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Trabalho FTII 2

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FENÔMENO DOS TRANSPORTES II 
Professor Cássio Simioni 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O escoamento dos fluídos são de difícil solução (exatidão) 
analítica 
 
 Experimentos são necessários 
 
 A análise dimensional minimiza a quantidade de 
experiências 
 
 O princípio da semelhança permite o uso de modelos em 
escala reduzida 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
Os escoamentos são regidos por parâmetros dinâmicos, geométricos 
e outros. Exemplo: força de arraste em uma esfera lisa: 
F = f (D,V, μ, 𝜌) 
 
O número de experimentos necessários para determinar f seria 
muito grande, e o volume de gráficos e tabelas gerados seria 
gigantesco. 
 
A análise dimensional reduz o número de experimentos e amplia a 
faixa de utilização dos resultados. 
 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
Dado um problema físico no qual um parâmetro de interesse é uma 
função de n-1 parâmetros independentes, é possível escrever a 
seguinte relação: 
 
𝑞1 = 𝑓(𝑞2, 𝑞3, … , 𝑞𝑛) (1) 
 
Pode-se expressar esta mesma relação de uma forma alternativa: 
 
𝑔 𝑞2, 𝑞3, … , 𝑞𝑛 = 0 (2) 
 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
O Teorema dos Pi de Buckingham declara que dada uma relação entre n 
parâmetros da forma da Eq.(2), então, os n parâmetros podem ser agrupados 
em n-m razões independentes adimensionais, ou parâmetros Π, os quais 
podem ser expressos como segue: 
 
G 𝜋1, 𝜋2, … , 𝜋𝑛−𝑚 = 0 
 
𝜋1 = 𝐺1 𝜋2, 𝜋3, … , 𝜋𝑛−𝑚 = 0 
 
m é em geral (mas nem sempre) igual ao número mínimo de dimensões 
primárias envolvidas nas dimensões dos parâmetros, r . Isto é, em geral m = 
r , mas nem sempre. 
 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
PASSO 1: Liste todos os parâmetros envolvidos. Define-se n como o 
número de parâmetros envolvidos; 
 
PASSO 2: Expresse estes parâmetros em termos das dimensões 
primárias. Define-se r como o número de dimensões primárias 
presentes no problema; 
 
PASSO 3: Selecione da lista um número r de parâmetros que, em 
conjunto, incluam todas as dimensões primárias. Tome cuidado para 
que estes parâmetros não sejam linearmente dependentes. Existe a 
possibilidade de não ser possível selecionar r parâmetros 
independentes. Neste caso, o número de parâmetros independentes, m, 
deve ser considerado ao invés de r; 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
PASSO 4: Estabeleça equações dimensionais combinando os 
parâmetros selecionados no passo anterior com cada um dos outros 
parâmetros para formar grupos adimensionais. Geralmente, o número 
de equações dimensionais é igual ao número de parâmetros menos o 
número de dimensões primárias presentes no problema (n-r), a não 
ser que r ≠ m. Neste caso, o número de equações dimensionais 
deverá ser (n-m); 
 
PASSO 5: Resolva as equações para obter os grupos adimensionais; 
 
PASSO 6: Verifique se cada grupo obtido é adimensional. 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
Hipótese inicial: F = f (V,D, 𝜌, μ) 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
1. F,V,D, 𝜌, μ 
2. M, L, t 
3. 𝐹 =
𝑀⋅𝐿
𝑡²
; 𝑉 =
𝐿
𝑡
; 𝐷 = 𝐿; 𝜌 =
𝑀
𝐿³
; 𝜇 =
𝑀
𝐿∙𝑡
 
(três dimensões primárias: r = 3). 
Para determinar m, montamos a matriz dimensional: 
 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
m é o grau da matriz dimensional, isto é, é a ordem de seu maior 
determinante não nulo. Neste caso, por inspeção, vê-se que há pelo menos um 
determinante de ordem 3 não nulo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, m = r = 3 neste caso. 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
4. Parâmetros repetidos:V,D, 𝜌 
5. Equações dimensionais: 
𝜋1 = 𝜌
𝑎 ∙ 𝑉𝑏 ∙ 𝐷𝑐 ∙ 𝐹 
Logo, 
 
 
Ou seja, 
 
 
M: a+1=0 
L: -3a+b+c+1=0 
T: -b-2=0 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
o que implica a = −1, b = −2 e c = −2. 
Portanto, 
 
 
Analogamente, 𝜋2 = 𝜌
𝑑 ∙ 𝑉𝑒 ∙ 𝐷𝑓 ∙ 𝜇: 
 
 
 
 
M: d+1=0 
L:-3d+e+f-1=0 
T: -e-1=0 
 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
o que implica d = −1, e = −1 e f = −1. 
 
Portanto: 
 
 
Conclui-se que: 
 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
Testando se 𝜋1 e 𝜋2 são mesmo adimensionais: 
 
 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hipótese inicial: 𝚫h = f (D, 𝛾, 𝜎) 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
1. 𝚫h, D, 𝛾, 𝜎 
2. M, L, t 
3.𝚫h = L 𝐷 = 𝐿 𝛾 =
𝑀
𝐿2𝑡2
 𝜎 =
𝑀
𝑡2
 
(três dimensões primárias: r = 3) 
 
Matriz dimensional: 
 
 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
Neste caso, por inspeção, vê-se que não há nenhum 
determinante de ordem 3 não nulo. O maior não nulo é de 
ordem 2: 
 
 
 
 
 
 
Logo, m = 2 ≠ r neste caso. 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
4. Parâmetros repetidos: D, 𝛾 
5. Equações dimensionais: 
 
 
Logo, 
 
 
ou seja, 
 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
o que implica a = −1 e b = 0. Portanto, 
 
 
Analogamente, , e 
 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
o que implica c = −2 e d = −1. Logo, 
 
 
 
Logo, conclui-se que 
 
 
6. Testando se 𝜋1 e 𝜋2 são mesmo adimensionais: 
 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
 Número de Reynolds; 
 
 Número de Froude; 
 
 Número de Euler; 
 
 Número de Mach; 
 
 Número de Weber; 
 
 Número de Nusselt; 
 
 Número de Prandtl; 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
Semelhança geométrica: modelo e protótipo têm a mesma forma, e 
todas as dimensões lineares diferem por um fator de escala 
constante. 
 
Semelhança cinemática: velocidades correspondentes têm mesma 
direção e sentido, e as magnitudes correspondentes diferem por um 
fator de escala constante. 
 
Semelhança dinâmica: forças têm mesma direção e sentido, e as 
magnitudes correspondentes diferem por um fator de escala 
constante. 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
 Escoamento em condutos; 
 
 Estruturas hidráulicas livres; 
 
 Resistência ao avanço de embarcações; 
 
 Máquinas hidráulicas; 
Modelo reduzido do Brennand Plaza, 
no Recife, ensaiado no túnel de 
vento. Medidas de pressões devidas 
ao vento na superfície externa do 
edifício. Escala do modelo: 1/285 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
Deseja-se prever o arraste em um transdutor de sonar com base em testes de 
túnel de vento. O protótipo (uma esfera, D = 1 ft) deve ser rebocado a 5 nós 
naágua do mar, a 5℃. O modelo tem D = 6 in. Achar a velocidade do ar no 
túnel de vento. Se o arraste medido em laboratório for F = 5,58 lbf, estime o 
arraste sobre o protótipo. 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
Para assegurar a semelhança dinâmica: 
 
 
 
 
 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
As condições do teste com o modelo devem reproduzir este Número de 
Reynolds: 
 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
Esta velocidade é baixa o suficiente para desprezar os efeitos de 
compressibilidade. Nestas condições, os escoamentos de modelo e 
protótipo são dinamicamente semelhantes. Portanto, 
DANIELLE PALUDO 
DOUGLAS GARCIA 
GUSTAVO NUNES 
JEAN CARLOS 
RENATO GUASTALDI 
FENÔMENO DOS TRANSPORTES II 
Professor Cássio Simioni 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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