Lista de exercícios 4 Física 1 mecânica

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Lista de Exerc´ıcios
Sistema de Part´ıculas+Conservac¸a˜o da Energia+Rotac¸a˜o de Corpos Rı´gidos
F´ısica 1
Use g = 9, 8 m/s
2
quando for o caso.
1. (Halliday, 8aed, Prob. 8 - cap. 9, pg. 247.)
Uma lata tem uma massa de M = 0, 140 kg, uma altura
de H = 12, 0 cm e conte´m m = 1, 31 kg de refrigerante
(figura 1). Pequenos furos sa˜o feitos na base e no topo
(com perda de massa desprez´ıvel) para drenar o refrige-
rante. Qual e´ a altura h do centro de massa da lata e seu
conteu´do (a) inicialmente e (b) apo´s a lata perder todo
o seu refrigerante? (c) O que acontece com h enquanto o
refrigerante esta´ sendo drenado? (d) Se x e´ a altura do
refrigerante que ainda resta na lata em um dado instante,
determine o valor de x quando o centro de massa atinge
seu ponto mais baixo.
Figura 1. Veja problema 1.
R: (a,b) h = H/2; (d) xmin =
MH
m
(√
1 +
m
M
− 1
)
2. (Moyse´s, 4aed, Prob. 16 - cap. 8, pg. 166-
167.) Uma corrente de massam = 750 g e L = 1, 50 m de
comprimento esta´ jogada no cha˜o. Uma pessoa segura-
a por uma das pontas e suspende-a verticalmente, com
velocidade constante de v = 0, 5 m/s. (a) Calcule a raza˜o
entre a forc¸a exercida pela pessoa no instante final, em
que esta´ terminando de tirar a corrente do cha˜o, e a forc¸a
que teve de exercer no instante inicial. (b) Qual e´ o
trabalho realizado? O item (b) e´ opcional — requer
o uso de integrac¸a˜o.
R: (a)
F (L)
F (0)
= 1 +
gL
v2
= 59, 8;
(b) W =
1
2
mgL+mv2 = 5, 7 J.
3. (Moyse´s, 4aed, Prob. 3 - cap. 9, pg. 182.)
Considere um sistema qualquer de duas part´ıculas, de
massas m1 e m2 que se movem em uma dimensa˜o. (a)
Verifique a partir das equac¸o˜es (9.4.11) [Sa˜o as equac¸o˜es
para v1f e v2f que deduzimos em sala de aula], que a ve-
locidade do centro de massa (CM) se conserva na colisa˜o.
(b) Calcule as velocidades iniciais v′1i e v
′
2i em relac¸a˜o ao
centro de massa do sistema, exprimindo-as em func¸a˜o da
velocidade relativa inicial vri da part´ıcula 2 em relac¸a˜o
a` part´ıcula 1 e da massa total M = m1 +m2. Qual e´ a
relac¸a˜o entre v′ri e vri? (c) Fac¸a o mesmo para as velo-
cidades finais v′1f e v
′
2f em relac¸a˜o ao CM, com aux´ılio
das Eqs. (9.4.11). Qual e´ a relac¸a˜o entre v′rf e vrf? (a
velocidade relativa final)? E entre v′rf e v
′
ri? (d) Inter-
prete os resultados de (a) a (c), descrevendo como ocorre
a colisa˜o vista do referencial do CM.
R: (b) v′1i = −m2/Mvri, v′2i = +
m1
M
vri, v
′
ri = vri;
(c) v′1f = −v′1i, v′2f = −v′2i, v′rf = vrf = −vri.
4. (Moyse´s, 4aed, Prob. 4 - cap. 9, pg. 182.)
Considere um sistema qualquer de duas part´ıculas,
de massas m1 e m2 e velocidades ~v1e ~v2. Sejam T1
e T2 as energias cine´ticas das duas part´ıculas, e ~vr a
velocidade relativa da part´ıcula 2 em relac¸a˜o a` part´ıcula
1. (a) Mostre que os momentos das duas part´ıculas
em relac¸a˜o ao CM sa˜o dados por: ~p′1 = −µ~vr = −~p′2,
onde µ = m1m2/M (com M = m1 + m2) chama-se
massa reduzida do sistema de duas part´ıculas. Note
que 1/µ = (1/m1) + (1/m2). (b) Mostre que a energia
cine´tica total e´ dada por T1 + T2 = T
′
1 + T
′
2 +M~v
2
CM/2,
onde T ′1 e T
′
2 sa˜o as energias cine´ticas relativas ao
CM e ~vCM e´ a velocidade do CM. (c) Mostre que
a energia cine´tica relativa ao CM (energia cine´tica
interna) e´ dada por T ′1 + T
′
2 = µ~v
2
r . Combinando os
resultados de (b) e (c), vemos que a energia cine´tica
total e´ a soma da energia cine´tica total e´ a soma da
energia cine´tica associada ao movimento do CM, com
massa igual a` massa total, mais a energia cine´tica do
movimento relativo, equivalente a` de uma part´ıcula
de massa igual a` massa reduzida e velocidade igual a`
velocidade relativa. Mostre que, para um sistema isolado
de duas part´ıculas, a energia cine´tica interna se conserva
numa colisa˜o ela´stica entre elas. Mostre que o fator
Q = Tf − Ti (a diferenc¸a entre as energias cine´tica final
e inicial) de uma colisa˜o inela´stica (veja Sec. 9.7 do livro
do Moyse´s) e´ igual a´ variac¸a˜o da energia cine´tica interna.
2
5. (Moyse´s, 4aed, Prob. 9 - cap. 9, pg.
183.) Durante a madrugada um carro de luxo, de massa
total ml = 2.400 kg, bate na traseira de um carro de
massa total mc = 1.200 kg, que estava parado num
sinal vermelho. O motorista do carro de luxo alega
que o outro estava com as luzes apagadas, e que ele
vinha reduzindo a marcha ao aproximar-se do sinal,
estando a menos de vli = 10 km/h quando o acidente
ocorreu. A per´ıcia constata que o carro de luxo arrastou
o outro a uma distaˆncia igual a ∆x = 10, 5 m, e estima
o coeficiente de atrito cine´tico com a estrada no local do
acidente em µk = 0, 6. Calcule a que velocidade o carro
de luxo vinha realmente.
R: vli =
ml +mc
ml
√
2µkg∆x = 60 km/h
6. (Moyse´s, 4aed, Prob. 10 - cap. 12, pg.
285.) Um bloco de massam, que pode deslizar com atrito
desprez´ıvel sobre um plano inclinado de inclinac¸a˜o θ em
relac¸a˜o a` horizontal, esta´ ligado por um fio, que passa por
uma polia de raio R e massa M , a uma massa m′ > m
suspensa. O sistema e´ solto do repouso. Calcule, por
conservac¸a˜o da energia, a velocidade v de m′ apo´s cair
de uma altura h.
R: v =
√
m′ −m sin θ
m+m′ +M/2
√
2gh
Figura 2. Veja o problema 7.
7. (Moyse´s, 4aed, Prob. 23 - cap. 12, pg.
287.) Empilham-se N blocos ideˆnticos, de comprimento
l cada um, sobre uma mesa horizontal. Qual e´ a distaˆncia
d ma´xima entre as extremidades do u´ltimo e do primeiro
bloco (veja Fig. 2) para que a pilha na˜o desabe? Su-
gesta˜o: Considere as condic¸o˜es de equil´ıbrio, sucessiva-
mente, de cima para baixo. Fac¸a a experieˆncia! (Use
blocos de madeira, livros, tijolos, domino´s, ...ideˆnticos).
R: d =
l
2
[
1 +
1
2
+
1
3
+ · · ·+ 1
N − 1
]