Guia de Estudos Rotacional e Divergente, Superficies Parametrizadas

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Roteiro de estudos:
Orientac¸a˜o
Se a orientac¸a˜o era importante no caso do Teorema de Green, agora ela vai desempenhar
um papel fundamental no Teorema de Stokes. Assim, inicie revendo a parte sobre orientac¸a˜o
do Guia 4.
Vamos fazer mais uma “experieˆncia” pra´tica. Para isso, pegue uma folha de papel e una
as laterais de maneira a obter um cilindro. As extremidades do cilindro formam duas curvas
semelhantes a circunfereˆncias: a de cima e a de baixo (preserve esse ordenamento). Consi-
deremos a superfı´cie externa do cilindro. A curva de cima estara´ positivamente orientada se,
ao andar em cima dessa curva (imagine-se andando como um equilibrista) e olhando para a
superfı´cie externa do cilindro, voceˆ estiver com essa superfı´cie a` sua esquerda. Confira: voceˆ
estara´ percorrendo essa curva no sentido hora´rio. Agora fac¸a mesma experieˆncia, trocando a
curva de cima pela curva de baixo. Voceˆ vai perceber que o sentido positivo corresponde ao
sentido anti-hora´rio.
Essa “experieˆncia” e´ muito importante. Voceˆ tambe´m pode trocar a superfı´cie externa pela
superfı´cie interna e verificar, em cada caso (curva de cima e curva de baixo), qual o sentido
que corresponde a` orientac¸a˜o positiva.
Mais uma experieˆncia. No caso do cilindro, podemos falar em duas superfı´cies: a externa
e a interna. Agora, para facilitar, vamos cortar uma folha de papel de maneira a obter uma
fita, com um lado bem mais cumprido que o outro. Se voceˆ unir as duas extremidades da
maneira usual, vai obter novamente um cilindro. Mas agora vamos fazer algo diferente: ao
unir essas extremidades, vamos rodar 180o um lado dessa fita. Voceˆ vai obter uma superfı´cie
chamada faixa de Mo¨bius. (Veja a Figura 5 da Sec¸a˜o 16.7.) Essa superfı´cie na˜o tem “lado de
dentro” e “lado de fora”. Se voceˆ tentar colorir um lado da superfı´cie, vai perceber que a faixa
fica inteiramente colorida. Existe uma gravura famosa de Escher, com formigas caminhando
sobre essa superfı´cie. Procure essa gravura na internet...
Superfı´cies desse tipo sa˜o chamadas de na˜o orienta´veis. Todos os resultados descritos
neste Capı´tulo na˜o valem para esse tipo de superfı´cies.
Divergente e Rotacional
Estude a Sec¸a˜o 16.5 do livro texto. Ela na˜o apresentara´ dificuldades. Mas vamos ressaltar
um fato importante: no Teorema de Green, trabalhamos com campos ~F : U ⊂ R2 → R2, quer
dizer, campos da forma ~F(x, y) = (P(x, y),Q(x, y)).
Considere esse campo como (P,Q, 0) (quer dizer, estamos considerando ~F1 : R3 → R3,
com ~F1(x, y, z) = (P(x, y),Q(x, y), 0). De maneira natural voceˆ pode pensar que se trata do
mesmo campo ~F, apenas visto como definido em um subconjunto do R3.
Calcule o rotacional desse campo: voceˆ vai obter(
0, 0,
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
= 0~i+ 0~j+
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
~k.
Quer dizer, o termo que aparece no enunciado do Teorema de Green corresponde ao rotacional
do campo (P,Q, 0). Note tambe´m que, nesse caso, rot~F =~0 corresponde a (verificar uma das
hipo´teses necessa´rias para) termos um campo conservativo!
Estude enta˜o a parte final desse sec¸a˜o, que fala sobre as formas vetoriais do Teorema de
Green. A primeira parte – que produz o Teorema de Stokes – e´ bem fa´cil de ser entendida.
Se voceˆ na˜o entender a segunda parte (que produz a forma envolvendo o divergente), na˜o se
preocupe.
Superfı´cies Parametrizadas
A noc¸a˜o de superfı´cie parametrizada corresponde a uma generalizac¸a˜o do estudo de cur-
vas parametrizadas. Ao inve´s de considerarmos uma varia´vel (s ou t, no caso de curvas),
vamos considerar duas varia´veis: u e v, ou r e θ ou...
Relembremos o que sabemos sobre superfı´cies.
1. Conhecemos superfı´cies dadas como gra´ficos de func¸a˜o; por exemplo f (x, y) = x2 + y2.
Chamando z = f (x, y), temos z = x2 + y2.
2. Conhecemos superfı´cies definidas implicitamente: x2 + y2 + z2 = 1 descreve uma esfera
de centro na origem e raio 1. Note que na˜o podemos descrever esse tipo de superfı´cie
como um (u´nico) gra´fico de func¸a˜o: se explicitarmos o valor de z, vamos obter z =
±√1− x2 − y2. Ao tomarmos o sinal positivo nesse igualdade, obtemos o hemisfe´rio
superior da esfera; o sinal negativo corresponde ao hemisfe´rio inferior. Claramente a
esfera na˜o e´ gra´fico de func¸a˜o.
A noc¸a˜o de superfı´cie parametrizada generaliza o conceito de superfı´cie de maneira a en-
globar superfı´cies dadas como gra´fico de func¸a˜o e superfı´cies definidas implicitamente.
No curso de GAAL tivemos contato com uma superfı´cie parametrizada, a equac¸a˜o pa-
rame´trica do plano:
P0 + s~u+ t~v.
P0 e´ um ponto do plano, ~u e ~v sa˜o vetores (linearmente independentes). Ao considerarmos
a equac¸a˜o x + 2y− 3z = 5, e´ fa´cil obter sua forma parame´trica: a varia´vel x corresponde ao
pivoˆ (desse sistema com uma equac¸a˜o e treˆs inco´gnitas), enquanto y e z sa˜o varia´veis livres.
Escrevendo o pivoˆ em termos das varia´veis livres obtemosxy
z
 =
5− 2y+ 3zy
z
 =
50
0
+ y
−21
0
+ z
30
1
 .
Nesse caso, temos P0 = (5, 0, 0), ~u = (−2, 1, 0) e ~v = (3, 0, 1). Observe que os vetores ~u e ~v sa˜o
linearmente independentes. Os paraˆmetros utilizados foram y e z.
Estude os Exemplos 1, 3, 4 e 5. (O exemplo 3 corresponde ao plano.) O exemplo 4 nos en-
sina a parametrizar a esfera. Note que essa parametrizac¸a˜o corresponde a fazer ρ constante em
coordenadas esfe´ricas. O exemplo 5 nos ensina a parametrizar o cilindro e a parametrizac¸a˜o
apresentada corresponde a fazer r constante em coordenadas cilı´ndricas. Os exemplos 4 e 5
sa˜o fundamentais.
Em seguida, estude os Exemplos 6 e 7. Eles nos ensinam como parametrizar, de maneira
simples, todas as superfı´cies que sa˜o gra´ficos de func¸a˜o. Assim, esses exemplos sa˜o funda-
mentais!
Uma segunda classe de exemplos e´ aquela das superfı´cies de revoluc¸a˜o. Leia com atenc¸a˜o
a parte sobre superfı´cies de revoluc¸a˜o, em especial o Exemplo 8.
Nesta sec¸a˜o ainda temos duas subsec¸o˜es importantes: a determinac¸a˜o do plano tangente
a uma superfı´cie parametrizada e a determinac¸a˜o do “elemento” de a´rea de uma superfı´cie
parametrizada, que resulta na fo´rmula que produz o ca´lculo da a´rea de uma superfı´cie:
A(S) =
∫∫
D
‖~ru ×~rv‖dudv.
Nesta fo´rmula D e´ o domı´nio da parametrizac¸a˜o, que foi feita utilizando os paraˆmetros u e v;
‖~ru ×~rv‖ e´ o elemento de a´rea.
Leia com muita atenc¸a˜o os Exemplos 9 e 10. Note que o elemento de a´rea da esfera cor-
responde a fazer ρ = a (a sendo o raio da esfera) no Jacobiano de coordenadas esfe´ricas. Essa
e´ uma informac¸a˜o muito importante, pois nos poupa uma grande quantidade de ca´lculos:
aqueles apresentados na primeira parte do Exemplo 10.
Calcule o elemento de a´rea correspondente a um cilindro (circular reto) de raio a. Verifique
que esse corresponde a tomar r = a no Jacobiano de coordenadas cilı´ndricas.
Agora veja a subsec¸a˜o sobre a´rea de superfı´cies dadas como gra´fico de func¸a˜o. Meu palpite:
se voceˆ entender o caso geral, dado pela fo´rmula acima, toda essa subsec¸a˜o e´ desnecessa´ria.
As contas apresentadas para se chegar ao elemento de a´rea sa˜o muito simples, se voceˆ sabe
como parametrizar uma superfı´cie dada como gra´fico de func¸a˜o, conhecimento esse que e´
fundamental.
Estude enta˜o o Exemplo 11.
Vou encerrar aqui. Ainda nesse semana escreverei um guia de leitura para integrais de
superfı´cie e o Teorema de Stokes.
Na pro´xima semana concluirei com um guia de leitura sobre o Teorema de Gauss (tambe´m
chamado Teorema da Divergeˆncia).