Notas de Aula parte2 Física 1 mecânica

Prévia do material em texto

Cap´ıtulo 6
Energia Potencial e Conservac¸a˜o da
Energia
Ate´ agora discutimos um tipo particular de energia, a energia cine´tica, e vimos que uma forc¸a aplicada
pode realizar um trabalho alterando o valor desta energia.
Agora vamos definir um segundo tipo de energia, chamada energia potencial (vamos representa´-la pela
letra U). Tecnicamente, a energia potencial e´ qualquer energia que possa ser associada a` configurac¸a˜o
(arranjo) de um sistema de objetos que exercem forc¸as um sobre os outros. Para tornar esta definic¸a˜o
mais clara, considere a situac¸a˜o em que jogamos uma pedra para cima. O sistema de objetos neste caso
e´ formado pela pedra e a Terra. A forc¸a entre os objetos e´ a forc¸a gravitacional. A configurac¸a˜o do
sistema pedra+Terra varia com a separac¸a˜o entre a pedra e a Terra. Podemos descrever o movimento da
pedra definindo uma energia potencial gravitacional U . Esta energia varia com a separac¸a˜o entre a pedra
e a Terra. Quanto maior a separac¸a˜o entre a pedra ou qualquer objeto a uma certa altura em relac¸a˜o
a` superf´ıcie da Terra, maior a energia potencial gravitacional. Agora considere um segundo exemplo:
um sistema massa-mola. Quando a massa e´ puxada, a mola estica e assim, como no caso anterior,
podemos descrever o sistema massa-mola em termos da energia potencial ela´stica definida em termos do
estado de compressa˜o/distensa˜o da mola. Assim, quando a massa esta´ em um movimento oscilato´rio,
a energia potencial ela´stica e´ ma´xima quando a massa atinge o deslocamento ma´ximo, situac¸a˜o em que
esta´ totalmente distendida ou comprimida.
Da mesma forma que a energia cine´tica e´ variada atrave´s do trabalho realizado por uma forc¸a, a
energia potencial tambe´m e´ modificada via trabalho realizado pela forc¸a que atua entre os componentes
do sistema. No primeiro exemplo, a forc¸a e´ a forc¸a gravitacional entre a pedra e a Terra (Fg = mg); no
115
116 CAPI´TULO 6. ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAC¸A˜O DA ENERGIA
segundo exemplo a forc¸a e´ dada pela lei de Hooke (F = −kx).
6.1 Trabalho e Energia Potencial
Voltando ao nosso exemplo da pedra atirada para cima, notamos no cap´ıtulo anterior, que quando a
pedra esta´ subindo a Terra esta´ exercendo uma forc¸a no sentido contra´rio do movimento e assim, o
trabalho da forc¸a era negativo. Este trabalho retirava a energia cine´tica da part´ıcula ate´ fazeˆ-la igual a
zero quando a pedra atingia a altura ma´xima. De modo equivalente, podemos dizer que no momento
que a pedra e´ atirada para cima sua energia potencial cresce a` medida que a separac¸a˜o entre a pedra e
a Terra aumenta. Quando a altura e´ ma´xima, a energia potencial gravitacional e´ ma´xima. Desta forma,
podemos dizer que o trabalho negativo realizado pela forc¸a da gravidade converteu a energia cine´tica em
energia potencial. Quando a pedra comec¸a a cair novamente, o trabalho converte a energia potencial
gravitacional em energia cine´tica da pedra. Note que a variac¸a˜o da energia potencial agora e´ negativa.
Com efeito, tanto na subida quanto na descida a variac¸a˜o da energia potencial e´ igual ao negativo do
trabalho realizado pela forc¸a gravitacional, i.e.,
∆U = −W. (6.1)
A Eq. (6.1) tambe´m se aplica a um sistema massa-mola. Quando o bloco se desloca para a direita,
a forc¸a esta´ apontando no sentido contra´rio da velocidade, e portanto, o trabalho e´ negativo. Como
resultado, observamos que a energia cine´tica e´ reduzida e a energia potencial ela´stica aumenta (lembre-se
que a energia potencial ela´stica aumenta com a distensa˜o ou compressa˜o da mola). Quando o bloco atinge
o deslocamento ma´ximo, a energia potencial do sistema esta´ totalmente armazenada na forma de energia
potencial. Desde que a forc¸a atuando sobre o bloco neste ponto tambe´m e´ ma´xima, o bloco e´ acelerado
no sentido contra´rio. Neste caso a energia potencial ela´stica comec¸a a ser reduzida e e´ transformada na
energia cine´tica do bloco. Quando o bloco passa pela origem em x = 0, toda a energia mecaˆnica e´ igual a`
energia cine´tica. Quando o bloco assume uma posic¸a˜o a` esquerda da origem, o bloco comec¸a a comprimir
a mola transferindo a sua energia cine´tica para energia potencial ela´stica da mola.
A Eq. (6.1) nos permite obter expresso˜es para as energias potenciais, no entanto, vamos discutir a
natureza das forc¸as envolvidas nestes sistemas com mais detalhes.
6.2. FORC¸AS CONSERVATIVAS E DISSIPATIVAS 117
6.2 Forc¸as Conservativas e Dissipativas
Nas discusso˜es acima, definimos um sistema como um conjunto de dois ou mais objetos que experimentam
forc¸as entre si. Conseguimos dividir o sistema entre um objeto que se comporta como part´ıcula (pedra
ou bloco) e o resto do sistema. Quando a configurac¸a˜o do sistema varia, a forc¸a realiza trabalho W1
transferindo energia cine´tica da part´ıcula para alguma forma de energia potencial do sistema. Quando a
configurac¸a˜o se inverte a forc¸a realiza trabalho W2 convertendo a energia potencial em energia cine´tica
novamente.
Em situac¸o˜es em que W1 = −W2 e´ sempre satisfeita podemos definir uma energia potencial e dizemos
que a forc¸a associada e´ uma forc¸a conservativa . As forc¸as gravitacional e ela´stica sa˜o exemplos deste
tipo de forc¸a.
Um forc¸a que na˜o e´ conservativa e´ dita forc¸a dissipativa. Ja´ vimos dois exemplos das forc¸as
dissipativas: a forc¸a de atrito e a forc¸a de arrasto. Imagine o caso de um bloco deslizando sobre a
superf´ıcie com atrito. Neste caso a forc¸a de atrito cine´tico realiza um trabalho negativo sobre o bloco
transformando sua energia cine´tica em energia te´rmica. Os experimentos mostram que esta transfereˆncia
ocorre apenas em um sentido na˜o sendo poss´ıvel converter a energia te´rmica em energia cine´tica do bloco
pela forc¸a de atrito. Assim, embora tenhamos um sistema (bloco+superf´ıcie), uma forc¸a e transfereˆncia
de energia causada pela forc¸a, a forc¸a na˜o e´ conservativa. Portanto, a energia te´rmica na˜o e´ uma energia
potencial.
6.2.1 Independeˆncia da trajeto´ria para o trabalho por forc¸as conservativas
A maneira de verificar se uma forc¸a e´ conservativa e´ atrave´s da ana´lise do trabalho feito pela forc¸a ao
longo de um percurso fechado. Quando uma forc¸a e´ conservativa, o trabalho total realizado pela forc¸a
e´ zero no percurso fechado. Uma consequ¨eˆncia deste fato e´ que o trabalho realizado por uma forc¸a
conservativa na˜o depende da trajeto´ria tomada pela part´ıcula entre dois pontos quaisquer. Considere
o trabalho realizado por uma forc¸a conservativa ao longo do caminho ilustrado na Fig. 6.1a. Podemos
escrever o trabalho total como a soma dos trabalhos nos percursos 1 e 2, i.e.,
W =Wab,1 +Wba,2 = 0
desde que o percurso e´ fechado. Assim,
Wab,1 = −Wba,2 (6.2)
118 CAPI´TULO 6. ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAC¸A˜O DA ENERGIA
Figura 6.1: (a) uma part´ıcula pode se mover do ponto a ao ponto b, sob a ac¸a˜o de uma forc¸a conservativa,
seguindo a trajeto´ria 1 ou a trajeto´ria 2. (b) a part´ıcula descreve um percurso fechado, seguindo a trajeto´ria 1 para
ir do ponto a ao ponto b e a trajeto´ria 2 para voltar ao ponto a.
O trabalho realizado ao longo da trajeto´ria de ida deve ser o negativo do trabalho realizado na
trajeto´ria de volta. O trabalho Wab,2 realizado pela forc¸a sobre a part´ıcula desde a ate´ b pela trajeto´ria
2 deve ser o negativo de Wba,2, assim
Wab,2 = −Wba,2
e substituindo na Eq. (6.2) segue que
Wab,1 =Wab,2
e o trabalho na˜o depende da trajeto´ria.
Exemplo
1. A Fig. 6.2 mostra um pedac¸o de queijo gorduroso de 2, 0 kg deslizando por um trilho sem atrito do ponto
a ao ponto b. O queijo percorre uma distaˆncia total de 2, 0 m ao longo do trilho e uma distaˆncia vertical
de 0, 80 m. Qual e´ o trabalho realizado sobre o queijo pela forc¸a gravitacional durante o deslocamento?O trabalho Wg realizado pela forc¸a gravitacional foi determinado no cap´ıtulo anterior:
Wg = Fgd cosφ = mgd cosφ.
No entanto, e´ invia´vel usar esta fo´rmula porque na˜o sabemos o aˆngulo entre a forc¸a ~Fg e o deslocamento
~d ao longo de toda a trajeto´ria. Como a forc¸a gravitacional e´ conservativa, enta˜o o trabalho realizado
6.3. DETERMINAC¸A˜O DOS VALORES DE ENERGIA POTENCIAL 119
Figura 6.2: (a) Um pedac¸o de queijo desliza ao longo de uma superf´ıcie curva sem atrito do ponto a ao ponto b.
(b) o trabalho realizado pela forc¸a gravitacional sobre o queijo e´ mais fa´cil de calcular para a trajeto´ria tracejada
do que para a trajeto´ria real, mas o resultado e´ o mesmo nos dois casos.
por ela e´ independente da trajeto´ria e podemos usar um trajeto mais simples para calcular o trabalho
como mostrado na Fig. 6.2b. Neste caso, temos que:
Wg =W
h
g +W
v
g
ondeW hg e´ o trabalho realizado por Fg ao longo da trajeto´ria horizontal eW
v
g ao longo do trajeto vertical.
Temos enta˜o:
Wg = mgdh cos(pi/2) +mgdv cos(0)
ou seja,
Wg = mgdv
onde dv = 0, 80 m e´ a distaˆncia vertical que foi percorrida pela pedac¸o de queijo. Substituindo-se os
valores correspondentes, segue que:
Wg = 2, 0 kg× 9, 8 m/s2 × 0, 80 m = 15, 7 J.
6.3 Determinac¸a˜o dos valores de energia potencial
Aqui vamos calcular os valores das energias potenciais a partir do trabalho realizado por determinadas
forc¸as cujas expresso˜es conhecemos. Para isso, primeiro notamos que a energia potencial esta´ relacionada
ao trabalho pela Eq. (6.1):
∆U = −W
120 CAPI´TULO 6. ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAC¸A˜O DA ENERGIA
como o trabalho e´ dado por
W =
∫ f
i
~F · d~r
enta˜o podemos escrever a variac¸a˜o da energia potencial na forma
∆U = −
∫ f
i
~F · d~r. (6.3)
Assim, com a expressa˜o da forc¸a, podemos determinar a variac¸a˜o da energia potencial correspondente.
6.3.1 Energia potencial gravitacional
Sabemos que a forc¸a da gravidade atuando em um corpo de massa m tem mo´dulo mg e esta´ na direc¸a˜o
vertical apontando para o centro da Terra. Assim, escrevemos,
~Fg = −mgjˆ
Notamos que a forc¸a gravitacional e´ conservativa e, portanto, o trabalho realizado por esta forc¸a
independe da trajeto´ria. Assim, escolhemos uma trajeto´ria vertical descrita pelo corpo de massa m desde
um ponto yi ate´ um ponto yf . Assim, a diferencial do vetor posic¸a˜o e´ simplesmente d~r = dyˆj e a Eq.
(6.3) se reduz a
∆U = −
∫ yf
yi
(−mgˆj) · (dyˆj) =
∫ yf
yi
mg dy
assim,
∆U = mg(yf − yi)
ou ainda,
∆U = mg∆y (6.4)
E´ importante notar que somente a variac¸a˜o da energia potencial tem significado f´ısico. Entretanto,
para simplificar um ca´lculo ou uma discussa˜o, podemos dizer que um determinado valor de energia
potencial esta´ associado a um certo sistema part´ıcula-Terra quando a part´ıcula esta´ localizada a uma
certa altura y. Para isso escrevemos,
U − Ui = mg(y − yi)
e tomamos o valor Ui como valor de refereˆncia para a energia quando a part´ıcula esta´ a uma altura yi
em relac¸a˜o a` superf´ıcie da Terra. Normalmente fazemos Ui = 0 para yi = 0, assim,
U(y) = mgy (potencial em relac¸a˜o a` superf´ıcie da Terra). (6.5)
6.4. CONSERVAC¸A˜O DA ENERGIA MECAˆNICA 121
6.3.2 Energia potencial ela´stica
Vamos considerar agora um sistema composto por uma mola constante ela´stica k com um bloco de massa
m deslizando sobre uma superf´ıcie sem atrito. Temos que a forc¸a ~F = −kxˆi e usando d~r = dxˆi como o
elemento diferencial do vetor posic¸a˜o que localiza o bloco na posic¸a˜o ~r = xˆi. Substituindo a expressa˜o
da forc¸a e o elemento diferencial de comprimento na Eq. (6.3), segue que:
∆U = −
∫ f
i
~F · d~r.
∆Us = −
∫ f
i
(−kxˆi) · (dxˆi) = k
∫ f
i
x dx
e resolvendo a integral, vamos obter:
∆Us =
k
2
(x2f − x2i ) (6.6)
Novamente, podemos escolher um ponto de refereˆncia para a energia potencial. Vamos considerar
que Ui,s = 0 para xi = 0 e Uf,s = Us para xf = x, assim podemos escrever
Uf,s − Ui,s = k
2
(x2f − x2i )
Us =
k
2
x2 (6.7)
6.4 Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
A energia mecaˆnica de um sistema e´ a soma da energia cine´tica K mais a energia potencial U dos objetos
que compo˜em o sistema:
Emec = K + U. (6.8)
Vamos discutir o que ocorre com a energia mecaˆnica quando as transfereˆncias de energia dentro do
sistema sa˜o produzidas por forc¸as conservativas, ou seja, na˜o existem forc¸as dissipativas como forc¸as de
atrito ou de arrasto. Ale´m disso, vamos considerar que o sistema esta´ isolado, ou seja, nenhuma forc¸a
externa produzida por um agente fora do sistema causa variac¸a˜o da energia dentro do sistema.
122 CAPI´TULO 6. ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAC¸A˜O DA ENERGIA
Quando uma forc¸a conservativa realiza um trabalho W sobre um objeto dentro do sistema, esta forc¸a
e´ responsa´vel por uma transfereˆncia de energia entre energia cine´tica do objeto e a energia potencial do
sistema. A variac¸a˜o da energia cine´tica e´ dada por:
∆K =W
e a energia potencial e´ variada de acordo com a Eq. (6.1)
∆U = −W.
Assim, vemos que:
∆K +∆U = 0
ou,
K2 −K1 + U2 − U1 = 0
o que pode ser colocado na forma,
K2 + U2 = K1 + U1
e usando a definic¸a˜o dada pela Eq. (6.8) temos ainda:
E(1)mec = E
(2)
mec (6.9)
onde os ı´ndices 1 e 2 referem-se a dois instantes diferentes e, portanto, a duas configurac¸o˜es diferentes do
sistema.
A Eq. (6.9) nos mostra que a energia mecaˆnica e´ a mesma nos dois instantes. Portanto, podemos dizer
que a energia mecaˆnica e´ conservada. Podemos expressar a conservac¸a˜o da energia na forma alternativa,
mas completamente equivalente a` Eq. (6.9):
∆Emec = ∆U +∆K = 0 (6.10)
que e´ o princ´ıpio da conservac¸a˜o da energia mecaˆnica .
Quando a energia mecaˆnica e´ conservada, podemos relacionar a soma da energia cine´tica com a energia
potencial em um instante com a soma destas energias em outro instante sem considerar o que ocorreu
nos instantes intermedia´rios. Isso constitui um procedimento bastante u´til na soluc¸o˜es de problemas em
que a aplicac¸a˜o das leis de Newton fica bastante complicada.
6.4. CONSERVAC¸A˜O DA ENERGIA MECAˆNICA 123
Exemplo
1. Uma crianc¸a de massa m parte do repouso de toboa´gua, a uma altura de 8, 5 m acima da base do
brinquedo. Supondo que a presenc¸a de a´gua torna o atrito desprez´ıvel, encontre a velocidade da crianc¸a
na base do toboa´gua. Supondo que a presenc¸a de a´gua torna o atrito desprez´ıvel, encontre a velocidade
da crianc¸a na base do toboa´gua.
Figura 6.3: veja exemplo 1.
De acordo com o princ´ıpio da conservac¸a˜o da energia, a soma das energia cine´tica e potencial deve ser
a mesma para toda a trajeto´ria descrita pela crianc¸a quando ela desce pelo toboa´gua. Assim, tomando
como pontos de refereˆncia 1 e 2 o topo e a base do toboa´gua, respectivamente, e notando que temos
apenas a forc¸a gravitacional atuando, podemos escrever:
1
2
mv21 +m1gy1 =
1
2
mv22 +m1gy2
e considerando que a base do toboa´gua esta´ em y2 = 0 e que a crianc¸a parte do repouso v1 = 0, podemos
escrever:
1
2
m(0)2 +m1gh =
1
2
mv22 +m1g(0)
onde fizemos y2 = h que e´ a posic¸a˜o inicial da crianc¸a.
Isolando a velocidade, vamos obter:
v2 =
√
2gh =
√
2× 9, 8 m/s2 × 8, 5 m = 13 m/s.
124 CAPI´TULO 6. ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAC¸A˜O DA ENERGIA
6.5 Interpretac¸a˜o de uma curva de energia potencial
Da Eq. (6.3), temos:
∆U = −
∫ f
i
~F · d~r.
A variac¸a˜o da energia potencial no primeiro membro e´ resultante da soma sobre variac¸o˜es infinitesimais
sobre os pontos inicial e final ao longo do qual a forc¸a ~F realizou trabalho, assim, podemos escrever:∫ f
i
dU = −
∫ f
i
~F · d~r.
No caso de um movimento unidimensional, ao longo do eixo-x, o produto escalar entre a forc¸a e oelemento de comprimento se reduz a: ∫ xf
xi
dU = −
∫ xf
xi
Fx dx.
de onde tiramos:
dU = −Fx dx.
Da equac¸a˜o acima, podemos ver que a forc¸a ao longo da direc¸a˜o x pode ser escrita como a derivada
da energia potencial em func¸a˜o de x, i.e., podemos escrever dU na forma:
dU =
dU(x)
dx
dx
e comparando com o elemento diferencial da energia potencial, segue que:
F (x) = −dU(x)
dx
(6.11)
onde retiramos o ı´ndice x da forc¸a porque estamos limitando nossa discussa˜o ao caso unidimensional.
A Eq. (6.11) nos mostra que se conhecemos a func¸a˜o U(x), e´ poss´ıvel obter a forc¸a que atua sobre um
objeto e, portanto, obter as equac¸o˜es de movimento para o sistema. De fato, como veremos a seguir,
podemos obter va´rias informac¸o˜es acerca do movimento de um corpo, analisando sua curva da energia
potencial em func¸a˜o da posic¸a˜o do objeto. Isso e´ poss´ıvel devido ao uso do princ´ıpio da conservac¸a˜o da
energia que nos permite obter a energia cine´tica a partir da energia potencial para um dado valor da
energia mecaˆnica.
Na Fig. 6.4a temos um gra´fico de U(x) com a energia mecaˆnica Emec fixa em 5 J (representada pela
reta horizontal). O princ´ıpio da conservac¸a˜o da energia mecaˆnica nos diz que para todos os valores de x,
vale a equac¸a˜o:
Emec = U(x) +K(x) ∴ K(x) = Emec − U(x)
6.5. INTERPRETAC¸A˜O DE UMA CURVA DE ENERGIA POTENCIAL 125
(a)
(b) (c)
Figura 6.4: (a) Gra´fico de U(x), a func¸a˜o da energia potencial de um sistema com uma part´ıcula que se move
ao longo do eixo x. Como na˜o existe atrito, a energia mecaˆnica e´ conservada. (b) Gra´fico da forc¸a F (x) que age
sobre a part´ıcula, obtido do gra´fico da energia potencial determinando a inclinac¸a˜o do gra´fico em va´rios pontos.
(c) O mesmo gra´fico de (a), com treˆs poss´ıveis valores de Emec.
que nos permite determinar a energia cine´tica da part´ıcula para um dado valor da posic¸a˜o x.
Podemos ver no gra´fico que K(x) tem o valor ma´ximo em x = x2 onde U(x2) = 0 e um valor mı´nimo
em x = x1 onde U(x1) = Emec. Desde que a energia cine´tica na˜o pode ser negativa, enta˜o a part´ıcula na˜o
pode estar localizada em x < x1. Com efeito, quando a part´ıcula se aproxima de x1, sua velocidade vai
diminuindo ate´ ser igual a zero em x = x1. Se olhamos para a derivada de U(x), ilustrada na Fig. 6.4b,
vemos que a forc¸a F (x) = −dU/dx tem seu valor ma´ximo em x1. Assim, quando a part´ıcula esta´ neste
ponto, sofre um “puxa˜o” para a direita e a part´ıcula volta a se deslocar para regio˜es em que x > x1.
6.5.1 Pontos de equil´ıbrio
Vamos reconsiderar a func¸a˜o U(x) anterior, mas agora considerando diferentes valores da energia mecaˆnica.
Considere que a energia mecaˆnica seja representada pela reta (3) na Fig. 6.4c. Neste caso, o ponto de
retorno muda de x1 para um ponto entre x1 e x2. Caso a posic¸a˜o da part´ıcula esteja em x > x5 temos
126 CAPI´TULO 6. ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAC¸A˜O DA ENERGIA
que U(x) = Emec e K = 0. Com U =cte., na˜o ha´ forc¸as atuando de modo que a part´ıcula vai ficar em
repouso para qualquer valor de x para x > x5. Dizemos enta˜o que a part´ıcula esta´ em um ponto de
equil´ıbrio indiferente .
Se a energia mecaˆnica for representada pela reta (2), existem dois pontos de retorno, um entre x1 e
x2 e outro entre x2 e x5. Ale´m disso, x3 e´ outro ponto onde K = 0. Se a part´ıcula estiver em x3 ela
permanecera´ neste ponto uma vez que na˜o ha´ uma forc¸a neste ponto. No entanto, um pequeno empurra˜o
fara´ com que a part´ıcula se desloque no mesmo sentido da forc¸a se afastando do ponto x3. Uma part´ıcula
localizada em um ponto como x3 e´ dita estar em equil´ıbrio insta´vel .
Considere agora que a energia mecaˆnica esta´ representada pela reta (1). Se a part´ıcula for colocada no
ponto x4, ficara´ nesta posic¸a˜o indefinidamente pois K = 0 neste ponto e F = 0 tambe´m. Se empurramos
a part´ıcula para a direita ou para a esquerda, surgira´ uma forc¸a restauradora que ira´ empurrar a part´ıcula
em direc¸a˜o ao ponto de equil´ıbrio. Assim, dizemos que o ponto x4 e´ um ponto de equil´ıbrio esta´vel .
Cap´ıtulo 7
Centro de massa e conservac¸a˜o do
momento linear
Ate´ o momento, consideramos o movimento de apenas um corpo. Comec¸amos com as equac¸o˜es ci-
nema´ticas, onde assumimos uma acelerac¸a˜o constante, e enta˜o descrevemos o movimento simples de uma
part´ıcula. No caso em que acelerac¸a˜o deixa de ser constante precisamos determinar qual e´ a causa da
acelerac¸a˜o e chegamos enta˜o ao conceito de forc¸a e a`s leis de Newton. Estas equac¸o˜es nos permitiram
descrever movimentos mais complicados de uma dada part´ıcula. A seguir, deixamos de lado as leis de
Newton e definimos o trabalho e as energias cine´tica e potencial que permitiram descrever movimentos
em que a aplicac¸a˜o das leis de Newton era invia´vel ou muito complicada de ser feita. Isso foi poss´ıvel
grac¸as a` conservac¸a˜o da energia que nos permitia relacionar os valores de energia potencial em alguns
pontos da trajeto´ria sem nos preocuparmos com o que ocorria ao longo do movimento. E´ importante
notar que isso era realizado apenas para forc¸as conservativas como a forc¸a ela´stica e a forc¸a gravitacional.
Note que tudo o que foi feito ate´ agora foi concentrado no movimento de uma part´ıcula, assim, o
pro´ximo passo e´ considerar a generalizac¸a˜o do que fizemos para o caso de muitas part´ıculas. Isso e´ o que
sera´ feito nesta parte final do curso. Neste processo, vamos encontrar uma segunda lei de conservac¸a˜o
muito importante na f´ısica que e´ a conservac¸a˜o do momento linear. Da mesma forma que na conservac¸a˜o
da energia, poderemos relacionar o momento linear em instantes diferentes de tempo permitindo obter
informac¸o˜es sobre o movimento do sistema de part´ıculas.
127
128 CAPI´TULO 7. CENTRO DE MASSA E CONSERVAC¸A˜O DO MOMENTO LINEAR
7.1 Momento linear
O momento linear ~p de uma part´ıcula de massa m e velocidade ~v e´ definido como:
~p = m~v. (7.1)
Notamos que o momento linear e´ uma grandeza vetorial cuja direc¸a˜o e sentido e´ a mesma da velocidade
mas o mo´dulo e´ determinado pelo produto da massa pelo mo´dulo da velocidade. Em alguns livros o
momento linear e´ chamado de quantidade de movimento.
Embora tenhamos definido o momento linear somente agora, ja´ temos trabalhado com esta grandeza
nos cap´ıtulos anteriores. Com efeito, a 2a lei de Newton foi definida originalmente em termos da variac¸a˜o
temporal do momento linear:
~F =
d~p
dt
. (7.2)
Substituindo (7.1) em (7.2), podemos escrever
~F =
d(m~v)
dt
= ~v
dm
dt
+m
d~v
dt
e como na maioria dos casos que estudamos a massa da part´ıcula na˜o varia no tempo, enta˜o temos que
dm/dt = 0, logo:
~F = m
d~v
dt
e como a derivada da velocidade e´ a acelerac¸a˜o, ficamos com
~F = m~a (7.3)
que e´ a 2a lei de Newton como hav´ıamos definido anteriormente.
Vemos enta˜o que a Eq. (7.3) e´ apenas um caso particular onde a massa da part´ıcula permanece
constante.
Um exemplo pra´tico onde na˜o podemos aplicar a Eq. (7.3) e´ o movimento de um foguete (que
estudaremos mais adiante). Neste caso, o foguete vai perdendo combust´ıvel a` medida que se desloca o
que leva a uma reduc¸a˜o de sua massa com o tempo.
A seguir, vamos considerar um sistema constitu´ıdo por duas part´ıculas e os resultados obtidos para
este sistema simples sera˜o generalizados para o caso de um sistema com um nu´mero arbitra´rio N de
part´ıculas.
7.2. SISTEMAS COM DUAS PARTI´CULAS 129
7.2 Sistemas com duas part´ıculas
Quando discutimos a terceira lei de Newton, mostramos que as forc¸as mu´tuas exercidas pelos sistemas 1
e 2 um sobre o outro estavam relacionadas por
~F12 = −~F21. (7.4)
A forc¸a que o sistema 2 sofre devido a` ac¸a˜o do sistema 1 e´ igual e oposta a forc¸a que o sistema2
aplica sobre o sistema 1. Vamos considerar que estes sistemas sejam duas part´ıculas de massas m1 e m2 e
que exercem forc¸as uma sobre a outra relacionadas pela Eq. (7.4). Assim, escrevemos a 2a lei de Newton
para cada part´ıcula na forma,
d~p1
dt
= ~F12, onde ~F12 e´ forc¸a sobre 1 devido a` 2.
e,
d~p2
dt
= ~F21, onde ~F21 e´ forc¸a sobre 2 devido a` 1.
Somando estas equac¸o˜es, podemos escrever
d~p1
dt
+
d~p2
dt
= ~F12 + ~F21
ou ainda,
d(~p1 + p2)
dt
= ~F12 + ~F21
e usando a Eq. (7.4) pode escrever ainda
d(~p1 + p2)
dt
= ~F12 − ~F12
Assim,
d(~p1 + p2)
dt
= 0. (7.5)
E vemos que a soma dos momentos e´ constante no tempo. Vamos definir o momento total do sistema
~p como:
~p = ~p1 + p2 (7.6)
130 CAPI´TULO 7. CENTRO DE MASSA E CONSERVAC¸A˜O DO MOMENTO LINEAR
Assim, a Eq. (7.5) toma a forma,
d~p
dt
= 0. (7.7)
A Eq. (7.7) e´ um resultado muito importante: esta´ indicando que o momento linear do sistema e´
conservado, ou seja, na˜o muda no tempo. Vemos que esta uma segunda maneira de expressar a 3a lei de
Newton. As forc¸as como ~F12 e ~F21 que formam um par ac¸a˜o e reac¸a˜o sa˜o chamadas de forc¸as internas
Newtonianas.
Vamos considerar agora o caso mais geral em que ale´m das forc¸as internas ~F12 e ~F21, temos forc¸as
externas aplicadas a cada uma das part´ıculas. Vamos denotar estas forc¸as por ~F
(ext)
1 e
~F
(ext)
2 . A 2
a lei
de Newton neste caso nos fornece o seguinte conjunto de equac¸o˜es:
d~p1
dt
= ~F12 + ~F
(ext)
1
e,
d~p2
dt
= ~F21 + ~F
(ext)
2
e somando as equac¸o˜es e usando a definic¸a˜o do momento total dado pela Eq. (7.6) segue que:
d~p
dt
= ~F
(ext)
1 +
~F
(ext)
2 (7.8)
ou ainda,
d~p
dt
= ~F (ext) (7.9)
onde ~F (ext) e´ a forc¸a externa resultante:
~F (ext) = ~F
(ext)
1 +
~F
(ext)
2 (7.10)
Assim, vemos pela Eq. (7.9) que a condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que o momento linear total
do sistema seja conservado e´ que a soma das forc¸as externas aplicadas ao sistema seja nula, i.e.,
~F (ext) = ~F
(ext)
1 +
~F
(ext)
2 = 0.
A Eq. (7.9) nos fornece uma maneira de representar o sistema de duas part´ıculas como um todo como
se fosse apenas uma part´ıcula de momento ~p submetida a uma forc¸a ~F (ext). A pro´xima questa˜o e´ se seria
poss´ıvel associar uma posic¸a˜o bem definida a esta “part´ıcula representativa do sistema como um todo”.
7.2. SISTEMAS COM DUAS PARTI´CULAS 131
Isto realmente pode ser feito e a posic¸a˜o e´ o que chamamos de centro de massa do sistema. Para obter o
centro de massa, vamos reescrever os momentos das part´ıculas em termos de suas definic¸o˜es:
~p1 = m1~v1 = m1
d~r1
dt
~p2 = m2~v2 = m2
d~r2
dt
e somando temos ainda,
~p1 + ~p2 = ~p = m1
d~r1
dt
+m2
d~r2
dt
ou ainda
~p =
d
dt
(m1~r1 +m2~r2)
e como o momento ~p e´ o momento linear do sistema como um todo, enta˜o este deve ser igual a massa
Figura 7.1: Posic¸a˜o do centro de massa para duas part´ıculas de mesma massa.
total do sistemaM = m1+m2 multiplicado pela derivada da posic¸a˜o do centro de massa, assim e´ natural
escrever a equac¸a˜o acima na forma,
~p =M
d
dt
(
m1~r1 +m2~r2
M
)
e definindo a posic¸a˜o do centro de massa como:
~rcm =
m1~r1 +m2~r2
M
(7.11)
e o momento linear total pode ser escrito na forma:
~p =M
d~rcm
dt
. (7.12)
132 CAPI´TULO 7. CENTRO DE MASSA E CONSERVAC¸A˜O DO MOMENTO LINEAR
Note que no caso particular em que as duas massas sa˜o iguais, o centro de massa e´ dado por:
~rcm =
~r1 + ~r2
2
que e´ um vetor apontando para o ponto me´dio da linha que liga as duas part´ıculas conforme mostrado na
Fig. 7.1. Assim, para um sistema de duas part´ıculas de mesma massa, com posic¸o˜es instantaˆneas ~r1(t)
e ~r2(t), o ponto me´dio do segmento se move como uma part´ıcula de massa M = m1 +m2 sobre a qual
atuaria uma forc¸a igual a resultante das forc¸as externas.
Figura 7.2: Duas part´ıculas ligadas por uma mola. Note que o centro de massa descreve uma trajeto´ria parabo´lica
como se fosse uma u´nica part´ıcula.
No caso de duas part´ıculas ligadas por uma mola que sa˜o lanc¸adas, o movimento de cada uma delas
e´ complicado mas o centro de massa descreve uma trajeto´ria parabo´lica igual a trajeto´ria descrita por
um proje´til, veja a Fig. 7.2.
As coordenadas do centro de massa podem ser obtidas escrevendo ~rcm = xcmiˆ+ ycmjˆ+ zcmkˆ na Eq.
(7.11), assim, decompondo os vetores ~r1 = x1ˆi+y1ˆj+z1kˆ e ~r2 = x2ˆi+y2ˆj+z2kˆ e igualando os coeficientes
dos versores, podemos escrever
xcm =
m1x1 +m2x2
m1 +m2
; ycm =
m1y1 +m2y2
m1 +m2
; zcm =
m1z1 +m2z2
m1 +m2
.
onde escrevemos explicitamente o valor de M = m1 +m2.
7.3 Sistemas com va´rias part´ıculas
Vamos generalizar as equac¸o˜es desenvolvidas para um sistema de 2 part´ıculas para um sistema composto
por um nu´mero arbitra´rio N de part´ıculas. Neste caso, os pares ac¸a˜o e reac¸a˜o das forc¸as internas podem
7.3. SISTEMAS COM VA´RIAS PARTI´CULAS 133
ser escritos na forma gene´rica:
~Fij = −~Fji, i, j = 1, 2, 3, · · · , N. (7.13)
As equac¸o˜es de movimento para o sistema de N part´ıculas sa˜o:
m1
d2~r1
dt2
= ~F12 + ~F13 + · · ·+ ~F1N + ~F (ext)1
m2
d2~r2
dt2
= ~F21 + ~F23 + · · ·+ ~F2N + ~F (ext)2
m3
d2~r3
dt2
= ~F31 + ~F32 + · · ·+ ~F3N + ~F (ext)3
... =
...
mi
d2~ri
dt2
= ~Fi1 + ~Fi2 + · · ·+ ~FiN + ~F (ext)i (7.14)
... =
...
mN
d2~rN
dt2
= ~FN1 + ~FN2 + · · ·+ ~FNN−1 + ~F (ext)N
A Eq. (7.14) para a i-e´sima part´ıcula pode ser escrita na forma compacta:
mi
d2~ri
dt2
=
N∑
j=1
~Fij + ~F
(ext)
i
onde usamos a notac¸a˜o de somato´rio:
N∑
j=1
~Fij = ~Fi1 + ~Fi2 + ~Fi3 + · · ·+ ~FiN .
Da mesma forma que fizemos no caso anterior, vamos somar as N equac¸o˜es. Usando a notac¸a˜o
compacta de somato´rio, a soma total pode ser escrita na forma:
N∑
i=1
mi
d2~ri
dt2
=
N∑
i=1
N∑
j=1
i6=j
~Fij +
N∑
i=1
~F
(ext)
i
E de acordo com a Eq. (7.13), o termo envolvendo a soma dupla e´ zero, pois va˜o aparecer todos os
pares ac¸a˜o e reac¸a˜o na soma, assim, temos que:
N∑
i=1
N∑
j=1
i 6=j
~Fij = 0
e a equac¸a˜o para a segunda lei de Newton toma a forma
N∑
i=1
mi
d2~ri
dt2
=
N∑
i=1
~F
(ext)
i
134 CAPI´TULO 7. CENTRO DE MASSA E CONSERVAC¸A˜O DO MOMENTO LINEAR
Ale´m disso, a soma sobre todas as forc¸as externas e´ simplesmente a forc¸a resultante ~F (ext):
~F =
N∑
i=1
~F
(ext)
i
logo,
N∑
i=1
mi
d2~ri
dt2
= ~F (ext)
Agora consideramos ainda o fato de que a derivada da soma e soma das derivadas sa˜o iguais, assim,
podemos retirar a derivada do sinal de soma no primeiro membro, logo
d2
dt2
(
N∑
i=1
mi~ri
)
= ~F (ext)
e definindo a massa total do sistema de N part´ıculas como
M =
N∑
i=1
mi
podemos escrever
M
d2
dt2
(
1
M
N∑
i=1
mi~ri
)
= ~F (ext) (7.15)
o que nos permite indentificar o termo dentro do pareˆnteses como sendo a coordenada do centro de massa
do sistema, i.e.,
~rcm =
N∑
i=1
mi~ri
N∑
i=1
mi
(7.16)
ou explicitamente:
~rcm =
m1~r1 +m2~r2 +m3~r3 + · · ·mN~rN
m1 +m2 +m3 + · · ·+mN (7.17)
e substituindo esta definic¸a˜o na Eq. (7.15) segue que:
M
d2~rcm
dt2
= ~F (ext) (7.18)
que e´ a equac¸a˜o para uma part´ıcula de massa M e posic¸a˜o dada por ~rcm sob a ac¸a˜o de uma forc¸a ~F
(ext).
7.3. SISTEMAS COM VA´RIAS PARTI´CULAS 135
7.3.1 Centro de massa de corpos so´lidos
As Eqs. (7.16) e (7.18) que obtivemos valem para um conjunto de N part´ıculas discretas. No entanto, e´
poss´ıvel estender estas equac¸o˜es para corpos so´lidos, como um taco de beisebol, uma x´ıcara ou qualquer
outro objeto. De fato, podemos pensar em um corpo so´lido como sendo um conjuntogigantesco de
part´ıculas de massa infinitesimal interagindo umas com as outras atrave´s de pares ac¸a˜o e reac¸a˜o. Quando
aplicamos uma forc¸a externa sobre o objeto, estamos aplicando a mesma forc¸a sobre todo o sistema e
assim, a formulac¸a˜o do problema e´ ideˆntica ao caso anterior. Desta forma, existe um ponto neste corpo
que vai descrever um movimento como se toda a massa do corpo estivesse concentrada neste ponto da
mesma forma que no caso discreto. Este ponto e´, obviamente, o centro de massa do corpo r´ıgido.
A generalizac¸a˜o para este caso e´ feita trocando-se as somas discretas por integrais sobre um elemento
de dm. Assim, ~rcm toma a forma:
~rcm =
1
M
∫
~r dm (7.19)
onde a massa total do corpo e´ dada por,
m =
∫
dm.
ou na forma de componentes,
xcm =
1
M
∫
x dm; ycm =
1
M
∫
y dm; zcm =
1
M
∫
z dm.
Em geral estas integrais sa˜o complicadas. Assim, nos limitamos aos casos mais simples de corpos com
densidade de massa uniforme, i.e., em que a massa por unidade de volume e´ a mesma para todo o corpo.
Sendo a densidade de massa ρ = M/V , ou seja, a raza˜o da massa total pelo volume do corpo, enta˜o
podemos escrever:
ρ =
M
V
=
dm
dV
∴ dm = M
V
dV
e substituindo-se este resultados nas integrais, podemos escrever
xcm =
1
V
∫
x dV ; ycm =
1
V
∫
y dV ; zcm =
1
V
∫
z dV.
Quando lidamos com objetos que apresentam uma simetria enta˜o na˜o precisamos calcular as treˆs
integrais. Por exemplo, uma esfera que tenha densidade de massa uniforme, apresenta um ponto de
simetria no seu centro e na˜o precisamos fazer nenhum ca´lculo para verificar que o centro de massa deve-
se encontrar no centro da mesma; o centro de massa de um cone, que tem um eixo de simetria localizado
por uma reta que passa paralelamente ao seu comprimento, tem seu centro de massa localizado em algum
ponto ao longo desta reta.
136 CAPI´TULO 7. CENTRO DE MASSA E CONSERVAC¸A˜O DO MOMENTO LINEAR
Exemplo
1. Treˆs part´ıculas de massas m1 = 1, 2 kg, m2 = 2, 5 kg e m3 = 3, 4 kg formam um triaˆngulo equila´tero
de lado a = 140 cm. Onde esta´ o centro de massa?
cm
cm
Figura 7.3: Veja exemplo 1.
Primeiramente, temos que definir a origem do centro de coordenadas. Vamos considerar que a origem
esta´ sobre a part´ıcula m1. Assim, as coordenadas das outras massas podem ser obtidas considerando o
fato do triaˆngulo ser equila´tero. Vamos considerar que a massa m2 esta´ tambe´m no eixo x, assim as suas
coordenadas sa˜o x2 = 140 cm e y2 = 0. A massa m3, esta´ na ponta do triaˆngulo com coordenadas dada
por x3 = 140 cm/2 = 70 cm e y3 =
√
3× 140 cm/2 ≈ 120 cm.
Assim, como conhecemos as coordenadas e as massas correspondentes, o centro de massa pode ser
determinado por substituic¸a˜o direta:
xcm =
m1x1 +m2x2 +m3x3
m1 +m2 +m3
xcm =
1, 2 kg× 0 + 2, 5 kg× 140 cm + 3, 4 kg× 70 cm
1, 2 kg + 2, 5 kg + 3, 4 kg
xcm = 83 cm.
e para a ordenada temos:
ycm =
m1y1 +m2y2 +m3y3
m1 +m2 +m3
7.4. COLISA˜O E IMPULSO 137
logo,
ycm =
1, 2 kg× 0 + 2, 5 kg× 0 + 3, 4 kg× 120 cm
1, 2 kg + 2, 5 kg + 3, 4 kg
o que nos leva a:
ycm = 58 cm
7.4 Colisa˜o e Impulso
Em uma colisa˜o, a forc¸a exercida sobre o corpo e´ de curta durac¸a˜o, tem mo´dulo elevado e muda brusca-
mente o momento do corpo. Da 2a lei de Newton, temos que:
d~p = ~F (t) dt
que e´ a variac¸a˜o do momento linear no intervalo de tempo dt. A variac¸a˜o total e´ obtida integrando-se o
elemento infinitesimal: ∫ ~pf
~pi
d~p =
∫ tf
ti
~F (t) dt
portanto, podemos escrever,
~pf − ~pi = ∆~p =
∫ tf
ti
~F (t) dt.
Definimos o impulso ( ~J) como a integral da forc¸a no tempo:
~J =
∫ tf
ti
~F (t) dt. (7.20)
Portanto, a variac¸a˜o no momento linear pode ser escrita na forma:
∆~p = ~J. (7.21)
Vemos enta˜o que a variac¸a˜o do momento e´ igual ao impulso dado pela forc¸a ~F (t). Assim, a variac¸a˜o
do momento depende tanto do tempo quando da intensidade da forc¸a. Se conhecemos como ~F (t) varia
no tempo (Fig. 7.4a), podemos calcular a integral dada pela Eq. (7.20) e obter ~J . Com efeito, podemos
escrever ~J na forma de componentes:
~J = Jxiˆ+ Jy jˆ+ Jzkˆ
138 CAPI´TULO 7. CENTRO DE MASSA E CONSERVAC¸A˜O DO MOMENTO LINEAR
e decompondo a forc¸a tambe´m na forma de componentes, segue que:
Jxiˆ+ Jy jˆ+ Jzkˆ =
∫ tf
ti
(Fxiˆ+ Fy jˆ+ Fzkˆ) dt.
ou seja, o impulso e´ dado por:
Jx =
∫ tf
ti
Fx(t) dt; Jy =
∫ tf
ti
Fy(t) dt; Jz =
∫ tf
ti
Fz(t) dt.
Vemos enta˜o que Ji (i = x, y, z) e´ a area sob a curva Fi(t) no intervalo ti < t < tf . Quando na˜o
conhecemos a func¸a˜o Fi(t), mas conhecemos a forc¸a me´dia e sua durac¸a˜o enta˜o podemos determinar o
impulso na forma:
~J = ~Fmed∆t.
que graficamente pode ser representado pela a´rea do retaˆngulo da Fig. 7.4b.
med
Figura 7.4: (a) A forma da componente da forc¸a em uma dada direc¸a˜o em func¸a˜o do tempo. (b) Podemos obter
o mesmo impulso trocando a forma complicada de F (t) por uma forc¸a me´dia Fmed constante de tal maneira que a
a´rea do retaˆngulo seja igual a` area da curva da Fig. (a).
A me´dia temporal da forc¸a e´ dada por:
~Fmed =
1
∆t
∫ ti+∆t
ti
~F (t) dt
que e´ uma versa˜o cont´ınua de uma me´dia aritme´tica. Vemos que o segundo membro e´ a pro´pria definic¸a˜o
do impulso dado pela Eq. (7.20) com ∆t = tf − ti.
7.4. COLISA˜O E IMPULSO 139
7.4.1 Coliso˜es em se´rie
Vamos considerar a situac¸a˜o de va´rias coliso˜es entre um corpo submetido a` uma se´rie de proje´teis (Fig.
7.5). Neste caso, temos que cada colisa˜o produz uma forc¸a sobre o alvo mas na˜o estamos interessados
nessa u´nica forc¸a mas na forc¸a me´dia que o alvo e´ submetido devido a um grande nu´mero de coliso˜es.
Alvo
Projéteis
Figura 7.5: Uma se´rie de proje´teis, todos com o mesmo momento linear, colide com um alvo fixo. A forc¸a me´dia
Fmed exercida sobre o alvo aponta para a direita e tem um mo´dulo que depende da taxa com a qual proje´teis colidem
com o alvo ou, alternativamente, da taxa com a qual a massa colide com o alvo.
Como o movimento se da´ ao longo do eixo x, podemos considerar o movimento unidimensional e
tomar apenas expresso˜es escalares. Cada proje´til sofre uma variac¸a˜o ∆p de momento, enta˜o a variac¸a˜o
total de momento apo´s n coliso˜es sera´ n∆p, onde n e´ o nu´mero total de coliso˜es.
O impulso a que e´ submetido um alvo e´ igual a −n∆p, assim,
J = −n∆p
e se o impulso ocorre em um intervalo de tempo ∆t, temos enta˜o
Fmed =
J
∆t
= −n∆p
∆t
= −nm∆v
∆t
Temos duas situac¸o˜es extremas que sa˜o interessantes de serem analisadas: a primeira em que os
proje´teis ricocheteiam apo´s o choque e a segunda onde os proje´teis perdem a velocidade. Assim, no
primeiro caso temos que:
∆v = vf − vi = −2vi.
e assim a forc¸a me´dia sera´
Fmed = nm
2vi
∆t
140 CAPI´TULO 7. CENTRO DE MASSA E CONSERVAC¸A˜O DO MOMENTO LINEAR
e no segundo caso temos:
∆v = vf − vi = 0− vi.
e a forc¸a me´dia sera´ dada por
Fmed = nm
vi
∆t
que e´ a metade da forc¸a no caso dos proje´teis serem ricocheteados do alvo.
7.5 Conservac¸a˜o do Momento Linear
Quando definimos o momento linear de um sistema part´ıculas, verificamos que era poss´ıvel escrever a 2a
lei de Newton para um sistema de N part´ıculas dado por:
d~p
dt
= ~F (ext)res
onde,
~p =
N∑
i=1
~pi = ~p1 + ~p2 + · · ·+ ~pN
No caso em que a forc¸a externa resultante e´ nula, i.e., ~F
(ext)
res , e que nenhuma part´ıcula entra ou sai
do sistema, enta˜o a derivada temporal do momento linear e´ nula:
d~p
dt
= 0
e podemos escrever,
~p = constante. (7.22)
Dizemos que um sistema esta´ isolado quando a soma das forc¸as externas e´ nula; um sistema e´ fechado
quando as part´ıculas na˜o podem entrar nem sair do sistema.Estas duas condic¸o˜es devem ser satisfeitas
para que a conservac¸a˜o do momento linear seja va´lida como expressa pela Eq. (7.22). Se o momento
e´ conservado, enta˜o o valor do momento linear total em dois instantes de tempo diferentes ti e tf e´ o
mesmo. Assim, podemos expressar a conservac¸a˜o do momento linear da seguinte forma,
~pi = ~pf . (7.23)
7.5. CONSERVAC¸A˜O DO MOMENTO LINEAR 141
onde ~pi e ~pf sa˜o os valores do momento linear nos instantes ti e tf , respectivamente. Note que o momento
linear e´ uma grandeza independente da energia e sua conservac¸a˜o na˜o implica na conservac¸a˜o da energia.
Outro aspecto das Eqs. (7.22) e (7.23) e´ o cara´ter vetorial do momento linear. As Eqs. podem ser
decompostas em treˆs componentes independentes ao longo dos treˆs eixos cartesianos x, y e z. Desta
forma, a conservac¸a˜o do momento linear em um dada direc¸a˜o na˜o implica na conservac¸a˜o do momento
linear nas demais direc¸o˜es. Se uma das componentes da forc¸a externa aplicada a um sistema fechado e´
nula, enta˜o a componente do momento linear ao longo da mesma direc¸a˜o na˜o pode variar. Um exemplo
desta situac¸a˜o e´ o caso do movimento de um proje´til que estudamos detalhadamente. Neste caso, a
forc¸a gravitacional atua apenas na direc¸a˜o vertical; nas direc¸a˜o horizontal a forc¸a e´ zero e o momento e´
conservado.
Note que usamos apenas forc¸as externas quando estamos considerando o momento total do sistema.
Forc¸as internas, por outro lado, podem mudar apenas o momento linear de partes do sistema mas na˜o o
momento do sistema como um todo.
Exemplo
1. Um coˆco vazio de massa M , inicialmente em repouso sobre uma superf´ıcie sem atrito, explode em treˆs
pedac¸os que deslizam sobre a superf´ıcie. Uma vista superf´ıcie superior e´ mostrada na Fig. 7.6. O pedac¸o
C, de massa 0, 30M , tem velocidade escalar final vf = 5, 0 m/s. Quais sa˜o as velocidades dos pedac¸os A
e B se mB = 0, 20M?
Figura 7.6: Veja exemplo 1. Na figura temos o coˆco (a) antes da explosa˜o e (b) apo´s a explosa˜o o coˆco e´ dividido
em treˆs partes com velocidades diferentes.
Aqui devemos aplicar a conservac¸a˜o do momento linear desde que na˜o existem forc¸as externas sendo
142 CAPI´TULO 7. CENTRO DE MASSA E CONSERVAC¸A˜O DO MOMENTO LINEAR
aplicadas. A explosa˜o na˜o e´ uma forc¸a externa, assim, podemos aplicar a Eq. (7.23):
~pi = ~pf .
e como o coˆco esta´ em repouso antes da explosa˜o ~pi = 0, logo
~pf = 0,
e como temos treˆs pedac¸os o momento linear total pode ser escrito como
~pAf + ~pBf + ~pCf = 0,
que pode ser escrito ainda na forma de componentes ao longo dos eixos x e y:
pAf,x + pBf,x + pCf,x = 0
pAf,y + pBf,y + pCf,y = 0
e considerando a decomposic¸a˜o mostrada na Fig. 7.6b, temos ainda,
−mAvAf +mBvBf cos 50o +mCvCf cos 80o = 0,
0−mBvBf sin 50o +mCvCf sin 80o = 0.
Temos ainda que,
M = mA +mB +mC
e desde que mC = 0, 30M e mB = 0, 20M , podemos determinar mA:
M = mA + 0, 20M + 0, 30M ∴ mA = 0, 50M.
Substituindo-se os valores das massas nas equac¸o˜es para a conservac¸a˜o do momento linear, segue que:
−0, 50MvAf + 0, 20MvBf cos 50o + 0, 30MvCf cos 80o = 0,
−0, 20MvBf sin 50o + 0, 30MvCf sin 80o = 0.
e simplificando a massa total ficamos com
−0, 50vAf + 0, 20vBf cos 50o + 0, 30vCf cos 80o = 0,
−0, 20vBf sin 50o + 0, 30vCf sin 80o = 0.
7.6. MOMENTO LINEAR E ENERGIA CINE´TICA EM COLISO˜ES 143
Como conhecemos o valor de vCf , temos um sistema linear para as velocidades procuradas. Assim,
podemos escrever:
vBf =
0, 30 sin 80o
0, 20 sin 50o
vCf = 9, 64 m/s.
Substituindo-se o valor de vBf na primeira equac¸a˜o obtemos o valor de vAf :
−0, 50vAf + 0, 20× 9, 64 cos 50o + 0, 30× 5 cos 30o = 0
ou seja,
vAf = 3, 0 m/s.
7.6 Momento Linear e Energia Cine´tica em Coliso˜es
Na sec¸a˜o anterior, consideramos coliso˜es entre corpos de um sistema isolado e fechado. Neste caso, o
momento linear total do sistema e´ conservado.
Agora vamos considerar a energia cine´tica deste sistema. Neste caso, temos duas situac¸o˜es: a pri-
meira em que a energia cine´tica total do sistema e´ conservada apo´s as coliso˜es entre as part´ıculas, neste
caso dizemos que as coliso˜es sa˜o ela´sticas e a segunda situac¸a˜o em que parte da energia cine´tica
e´ transformada em outras formas de energia como energia te´rmica ou sonora. Este tipo de colisa˜o e´
chamada de colisa˜o inela´stica e e´ bastante comum em nosso dia-dia. Com efeito, qualquer colisa˜o
real apresenta alguma perda de energia cine´tica de modo que, a rigor, coliso˜es perfeitamente ela´sticas
na˜o existem. No entanto, em determinadas situac¸o˜es, podemos aproximar uma colisa˜o para uma colisa˜o
ela´stica. Por exemplo, quando jogamos uma bola de borracha no cha˜o ela na˜o ira´ voltar a` mesma altura
de onde foi solta, mas podemos desconsiderar esta reduc¸a˜o na altura e aproximar a colisa˜o para uma
colisa˜o aproximadamente ela´stica.
A colisa˜o inela´stica sempre envolve perdas de energia cine´tica e no caso em que os dois corpos per-
manecem unidos apo´s a colisa˜o a perda e´ ma´xima e chamamos este tipo de colisa˜o de perfeitamente
inela´stica.
A seguir, vamos considerar estas coliso˜es em maiores detalhes para o caso simples em que temos
duas part´ıculas movimentando-se em uma dimensa˜o. Vamos considerar os casos de coliso˜es ela´sticas e
inela´sticas separadamente.
144 CAPI´TULO 7. CENTRO DE MASSA E CONSERVAC¸A˜O DO MOMENTO LINEAR
7.6.1 Coliso˜es Inela´sticas em 1-D
No caso de uma colisa˜o inela´stica em uma dimensa˜o, tudo o que podemos dizer sobre o movimento
das duas part´ıculas e´ que o momento linear total e´ conservado. Assim, considerando os momentos nos
instantes ti e tf , enta˜o temos que:
pi = pf
onde na˜o usamos notac¸a˜o vetorial porque o movimento e´ unidimensional. Assim, se as massas das
part´ıculas 1 e 2 sa˜o denotadas por m1 e m2, enta˜o podemos escrever
m1v1i +m2v2i = m1v1f +m2v2f (7.24)
A Eq. (7.25) apresenta seis paraˆmetros e podemos determinar um deles se conhecemos os outros cinco
paraˆmetros.
Antes
Depois
Projétil Alvo
Figura 7.7: Uma colisa˜o perfeitamente inela´stica entre dois corpos. Antes da colisa˜o o corpo de massa m2 esta´
em repouso e o corpo de massa m1 esta´ se movendo em direc¸a˜o a ele. Apo´s a colisa˜o os corpos unidos se movem
com a mesma velocidade ~V .
Coliso˜es perfeitamente inela´sticas
Como em geral e´ dif´ıcil saber cinco paraˆmetros de uma colisa˜o, a Eq. (7.24) torna-se u´til quando sabemos
algo mais sobre o movimento. No caso de uma colisa˜o perfeitamente inela´stica, sabemos que a perda da
energia cine´tica na colisa˜o e´ ma´xima, e assim, os corpos permanecem unidos apo´s a colisa˜o. De modo
equivalente, podemos dizer que estes corpos apresentam a mesma velocidade apo´s a colisa˜o. Assim,
podemos escrever:
v1f = v2f = V.
7.6. MOMENTO LINEAR E ENERGIA CINE´TICA EM COLISO˜ES 145
Substituindo as velocidades finais por V na Eq. (7.24) , segue que:
m1v1i +m2v2i = (m1 +m2)V
V =
m1v1i +m2v2i
m1 +m2
. (7.25)
Exemplo
1. Na figura 7.8 temos uma ilustrac¸a˜o de um peˆndulo bal´ıstico que permite determinar a velocidade de
um proje´til disparado por uma arma de fogo. Quando o proje´til disparado atinge o bloco de madeira, este
e´ levantado a uma altura h. A partir da medida da altura h, qual e´ a velocidade v de impacto do proje´til?
Figura 7.8: Um peˆndulo bal´ıstico, usado para medir a velocidade das valas.
Vemos que se trata claramente de uma colisa˜o perfeitamente inela´stica, desde que apo´s a colisa˜o do
proje´til com o bloco de madeira, ambos se deslocam com uma velocidade V com o proje´til alojado no
interior do bloco. Assim, considerando que a massa do bloco e´ M e a massa do proje´til e´ m a Eq. (7.25)
nos fornece a velocidade do bloco+proje´til apo´s a colisa˜o:
V =
mv +M(0)m+M
=
m
m+M
v
onde levamos em conta que o proje´til tem uma velocidade v e o bloco esta´ em repouso imediatamente
antes do impacto.
Apo´s o impacto, temos um novo sistema composto pelo bloco com o proje´til em seu interior se
movendo com uma velocidade V . Desde que o sistema bloco+proje´til esta´ ligado a um ponto fixo por
146 CAPI´TULO 7. CENTRO DE MASSA E CONSERVAC¸A˜O DO MOMENTO LINEAR
meio de cabos, este forma um peˆndulo. Assim, e´ va´lido aplicar a conservac¸a˜o de energia, pois agora temos
uma segunda situac¸a˜o envolvendo um peˆndulo cuja massa (M + m) esta´ sob a ac¸a˜o da ac¸a˜o da forc¸a
da gravidade que e´ conservativa. Com efeito, o bloco ira´ atingir uma altura ma´xima h onde a energia
cine´tica inicial (m+M)V 2/2 e´ transformada em energia potencial gravitacional (m+M)gh. Desde que
neste ponto, as energias devem ser iguais, segue que:
1
2
(m+M)V 2 = (M +m)gh
ou seja,
V =
√
2gh
Assim, como conseguimos expressar a velocidade do sistema bloco+proje´til em termos da altura,
podemos usar a equac¸a˜o oriunda da conservac¸a˜o do momento linear para relacionar a altura com a
velocidade do proje´til, eliminando V :
v =
(
m+M
m
)
V
ou seja,
v =
(
m+M
m
)√
2gh
E, como temos acesso a todas as informac¸o˜es do sistema, podemos determinar a velocidade do proje´til
a partir da altura que o bloco+proje´til alcanc¸a apo´s o impacto.
7.6.2 Coliso˜es Ela´sticas em 1-D
No caso de coliso˜es ela´sticas temos a conservac¸a˜o da energia cine´tica e do momento linear simultaˆneamente,
assim, temos uma segunda equac¸a˜o a ser resolvida ale´m da Eq. (7.23). Com efeito, a conservac¸a˜o da
energia cine´tica em dois instantes t1 e t2 e´ dada por:
1
2
m1v
2
1i +
1
2
m2v
2
2i =
1
2
m1v
2
1f +
1
2
m2v
2
2f
lembrando que estamos tratando de um sistema de duas part´ıculas de massas m1 e m2. Simplificando os
fatores 1/2, temos ainda
m1v
2
1i +m2v
2
2i = m1v
2
1f +m2v
2
2f (7.26)
7.6. MOMENTO LINEAR E ENERGIA CINE´TICA EM COLISO˜ES 147
Antes
Depois
AlvoProjétil
Figura 7.9: O corpo 1 se move ao longo de um eixo x antes de sofrer uma colisa˜o ela´stica com o corpo 2, que
esta´ inicialmente em repouso. Os dois corpos se movem ao longo do eixo x apo´s a colisa˜o.
A Eq. (7.23) nos fornece
m1v1i +m2v2i = m1v1f +m2v2f . (7.27)
As Eqs. (7.26) e (7.27) nos permite descrever o movimento das duas part´ıculas. Vamos considerar, por
simplicidade, que a part´ıcula 1 atua como um proje´til sobre a part´ıcula 2, que se encontra inicialmente
em repouso e faz o papel de alvo, assim v2i = 0 e as Eqs. (7.26) e (7.27) se reduzem a:
m1v
2
1i = m1v
2
1f +m2v
2
2f (7.28)
A Eq. (7.23) nos fornece
m1v1i = m1v1f +m2v2f . (7.29)
Podemos reescrever a Eq. (7.28) pode ser escrita na forma,
m1(v
2
1i − v21f ) = m2v22f ∴ m1(v1i − v1f )(v1i + v1f ) = m2v22f
A Eq. (7.29) pode ser escrita como
m1(v1i − v1f ) = m2v2f ∴ v2f = m1
m2
(v1i − v1f )
e, substituindo na equac¸a˜o anterior, obtemos:
m1(v1i − v1f )(v1i + v1f ) = m2m
2
1
m22
(v1i − v1f )2
(v1i + v1f ) =
m1
m2
(v1i − v1f )
148 CAPI´TULO 7. CENTRO DE MASSA E CONSERVAC¸A˜O DO MOMENTO LINEAR
e isolando a velocidade final da part´ıcula 1, segue que:
v1f =
(
m1 −m2
m1 +m2
)
v1i (7.30)
Substituindo a Eq. (7.30) na equac¸a˜o para v2f , segue que:
v2f =
m1
m2
[
v1i −
(
m1 −m2
m1 +m2
)
v1i
]
v2f =
m1
m2
(
2m2
m1 +m2
)
v1i
ou ainda,
v2f =
2m1
m1 +m2
v1i (7.31)
As Eqs. (7.30) e (7.31) nos permite tirar algumas concluso˜es sem saber o valor exato dos paraˆmetros.
Com efeito, vemos que v2f tem sempre o mesmo sentido do proje´til; v1f , por outro lado, pode ser positivo
ou negativo dependendo se m1 > m2 ou m1 < m2, respectivamente.
Vamos considerar alguns casos particulares:
Massas iguais
No caso em que m1 = m2 = m, as Eqs. (7.30) e (7.31) fornecem:
v1f = 0
v2f = v1i
ou seja, a part´ıcula 1 pa´ra apo´s a colisa˜o e a part´ıcula 2 passa a se mover com a velocidade inicial do
proje´til.
Alvo pesado
Quando m2 � m1, enta˜o temos:
v1f ≈ −v1i e v2f ≈ 2m1
m2
v1i.
ou seja, o corpo ricocheteia com uma velocidade de mo´dulo igual a` velocidade inicial e o corpo 2 se move
ligeiramente com baixa velocidade.
7.6. MOMENTO LINEAR E ENERGIA CINE´TICA EM COLISO˜ES 149
Proje´til pesado
Neste caso temos a condic¸a˜o inversa ao caso anterior, i.e., m2 � m1, assim temos:
v1f ≈ v1i ∴ v2f ≈ 2v1i
ou seja, o corpo 1 se move como antes da colisa˜o e o corpo 2 e´ arremessado para a frente com o dobro da
velocidade.
7.6.3 Coliso˜es Ela´sticas com Alvo em Movimento em 1-D
Vamos considerar agora o caso mais geral em que o alvo apresenta uma velocidade diferente de zero, ou
seja, o caso em que v2i 6= 0. Desde que ainda consideramos que o movimento e´ unidimensional e envolve
apenas dois corpos como antes, enta˜o podemos aplicar as Eqs. (7.26) e (7.27)
m1v
2
1i +m2v
2
2i = m1v
2
1f +m2v
2
2f
m1v1i +m2v2i = m1v1f +m2v2f .
Nosso objetivo e´ determinar as velocidades finais apo´s a colisa˜o. Assim, da primeira equac¸a˜o temos
que:
m1(v
2
1i − v21f ) = −m2(v22f − v22i)
m1(v1i + v1f )(v1i − v1f ) = −m2(v2f + v2i)(v2f − v2i)
Da segunda equac¸a˜o temos:
m1(v1i − v1f ) = −m2(v2f − v2i)
e dividindo uma equac¸a˜o pela outra podemos escrever,
v1i + v1f = v2f + v2i (7.32)
e como a velocidade final da part´ıcula pode ser isolada na segunda equac¸a˜o, temos:
v2f =
m1
m2
(v1i − v1f ) + v2i
e substituindo-se na Eq. (7.32) segue que:
v1i + v1f =
m1
m2
(v1i − v1f ) + v2i + v2i
150 CAPI´TULO 7. CENTRO DE MASSA E CONSERVAC¸A˜O DO MOMENTO LINEAR
m2v1i +m2v1f = m1v1i −m1v1f + 2m2v2i
(m1 +m2)v1f = (m1 −m2)v1i + 2m2v2i
ou seja,
v1f =
(
m1 −m2
m1 +m2
)
v1i +
2m2
m1 +m2
v2i (7.33)
E, substituindo este resultado na Eq. (7.32) podemos obter v2f :
v1i +
(
m1 −m2
m1 +m2
)
v1i +
2m2
m1 +m2
v2i = v2f + v2i
ou ainda,
v2f = v1i +
(
m1 −m2
m1 +m2
)
v1i +
2m2
m1 +m2
v2i − v2i
v2f =
(
m1 +m2 +m1 −m2
m1 +m2
)
v1i +
(
2m2 −m1 −m2
m1 +m2
)
v2i
logo,
v2f =
(
m2 −m1
m1 +m2
)
v2i +
2m1
m1 +m2
v1i (7.34)
7.7 Coliso˜es em 2-D
Quando a colisa˜o entre dois corpos na˜o e´ frontal, como nos casos que estudamos ha´ pouco, a direc¸a˜o do
movimento dos corpos e´ diferente antes e apo´s a colisa˜o. Se o sistema e´ fechado e isolado, o momento
linear e´ conservado e temos enta˜o:
~p1i + ~p2i = ~p1f + ~p2f .
Ale´m disso, se a colisa˜o e´ ela´stica a energia cine´tica tambe´m e´ conservada e temos novamente a
equac¸a˜o
1
2
m1v
2
1i +
1
2
m2v
2
2i =
1
2
m1v
2
1f +
1
2
m2v
2
2f
7.8. SISTEMAS COM MASSA VARIA´VEL 151
Figura 7.10: Uma colisa˜o ela´stica de raspa˜o entre dois corpos. O corpo de massa m2 (o alvo) esta´ inicialmente
em repouso.
onde as velocidades na equac¸a˜o acima devem ser obtidas tomando-se o mo´dulo do vetor velocidade.
Vamos aplicar estas Eqs. para o caso ilustrado na Fig. 7.10, onde a part´ıcula 2 de massa m2 esta´ em
repouso e a part´ıcula 1 de massa m1 incide com uma velocidade ~v1i = v1iˆi. Assim, temos que:
~p1i + 0 = ~p1f + ~p2f .
m1v1iˆi = m1v1f cos θ1iˆ−m1v1f sin θ1jˆ+m2v2f cos θ2iˆ+m2v2f sin θ2jˆ
o que nos permite montar um sistema linear de duas equac¸o˜es:
m1v1i = m1v1f cos θ1 +m2v2f cos θ2
0 = −m1v1f sin θ1 +m2v2f sin θ2
E no caso de uma colisa˜o ela´stica temos ainda mais uma equac¸a˜o:
m1v
2
1i = m1v
2
1f +m2v
2
2f
As Eqs. acima conte´m sete varia´veis: 2 massas (m1,m2), 3 velocidades (v1i, v2i, v2f ) e 2 aˆngulos
(θ1, θ2). Se conhecemos quatro destas varia´veis, as treˆs equac¸o˜es permitem determinar as outras treˆs
varia´veis.7.8 Sistemas com massa varia´vel
Ate´ agora consideramos sistemas com massa constante, assim, para encerrar o estudo de conservac¸a˜o de
momento linear vamos estudar o movimento de um foguete. A sua massa e´ principalmente constitu´ıda
152 CAPI´TULO 7. CENTRO DE MASSA E CONSERVAC¸A˜O DO MOMENTO LINEAR
de combust´ıvel que vai sendo queimado e ejetado pelo sistema de propulsa˜o.
O procedimento adotado para descrever o movimento do foguete e´ considerar como sistema na˜o apenas
o foguete mas o conjunto formado pelo foguete e os produtos ejetados. A massa deste sistema permanece
fixa, e assim, voltamos ao caso de um problema de massa fixa.
Limitedosistema Limitedosistema
Figura 7.11: (a) um foguete de massa M acelerando no instante t, do ponto de vista de um referencial inercial.
(b) o mesmo, mas no instante t+ dt. Os produtos de combusta˜o ejetados durante o intervalo dt sa˜o mostrados na
figura.
Ca´lculo da acelerac¸a˜o do foguete
Aqui consideramos apenas o caso unidimensional. Vamos considerar que no instante t+dt, o foguete tem
uma massa M + dM (dM < 0) e velocidade v + dv. Os produtos liberados teˆm massa dM e velocidade
u em relac¸a˜o ao nosso referencial.
Ainda temos,
pi = pf
ou seja,
Mv = −udM + (M + dM)(v + dv).
Podemos usar a velocidade relativa para simplificar a equac¸a˜o acima,
vrel = v + dv − u
assim, podemos eliminar a velocidade dos produtos u em termos da velocidade relativa, assim temos
Mv = −(v + dv − vrel)dM + (M + dM)(v + dv).
7.8. SISTEMAS COM MASSA VARIA´VEL 153
ou ainda,
Mv = vreldM +Mv +Mdv
0 = vreldM +Mdv
o que pode ser escrito na forma,
vreldM = −Mdv ∴ vrel dM
dt
= −Mdv
dt
(7.35)
assim, a acelerac¸a˜o pode ser escrita na forma,
a =
1
M
vrelR
onde
R = −dM
dt
onde R e´ taxa com que o foguete perde massa. Note que dM/dt < 0, enta˜o R > 0.
Ca´lculo da Velocidade
Vamos determinar a velocidade do foguete. Para isso, retomamos a Eq. (7.35)
vreldM = −Mdv
ou ainda, ∫ vf
vi
dv = −vrel
∫ Mf
Mi
dM
M
vf = vi + vrel ln
(
Mi
Mf
)
e como Mf < Mi a velocidade final e´ maior que a velocidade inicial.
Exemplos
1. Na Fig. 7.12, um cachorro de massa m = 4, 5 kg esta´ em um barco de 18 kg a uma distaˆncia
D = 6, 1 m da margem. Ele caminha uma distaˆncia dc = 2, 4 m ao longo do barco em direc¸a˜o a` margem
e pa´ra. Supondo que na˜o ha´ atrito entre o barco e a a´gua, determine a nova distaˆncia D′ entre o barco
e a margem.
154 CAPI´TULO 7. CENTRO DE MASSA E CONSERVAC¸A˜O DO MOMENTO LINEAR
deslocamentodocachorro
deslocamentodobarco
Figura 7.12: veja exemplo 1.
Desde que na˜o ha´ forc¸as na direc¸a˜o horizontal, enta˜o o centro de massa na˜o se move. Portanto, temos
que:
M~rcm = mc~rc +mb~rb
onde mc emb sa˜o as massas do cachorro e do barco e ~rc e ~rb sa˜o as posic¸o˜es do cachorro e do barco
respectivamente.
Considerando que o centro de massa na˜o se move, enta˜o temos que a variac¸a˜o de seu posic¸a˜o e´ nula
(∆~rcm = 0), i.e.,
mc∆rc +mb∆rb = 0 ∴ ∆rb = −mc
mb
∆rc
onde abandonamos a notac¸a˜o vetorial porque e´ um deslocamento unidimensional.
Agora notamos que o cachorro se move uma distaˆncia dc = 2, 4 m em relac¸a˜o a` posic¸a˜o do barco, i.e.,
|rcf − r0|+ |rbf − r0| = dc
|∆rc|+ |∆rb| = dc
desde que o deslocamento do cachorro e´ negativo pois a posic¸a˜o final esta´ mais pro´xima da origem e
assim rcf − r0 < 0. onde rcf e rbf sa˜o as posic¸o˜es finais do cachorro e do barco. E´ importante notar que
7.8. SISTEMAS COM MASSA VARIA´VEL 155
para o centro de massa permanecer na mesma posic¸a˜o, o barco deve se deslocar em sentido contra´rio ao
cachorro. Logo, a distaˆncia entre o centro de massa do cachorro e o centro de massa do barco e´ dada
pela soma das deslocamentos finais do cachorro e do barco.
Desde que tomamos os deslocamentos em mo´dulo na segunda equac¸a˜o, enta˜o com o objetivo de
eliminar o deslocamento do barco na segunda equac¸a˜o devemos substituir o valor em mo´dulo na segunda
equac¸a˜o. Ou dito de outra maneira, como o deslocamento do cachorro e´ negativo, enta˜o o deslocamento
do barco e´ positivo. Assim, temos:
|∆rc|+ mc
mb
|∆rc| = dc
ou seja,
|∆rc| = dc
1 +mc/mb
e substituindo-se os valores correspondentes, segue que:
|∆rc| = 4, 5 kg
1 + 4, 5 kg/18 kg
= 1, 92 m.
Para saber a posic¸a˜o final do cachorro em relac¸a˜o a` margem, basta subtrair este resultado da sua
posic¸a˜o inicial D = 6, 1 m:
d = D − |∆rc| = 6, 1 m− 1, 92 m = 4, 2 m.
2. A Fig. 7.13 mostra uma bolsa de beisebol de 0, 30 kg imediatamente antes e depois de colidir com
um taco. Imediatamente antes a bola tem uma velocidade v1 de mo´dulo 12 m/s e aˆngulo θ1 = 35
o.
Imediatamente apo´s a colisa˜o a bola se move para cima na vertical com uma velocidade v2 de mo´dulo
10, 0 m/s. A durac¸a˜o da colisa˜o e´ de 2, 00 s. Quais sa˜o (a) o mo´dulo e (b) a orientac¸a˜o (em relac¸a˜o ao
semi-eixo x positivo) do impulso do taco sobre a bola? Quais sa˜o (c) o mo´dulo e (d) o sentido da forc¸a
me´dia que o taco exerce sobre a bola? (a,b)
Como temos a massa da bola de beisebol e a velocidade inicial e final, enta˜o podemos determinar o
impulso atrave´s da variac¸a˜o do momento linear
~J = ∆~p = ~pf − ~pi = mv2jˆ− (−mv1 cos θ1iˆ−mv1 sin θ1jˆ)
ou ainda,
~J = mv1 cos θ1iˆ+m(v2 + v1 sin θ1)ˆj
156 CAPI´TULO 7. CENTRO DE MASSA E CONSERVAC¸A˜O DO MOMENTO LINEAR
Figura 7.13: veja exemplo 2.
Assim, o mo´dulo do impulso pode ser determinado facilmente:
J = m
√
v21 cos
2 θ1 + v22 + v
2
1 sin
2 θ1 + 2v1v2 sin θ1
J = m
√
v21 + v
2
2 + 2v1v2 sin θ1
e substituindo-se os valores correspondentes, segue que:
J = 0, 30 kg×
√
(12 m/s)2 + (10, 0 m/s)2 + 2× 12 m/s× 10, 0 m/s× sin 35o
J = 5, 86 N.s.
O aˆngulo φ que o impulso faz com a horizontal e´ dado por:
tanφ =
m(v2 + v1 sin θ1)
mv1 cos θ1
=
v2
v1 cos θ1
+ tan θ1
e substituindo-se os valores correspondentes, obtemos:
tanφ =
10
12 cos 35o
+ tan 35o = 59, 8o.
(c,d)
A forc¸a me´dia e´ obtida calculando-se a raza˜o do impulso pelo tempo de durac¸a˜o da colisa˜o que e´ 2 s.
Assim,
Fmed =
J
∆t
=
5, 86 N.s
2 s
= 2, 93 N
7.8. SISTEMAS COM MASSA VARIA´VEL 157
3. Uma part´ıcula A e uma part´ıcula B sa˜o empurradas uma contra outra, comprimindo uma mola
colocada entre elas. A massa de A e´ 2,00 vezes a massa de B e a energia armazenada na mola era de
60 J. Suponha que a mola tenha massa desprez´ıvel e que toda a energia armazenada seja transferida para
as part´ıculas. Depois de terminada essa transfereˆncia, qual e´ a energia cine´tica (a) da part´ıcula A e da
part´ıcula B?
Aqui temos a condic¸a˜o de que a energia potencial da mola e´ convertida em convertida em energia
cine´tica das part´ıculas. Esta energia e´ dada e vale E = 60 J. Assim, escrevemos:
E = KA +KB =
1
2
mAv
2
A +
1
2
mBv
2
B
Ale´m disso, tambe´m vale a conservac¸a˜o do momento pois a forc¸a aplicada pela mola e´ interna, assim
segue que:
0 = mAvA −mBvB
desde que a velocidade das part´ıculas sa˜o opostas. Assim, temos:
mAvA = mBvB
Do enunciado temos que mA = 2mB, logo,
2mBvA = mBvB ∴ vB = 2vA.
Substituindo-se estes dados na equac¸a˜o para a energia cine´tica, vamos obter:
E =
1
2
mAv
2
A +
1
2
mA
2
4v2A = 3KA
Assim,
KA =
E
3
=
60 J
3
= 20 J.
A energia da outra part´ıcula e´ dada simplesmente subtraindo o valor acima do valor total:
KB = E −KA = 2E
3
= 40 J.