08 Flexão Simples Tensão de cisalhamento

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Resistência dos Materiais 
Flexão Simples 
Flexão simples (Qy + Mz) 
2 
Diz-se que a seção transversal de uma viga está submetida a flexão simples, 
quando nesta seção atuar simultaneamente o momento fletor (Mz) e a força 
cortante (Qy). Na seção transversal haverá duas distribuições de tensão: 
─ Uma distribuição linear de tensão normal σ, produzida pelo momento 
fletor: 
 
─ Uma distribuição parabólica de tensão de cisalhamento τ, produzida 
pela força cortante: 
 
Onde: 
 Qy = força cortante atuante na seção (diagrama de esforços solicitantes); 
 Msz = momento estático em relação ao eixo z abaixo da linha de corte; 
 b = largura da seção transversal onde foi feito o corte 
 Iz = momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo Z do sistema de 
referência. 
z
z
I
yM

z
zy
Ib
MsQ



Momento Estático de Área (Msz) 
•3 
Msz = ydA Msy = zdA 
 
𝐴
 
𝐴
 
É o produto de um elemento de área dA por sua respectiva distância a um eixo 
de referência. 
Ms = 0 quando o eixo Z passa pelo centro de gravidade da figura. 
Unidade – comprimento ao cubo 
Momento Estático de Área (Msz) 
•4 
Seja a seção retangular da figura: 
A tensão de cisalhamento τ, atuante em um 
ponto 0 genérico da seção transversal é: 
z
zy
Ib
MsQ























y
h
yy
h
bMs
yAMs
z
cgz
22
1
2O momento estático da área abaixo do ponto 
genérico é: 
Momento Estático de Área (Msz) 
•5 






































 












 







2
2
42
222
22
1
2
2
2/
2
2
2/2
2
y
hb
Ms
y
h
y
hb
Ms
y
h
y
h
bMs
yh
y
h
bMs
yhy
y
h
bMs
z
z
z
z
z
Desenvolvendo a expressão: 
Tensão de Cisalhamento () 
•6 
Substituindo Msz na expressão da tensão de 
cisalhamento: 





























2
2
3
3
2
2
2
2
4
6
12
4242
y
h
hb
Q
hb
b
y
hb
Q
Ib
y
hb
Q
y
y
z
y
Verifica-se que que a tensão de cisalhamento varia 
com y elevado ao quadrado, portanto, tem-se uma 
distribuição parabólica da tensão de cisalhamento 
•7 
A
Q
h
hb
Qh
hb
Q
hb
Qhh
hb
Q
hb
Qhh
hb
Q
y
máx
yy
máx
yy
yy
2
3
4
6
0
4
6
máxima 0 y Para•
00
6
24
6
 h/2 y Para•
00
6
24
6
 h/2 y Para•
2
3
2
3
3
22
3
3
22
3






























































Tensão de Cisalhamento () 
Exemplo 
8 
Para a viga de seção retangular da figura, considere Qy = 2100 kgf e determine: 
a) a tensão de cisalhamento máxima; 
b) a tensão de cisalhamento atuante em um ponto distante 6 cm da borda 
inferior da seção transversal. 
Exercícios 
9 
1) Determinar os valores das tensões de cisalhamento para o perfil da figura, 
nos pontos indicados. 
Dado Qy = 2 tf 
 
 
 
 
Resp: 
τ1 = 0 , τ2 = 28,28 kgf/cm², τ3 = 141,44 kgf/cm² , τ4 = 146,2 kgf/cm² , τ5 = 0 
Exercícios 
10 
2) Para a viga e carregamento mostrados, considere a força cortante na seção n-
n e determine: a) a tensão de cisalhamento máxima na seção transversal e b) a 
tensão de cisalhamento no ponto a. 
Resp: a) 21,9 MPa b) 16,55 MPa 
Exercícios 
11 
3) Determinar os valores das tensões de cisalhamento para o perfil “I”. 
Dado Qy = 250 kN. 
 
Resp: 
τ1 = 0 , τ2 = 33,81 MPa , τ3 = 101,43 MPa , τ4 = 135,28 MPa , τ5 = 120,75 MPa , τ6 = 24,15 MPa , τ 7 = 0 
Exercícios 
12 
4) Para a viga e carregamento mostrados, considere a força cortante na seção n-
n e determine: a) a tensão de cisalhamento máxima na seção transversal e b) a 
tensão de cisalhamento no ponto a. 
Resp: a) 0,92 MPa b) 0,765 MPa 
Exercícios 
13 
5) Para a viga e carregamento mostrados, considere a força cortante na seção n-
n e determine: a) a tensão de cisalhamento máxima na seção transversal e b) a 
tensão de cisalhamento no ponto a. 
Resp: a) 89,04 MPa b) 80,16 MPa 
•14 
6) Para a viga da figura, considere a força cortante Qy = 80 kN e determine a 
tensão de cisalhamento máxima na seção transversal. 
Exercícios 
Resp: 15,58 MPa 
Exercícios 
15 
7) Para a viga e carregamento mostrados, determine a altura h mínima 
necessária, sabendo que, para o tipo de madeira usada, σadm= 12,07 MPa e 
τadm= 0,896 MPa. 
 
OBS.: Verificar a altura mínima para tensão de flexão e tensão de cisalhamento. 
 
Resp: h  350 mm 
Exercícios 
16 
8) Para a viga e carregamento mostrados, considere a força cortante na seção 
n-n e determine: a) a tensão de cisalhamento máxima na seção transversal e b) 
a tensão de cisalhamento no ponto a. 
Resp: a) 8,97 MPa b) 8,15 MPa