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Guia de Estudos Teorema de Stokes

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Roteiro de estudos:
Orientac¸a˜o: Uma nova repetic¸a˜o, pois isso e´ uma enorme causa de erros...
Se a orientac¸a˜o era importante no caso do Teorema de Green, agora ela vai desempenhar
um papel fundamental no Teorema de Stokes. Assim, inicie revendo a parte sobre orientac¸a˜o
do Guia 4.
Vamos fazer mais uma “experieˆncia” pra´tica. Para isso, pegue uma folha de papel e una
as laterais de maneira a obter um cilindro. As extremidades do cilindro formam duas curvas
semelhantes a circunfereˆncias: a de cima e a de baixo (preserve esse ordenamento). Consi-
deremos a superfı´cie externa do cilindro. A curva de cima estara´ positivamente orientada se,
ao andar em cima dessa curva (imagine-se andando como um equilibrista) e olhando para a
superfı´cie externa do cilindro, voceˆ estiver com essa superfı´cie a` sua esquerda. Confira: voceˆ
estara´ percorrendo essa curva no sentido hora´rio. Agora fac¸a mesma experieˆncia, trocando a
curva de cima pela curva de baixo. Voceˆ vai perceber que o sentido positivo corresponde ao
sentido anti-hora´rio.
Essa “experieˆncia” e´ muito importante. Voceˆ tambe´m pode trocar a superfı´cie externa pela
superfı´cie interna e verificar, em cada caso (curva de cima e curva de baixo), qual o sentido
que corresponde a` orientac¸a˜o positiva.
Mais uma experieˆncia. No caso do cilindro, podemos falar em duas superfı´cies: a externa
e a interna. Agora, para facilitar, vamos cortar uma folha de papel de maneira a obter uma
fita, com um lado bem mais cumprido que o outro. Se voceˆ unir as duas extremidades da
maneira usual, vai obter novamente um cilindro. Mas agora vamos fazer algo diferente: ao
unir essas extremidades, vamos rodar 180o um lado dessa fita. Voceˆ vai obter uma superfı´cie
chamada faixa de Mo¨bius. (Veja a Figura 5 da Sec¸a˜o 16.7.) Essa superfı´cie na˜o tem “lado de
dentro” e “lado de fora”. Se voceˆ tentar colorir um lado da superfı´cie, vai perceber que a faixa
fica inteiramente colorida. Existe uma gravura famosa de Escher, com formigas caminhando
sobre essa superfı´cie. Procure essa gravura na internet...
Superfı´cies desse tipo sa˜o chamadas de na˜o orienta´veis. Todos os resultados descritos
neste Capı´tulo na˜o valem para esse tipo de superfı´cies.
Integrais de Superfı´cie
Como no caso de integral de linha, existem dois tipos de integral de superfı´cie: a de
func¸o˜es f : U → R (em queU e´ um subconjunto doR2 ouR3) e a de campos ~F : U ⊂ R3 → R3.
A definic¸a˜o da integral de func¸o˜es generaliza o ca´lculo de a´rea de superfı´cie:∫
S
fdS =
∫∫
D
f (~r(u, v))‖~ru ×~rv‖dudv.
Nessa expressa˜o,~r e´ uma parametrizac¸a˜o da superfı´cie S e D e´ o domı´nio dessa parametriza-
c¸a˜o. Note que o caso f ≡ 1 corresponde a` formula da a´rea de uma superfı´cie parametrizada
(veja o Guia 5). Cuidado com a notac¸a˜o: nesse tipo de integral escrevemos dS, no caso de
integrais de campos, escrevemos d~S.
Um fato fundamental sobre integrais de superfı´cie de func¸o˜es: em geral, a menos que
tenhamos controle sobre a normal da superfı´cie S, na˜o temos nenhum teorema que possa ser apli-
cado a esse tipo de integral. Contudo, em casos especiais, veremos que o Teorema da Divergeˆncia
(Teorema de Gauss) pode ser aplicado: esse e´ o caso dos Exercı´cio 14 e 15 da Lista 4.
A segunda integral de superfı´cie e´ a de campos vetoriais. Para esse tipo de integral temos
dois teoremas que podem ser aplicados: o Teorema de Stokes (superfı´cies com bordo) e o
Teorema da Divergeˆncia (superfı´cies fechadas).
No caso da integral de superfı´cie de campos vetoriais, a orientac¸a˜o da superfı´cie e´ fun-
damental. No caso de superfı´cies com bordo (exemplos: partes de planos, partes de cilin-
dros), essa orientac¸a˜o e´ um dado do problema: em um pedac¸o de plano, temos normais em
duas direc¸o˜es. O problema proposto determina qual direc¸a˜o deve ser utilizada. No caso de
superfı´cies fechadas, que sa˜o fronteiras de so´lidos limitados (exemplos: esferas, elipso´ides)
existe uma convenc¸a˜o: a normal aponta para o exterior da superfı´cie.∫∫
S
~F · d~S =
∫∫
D
(~F ·~n)dS =
∫∫
S
(
~F(~r(u, v)) · (~ru ×~rv)
)
dudv.
A primeira igualdade define a integral de superfı´cie de um campo em termos de uma integral
de superfı´cie de uma func¸a˜o escalar: (~F ·~n), em que ~n e´ um vetor normal unita´rio. Essa
expressa˜o sera´ fundamental para podermos aplicar o Teorema da Divergeˆncia nos Exercı´cios
14 e 15 da Lista 4. Observe a notac¸a˜o: d~S na integral que esta´ sendo definida, dS na integral
da func¸a˜o escalar ~F ·~n.
Vamos primeiro explicar a igualdade entre a segunda e a terceira integrais. Para isso, basta
notar que
dS = ‖~ru ×~rv‖ e ~n = ~ru ×~rv‖~ru ×~rv‖ .
Substituindo as expresso˜es de dS e~n na segunda integral, chegamos a` terceira integral. Estude
os exemplos 4 e 5 da Sec¸a˜o sobre integrais de superfı´cie. (Eu pessoalmente na˜o gosto de uti-
lizar a expressa˜o 10 para tratar de superfı´cies dadas como gra´fico de func¸o˜es. Prefiro calcular
~ru ×~rv diretamente e “economizar” a memorizac¸a˜o de uma fo´rmula totalmente dispensa´vel.)
O Teorema de Stokes
O Teorema de Stokes relaciona uma integral de linha e uma integral de superfı´cie:∫
C
~F · d~r =
∫∫
S
rot~F · d~S.
Esse teorema pode ser utilizado em ambas as direc¸o˜es, desde que o campo ~F seja dado. Se for dado
rot~F (e na˜o ~F) calcule diretamente a integral de superfı´cie! Em geral, deduzir um campo ~F que
produza rot~F em geral na˜o e´ nada fa´cil.
Estude os Exemplos 1 e 2 da sec¸a˜o sobre o Teorema de Stokes. Note que o conhecimento
de C na˜o determina a superfı´cie S, assim como a superfı´cie S na˜o determina a curva C!
Assim, um problema usual e´ o seguinte: se da´ uma superfı´cie S bastante complicada, que tem
uma curva C como fronteira. Mas o ca´lculo da integral de linha tambe´m na˜o e´ fa´cil. Contudo,
essa curva C e´ fronteira de uma outra superfı´cie S (que na˜o foi dada e voceˆ deve encontrar) no
qual a integral de superfı´cie e´ fa´cil de ser calculada. Esse e´ o caso, por exemplo, do Exercı´cio
17 aplicando o Teorema de Stokes. Questo˜es desse tipo sa˜o usuais em provas de Ca´lculo III.

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