Guia Integrais Duplas

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Roteiro de estudos
Estou supondo que os matriculados nessa turma ja´ tenham assistido aulas de Ca´lculo III.
Assim, este guia de leitura do livro e´ baseado nessa concepc¸a˜o.
A ideia da integral dupla em coordenadas cartesianas na˜o deve apresentar dificuldades:
e´ basicamente a mesma ideia utilizada ao se definir a integral no Ca´lculo I. Da Sec¸a˜o 15.1
precisamos fundamentalmente das propriedades da integral dupla. (Note que todas elas sa˜o
“naturais”, de modo que elas na˜o precisam ser decoradas: simples aplicac¸a˜o de bom senso.)
A Sec¸a˜o 15.2 apresenta integrais iteradas e, com isso, o Teorema de Fubini. Veja, no Exem-
plo 1, como o Teorema de Fubini para func¸o˜es contı´nuas em um retaˆngulo e´ simples. Estude
enta˜o, pela ordem os Exemplos 2, 3 e 4. (Em geral, os exemplos do livro do Stewart sa˜o
muito bem escolhidos e apresentam grau crescente de dificuldade. Nunca deixe de estudar
os exemplos desse livro.)
Agora vem a passagem para regio˜es gerais, isso e´, regio˜es que na˜o sa˜o retaˆngulos, na Sec¸a˜o
15.3. Vou fazer uma pequena narrativa, incorreta historicamente, mas muito elucidativa: su-
ponhamos novamente que queremos integrar em um retaˆngulo, mas sem supor que a func¸a˜o
integrada f (x, y) e´ contı´nua em todo o retaˆngulo. Neste caso, foram encontrados exemplos
mostrando que o teorema de Fubini e´ falso, isto e´, contraexemplos. Estudando mais profun-
damente esses contraexemplos, enta˜o se percebeu que, se a func¸a˜o f (x, y) fosse descontı´nua
em um nu´mero finito de curvas bem comportadas (na˜o vou dizer qual e´ o significado de curva
bem comportada!), o Teorema de Fubini era va´lido.
Mas como enta˜o passar para regio˜es limitadas gerais? Vamos supor que tenhamos uma
regia˜o geral D e que o integrando f (x, y) seja contı´nuo, exceto talvez em um nu´mero finito de
curvas bem comportadas que esta˜o dentro de D.
A resposta de nossa pergunta e´ surpreendentemente simples: se essa regia˜o geral D for de-
limitada por uma curva bem comportada (em termos de engenharia, todas as curvas “pra´ticas”
sa˜o bem comportadas), enta˜o basta envolver essa regia˜o por um retaˆngulo R suficientemente
grande e definir uma nova func¸a˜o F:
F(x, y) =
{
f (x, y), se (x, y) ∈ D,
0, se (x, y) ∈ R \ D.
Ou seja, a nova func¸a˜o F e´ exatamente igual a` func¸a˜o f nos pontos da regia˜o D e igual a 0 nos
pontos de R que na˜o esta˜o em D.
Onde essa func¸a˜o F e´ descontı´nua? Certamente em todos os pontos em que f ja´ era
descontı´nua, isso e´, em um nu´mero finito de curvas bem comportadas. E onde mais? Pos-
sivelmente em todos os pontos da fronteira de D, que e´ uma curva bem comportada por
hipo´tese. Ou seja, temos um nu´mero finito k de curvas dentro de D em que f (e portanto
F) e´ descontı´nua e, ale´m disso, uma curva formada pela fronteira de D, em que F pode ser
descontı´nua! Ou seja, temos o nu´mero finito k + 1 de curvas onde F pode ser descontı´nua,
todas essas curvas sendo bem comportadas! Enta˜o o Teorema de Fubini pode ser aplicado a`
func¸a˜o F. Fazendo isso, chegamos ao resultado que podemos aplicar o Teorema de Fubini a`
func¸a˜o f , pois ∫∫
D
f (x, y)dxdy =
∫∫
R
F(x, y)dxdy.
(Veja a discussa˜o sobre regio˜es do tipo I e II para que este ponto fique mais claro.)
Estude os exemplos 1 a 5 da Sec¸a˜o 5.3 e passe os olhos nas propriedades da integral dupla,
dando especial importaˆncia a`quela numerada por 10:∫∫
D
1dA = A(D),
a a´rea de D. Ou seja, integrais duplas calculam a´reas!
Para o estudo de integrais duplas em coordenadas polares, fac¸a antes uma revisa˜o ra´pida
de coordenadas polares. Para isso, antes de mais nada, esboce o gra´fico de r = 2 cos θ, estabe-
lecendo a variac¸a˜o de r e θ.
Feito isso, comece a estudar a Sec¸a˜o 15.4. Veja a justificativa da expressa˜o do elemento de
a´rea em coordenadas polares: dA = rdrdθ (essa ordem sempre sera´ mantida).
Estude enta˜o, cuidadosamente, os Exemplos de 1 a 5.
Da Sec¸a˜o 15.5 so´ queremos o primeiro tema: densidade e massa ou, o que e´ o mesmo,
densidade e carga. Na˜o estudaremos momentos, centro de massa etc.
Essa e´ a mate´ria da primeira prova.