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FENÔMENO DOS TRANSPORTES II Professor Cássio Simioni O escoamento dos fluídos são de difícil solução (exatidão) analítica Experimentos são necessários A análise dimensional minimiza a quantidade de experiências O princípio da semelhança permite o uso de modelos em escala reduzida DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI Os escoamentos são regidos por parâmetros dinâmicos, geométricos e outros. Exemplo: força de arraste em uma esfera lisa: F = f (D,V, μ, 𝜌) O número de experimentos necessários para determinar f seria muito grande, e o volume de gráficos e tabelas gerados seria gigantesco. A análise dimensional reduz o número de experimentos e amplia a faixa de utilização dos resultados. DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI Dado um problema físico no qual um parâmetro de interesse é uma função de n-1 parâmetros independentes, é possível escrever a seguinte relação: 𝑞1 = 𝑓(𝑞2, 𝑞3, … , 𝑞𝑛) (1) Pode-se expressar esta mesma relação de uma forma alternativa: 𝑔 𝑞2, 𝑞3, … , 𝑞𝑛 = 0 (2) DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI O Teorema dos Pi de Buckingham declara que dada uma relação entre n parâmetros da forma da Eq.(2), então, os n parâmetros podem ser agrupados em n-m razões independentes adimensionais, ou parâmetros Π, os quais podem ser expressos como segue: G 𝜋1, 𝜋2, … , 𝜋𝑛−𝑚 = 0 𝜋1 = 𝐺1 𝜋2, 𝜋3, … , 𝜋𝑛−𝑚 = 0 m é em geral (mas nem sempre) igual ao número mínimo de dimensões primárias envolvidas nas dimensões dos parâmetros, r . Isto é, em geral m = r , mas nem sempre. DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI PASSO 1: Liste todos os parâmetros envolvidos. Define-se n como o número de parâmetros envolvidos; PASSO 2: Expresse estes parâmetros em termos das dimensões primárias. Define-se r como o número de dimensões primárias presentes no problema; PASSO 3: Selecione da lista um número r de parâmetros que, em conjunto, incluam todas as dimensões primárias. Tome cuidado para que estes parâmetros não sejam linearmente dependentes. Existe a possibilidade de não ser possível selecionar r parâmetros independentes. Neste caso, o número de parâmetros independentes, m, deve ser considerado ao invés de r; DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI PASSO 4: Estabeleça equações dimensionais combinando os parâmetros selecionados no passo anterior com cada um dos outros parâmetros para formar grupos adimensionais. Geralmente, o número de equações dimensionais é igual ao número de parâmetros menos o número de dimensões primárias presentes no problema (n-r), a não ser que r ≠ m. Neste caso, o número de equações dimensionais deverá ser (n-m); PASSO 5: Resolva as equações para obter os grupos adimensionais; PASSO 6: Verifique se cada grupo obtido é adimensional. DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI Hipótese inicial: F = f (V,D, 𝜌, μ) DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI 1. F,V,D, 𝜌, μ 2. M, L, t 3. 𝐹 = 𝑀⋅𝐿 𝑡² ; 𝑉 = 𝐿 𝑡 ; 𝐷 = 𝐿; 𝜌 = 𝑀 𝐿³ ; 𝜇 = 𝑀 𝐿∙𝑡 (três dimensões primárias: r = 3). Para determinar m, montamos a matriz dimensional: DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI m é o grau da matriz dimensional, isto é, é a ordem de seu maior determinante não nulo. Neste caso, por inspeção, vê-se que há pelo menos um determinante de ordem 3 não nulo: Logo, m = r = 3 neste caso. DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI 4. Parâmetros repetidos:V,D, 𝜌 5. Equações dimensionais: 𝜋1 = 𝜌 𝑎 ∙ 𝑉𝑏 ∙ 𝐷𝑐 ∙ 𝐹 Logo, Ou seja, M: a+1=0 L: -3a+b+c+1=0 T: -b-2=0 DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI o que implica a = −1, b = −2 e c = −2. Portanto, Analogamente, 𝜋2 = 𝜌 𝑑 ∙ 𝑉𝑒 ∙ 𝐷𝑓 ∙ 𝜇: M: d+1=0 L:-3d+e+f-1=0 T: -e-1=0 DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI o que implica d = −1, e = −1 e f = −1. Portanto: Conclui-se que: DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI Testando se 𝜋1 e 𝜋2 são mesmo adimensionais: DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI Hipótese inicial: 𝚫h = f (D, 𝛾, 𝜎) DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI 1. 𝚫h, D, 𝛾, 𝜎 2. M, L, t 3.𝚫h = L 𝐷 = 𝐿 𝛾 = 𝑀 𝐿2𝑡2 𝜎 = 𝑀 𝑡2 (três dimensões primárias: r = 3) Matriz dimensional: DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI Neste caso, por inspeção, vê-se que não há nenhum determinante de ordem 3 não nulo. O maior não nulo é de ordem 2: Logo, m = 2 ≠ r neste caso. DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI 4. Parâmetros repetidos: D, 𝛾 5. Equações dimensionais: Logo, ou seja, DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI o que implica a = −1 e b = 0. Portanto, Analogamente, , e DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI o que implica c = −2 e d = −1. Logo, Logo, conclui-se que 6. Testando se 𝜋1 e 𝜋2 são mesmo adimensionais: DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI Número de Reynolds; Número de Froude; Número de Euler; Número de Mach; Número de Weber; Número de Nusselt; Número de Prandtl; DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI Semelhança geométrica: modelo e protótipo têm a mesma forma, e todas as dimensões lineares diferem por um fator de escala constante. Semelhança cinemática: velocidades correspondentes têm mesma direção e sentido, e as magnitudes correspondentes diferem por um fator de escala constante. Semelhança dinâmica: forças têm mesma direção e sentido, e as magnitudes correspondentes diferem por um fator de escala constante. DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI Escoamento em condutos; Estruturas hidráulicas livres; Resistência ao avanço de embarcações; Máquinas hidráulicas; Modelo reduzido do Brennand Plaza, no Recife, ensaiado no túnel de vento. Medidas de pressões devidas ao vento na superfície externa do edifício. Escala do modelo: 1/285 DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI Deseja-se prever o arraste em um transdutor de sonar com base em testes de túnel de vento. O protótipo (uma esfera, D = 1 ft) deve ser rebocado a 5 nós naágua do mar, a 5℃. O modelo tem D = 6 in. Achar a velocidade do ar no túnel de vento. Se o arraste medido em laboratório for F = 5,58 lbf, estime o arraste sobre o protótipo. DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI Para assegurar a semelhança dinâmica: DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI As condições do teste com o modelo devem reproduzir este Número de Reynolds: DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI Esta velocidade é baixa o suficiente para desprezar os efeitos de compressibilidade. Nestas condições, os escoamentos de modelo e protótipo são dinamicamente semelhantes. Portanto, DANIELLE PALUDO DOUGLAS GARCIA GUSTAVO NUNES JEAN CARLOS RENATO GUASTALDI FENÔMENO DOS TRANSPORTES II Professor Cássio Simioni Vídeo
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