05 Flexão

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Resistência dos Materiais 
Flexão 
Flexão 
2 
 Antes da determinação das tensões normais que se instalam nos pontos das 
seções transversais de uma barra, como efeito dos esforços externos, 
convém classificar os tipos de flexão que podem ocorrer. 
 
Vamos considerar a viga da 
figura, solicitada pelas cargas P 
e 1,25 P, sendo esta última 
inclinada em relação ao eixo da 
viga em um ângulo a. O plano 
vertical, que contém as cargas 
contém, também, o eixo 
baricêntrico da viga. 
cos a = 0,6 
sen a = 0,8 
Os gráficos representam os esforços: força normal, força cortante e momento fletor. 
Tipos de Flexão 
3 
Quando em um elemento só atua momento 
fletor, nas diversas seções transversais, 
diz-se que a solicitação é de flexão pura 
(trecho BC). 
Diz-se que há flexão simples quando as 
seções da viga são solicitadas, 
simultaneamente, por momento fletor e 
força cortante (trecho CD, por exemplo). 
Quando além do momento fletor há força 
normal atuando na barra diz-se que há 
flexão composta como acontece com o 
trecho AB. 
Tipos de Flexão 
4 
Se o eixo que contém a força normal coincide com o eixo baricêntrico 
da barra a flexão pode ser chamada de flexo-compressão centrada ou 
flexo-tração centrada. 
Se não ocorrer a condição acima diz-se que há flexo-compressão 
excêntrica ou flexo-tração excêntrica. 
Flexão oblíqua simples ocorre quando o plano que contém as cargas 
não é paralelo a nenhum dos eixos principais de inércia e as seções da 
viga são solicitadas, simultaneamente, por momento fletor e força 
cortante. 
Flexão oblíqua composta ocorre quando o plano que contém as cargas 
não é paralelo a nenhum dos eixos principais de inércia e as seções da 
viga são solicitadas, simultaneamente, por momento fletor e força 
normal. 
Flexão Pura 
5 
Flexão Pura: Elementos prismáticos submetidos a momentos fletores M e 
M’ iguais e opostos atuando num mesmo plano longitudinal. 
Barra prismática em flexão pura 
 6 
• Se as forças internas em qualquer seção são 
equivalentes a um momento, o momento interno é 
igual ao momento externo, que é chamado de 
momento fletor. 
Da estática: 
• A soma das componentes das forças em qualquer 
direção é zero. 
• O momento fletor é o mesmo em relação à 
qualquer eixo perpendicular a seu plano e é zero 
em relação a qualquer eixo contido naquele plano. 






MdAyM
dAzM
dAF
xz
xy
xx
s
s
s
0
0
Deformações em flexão pura 
7 
Vigas com um plano de simetria sob flexão 
pura: 
• A viga permanece simétrica 
• Flete uniformemente formando um arco circular. 
• Os planos que contêm as seções transversais 
passam pelo centro do arco e permanecem planos. 
• Quando M > 0 a linha AB diminui o comprimento 
enquanto A’B’ aumenta o comprimento. 
• Existe um conjunto de fibras, formando uma 
superfície, onde não há variação no comprimento 
das fibras, chamada superfície neutra. 
• Tensões e deformações são negativas (compressão) 
acima do plano neutro e positivas (tração) abaixo, 
para este caso em estudo. 
Deformação devido à flexão 
8 
• Chamando de r o raio de curvatura do arco DE, de q o 
ângulo central correspondente a DE, e observando que o 
comprimento DE é igual ao comprimento L da viga não 
deformada: 
 𝐿 = 𝜌𝜃 
• Para o arco JK localizado a uma distância y acima da 
superfície neutra, notamos que seu comprimento é: 
 𝐿′ = 𝜌 − 𝑦 𝜃 
Assim, deformação de JK é: 
𝛿 = 𝐿′ − 𝐿 = 𝜌 − 𝑦 𝜃 − 𝜌𝜃 = −𝑦𝜃 
• A deformação longitudinal específica e, nos elementos é: 
𝜀𝑥 =
𝛿
𝐿
−
𝑦𝜃
𝜌𝜃
= −
𝑦
𝜌
 
• A deformação específica atinge seu valor absoluto 
máximo quando o valor de y é máximo: 
𝜀𝑚á𝑥 =
𝑐
𝜌
 𝑜𝑢 𝜌 =
𝑐
𝜀𝑚á𝑥
 
𝑦𝑚á𝑥= 𝑐 
Tensões e deformações no 
regime elástico 
9 
• Para um material linear elástico, 
e)linearment varia(tensãomáxx
máxxx
c
y
E
c
y
E
ss
ees


 máxxmáx
c
y
W
M
I
Mc sss    
c
I
dAy
c
M
dA
c
y
ydAyM
máxmáx
máxx
ss
ss










2
• A tensão normal máxima ocorre na 
superfície da viga e é dada por: 
• Para o equilíbrio estático, 
Onde: 
M = momento fletor; 
I = momento de inércia da seção transversal; 
y = distância da linha neutra ao ponto onde 
se deseja calcular a tensão. 
𝜍𝑥 =
𝑀 ∙ 𝑦
𝐼
 
Propriedades das seções de 
vigas 
10 
• Seja c = ymáx a distância, da linha neutra, à fibra que 
está mais afastada dessa linha neutra. Então a tensão 
normal máxima é: 
aresistênci de módulo 
inércia de momento 





c
I
W
I
W
M
I
cM
máxs
• Considere uma viga de seção retangular, 
Ahbh
h
bh
c
I
W
6
12
6
1
3
12
1
2

Comparando duas vigas com mesma área de seção 
transversal, a que tiver altura maior terá um módulo 
de resistência maior e, portanto, terá maior 
capacidade para resistir à flexão. 
• Os projetos de vigas de aço estrutural proporcionam 
valores altos de I e consequentemente de W. 
Propriedades dos perfis de padrão 
americano 
11 
Momento de inércia de 
figuras planas 
Características Geométricas de 
uma figura plana 
13 
Barra prismática Seção longitudinal 
Seção transversal 
Momento de Inércia 
14 
𝐼𝑥 = 𝑦²𝑑𝐴 𝐼𝑦 = 𝑥²𝑑𝐴 
 
𝐴
 
𝐴
 
O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo de 
referência é definido como sendo a integral de área dos produtos dos 
elementos de área que compõem a superfície pelas suas respectivas distâncias 
ao eixo de referência, elevadas ao quadrado. 
A unidade do momento de inércia é comprimento à 4ª potência: mm4, cm4, 
m4. 
Momento de Inércia 
15 
Seja a seção retangular da figura: 
Para calcular o momento de inércia deste retangulo em relação ao eixo de 
simetria horizontal X, pode-se dividí-lo em elementos infinitesimais (área 
tracejada). 
Momento de Inércia 
16 
Então teremos: 
Do mesmo modo, o momento de inércia do retângulo em relação ao eixo y 
será: 
𝐼𝑥 = 2 𝑦² ∙ 𝑏 ∙ 𝑑𝑦 = 2
𝑦3
3
∙ 𝑏 
ℎ
2 
0
 
𝐼𝑥 = 𝑦²𝑑𝐴 𝑑𝐴 = 𝑏 ∙ 𝑑𝑦
 
𝐴
 
𝐼𝑥 = 2
ℎ
2
3
∙ 𝑏
3
−
0 3 ∙ 𝑏
3
 → 𝐼𝑥 =2 ∙
ℎ3∙𝑏
23∙3
 → 𝐼𝑥 =
𝑏 ∙ ℎ3
12
 
𝐼𝑦 =
𝑏3 ∙ ℎ
12
 
17 
x 
y 
Momento de Inércia 
Seção quadrada de lado a: 
Seção circular de diâmetro d: 
Seção retangular: 
Seção circular vazada: 
D = diâmetro externo; d = diâmetro interno. 
 
𝐼𝑥 =
𝑎4
12
 
𝐼𝑥 =
𝜋 ∙ 𝑑4
64
 
𝐼𝑦 =
𝑏3 ∙ ℎ
12
 
𝐼𝑥 =
𝜋 ∙ (𝐷4 − 𝑑4)
64
 
Triângulo retângulo: 
𝐼𝑥 =
𝑏 ∙ ℎ3
12
 
𝐼𝑦 =
𝑏3 ∙ ℎ
36
 
𝐼𝑥 =
𝑏 ∙ ℎ3
36
 
Teorema dos Eixos Paralelos 
Teorema de Steiner 
Translação de eixos 
O momento de inércia de uma superfície em relação a um eixo qualquer é igual ao 
momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo seu centro de gravidade, 
acrescido do produto da área (A) pelo quadrado da distância que separa os dois eixos. 
 
18 
Ix e Iy = momento de inércia da figura em relação aos 
eixos x e y, respectivamente. 
IxCG e IyCG = momento de inércia da figura em relação 
aos eixos XCG e YCG do CG da figura. 
dxCG = distância do eixo y até o eixo YCG . 
dyCG = distância do eixo x até o eixo XCG . 
𝐼𝑥 = 𝐼𝑥𝐶𝐺 + 𝐴 ∙ 𝑑𝑦𝐶𝐺
2 𝐼𝑦 = 𝐼𝑦𝐶𝐺 + 𝐴 ∙ 𝑑𝑥𝐶𝐺
2 
Exemplo 
19 
Calculara posição do CG e os momentos de inércia Ix e Iy da figura: 
 
20 
Calcular a posição do CG e os momentos de inércia Ix e Iy da figura: 
21 
Calcular a posição do CG e os momentos de inércia Ix e Iy da figura: 
22 
Calcular a posição do CG e os momentos de inércia Ix e Iy da figura: 
23 
Calcular a posição do CG e os momentos de inércia Ix e Iy da figura: 
Flexão 
Exercícios 
Exercício 1 
25 
Uma viga está solicitada por um momento de 14000 kgf.cm, como indica a figura. 
Determine as máximas tensões causadas pela flexão e indique a variação das tensões 
ao longo da altura da viga. 
Exercício 2 
26 
Determine a seção onde a tensão normal é máxima e o valor dessa tensão. 
Exercício 3 
27 
Para a viga do exercício anterior, determine as tensões normais máximas para o 
carregamento abaixo. 
Exercício 4 
28 
Uma viga é submetida a um momento fletor M = 3KN.m. Determine a tensão 
normal máxima de tração e de compressão. 
sc= 131,3 MPa 
sT= 76,04 MPa 
Exercício 5 
A viga mostrada é feita de um aço cuja tensão admissível é de 160 MPa. Determine o 
maior momento fletor que pode ser aplicado à viga quando ela é flexionada em torno 
do eixo z. 
29 
M= 129,6 x106 N.mm 
Exercício 6 
Um perfil com as dimensões indicadas está submetido a um momento fletor M=78000 
kgf.cm e uma força normal de 12000 kgf conforme a figura. Determine, a) as máximas 
tensões normais de tração e de compressão, b) o diagrama das tensões e c) a posição 
da linha neutra. 
30 
sc=  200,57 kgf/cm² 
sT= 61,57 kgf/cm² 
yLN = 4,7 cm 
Exercício 7 
A viga mostrada é feita de nylon para a qual a tensão admissível é de 24 MPa na tração 
e 30 MPa na compressão. Determine o maior momento M que pode ser aplicado à 
viga. 
31 
Mmáx= 106,1 N.m 
Um momento M=1500 N.m atua na viga com a seção transversal mostrada na 
figura. Determine as tensões nos pontos A, B e D. 
32 
sA =  5,86 MPa 
sB = 11,72 MPa 
sD = 0 
Exercício 8 
Exercício 9 
Um momento M=1500 N.m atua na viga com a seção transversal mostrada na figura. 
Determine as tensões nos pontos A, B e D. 
33 
sA =  6,114 MPa 
sB = 9,171 Mpa 
sD =  9,171 MPa 
•D 
Exercício 10 
Um perfil tubular de 25 cm de diâmetro externo e 1,5 cm de espessura está 
submetido a um momento fletor M=1,25x105 kgf.cm e uma força normal N=8000 kgf 
conforme a figura. Determine as máximas tensões normais de tração e de compressão 
e a posição da linha neutra. 
34 
sC= 131,6 kgf/cm² 
sT= 275,8 kgf/cm² 
yLN = 16,94 cm 
Exercício 11 
Uma força vertical P de intensidade 89 kN é aplicada ao ponto C localizado no eixo de 
simetria da seção transversal de uma coluna curta. Sabendo que y=127mm, determine 
a) as tensões normais nos pontos A e B e b) a localização da linha neutra. 
OBS.: O ponto C é fora do CG, que deve ser calculado para determinação da excentricidade “e” 
do momento fletor. M=F.d , M=F.e 
35 
Propriedades da seção: 
yCG = 96,52 mm 
Iz = 24,09 x106 mm4 
Esforço: 
e = 30,48 mm 
Mz = 2712720 N.mm 
a) Tensões: M+N 
sA= 3,97 MPa 
sB= 13,19 Mpa 
b) yLN = 35,28 mm