, α, 1), determine o
valor de α para que o volume do paralelep´ıpedo definido pelos vetores
−→
AB,
−−→
AM e−→
AN seja igual a 20 unidades . Resposta: α = 12 ou α = 8.
53
Exerc´ıcios extraclasse:
Entregar no dia da prova valendo ate´ 20%, sobre
a nota da prova, para quem na˜o tirar 10.
1. Dados os vetores !a = 2!i− 3!j + 5!k e !b =!i− 2!j determine !a ·!b. Resposta 8.
2. Dados os vetores !u = (4, α,−1) e !v = (α, 2, 3) e os pontos A(4,−1, 2) e B(3, 2,−1),
determinar o valor de α tal que !AB · (!u+ !v) = 5. Resposta: α = 9
2
.
3. Determine o mo´dulo do vetor !v = (5, 4, 3). Resposta: 5
√
2.
4. Determine o versor do vetor !v = (5, 4, 3). Resposta:
(√
2
2
, 2
√
2
2
, 3
√
2
10
)
.
5. Sabendo que a distaˆncia entre os pontos A(−1, 2, 3) e B(1,−1,m) e´ 7, calcular m.
Resposta: m = −3 ou α = 9.
6. Determinar α para que o vetor !u = (
√
11
4
,−1
2
, α) seja unita´rio. Resposta α = ±1
4
7. Determinar os aˆngulos do triaˆngulo de ve´rtices A(2, 1, 3), B(1, 0,−1) e C(−1, 2, 1).
Resposta: 50057, 74012
′
e 54050
′
.
8. Provar que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(−3,−2, 1) sa˜o ve´rtices de um
triaˆngulo retaˆngulo.
9. Qual o mo´dulo do vetor projec¸a˜o de !u = (3, 5, 2) sobre o eixo dos y ? Resposta:
proj
vy = (0, 5, 0).
10. Detreminar o vetor −→v que satisfaz as seguntes condic¸o˜es: −→v e´ ortogonal ao vetor−→u = (2,−3, 12), e´ colinear ao vetor −→w = (−6, 4,−2) e |−→v | = √56. Resposta:−→v = (−6, 4,−2) ou −→v = (6,−4, 2).
11. Dados os vetores −→u = (3,−2, 1) e −→v = (1, 2,−3), determiar α ∈ R tal que a
combinac¸a˜o linear −→u + α−→v seja colinear com o vetor −→w = (3, 2,−4). Resposta:
α = 3.
12. Se !u = 2!i + 3!j + 4!k e !v = −!i + !k, determine !u × !v e !v × !u. Resposta: (3,−6, 3)
ou (−3, 6,−3).
13. Calcular a a´rea do triaˆngulo de ve´rtices A(2, 3,−1), B(3, 1,−2) e C(−1, 0, 2).
Resposta: A = 9
√
2
2
.
14. Calcular a a´rea do paralelogramo que tem um ve´rtice no ponto A(3, 2, 1) e uma
diagonal de extremidades B(1, 1,−1) e C(0, 1, 2). Resposta: A = √74.
15. Mostre que se 3!u− 2!v + 17!w = !0 enta˜o 3!u× !v = 17!v × !w.
16. Dados os vetores −→u = (1,−1, 0) e −→v = (0, 0, 2) determine as coordenadas do
vetor −→w = (2,−3, 0), determine o vetor −→b tal que −→b seja paralelo ao −→w e −→u
seja simultaneamente ortogonal aos vetore
−→
b e −→v . Resposta: −→b = (4,−6, 0).
17. Dados os vetores !u = (2,−1, 1), !v = (1,−1, 0) e !w = (−1, 2, 2), calcular !u×(!v× !w)
e !w × (!u× !v). Resposta: (1,−4,−6).
54
18. Verificar se sa˜o coplanares os pontosA(2, 1, 3), B(3, 2, 4), C(−1,−1,−1) eD(0, 1,−1).
Resposta: sa˜o coplanares.
19. Determinar o valor de k para que os seguintes vetores !a = (2, k, 1), !b = (1, 2, k) e
!c = (3, 0,−3) sejam coplanares. Resposta: k = −3 ou k = 2.
20. Os vetores !a = (3,−1,−3), !b = (−1, 1,−4) e !c = (m + 1,m,−1) determinam um
paralelep´ıpedo de volume 42. Calcular m. Resposta: m = 37
22
.
21. Sendo !u e !v vetores do espac¸o, com !v �= !0:
a) determinar o nu´mero real r tal que !u− r!v seja ortogonal a !v e
b) mostrar que (!u+ !v)× (!u− !v) = 2!v × !u.
55
4. Retas
4.1. Objetivos do cap´ıtulo
Ao final deste cap´ıtulo o estudante devera´ ser capaz de:
1. Reconhecer equac¸o˜es da reta: vetorial, parame´tricas, sime´tricas, e reduzidas;
2. Determinar equac¸o˜es da reta que passam: por um ponto, por dois pontos e por
treˆs pontos alinhados;
3. Reconhecer equac¸o˜es de retas paralelas aos eixos coordenados e planos coordena-
dos;
4. Calcular o aˆngulo entre duas retas;
5. Resolver problemas que envolvam paralelismo e ortogonalidade e coplanaridade de
retas;
6. Identificar as posic¸o˜es relativas entre duas retas;
7. Resolver problemas que envolvam intersec¸a˜o de retas;
8. Determinar distaˆncias entre ponto e reta;
9. Determinar distaˆncia entre duas retas.
4.2. Equac¸o˜es da reta
Equac¸a˜o vetorial da reta
Seja r uma reta que passa pelo ponto A e tem a direc¸a˜o do vetor na˜o nulo −→v , enta˜o um
ponto P (x, y, z) do espac¸o R pertence a` reta r, se os vetores −→v e −→AP forem colineares,
isto e´, existe t ∈ R tal que −→AP = t−→v . (ver Figura I)
56
�
�
�
x
y
y
�
�
�
�	
−→v�
�
�
�	
�
r
A
P
Figura I
Da igualdade
−→
AP = t−→v podemos escrever
P − A = t−→v
ou
P = A+ t−→v
A igualdade P = A+ t−→v e´ denominada equac¸a˜o vetorial da reta r.
Exemplo 4.1. A equac¸a˜o vetorial da reta que passa pelo ponto A(2, 1, 5) e tem a
direc¸a˜o do vetor −→v = (1, 3, 4) e´ dada por (x,y, z) = (2, 1, 5) + t(1, 3, 4), ou tambe´m
pode ser escrita como (x, y, z) = (2 + t, 1 + 3t, 5 + 4t). (ver Figura II)
57
�
�
�
2
3
4
	
	5
1
−→v
A
r
Figura II
4.3. Equac¸o˜es parame´tricas da reta
Seja r uma reta que passa pelos pontos A(x0, y0, z0) e P (x, y, z) e tem a direc¸a˜o do vetor−→v = (a, b, c), enta˜o substituindo A e −→v na equac¸a˜o vetorial da reta r obtemos
P = A+ t−→v
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t (a, b, c)
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + (ta, tb, tc)
(x, y, z) = (x0 + ta, y0 + tb, z0 + tc)
ou seja{
x = x0 + ta
y = y0 + tb
z = z0 + tc
58
As equac¸o˜es
{
x = x0 + ta
y = y0 + tb
z = z0 + tc
sa˜o denominadas equac¸o˜es parame´tricas da reta
r que passa pelo ponto A(x0, y0, z0) e tem vetor diretor −→v = (a, b, c). A varia´vel t e´
denominada paraˆmetro.
Exemplo 4.2. Escrever as equac¸o˜es equac¸o˜es parame´tricas da reta r que passa pelo
ponto A(2, 1, 3) e tem vetor diretor −→v = (1, 3, 4).
Soluc¸a˜o: Sendo o ponto A(2, 1, 3) e o vetor diretor −→v = (1, 3, 4), temos:{
x0 = 2
y0 = 1
z0 = 3
e
{
a = 1
b = 3
c = 4
, logo, as equac¸o˜es parame´tricas da reta r sa˜o:
{
x = 2 + t
y = 1 + 3t
z = 3 + 4t
.
Exemplo 4.3. Determinar os pontos A,B,C e D da reta r de equac¸o˜es parame´tricas{
x = 2 + t
y = 1 + 3t
z = 3 + 4t
para os valores t = −1, t = 0, t = 1, t = 2, respectivamente.
Soluc¸a˜o: Podemos formar a tabela
Pontos t x = 2 + t y = 1 + 3t z = 3 + 4t
A −1 1 −2 −1
B 0 2 1 3
C 1 3 4 7
D 2 4 7 11
Logo, os pontos sa˜o dados porA (1,−2,−1), B (2, 1, 3) , C (3, 4, 7) eD (4, 7, 11).
Exemplo 4.4. Verifique se os pontos A (1, 7,−1), B (1,−2,−1) pertencem a` reta r de
equac¸o˜es parame´tricas
{
x = 2 + t
y = 1 + 3t
z = 3 + 4t
.
Soluc¸a˜o: Devemos verificar se, para cada ponto, o valor de t nas equac¸o˜es
parame´tricas
{
x = 2 + t
y = 1 + 3t
z = 3 + 4t
e´ u´nico.
Verificac¸a˜o para o ponto A (1, 7,−1):
59
x = 2 + t y = 1 + 3t z = 3 + 4t
1 = 2 + t 7 = 1 + 3t −1 = 3 + 4t
t = −1 6 = 3t −4 = 4t
t = 2 t = −1
Como o valor de t na˜o e´ u´nico, o ponto A na˜o pertence a` reta r.
Verificac¸a˜o para o ponto B (1,−2,−1):
x = 2 + t y = 1 + 3t z = 3 + 4t
1 = 2 + t −2 = 1 + 3t −1 = 3 + 4t
t = −1 −3 = 3t −4 = 4t
t = −1 t = −1
Como o valor de t e´ u´nico, o ponto B pertence a` reta r.
Exemplo 4.5. Determinar os pontos A, B e C da reta r, de equac¸o˜es parame´tricas{
x = 2 + t
y = 1 + 3t
z = 3 + 4t
, em que:
1. a abscissa e´ 4;
2. a ordenada e´ −5;
3. a cota e´ 3.
Soluc¸a˜o: Em cada caso, primeiro determinamos o valor de t e apo´s o valor
das coordenadas faltantes.
1. Como a abscissa e´ x = 4, substituindo em x = 2 + t obtemos 4 = 2 + t, portanto,
t = 2, consequentemente, y = 7 e z = 11. Logo, o ponto procurado e´ A (4, 7, 11).
2. Como a ordenada e´ y = −5, substituindo em y = 1 + 3t obtemos −5 = 1 + 3t,
portanto, t = −2, consequentemente, x = 0 e z = −5. Logo, o ponto procurado e´
A (0,−5,−5).
3. Como a cota e´ z = 3, substituindo em z = 3 + 4t obtemos 3 = 3 + 4t, portanto,
t = 0, consequentemente, x = 2 e y = 1. Logo, o ponto procurado e´ A (2, 1, 3).
4.4. Equac¸o˜es Sime´tricas da reta
Seja r uma reta que passa pelos pontos A(x0, y0, z0) e P (x, y, z) e tem a direc¸a˜o do vetor
−→v = (a, b, c), enta˜o, para P (x, y, z), suas equac¸o˜es parame´tricas sa˜o
{
x = x0 + ta
y = y0 + tb
z = z0 + tc
.
Agora, em cada equac¸a˜o, isolamos o paraˆmetro t, isto e´:
60
x = x0 + ta y = y0 + tb z = z0 + tc
x− x0 = ta y − y0 = tb z − z0 = tc
t =
x− x0
a
t =
y − y0
b
t =
z − z0
c
Sendo os treˆs resultados iguais a t podemos escrever
x− x0
a
=
y − y0
b
=
z − z0
c
Esta igualdade, define as equac¸o˜es sime´tricas da reta r que passa pelo ponto
A(x0, y0, z0) e tem a direc¸a˜o do vetor −→v = (a, b, c).
Exemplo 4.6. Escrever as equac¸o˜es equac¸o˜es sime´tricas da reta r que passa pelo ponto
A(2, 1, 3) e tem vetor diretor −→v = (1, 3, 4).
Soluc¸a˜o: Sendo o ponto A(2, 1, 3) e o vetor diretor −→v = (1, 3, 4), temos:{
x0 = 2
y0 = 1
z0 = 3
e
{
a = 1
b = 3
c = 4
, como as equac¸o˜es sime´tricas da reta sa˜o:
x− x0
a
=
y − y0
b
=
z − z0
c
temos
x− 2
1
=
y − 1
3
=
z − 3
4
Exemplo 4.7. Verifique se o ponto M (1,−3, 2) pertence a`s retas r de equac¸a˜o
x+ 2
−2 =
y − 3
1
=
z
1
, s de equac¸o˜es
{
x = 3 + t
y = 2 + t
z = −1− 2t
e t de equac¸o˜es
{
x = 2z + 1
y = −z + 3 .
Soluc¸a˜o: I - Para verificar se M ∈ r, substitituimos as coordenadas x = 1 ,
y = −3 e z = 2 do ponto M na equac¸a˜o x+ 2−2 =
y − 3
1
=
z
1
e verificamos se as
igualdades se verificam:
x+ 2
−2 =
y − 3
1
=
z
1
1 + 2
−2 =
−3− 3
1
=
2
1
3
−2 =
−6
1
=
2
1
igualdades na˜o se verificam
Portanto, M /∈ r.
II - Para verificar se M ∈ s, substitituimos os x = 1 , y = −3 e z = 2 na
equac¸a˜o
{
x = 3 + t
y = 2 + t
z = −1− 2t
e verificamos se o valor de t e´ u´nico. Assim,
61{
x = 3 + t
y = 2 + t
z = −1− 2t
implica em
{
1 = 3 + t
−3 = 2 + t
2 = −1− 2t
ou seja

t = −2
t = −5
t = −3
2
.
Desse modo, como o valor de t na˜o e´ u´nico M /∈ s.
III - Para verificar se M ∈ t,
Substituimos z ∈ M em
{
x = 2z + 1
y = −z + 3 e verificamos se x e y encontrados
corresponde a`s coordenadas x e y de M. Temos
{
x = 2 (2) + 1
y = − (2) + 3 ou
{
x = 5
y = 1
, que
na˜o correspondem a`s coordenadas de M . Logo, M /∈ t.
Exemplo 4.8. Escrever
{
x = 2z + 1
y = −z + 3 nas formas sime´trica e prarame´trica.
Soluc¸a˜o: I - Para escrever a equac¸a˜o a
{
x = 2z + 1
y = −z + 3 na forma sime´trica
isolamos a varia´vel independente em cada equac¸a˜o, isto e´:
x = 2z + 1 y = −z + 3
x− 1 = 2z z = 3− y
z =
x− 1
2
z =
3− y
1
que resulta em
x− 1
2
=
y − 3
−1 =
z
1
.
II- Para determinar as equac¸o˜es parame´tricas igualamos cada termo das
equac¸o˜es sime´tricas ao paraˆmentro t e apo´s escrevemos x, y e z em func¸a˜o de t.
x− 1
2
= t
y − 3
−1 = t
z
1
que resulta em
{
x− 1 = 2t
y − 3 = −t
z = t
ou seja
{
x = 1 + 2t
y = 3− t
z = t
4.5. Reta definida por dois pontos
Seja r uma reta que passa pelos pontos A(x0, y0, z0) e B(x1, y1, z1), enta˜o o vetor diretor
de r e´ −→v = −→AB, ou −→v = B −A. Assim, −→v = (x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0), ver figura III.
Substituindo as coordenadas de −→v nas equac¸o˜es sime´tricas, para P (x, y, z) obtemos
x− x0
x1 − x0 =
y − y0
y1 − y0 =
z − z0
z1 − z0
62
Observe que comparando as equac¸o˜es sime´tricas da reta
x− x0
a
=
y − y0
b
=
z − z0
c
com a equac¸a˜o da reta definida por dois pontos
x− x0
x1 − x0 =
y − y0
y1 − y0 =
z − z0
z1 − z0 temos as coordenadas do vetor diretor
−→v
da reta r dadas por a = x1 − x0, b = y1 − y0 e c = z1 − z0
�
�
�
�
A
B
x0
x1
y0 y1
z0
z1 �
Figura III
Exemplo 4.9. Seja r uma reta que passa pelos pontos A(1, 2, 3) e B(3, 4, 6), encontre
a equac¸a˜o da reta que passa por A e B.
63
Soluc¸a˜o: A equac¸a˜o da reta definida por dois pontos
x− x0
x1 − x0 =
y − y0
y1 − y0 =
z − z0
z1 − z0 em que{
x0 = 1
y0 = 2
z0 = 3
e
{
x1 = 3
y1 = 4
z1 = 6
enta˜o podemos escrever
x− 1
3− 1 =
y − 2
4− 2 =
z − 3
6− 3 ou
x− 1
2
=
y − 2
2
=
z − 3
3
4.6. Condic¸a˜o para que treˆs pontos estejam em linha reta
Sejam os pontos A(x0, y0, z0), B(x1, y1, z1) e M (x2, y2, z2) enta˜o A,B e M esta˜o
alinhados se os vetores
−→
AB e
−−→
AM forem paralelos, isto e´, existe t ∈ R tal que−→AB = t−−→AM ,
assim
−→
AB = t
−−→
AM
B − A = t (M −A)
(x1, y1, z1)− (x0, y0, z0) = t ((x2, y2, z2)− (x0, y0, z0))
(x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0) = t (x2 − x0, y2 − y0, z2 − z0)
(x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0) = (t (x2 − x0), t (y2 − y0) , t (z2 − z0))
pela igualdade de vetores obtemos
{
t (x2 − x0) = x1 − x0
t (y2 − y0) = y1 − y0
t (z2 − z0) = z1 − z0
ou

x1 − x0
x2 − x0 = t
y1 − y0
y2 − y0 = t
z1 − z0
z2 − z0 = t
e, finalmente,
x1 − x0
x2 − x0 =
y1 − y0
y2 − y0 =
z1 − z0
z2 − z0
Exemplo 4.10. Sejam os pontos A(5, 2,−6), B(−1,−4,−3) e M (7, 4,−7) enta˜o A,B
e M esta˜o alinhados, pois satisfazem a condic¸a˜o
x1 − x0
x2 − x0 =
y1 − y0
y2 − y0 =
z1 − z0
z2 − z0
−1− 5
7− 5 =
−4− 2
4− 2 =
−3− (−6)
−7− (−6) = 3
64
4.7. Equac¸o˜es reduzidas da reta
Cosidere as equac¸o˜es sime´tricas da reta
x− x0
a
=
y − y0
b
=
z − z0
c
, podemos escrever es
equac¸o˜es da reta com y e z dependendo apenas de x por meio do sistema de
equac¸o˜es

x− x0
a
=
y − y0
b
x− x0
a
=
z − z0
c
.
Isolando y e z obtemos
x− x0
a
=
y − y0
b
x− x0
a
=
z − z0
c
b (x− x0)
a
= y − y0 c (x− x0)
a
= z − z0
ou ou
y = y0 +
bx− bx0
a
z = z0 +
cx− cx0
a
y = y0 +
bx
a
− bx0
a
z = z0 +
cx
a
− cz0
a
y =
b
a
x+
(
y0 − bx0
a
)
z =
c
a
x+
(
z0 − cz0
a
)
Fazendo

b
a
= m
y0 − bx0
a
= n
e

c
a
= p
z0 − cz0
a
= q
obtemos as equac¸o˜es
reduzidas da reta dadas por:
{
y = mx+ n
z = px+ q
Exemplo 4.11. Encontrar as equac¸o˜es reduzidas da reta de equac¸o˜es
x− 1
2
=
y − 2
2
=
z − 3
4
.
Soluc¸a˜o: Fazemos
65
x− 1
2
=
y − 2
2
x− 1
2
=
z − 3
4
2 (x− 1)
2
= y − 2 4 (x− 1)
2
= z − 3
ou ou
x− 1 = y − 2 2 (x− 1) = z − 3
y = x+ 1 2x− 2 = z − 3
z = 2x+ 1
Portanto, as equac¸o˜es reduzidas da reta sa˜o
{
y = x+ 1
z = 2x+ 1
4.8. Retas paralelas aos planos coordenados
Se uma das coordenadas do vetor diretor −→v = (a, b, c) for nula, a reta r e´ paralela ao
plano gerado pelos eixo em que as coordenadas de −→v forem na˜o nulas. Assim se r passa
pelo ponto A(x0, y0, z0) obtemos:
1. Se −→v = (0, b, c) a reta r e´ paralela ao plano yOz e tem equac¸a˜o dada por{
x = x0
y − y0
b
=
z − z0
c
ou
{
x = x0 + 0t
y = y0 + bt
z = z0 + ct
;
2. Se −→v = (a, 0, c) a reta r e´ paralela ao plano xOz e tem equac¸a˜o dada por{
y = y0
x− x0
a
=
z − z0
c
ou
{
x = x0 + at
y = y0 + 0t
z = z0 + ct
;
3. Se −→v = (a, b, 0) a reta r e´ paralela ao plano xOy e tem equac¸a˜o dada por{
z = z0
x− x0
a
=
y − y0
b
ou
{
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + 0t
.
Ver figura IV
66
�
�
�
�
�
�
−→vr = (a, b, 0)
r
−→vt = (a, 0, c)
t
−→vs = (0, b, c)
s
x
y
z
Figura IV
4.9. Posic¸o˜es relativas das retas
Retas paralelas aos eixos coordenados
Se duas das coordenadas do vetor diretor −→v = (a, b, c) forem nulas, a reta r e´ paralela
ao o eixo gerado pela coordenada de −→v que na˜o for nula. Assim se r passa pelo ponto
A(x0, y0, z0) obtemos:
1. Se−→v = (0, 0, c) a reta r e´ paralela ao eixo z e tem equac¸a˜o dada por
{
x = x0 + 0t
y = y0 + 0t
z = z0 + ct
ou
{
x = x0
y = y0
z = z0 + ct
;
2. Se−→v = (a, 0, 0) a reta r e´ paralela ao eixo x e tem equac¸a˜o dada por
{
x = x0 + at
y = y0 + 0t
z = z0 + 0t
ou
{
x = x0 + at
y = y0
z = z0
;
67
3. Se−→v = (0, b, 0) a reta r e´ paralela ao exo y e tem equac¸a˜o dada por
{
x = x0 + 0t
y = y0 + bt
z = z0 + 0t
ou
{
x = x0
y = y0 + bt
z = z0
.
Ver figura V
�
�
�
�
�
	
−→vr = (0, 0, c)
−→vt = (0, b, 0)
−→vs = (a, 0, 0)
r
s
t
Figura V
Aˆngulo entre duas retas r e s
O aˆngulo entre as retas r e s e´ o aˆngulo formado pelos seus vetores diretores −→vr e −→vs .
Exemplo 4.12. Encontrar o aˆngulo entre as retas r de equac¸a˜o
x+ 2
−2 =
y − 3
1
=
z
1
e
s de equac¸a˜o
{
x = 3 + t
y = t
z = −1− 2t
.
Soluc¸a˜o: Primeiro determinamos os vetores diretores −→vr e −→vs .
Comparando a equac¸a˜o de r dada por
x+ 2
−2 =
y − 3
1
=
z
1
com a equac¸a˜o
68
sime´trica
x− x0
a
=
y − y0
b
=
z − z0
c
, obtemos −→vr = (−2, 1, 1) e comparando a equac¸a˜o
de s dada por
{
x = 3 + t
y = t
z = −1− 2t
com as equac¸o˜es parame´tricas
{
x = x0 + ta
y = y0 + tb
z = z0 + tc
obtemos −→vs = (1, 1,−2).
Como segundo passo determinaremos o cosseno do aˆngulo formado pelos
vetores −→vr e −→vs , isto e´
cos θ =
|−→vr · −→vs |
|−→vr | |−→vs |
cos θ =
|(−2, 1, 1) · (1, 1,−2)|√
(−2)2 + 12 + 12
√
12 + 12 + (−2)2
cos θ =
|−2 + 1− 2|√
6
√
6
cos θ =
|−3|
6
=
1
2
Portanto, o aˆngulo entre as retas r e s e´ 60o
4.10. Condic¸a˜o de paralelismo entre duas retas
Duas retas r e s sa˜o paralelas se seus vetores diretores −→vr e −→vs forem colineares, isto e´−→vr = k−→vs , k ∈ R.
Exemplo 4.13. Verifique se as retas r de equac¸a˜o
x+ 2
−2 =
y − 3
1
=
z
1
e s de equac¸a˜o{
x = 3 + t
y = t
z = −1− 2t
sa˜o paralelas.
Soluc¸a˜o: Primeiro determinamos os vetores diretores −→vr e −→vs .
Comparando a equac¸a˜o de r dada por
x+ 2
−2 =
y − 3
1
=
z
1
com a equac¸a˜o
sime´trica
x− x0
a
=
y − y0
b
=
z − z0
c
, obtemos −→vr = (−2, 1, 1) e comparando a equac¸a˜o
de s dada por
{
x = 3 + t
y = t
z = −1− 2t
com as equac¸o˜es parame´tricas
{
x = x0 + ta
y = y0 + tb
z = z0 + tc
69
obtemos −→vs = (1, 1,−2).
Como segundo passo varificaremos se existe k ∈ R tal que −→vr = k−→vs . Assim,
−→vr = k−→vs
(−2, 1, 1) = k (1, 1,−2)
(−2, 1, 1) = (k, k,−2k)
ou

k = −2
k = 1
k = −1
2
Conclusa˜o: como o valor de k na˜o e´ u´nico, existe k ∈ R talque −→vr = k−→vs ,
logo r e s na˜o sa˜o paralelas.
4.11. Condic¸a˜o de ortogonalidade entre duas retas
Duas retas r e s sa˜o ortogonais se o produto escalar de seus vetores diretores −→vr e −→vs
for nulo isto e´ −→vr · −→vs = 0.
Exemplo 4.14. Verifique se as retas r de equac¸a˜o
x+ 2
−2 =
y − 3
2
=
z
1
e s de equac¸a˜o{
x = 3 + t
y = 2 + 2t
z = −1− 2t
sa˜o ortogonais.
Soluc¸a˜o: Primeiro determinamos os vetores diretores −→vr e −→vs .
Comparando a equac¸a˜o de r dada por
x+ 2
−2 =
y − 3
2
=
z
1
com a equac¸a˜o
sime´trica
x− x0
a
=
y − y0
b
=
z − z0
c
, obtemos −→vr = (−2, 2, 1) e comparando a equac¸a˜o
de s dada por
{
x = 3 + t
y = 2 + 2t
z = −1− 2t
com as equac¸o˜es parame´tricas
{
x = x0 + ta
y = y0 + tb
z = z0 + tc
obtemos −→vs = (1, 2,−2).
Como segundo passo verificaremos se −→vr · −→vs = 0. Assim,
−→vr · −→vs = (−2, 2, 1) · (1, 2,−2)−→vr · −→vs = −2 ∗ 1 + 2 ∗ 2 + 1 ∗ (−2)−→vr · −→vs = −2 + 4− 2−→vr · −→vs = 0
Conclusa˜o: como −→vr · −→vs = 0 segue que r e s sa˜o ortogonais.
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4.12. Condic¸a˜o de coplanaridade de duas retas
Para verificar se duas retas r e s sa˜o coplanares procedemos como segue:
1. determinamos os vetores diretores −→vr e −→vs ;
2. determinamos um ponto A pertencente a` reta r;
3. determinamos um ponto B pertencente a` reta s;
4. determinamos o vetor
−→
AB;
5. determinamos o produto misto
(−→vr ,−→vs ,−→AB).
Conclusa˜o:
a) se o produto misto
(−→vr ,−→vs ,−→AB)for igual a zero, enta˜o r e s sa˜o coplanares.
b) se o produto misto
(−→vr ,−→vs ,−→AB) for diferente de zero, enta˜o r e s na˜o sa˜o
coplanares e nesse caso sera˜o denominadas reversas.
observac¸a˜o 5. Duas retas coplanares ou sa˜o paralelas ou tem um ponto de intersec¸a˜o.
Ja´ duas retas reversas na˜o possuem ponto de intersec¸a˜o e nem sa˜o paralelas
Na figura IV, as retas r e t sa˜o coplanares, as retas r e s sa˜o coplanares, bem
como as retas t e s.
Na figura VI, as retas s e t sa˜o coplanares, r e t sa˜o coplanaresas e as retas
r e s sa˜o reversas.
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�
�
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s
t
r
Figura VI
Exemplo 4.15. Verifique se as