EEL105 Modulo 1

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Universidade Federal de Itajubá 
Instituto de Engenharia de Sistemas e Tecnologias da Informação 
Engenharia de Controle e Automação - ECA 
 
EEL105 - Circuitos Elétricos I 
 
Módulo 1 
Corrente Elétrica, Diferença de Potencial, Potência e Energia 
 
 
Prof. Paulo César Crepaldi 
2 
Sistemas de Unidades 
 Engenheiros não podem comunicar-se entre si, de forma eficiente, se 
não houver uma linguagem comum. 
 
 Grandezas mensuráveis são expressas através tanto de um número 
quanto de uma unidade. 
 
 Estaremos nos referenciando ao Sistema Internacional de Unidades 
(SI) adotado em 1960 pela Conferência Geral de Pesos e Medidas e 
pelo Brasil através do Decreto-Lei Nº 210 de 28/2/1967. 
 
 O SI apresenta sete unidades básicas, a saber: metro (m), 
quilograma (kg), segundo (s), ampére (A), grau kelvin (K), mol 
(mol) e candela (cd). 
 
 Dependendo da área de atuação do Engenheiro algumas destas 
unidades terão maior ou menor interesse. 
3 
Sistemas de Unidades 
Grandeza Nome Símbolo 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo s 
Corrente Elétrica ampère A 
Temperatura Termodinâmica kelvin K 
Quantidade de Matéria mol mol 
Intensidade Luminosa candela cd 
Tabela Resumo 
Uma grandeza física é uma propriedade de um corpo, ou particularidade de um 
fenômeno, susceptível de ser medida, i.e. à qual se pode atribuir um valor numérico. 
 
Notação Científica: utilizada para simplificar o tratamento e operacionalização de 
valores numéricos muito grandes e muito pequenos. Um número expresso em notação 
científica contém uma mantissa e uma potência de 10, veja os exemplos: 
100000 = 1,0 x 105 (sem preocupação com Algarismos Significativos!) 
0,00001 = 1,0 x 10-5; 345 = 3,45 x 102; 0,0000000024 = 2,4 x 10-9. 
4 
Sistemas de Unidades 
 O SI incorpora o sistema decimal (potências de 10) para relacionar 
unidades múltiplas. 
 
 São usados os seguintes prefixos: 
Em destaque, os prefixos mais comuns em engenharia. 
Múltiplos 
Fator Prefixo Símbolo 
101 Deca da 
102 Hecto h 
103 Quilo k 
106 Mega M 
109 Giga G 
1012 Tera T 
1015 Peta P 
1018 Exa E 
1021 Zetta Z 
1024 yotta Y 
Submúltiplos 
Fator Prefixo Símbolo 
10-1 deci d 
10-2 centi c 
10-3 mili m 
10-6 micro µ 
10-9 nano n 
10-12 pico p 
10-15 femto f 
10-18 atto a 
10-21 zepto z 
10-24 yocto y 
5 
Sistemas de Unidades 
 Os nomes das unidades escrevem-se com letras minúsculas, mesmo 
que derivem de nomes de cientistas e admitem plural (exemplo: 
ampere, amperes) 
 Os símbolos das unidades escrevem-se com letras minúsculas, 
exceto os que correspondem a unidades derivadas de nomes 
próprios. Estes escrevem-se com a letra inicial maiúscula (exemplos: 
A, V, etc.), a exceção é o ohm [Ω]. Os símbolos das unidades não 
mudam de forma para o plural. 
 
 São inaceitáveis combinações de vários prefixos tais como 
“milimicrosegundo”. Deve ser utilizado o termo nanosegundo. 
 
 Aconselha-se o uso de colchetes ([ ]) para os símbolos das unidades. 
6 
Introdução: Unidade de Carga 
 Para as análises subsequentes é necessário definir a unidade 
fundamental de carga elétrica. 
 
 Chamada de coulomb [C] em homenagem a Charles Coulomb. 
Primeiro cientista a efetuar medidas quantitativas e cuidadosas da 
força de interação entre duas cargas elétricas. 
Charles Augustin de Coulomb nasceu no dia 14/6/1736, em Angoulême, França e 
faleceu no dia 23/8/1806, Paris, França. Trabalhando inicialmente em projetos de 
engenharia militar, Coulomb mudou sua vida no ano de 1781 quando foi eleito para a seção 
de mecânica da Académie des Sciences e mudou-se para Paris. A partir dessa data Coulomb 
passou a dedicar sua vida ao estudo da física. Entre os anos de 1785 e 1791 Coulomb 
escreveu sete trabalhos importantes sobre eletricidade e magnetismo submetendo-os à 
Académie des Sciences. Nesses trabalhos Coulomb obteve resultados notáveis para a época 
usando a sua famosa "balança de torção", e mostrando que por meio de corpos suspensos 
os físicos tinham como medir de modo preciso os valores extremamente pequenos das 
forças exercidas mutuamente entre esses corpos. Foi Coulomb que nos mostrou de que 
modo corpos carregados se atraem e se repelem, dependendo de terem ou não o mesmo 
tipo de carga elétrica. Foi ele que estabeleceu a equação que nos diz que a força de atração 
ou de repulsão entre esses corpos carregados varia com o inverso do quadrado da distância 
entre eles. Coulomb também mostrou como se dá a distribuição das cargas elétricas sobre a 
superfície dos corpos carregados. Foi ele que sugeriu que não existiam substâncias capazes 
de atuar como isolantes perfeitos. Para ele, toda substância tinha um limite acima do qual 
ela seria capaz de conduzir eletricidade. A importância dessas leis para o desenvolvimento 
dos conhecimentos sobre a eletricidade foi vital. 
+ -
+ +
- -
7 
Unidade de Carga 
 Duas partículas, carregadas e que estejam separadas pela distância de 
um metro [m], no vácuo, e repilam (ou atraiam) uma à outra com 
uma força de ≈ 9.109 newtons [N], possuem cargas idênticas de 1[C]. 
[N]
d
QQ
ε4
1F
2
21
0


  
CoulombdeConstante










2
2
C
Nm
ε4
1
0

Q1 Q2 
8 
Unidade de Carga 
 
 Em termos desta unidade [C], a carga do elétron é de 
aproximadamente -1,602.10-19[C]. Portanto, a carga combinada de 
6,24.1018 elétrons perfazem 1[C]. 
 
 ε0 é a constante de permissividade elétrica no vácuo e vale 
aproximadamente 8,85.10-12[C2 N-1m-2]. 
 
 Cargas de sinais opostos se atraem e cargas de mesmo sinal se 
repelem. 
 
 Carga é simbolizada por Q ou q. Letra maiúscula para cargas 
invariantes no tempo (carga constante) e letra minúscula caso seja 
um valor instantâneo, por exemplo: q(t). 
 
 Esta distinção entre letras maiúsculas e minúsculas será estendida 
para outras grandezas elétricas. 
9 
Elemento de Circuito 
É fundamental diferenciar entre o dispositivo físico real e o modelo 
matemático que o representa. Este modelo será utilizado para analisar 
o comportamento do dispositivo em um determinado circuito elétrico. 
A expressão Elemento de Circuito será usada para referenciar ao 
modelo matemático. 
A princípio existem os elementos gerais de circuito e os elementos 
simples de circuito. Um elemento geral pode ser composto de um ou 
mais elementos simples. Portanto, um elemento simples não pode ser 
subdividido. 
Por brevidade de escrita, aos elementos simples de circuito daremos o 
nome de apenas elementos de circuitos. 
10 
Elemento de Circuito 
Elemento Simples de Circuito (Elemento de Circuito) 
É o modelo matemático de um bipolo elétrico que pode ser 
completamente caracterizado pela relação entre a diferença de 
potencial e a corrente elétrica entre seus terminais e não pode ser 
subdividido em elementos mais simples. Na sequência, será necessário 
definir de forma clara o que significam a diferença de potencial v(t) e 
a corrente elétrica i(t). 
Um bipolo elétrico é um dispositivo 
elétrico que possui dois polos (ou 
dois terminais) acessíveis através dos 
quais pode fluir uma corrente 
elétrica. Em qualquer instante a 
corrente que entra por um dos 
terminais deve ser igual à que sai 
pelo outro terminal. 
Elemento
de
Circuito
A
B
i(t)
i(t)
11 
Corrente Elétrica 
 A definição de carga elétrica considera cargas em repouso 
(eletrostática). 
 
 É necessário estender o conceito para cargas em movimento 
(transferência de carga) que representa importância vital no estudo 
de circuitos elétricos. A transferência de carga representa a possibilidade de transferência 
de energia. Exemplo: torres de transmissão de energia elétrica. 
 
 Também é importante a possibilidade de variação na razão pela qual 
a carga é transferida. Permitindo, então, o transporte de informação. 
Exemplo: sistemas de comunicação. 
 
 Cargas em movimento são representadas pela corrente elétrica i(t) 
que no SI recebe a unidade ampère [A]. 
12 
Corrente Elétrica: Definição 
 
   
[A]
Δt
tΔq
lim
dt
tdq
ti
0Δt

No intervalo de tempo t0 a t0+Δt, a 
carga transferida, e que passou pelo 
ponto de referência, modificou-se de 
q para q +Δq. A razão da carga pela 
área de seção reta será dada por 
Δq(t)/Δt e, se o intervalo de tempo 
for diminuindo, tem-se: 
Define-se corrente elétrica como a razão instantânea do movimento dos 
portadores de carga por unidade de tempo. A corrente é simbolizada 
por i(t) ou I (corrente constante ou contínua) e a unidade ampère (1[A]) 
corresponde ao movimento de carga à razão de 1[C/s]. 
Consideremos um condutor discreto com uma área de secção reta (A), 
que é assumida como ponto de referência no instante t = t0: 
A
13 
Corrente Elétrica: Definição 
André-Marie Ampère nasceu no dia 20 de janeiro de 1775 em 
Lyon, França, e morreu no dia 10 de junho de 1836 em 
Marseilles, França. Sendo de família próspera Ampère teve uma 
excelente educação, embora não tendo frequentado escolas. 
Com a idade de apenas 13 anos Ampère submeteu seu primeiro 
trabalho científico à Académie de Lyon. Seu pai foi executado na 
guilhotina durante a Revolução Francesa o que fez com que 
Ampère abandonasse os estudos por cerca de 18 meses só 
retornando após conhecer uma mulher, Julie, por quem se 
apaixonou. Durante grande parte de sua vida Ampère dedicou-se 
à matemática produzindo trabalhos em teoria dos jogos e em 
geometria analítica. A despeito de sua dedicação à matemática a 
maior descoberta em física feita por Ampère aconteceu muito 
rapidamente. Em 1820 Hans Christian Oersted descobriu que o 
fluxo de uma corrente elétrica através de um fio produzia um 
campo magnético em torno dele. No dia 4 de setembro de 1820 
esse trabalho foi apresentado em Paris. No dia 6 de novembro 
de 1820 Ampère fez uma palestra para os membros da 
Académie apresentando sua descoberta: a força magnética 
aparentemente postulada por Oersted tinha uma natureza 
circular, produzindo na verdade um cilindro de magnetismo em 
torno do fio. Nenhuma força circular havia até então sido 
observada e Ampère foi o primeiro a compreender o que isso 
significava. Para ele, se um pólo magnético pudesse ser isolado 
ele deveria se mover continuamente em um círculo em torno de 
um fio portador de corrente. Ele construiu um equipamento que 
confirmava suas conclusões e que transformava energia 
mecânica em energia elétrica. Esse veio a ser o primeiro motor 
elétrico. 
A carga total transferida entre t0 e t0+Δt, será: 
  [C]dttiΔq
q(t)i(t)dtdq(t)i(t)dt
dq(t)i(t)dt
dt
dq(t)
i(t)
Δtt
t
Δtqo
qo
Δtto
to








0
0
14 
Corrente Elétrica: Carga Transferida 














t
0
t
0
0t
t
t
tt
)di(q(0)q(t)
)di()di()di(q(t)
)di()q(q(t))q(
)di()dq(
)di()dq(
dq(t)i(t)dt
dt
dq(t)
i(t)





 A variável “t” foi 
substituída pela “variável 
muda” α para evitar 
confusão entre os limites 
superiores das integrais e a 
variável de integração. A 
variável de integração 
desaparece após a inserção 
dos limites, de maneira 
que o símbolo usado não 
afeta o resultado. q(0) 
representa toda carga 
acumulada até o instante 
t=0. 
 
Hipótese: 
0)q()q(lim
α



adendo 
zero 
15 
Corrente Elétrica: Carga Transferida 
 Para a situação descrita no gráfico a seguir, avaliar a carga total transferida para o 
elemento de circuito (inicialmente descarregado): 
OBSERVAÇÃO: 
Nos sólidos, somente os elétrons livres se deslocam para produzir a corrente (os íons não 
podem se deslocar). Mas nos gases e nos líquidos, os íons podem se deslocar. Visto que os 
circuitos elétricos consistem quase que inteiramente de sólidos, somente os elétrons produzem 
fluxo de corrente. Mas, este fato pode tornar-se irrelevante na análise de circuitos porque as 
investigações quase sempre estão no nível da corrente e não no nível da carga. 
Bipolo elétrico indicando que em tempo 
infinitesimal antes de zero (0-) a carga 
acumulada era zero. 
i(t) [A]
t [ms]
5
-5
2 10
q(t) [C]
t [ms]
?
Elemento
de
Circuito
A
B
i(t)
i(t)
q(0)=0
16 
Corrente Elétrica: Carga Transferida 
[C]
[C]
[C]
[C]
[C]
00α012msp/t0dα0q(t)
0q(12ms)
040.1060.1020.105)α(20.108mstp/6ms5)dα(10.10q(t)
20.10q(8ms)
20.1030.1040.1010.105α10.108mstp/6ms5dα10.10q(t)
10.10q(6ms)
10.1020.1030.1020.105)α(20.106mstp/4ms5)dα(20.10q(t)
20.10q(4ms)
20.105α4mstp/05dα0q(t)
)dαi(q(0)q(t)
t
12ms
t
12ms
3333
12ms
8ms
12ms
8ms
3
3
33333
8ms
6ms
8ms
6ms
3
3
33333
6ms
4ms
6ms
4ms
3
3
3
4ms
0
4ms
0
t
0
























Carga acumulada até t=4ms 
Carga acumulada até t=6ms 
Carga acumulada até t=8ms 
Carga acumulada até t=12ms 
17 
Corrente Elétrica: Carga Transferida 
OBSERVAÇÃO: 
A integral de uma constante é uma reta. 
A área hachurada no gráfico da corrente corresponde a 5x4.10-3 [As], ou 
seja, 20.10-3[C]. Este é o resultado da primeira integração entre 0 e 
4[ms]. A integral representa a área sob a curva! 
i(t) [A]
t [ms]
5
-5
2
10
q(t)[mC]
t [ms]
2 104 6 8 12
10
20
20[mC]p/t=4[ms]
A 
4ms
0
18 
Corrente Elétrica: Notação e Convenção 
 O símbolo gráfico para a corrente elétrica é a de uma seta ao lado do condutor ou 
componente. 
 
 A princípio imagina-se a corrente elétrica como um fluxo de portadores do tipo 
elétrons (carga negativa). Esta situação existe para condutores metálicos. Em 
dispositivos semicondutores, por exemplo, existem portadores de carga (lacunas) 
modelados como sendo positivos que podem constituir parte ou toda a corrente 
elétrica. 
 
 Denomina-se corrente elétrica convencional àquela cuja notação gráfica 
corresponde ao sentido contrário do fluxo dos elétrons. Existem motivos históricos 
para esta convenção. 
Corrente Convencional
Fluxo dos Elétrons
19 
Diferença de Potencial (ddp ou Voltagem): Definição 
Considere uma corrente i(t) entrando pelo terminal A do elemento de 
circuito ilustrado a seguir e saindo pelo terminal B. 
Dizemos que há uma ddp entre os terminais 
A e B (ou “através” do elemento) para 
quantificar o trabalho realizado na 
movimentação de uma certa quantidade de 
carga. Especificamente: A ddp (de 1V) é o 
trabalho necessário para mover uma carga 
de 1[C] de um terminal a outro através do 
elemento. A unidade da ddp é o Volt (V ou 
v(t)) em homenagem a Alessandro Volta 
(físico Italiano do século XVIII). A sua 
unidade é [J/C]. O sinal da ddp será discutido 
a seguir. 
Trabalho: Medida da transformação, variação ou transferência de 
energia. Quem ganhou energia, recebeu trabalho e quem perdeu 
energia, realizou trabalho 
Elemento
de
Circuito
A
B
i(t)
i(t)
20 
Diferença de Potencial: Definição 
Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta (Como,18 de fevereiro de 1745 — 
Como, 5 de março de 1827) foi um físico italiano, conhecido especialmente pela invenção 
da bateria 
Volta nasceu e foi educado em Como, Itália, onde se tornou professor de física na Escola 
Real em 1774. Sua paixão foi sempre o estudo da eletricidade, e já como um jovem 
estudante ele escreveu um poema em latim na sua nova fascinante descoberta. De vi 
attractiva ignis electrici ac phaenomenis inde pendentibus foi seu primeiro livro científico. 
Apesar de sua genialidade desde jovem, começou a falar somente aos quatro anos de 
idade. 
Em 1751, com seis anos de idade foi encaminhado, pela família para a escola jesuítica, 
pois era de interesse familiar que seguisse carreira eclesiástica, porém, em 1759, com 
quatorze anos decidiu estudar física, e dois anos depois abandonou a escola jesuítica e 
desistiu da carreira eclesiástica. 
Em honra ao seu trabalho no campo de eletricidade, Napoleão nomeou Volta conde em 
1810. 
Em 1815, o imperador da Áustria nomeou Volta professor de filosofia na Universidade de 
Pádua. Volta está enterrado na cidade de Como, Itália. O "Templo Voltiano" perto do Lago 
Como é um museu devotado ao trabalho do físico italiano, seus instrumentos e 
publicações originais estão à mostra lá. 
Pelo princípio da conservação de energia, a energia dispendida ao se 
“forçar” a passagem das cargas através do elemento deve “aparecer de 
outra forma”. Quando forem abordados os elementos específicos, 
poderemos saber se a energia está armazenada em uma forma 
utilizável ou se sofreu uma mudança irreversível para calor, energia 
acústica, etc. 
21 
Diferença de Potencial: Convenção 
 Estabelecer uma convenção para distinguir entre a energia fornecida 
a um elemento por uma fonte externa (neste caso o elemento é 
considerado um receptor) e a energia que pode ser fornecida pelo 
elemento (neste caso o elemento é um gerador ou transmissor). 
 
 A escolha do sinal para a ddp nos auxilia nesta convenção. 
 
 Se uma corrente convencional entra pelo terminal A e se uma 
fonte externa precisa fornecer energia para estabelecer tal 
corrente, então o terminal A é positivo em relação ao terminal B. 
 
 Alternativamente, pode-se dizer que o terminal B é negativo em 
relação ao terminal A. 
 
 O sinal da ddp é indicado pelo par “+ -” ou por uma seta apontando 
do terminal negativo para o positivo. Pode-se, ainda, indicar a ddp 
usando-se VXY onde X é nó mais positivo. 
22 
Diferença de Potencial: Convenção 
Observar que neste 
caso o elemento 
fornece energia sendo 
considerando, 
portanto, uma fonte. 
Energia
Energia
A
B
i(t)
i(t)
+
_
Elemento
de
Circuito
A
B
i(t)
i(t)
vAB(t)
Elemento
de
Circuito
vAB(t)
Elemento 
de 
Circuito 
i ( t ) 
i ( t ) 
A 
B 
v ( t ) 
+ 
_ 
23 
Potência 
James Watt (Greenock, Escócia, 19 de Janeiro de 1736 — Heathfield Hall, Inglaterra, 25 de Agosto 
de 1819) foi um matemático e engenheiro escocês. Construtor de instrumentos científicos, destacou-
se pelos melhoramentos que introduziu no motor a vapor, que se constituíram num passo 
fundamental para a Revolução Industrial. Nasceu em 19 de janeiro de 1736 em Greenock, uma 
cidade portuária. Gostava de passar seu tempo livre na oficina do pai, um construtor de casas e 
barcos, construindo modelos. Ele não era louco ao contrário do que alguns pensam. Watt frequentou 
a escola irregularmente, devido à saúde frágil, educou-se em casa com a mãe. Possuía grande 
destreza manual e facilidade em matemática. Aos 18 anos, falece sua mãe e a saúde de seu pai 
começa a decair. Então Watt resolve viajar para Londres a fim de estudar fabricação de instrumentos, 
durante um ano, porém teve que deixar a cidade em 1756 devido a problemas de saúde. 
Posteriormente retornou para a Escócia, e investiu na fabricação de seus próprios instrumentos. 
Todavia, por não ter servido como aprendiz durante os sete anos obrigatórios, a "Glasgow Guilg 
Hammermen" não permitiu dar continuidade em suas atividades, proibindo a prática de 
confeccionador de instrumentos na Escócia. Mas Watt foi apoiado por três professores da 
Universidade de Glasgow, que ofereceram a ele a oportunidade de participar de uma pequena oficina 
(1758), sendo que Joseph Black, professor físico-químico, acabou por tornar-se seu amigo. 
Os conceitos de energia e potência elétricas são análogos àqueles estudados em Mecânica. A 
idéia de energia é relativamente abstrata e, no caso de dispositivos elétricos, pode ser 
estabelecida como sendo o trabalho requerido pelo dispositivo para realizar tarefas tais como 
aquecer água por efeito Joule, acionar cargas mecânicas através de motores elétricos, produzir 
luz, etc. Uma conceituação mais informal diz que energia é: 
 “tudo aquilo que se paga e não se vê”. 
Como a energia absorvida por um equipamento depende do tempo em que o mesmo se 
encontrar em operação, o conceito de potência surge naturalmente com o intuito de eliminar 
essa dependência temporal. Potência é a taxa com a qual a energia é fornecida ou absorvida 
por um determinado equipamento ao longo do tempo. 
24 
Potência 
Se um joule de energia é “gasto” na transferência de um coulomb 
de carga através do dispositivo, então a razão de dispêndio de 
energia por segundo é um watt. Esta grandeza, simbolizada por P ou 
p(t) com unidade [W], representa a potência associada ao 
fornecimento ou ao consumo de energia. 
     
[W]

s
C
C
J
s
J
titv
dt
de(t)
tp
O elemento absorve 
(dissipa) potência. 
Se o valor numérico do produto v(t)i(t) é negativo, então o elemento 
estaria absorvendo potência negativa. Portanto, é melhor dizer que o 
elemento está fornecendo potência, ou seja, é uma fonte. 
Elemento 
de 
Circuito 
i ( t ) 
+ 
_ 
v ( t ) 
25 
Potência 
Determine a potência para os bipolos a seguir. Quais são receptores e quais são fontes? 
Elemento 
de 
Circuito 
+ 
_ 
2 A 
5 V 
Elemento 
de 
Circuito + 
_ 
2 A 
5 V 
Elemento 
de 
Circuito + 
_ 
2 A 
5 V 
Elemento 
de 
Circuito 
+ 
_ 
2 A 
5 V 
26 
Energia Total: Uso da Integral Definida 
De forma semelhante ao que foi deduzido para a corrente elétrica: 
 
dαp(αe(0)e(t)
p(t)dtde(t)
dt
tde
p(t)
t
0
 

 A equação acima é mais adequada aos cálculos relacionados com 
energia por não conter uma integral indefinida. Uma interpretação 
alternativa consiste em admitir que em algum instante no passado 
longínquo (t → -∞), nenhuma potência tivesse sido entregue ao 
elemento de circuito. É uma maneira simbólica de dizer que a energia 
no instante t depende de toda a potência que entrou ou saiu do 
elemento desde seu “nascimento” até o instante t. 
Representa toda energia que 
foi transferida ao sistema até 
o instante t=0. 
27 
Energia: Absorvida e/ou Fornecida 
 OBSERVAÇÃO: 
O quilowatt-hora (kWh) é uma unidade de energia comumente usada para designar 
grandes quantidades de energia elétrica. A quantidade de quilowatt-hora é calculada 
fazendo-se o produto da potência em quilowatt (kW) pelo tempo em horas (h) durante 
o qual a potência é suprida. Então, um gerador que fornece 10[kW] durante duas 
horas, libera uma energia de 20[kWh]. Uma unidade de potência usada para motores 
elétricos é o HP (horsepower), igual a 746 watts. 
Se v(t) = 2cos10t[V] e i(t) = 4cos10t[A] ache 
uma expressão para a potência dissipada no 
elemento de circuito. Quanta energia será 
fornecida para 0 < t < 2π/10 [s]? 
Porque se diz que energia está sendo fornecida 
ao elemento de circuito? 
Porque se diz que a potência está sendodissipada pelo elemento de circuito? 
Elemento 
de 
Circuito 
+ 
_ 
V ( t ) 
i ( t ) 
e ( 0 )= 0 
Não havia energia armazenada antes do 
instante inicial t=0 
28 
Energia: Absorvida e/ou Fornecida 
0s 0.2s 0.4s 0.6s 0.8s 1.0s 1.2s 1.4s 1.6s 1.8s 2.0s 
-2.0V 
-1.0V 
0 
1.0V 
2.0V 
0s 0.2s 0.4s 0.6s 0.8s 1.0s 1.2s 1.4s 1.6s 1.8s 2.0s 
-4.0A 
-2.0A 
0 
2.0A 
4.0A 
[V]2cos10tv(t)
[A]4cos10ti(t) 
29 
Energia: Absorvida e/ou Fornecida 
0s 0.2s 0.4s 0.6s 0.8s 1.0s 1.2s 1.4s 1.6s 1.8s 2.0s 
0 
2.0W 
4.0W 
6.0W 
8.0W 
0s 0.2s 0.4s 0.6s 0.8s 1.0s 1.2s 1.4s 1.6s 1.8s 2.0s 
0 
5J 
10J 
[J]tdp(t) )(
   [W]10t8cos4cos10t2cos10tv(t)i(t)p(t) 2  ,513[J]0,628[s];2J5132s
10
2π








][,];[
Área sob a 
curva p(t) 
no 
intervalo 
0<t<0,628s 
Observar que a frequência de p(t) é o dobro em relação à v(t) e i(t) 
30 
Energia: Absorvida e/ou Fornecida 
   
2,513[J]
10
8π
dt10t8cos
40
0sen20
2
0
8
40
10
2π
sen20
2
10
2π
8dt10t8cos
40
sen20t
2
t
8dt10tcos8dt10t8cos
4a
sen2ax
2
x
dxaxcos
10
2π
0
2
00
10
2π
0
2
10
2π
0
10
2π
0
2
10
2π
0
2
2
















































  
 Área sob a curva de potência entre os instantes de tempo 0 e 2π/10 (≈0,628[s]). 
 Compare com o valor da curva de energia para o instante t=2π/10. 
31 
Adendo 
 
    F(a)F(b)F(x)f(x)dxf(x)dx
n
ab
x,bx,,xa,x
x)f(xx)f(xxf(a)limf(x)dx
b
a
b
a
b
a
1n21
b
a
1n1
n




 








 
constanteumaék
(x)dxfk(x)dxfk(x)dxfkdx(x)f(x)f(x)fk
b
a
n
b
a
2
b
a
1
b
a
n21   
bca(x)dxf(x)dxfdxf(x)
b
c
2
c
a
1
b
a
 
retorna 
32 
Exercícios 
1. Achar o valor da carga em [C] de: a) 5,31.1020 elétrons e b) 2,9.1022 prótons. 
2. Uma unidade de potência usada para motores elétricos é o HP (horsepower), igual a 746 
[W]. Quanto de energia um motor de 5[HP] desenvolve em duas horas? 
3. Trabalho igual a 136[J] é gasto em movimentar 8,5.1018 elétrons de um ponto para outro 
em um circuito elétrico. Que diferença de potencial isto cria entre os dois pontos? 
4. O motor de uma máquina de lavar roupa consome 1200[W]. Qual é a energia em 
quilowatt-hora gasta em uma semana por uma lavanderia que dispõe de 8 máquinas, se 
todas elas forem utilizadas 10 horas por dia (h/dia) em 6 dias da semana? 
5. Um receptor de rádio consome 0,9[A] operando em 110[V]. Se o aparelho for usado 3 
horas por dia, que energia ele consome em 7 dias? 
6. Para t ≥ 0, q(t) = 4.10-4(1-e-250t )[C]. Qual é a corrente em a) t=0[s] e b) t=3[ms]? 
7. Num elemento de circuito a corrente e a tensão são expressas por: 
 i(t)=10e-5000t [A], para t > 0 e v(t)=50(1-e-5000t )[V], para t ≥ 0. 
 Ambas são nulas pra t < 0. Encontre a energia total transferida para t ≥ 0. 
8. Elétrons passam para a direita através da seção transversal de um fio numa velocidade 
de 6,4.1021 elétrons por minuto. Qual é a corrente no fio? 
9. Em um relâmpago, a carga elétrica envolvida na descarga atmosférica é da ordem de 
10[C]. Se o relâmpago dura cerca de 10-3 [s], qual o valor da corrente elétrica em 
ampères? 
10. Em alguns conjuntos de lâmpadas usados para enfeitar árvores de natal, as lâmpadas 
estão ligadas em série. Se um desses conjuntos estiver em funcionamento e uma das 
lâmpadas se queimar o que acontece? 
33 
Exercícios 
11. Achar a relação entre quilowatt-hora e Joule. 
12. A carga total que uma bateria pode desenvolver é geralmente especificada em Ampère-
hora (Ah). Um Ampère-hora é a quantidade de carga que corresponde ao fluxo da 
corrente de 1[A] durante 1 hora. Assim, uma bateria de 70[Ah], por exemplo, a uma taxa 
de descarga de 3,5[A] tem uma vida de 20[h]. Achar o número de Coulombs 
correspondentes a 1[Ah]. 
13. Num líquido, os íons negativos, cada um com excesso de um único elétron, se deslocam 
para a esquerda numa razão constante de 2,1.1020 íons por minuto e os íons positivos, 
cada um com excesso de dois prótons, se deslocam pra a direta com velocidade constante 
de 4,8.1019 íons por minuto. Achar a corrente para a direita. corrente no fio? 
14. Uma bateria de 12V é carregada fornecendo-se uma corrente que entra em seu terminal 
positivo e que, por 2h, é constante e igual a 3A, decrescendo, então, linearmente até zero, 
em 1h. Admitindo que a tensão da bateria seja constante: 
 a) Qual é a carga total fornecida à bateria? b) Após quanto tempo a potência fornecida é 
de 24W? c) Qual a energia total fornecida à bateria? 
14. Benjamin Franklin descobriu que os raios são descargas elétricas produzidas geralmente 
entre uma nuvem e o solo ou entre partes de uma mesma nuvem que estão eletrizadas 
com cargas opostas. Hoje sabe-se que uma descarga elétrica na atmosfera pode gerar 
correntes elétricas da ordem de 105 [A] e que as tempestades que ocorrem no nosso 
planeta originam, em média, 100 raios por segundo. Qual a ordem de grandeza do 
número de elétrons que são transferidos, por segundo, por meio das descargas elétricas? 
Use para a carga de 1 elétron: 1,6.10-19 [C].