Exercício resolvido - método dos deslocamentos

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Universidade Federal do Rio Grande - FURG 02/04/2017 Escola de Engenharia
Exerc´ıcio Resolvido - Lista de Exerc´ıcios no1 - Me´todo dos Deslocamentos
3. Resolva cada uma das vigas abaixo mostradas pelo me´todo dos deslocamentos. Fac¸a tambe´m, o
trac¸ado de suas linhas de estado. Considere que cada uma delas tenha rigidez EI = 1, 0 kNm2
constante. Considere um sistema principal com as simplificac¸o˜es poss´ıveis que leve ao m´ınimo
de deslocabilidades. E´ recomendado numerar v´ınculos e inco´gnitas da esquerda para a direita.
b)
Figura 1: Viga do Exerc´ıcio 3b.
Soluc¸a˜o
A soluc¸a˜o que sera´ mostrada ao longo deste texto atende alguns objetivos. Primeiro, mostrar
todas as etapas a serem seguidas na soluc¸a˜o de um viga hiperesta´tica pelo me´todo dos deslocamentos.
Outro objetivo, e´ servir de padra˜o para soluc¸a˜o de quaisquer vigas hiperesta´ticas visto que a aplicac¸a˜o
do me´todo dos deslocamentos tem uma u´nica sistema´tica, indepedente do tipo de estrutura a resolver.
Por fim, descrever pequenos detalhes que constituem a soluc¸a˜o.
Na Figura 2 e´ mostrado o sistema principal que sera´ utilizado na soluc¸a˜o da viga. Reparem que
os deslocamentos (rotac¸o˜es) correspondentes aos dois apoios de extremidade na˜o sera˜o considerados
na ana´lise. Esta e´ uma das simplificac¸o˜es poss´ıveis. Dela resulta uma diminuic¸a˜o no nu´mero de
incognitas da soluc¸a˜o. Os deslocamentos inco´gnitos sa˜o rotac¸o˜es e esta˜o denominados por D1 e D2.
Deste modo o grau de indeterminac¸a˜o cinema´tico para efeito da soluc¸a˜o e´ igual a 2. Tambe´m se
costuma afirmar que ha´ dois graus de liberdade.
Figura 2: Sistema principal e identificac¸a˜o dos deslocamentos inco´gnitos.
Tendo em vista que sa˜o duas inco´gnitas, se pode explicitar o correspondente sistema de equac¸o˜es,
seja na forma alge´brica seja na forma matricial, como segue:
{
And1 = Aeq1 + k11D1 + k12D2
And2 = Aeq2 + k21D1 + k22D2
ou
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[And] = [Aeq] + [K][D] =⇒
[
And1
And2
]
=
[
Aeq1
Aeq2
]
+
[
k11 k12
k21 k22
] [
D1
D2
]
Nas duas expresso˜es anteriores, And sa˜o as denominadas ac¸o˜es nodais diretas, Aeq sa˜o as deno-
minadas ac¸o˜es nodais equivalentes, K e´ a denominada matriz de rigidez e D sa˜o os delocamentos
nodais inco´gnitos.
Os termos And1 e And2 sa˜o os valores das ac¸o˜es nodais diretas correspondentes respectivamente,
a D1 e D2, e decorrem do carregamento externo nodal.
Os termos Aeq1 e Aeq2 sa˜o os valores das ac¸o˜es nodais equivalentes correspondentes respectiva-
mente, a D1 e D2, provacadas pelo carregamento externo sobre as barras e admitido atuando sobre
o sistema principal.
Os termos kij sa˜o os denominados coeficientes de rigidez. Um coeficiente de rigidez e´ uma ac¸a˜o,
forc¸a ou momento, correspondente a um deslocamentos nodal inco´gnito. Assim, o coeficiente kij
e´ o valor da ac¸a˜o que correspondente ao deslocamento nodal Di provocado por um deslocamento
unita´rio em j.
Na presente situac¸a˜o, ha´ dois deslocamentos inco´gnitos. Assim, o sistema de equac¸o˜es e´ de
ordem 2. As equac¸o˜es acima, obviamente, pode ser generalizadas para ordem n.
Determinac¸a˜o das ac¸o˜es nodais diretas
A Figura 3, mostra o sistema principal e as ac¸o˜es nodais diretas correspondentes as inco´gnitas
D1 e D2. Por inspec¸a˜o visual feita na Figura 1 se pode concluir que neste caso
And1 = 0, e And2 = 0 ou [And] =
[
0
0
]
Figura 3: Identificac¸a˜o das ac¸o˜es nodais diretas And1 e And2.
Determinac¸a˜o das ac¸o˜es nodais equivalentes
A Figura 4, mostra o sistema principal e as ac¸o˜es nodais equivalentes correspondentes as inco´gnitas
D1 e D2.
Figura 4: Identificac¸a˜o das ac¸o˜es nodais equivalentes Aeq1 e Aeq2.
Ac¸o˜es nodais equivalentes sa˜o determinadas pelo emprego de tabelas de “ac¸o˜es de engastamento
perfeito”. Examinado o sistema principal, se observa que, a barra da esquerda se comporta como
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apoiada-engastada, a barra intermedia´ria como bi-engastada e a barra da direita como engastada-
apoiada.
A Figura 5 mostra o carregamento externo sobre o sistema principal. Nesta mesma figura sa˜o
mostrados todos os valores das ac¸o˜es que surgem devido ao carregamento externo. As ac¸o˜es nodais
equivalentes sa˜o mostradas na cor vermelha.
Figura 5: Sistema principal sujeito ao carregamento externo sobre as barras.
A situac¸a˜o mostrada na Figura 5 e´ normalmente conhecida como Estado 0 , ou E0. Comparando
as figuras 4 e 5, se pode determinar os valores das ac¸o˜es nodais equivalentes na forma
Aeq1 = −2, 25 + 3 = 0, 75 e Aeq2 = −3 + 6 = 3 ou [Aeq] =
[
0, 75
3
]
Determinac¸a˜o dos coeficientes de rigidez
Os coeficientes de rigidez sa˜o determinados pelo emprego tabelas que tragam os valores de ac¸o˜es
nodais para deslocamentos nodais unita´rios, sejam translac¸o˜es ou rotac¸o˜es. Assim, se deve impor ao
sistema principal deslocamentos nodais unita´rios correspondentes aos deslocamentos inco´gnitos, um
de cada vez. No presente caso estes deslocamentos unita´rios sa˜o rotac¸o˜es.
Neste momento, e´ bom lembrar que as equac¸o˜es do me´todos dos deslocamentos sa˜o equac¸o˜es
de equil´ıbrio. Equilibrio entre ac¸o˜es externas que atuem nos no´s, e que sejam correspondentes a`s
inco´gnitas, e as ac¸o˜es nodais internas devido ao carregamento externo atuando no sistema principal
acrescidas das ac¸o˜es nodais internas devido a deslocamentos unita´rios correspondentes a`s inco´gnitas.
Em u´ltima ana´lise, todo o processo e´ realizado por superposic¸a˜o dos efeitos.
A Figura 6 mostra a identificac¸a˜o dos coeficientes de rigidez k11 e k21 que devera˜o ser calculados
pela imposic¸a˜o de um deslocamento unita´rio correspondente a D1.
Figura 6: Identificac¸a˜o dos coeficientes de rigidez k11 e k21.
Na Figura 7 sa˜o mostradas todas as ac¸o˜es que surgem devido a imposic¸a˜o do deslocamento
unita´rio (rotac¸a˜o) correspondente a D1 sobre o sistema principal. Os valores a serem utilizados no
ca´lculo de k11 e k21 sa˜o mostrados na cor vermelha.
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Figura 7: Ac¸o˜es nodais devido ao deslocamento unita´rio correspondente a D1.
A situac¸a˜o mostrada na Figura 7 e´ normalmente conhecida como Estado 1 , ou E1. Observando
esta figura, e considerando que EI = 1, 0 kNm2 e constante, se obte´m
k11 =
3EI
L
+
4EI
L
=
3
3
+
4
3
=
7
3
k21 =
2EI
L
=
2
3
A Figura 8 mostra a identificac¸a˜o dos coeficientes de rigidez k12 e k22 que devera˜o ser calculados
pela imposic¸a˜o de um deslocamento unita´rio correspondente a D2.
Figura 8: Identificac¸a˜o dos coeficientes de rigidez k12 e k22.
Na Figura 9 sa˜o mostradas todas as ac¸o˜es que surgem devido a imposic¸a˜o do deslocamento
unita´rio (rotac¸a˜o) correspondente a D2 sobre o sistema principal. Os valores a serem utilizados no
ca´lculo de k12 e k22 sa˜o mostrados na cor vermelha.
Figura 9: Ac¸o˜es nodais devido ao deslocamento unita´rio correspondente a D2.
A situac¸a˜o mostrada na Figura 9 e´ normalmente conhecida como Estado 2 , ou E2. Observando
esta figura, e considerando que EI = 1, 0 kNm2 e constante, se obte´m
k12 =
2EI
L
=
2
3
k22 =
4EI
L
+
3EI
L
=
4
3
+
3
4
=
25
12
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Neste momento dispomos de todos valores calculados e se pode passar a montagem final do
sistema de equac¸o˜es. Abaixo o sistema de equac¸o˜es e´ mostrado tanto na forma alge´ricacomo
matricial. Na soluc¸a˜o de exerc´ıcios apenas uma destas formas e´ necessa´rio apresentar.

0 = 0, 75 +
7
3
D1 +
2
3
D2
0 = 3 +
2
3
D1 +
25
12
D2
ou
[And] = [Aeq] + [K][D] =⇒
[
0
0
]
=
[
0, 75
3
]
+

7
3
2
3
2
3
25
12
[ D1D2
]
A soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es pela te´cnica de substituic¸a˜o ou por inversa˜o da matriz [K],
conduz aos seguintes valores para D1 e D2:
D1 = 0, 09906 (rad) D2 = −1, 47170 (rad) ou [D] =
[
0, 09906
−1, 47170
]
(rad)
Obtidos os valores dos deslocamentos inco´gnitos, o me´todos dos deslocamentos esta´ conclu´ıdo.
Entretanto, os valores das rotac¸o˜es obtidos tem muito pouca importaˆncia para a ana´lise. Aqui
o que tem grande importaˆncia sa˜o os valores das reac¸o˜es e dos momento de continuidade. Estes
valores podem ser obtidos por superposic¸a˜o dos efeitos.
Esta superposic¸a˜o deve ser feita na forma. Os valores das ac¸o˜es mostrados no estado E0 (Figura
5) somados aos correspondentes valores mostrados no estado E1 (Figura 7) que devem ser multipli-
cados pelo valor de D1 e somados aos correspondentes valores mostrados no estado E2 (Figura 9)
que devem ser multiplicados pelo valor de D2
Apenas para efeito de refereˆncia, vamos aqui admitir que os apoios estejam numerados da es-
querda para a direita de 1 a 4, haja vista que na figura do exerc´ıcio 3b nenhuma identificac¸a˜o e´
mostrada.
Ca´lculo dos momentos de continuidade
M1 = 0
M esq2 = −2, 25 +
3
3
× 0, 09906 = −2, 15 kNmy
Mdir2 = 3 +
4
3
× 0, 09906 + 2
3
× (−1.47170) = 2, 15 kNmx
M esq3 = −3 +
2
3
× 0, 09906 + 4
3
× (−1.47170) = −4, 90 kNmy
Mdir3 = 6 +
3
4
× (−1, 47170) = 4, 90 kNmx
M4 = 0
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Ca´lculo das reac¸o˜es
R1 = 2, 25 +
3
9
× 0, 09906 = 2, 28 kN ↑
R2 = (3, 75 + 6) + (
6
9
− 3
9
)× 0, 09906 + 6
9
× (−1.47170) = 8, 80 kN ↑
R3 = (6 + 7, 5)− 6
9
× 0, 09906 + ( 3
16
− 6
9
)× (−1.47170) = 14, 14 kN ↑
R4 = 4, 5− 3
16
× (−1, 47170) = 4, 78 kN ↑
Linhas de estado
Obtidos os valores das reac¸o˜es se pode trac¸ar as linhas de estado, diagramas de forc¸a cortante e
de momento de flexa˜o. Fica para os alunos o trac¸ado destas linhas de estado.
Observac¸o˜es gerais e finais
1. Na soluc¸a˜o descrita esta˜o embutidos um conjunto de comenta´rios por se tratar de exemplo
dida´tico. Para soluc¸a˜o de exerc´ıcios pelos alunos, estes comenta´rios sa˜o desnecessa´rios.
2. No exerc´ıcio, o valor de EI foi um valor fict´ıcio igual a 1. Caso fosse utilizado o valor real da
rigidez a` flexa˜o, os valores de momentos e reac¸a˜o seriam ideˆnticos aos calculados e se obteria
os valores reais dos deslocamentos nodais.
3. E´ importante sempre ter em mente a convenc¸a˜o de sinais utilizada. Ao longo da soluc¸a˜o,
a convenc¸a˜o na˜o apareceu explicitamente, mas foi utilizada. Corresponde a forc¸as verti-
cais/translac¸o˜es verticais para cima positivas e momentos/rotac¸o˜es anti-hora´rios positivos.
4. Foi mostrada a soluc¸a˜o de uma viga pelo me´todo dos deslocamentos. Caso fossem resolvidos
po´rticos, trelic¸as ou grelhas, a sistema´tica seria a mesma, guardadas as peculiaridades de cada
um destes treˆs tipos de estruturas.
5. A soluc¸a˜o de uma estrutura de barras hiperesta´ticas pelo me´todo dos deslocamentos na˜o e´ algo
complexo. Com certeza, as soluc¸o˜es sa˜o bem longas. O requisito fundamental e´ ter bastante
atenc¸a˜o na elaborac¸a˜o de cada uma das etapas.
6. Ao longo da soluc¸a˜o, nas partes descritivas, foi muito empregado o conceito de correspondeˆncia
entre ac¸o˜es e deslocamentos. Embora seja conceito simples, e´ de extrema importaˆncia.
7. O denominado grau de indeterminac¸a˜o cinema´tico de uma estrutura, comumente denominado
de graus de liberdade nada mais e´ do que o nu´mero de deslocamentos nodais inco´gnitos. Seu
valor define a ordem do sistema de equac¸o˜es a resolver.
8. Na determinac¸a˜o dos coeficientes de rigidez, devem ser impostos ao sistema principal des-
locasmentos nodais unita´rios correspondentes a`s inco´gnitas. Tais deslocamentos devem ser
aplicados uma a cada vez. Cada uma destas situac¸o˜es constitue aquilo que se costumar cha-
mar de estados E1, E2, E3 e assim sucessivamente. Para cada um destes estados, os valores
dos coeficientes de rigidez obtidos constituira˜o uma coluna da matriz de rigidez [K].
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9. Para este e todos os outros exemplos, a matriz de rigidez sera´ SIME´TRICA. Isto significa que
os coeficientes de rigidez cruzados sa˜o iguais, ou seja kij = kji.
10. A simetria da matriz de rigidez decorre fundamentalmente dos fatos que seguem. Os materiais
que constiuem as estruturas sa˜o admitidos ela´sticos lineares, ou seja, ela´sticos no aˆmbito da
Lei de Hooke. Ale´m disso, do ponto de vista energe´tico, os sistemas ela´sticos e lineares quando
deformados sa˜o admitidos conservativos. deste modo e´ va´lido o Teorema de Betti, da igualdade
dos trabalhos mu´tuos ou indiretos. Por fim, Maxwell tomando como base o Terema de Betti,
provou que ac¸o˜es e deslocamentos cruzados sa˜o ideˆnticos.
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