aula Derivadas

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DIFERENCIAIS
Estudo das diferenciais e suas aplicações
11/05/2016

DIFERENCIAL
Escrevemos 
𝑑𝑦 = 𝑓’(𝑥 )𝑑𝑥 ,
e chamamos diferencial as quantidades 𝑑𝑦 e 𝑑𝑥 .
Interpretação
Interpretamos 𝑑𝑦 como sendo a pequena variação que 𝑦 sofre
quando 𝑥 sofre uma pequena variação 𝑑𝑥.
f x = 3x2 − 6
f x = tan 2𝑥
c) f x =
x
x+1
Lista 
3)
Linearização 
Figura 1. Quanto mais
ampliamos o gráfico de
uma função próximo a um
ponto onde a função é
derivável, mais “reto” o
gráfico se torna e mais se
assemelha à sua tangente.
Em geral, a tangente a 𝑦 = 𝑓(𝑥) no ponto
𝑥 = 𝑎, onde 𝑓 é derivável (Figura 2) passa
pelo ponto (𝑎, 𝑓(𝑎)), então sua equação é:
𝑦 = 𝑓(𝑎) + 𝑓’(𝑎)(𝑥 − 𝑎).
Assim, essa reta tangente é o gráfico da
função linear,
𝐿(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓’(𝑎)(𝑥 − 𝑎).
Enquanto essa reta permanecer próxima ao
gráfico de 𝑓 , 𝐿(𝑥) fornecerá uma boa
aproximação de 𝑓(𝑥).
Figura 2. A tangente à curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) é
a reta 𝑦 = 𝑓(𝑎) + 𝑓’(𝑎)(𝑥 − 𝑎).
Respostas: 
(a) 𝐿 𝑥 = 1 +
𝑥
2
(b) 𝐿 𝑥 =
𝑥
4
–
5
4
(c) 𝐿 𝑥 = −𝑥 +
𝜋
2
Exercício 1 a)
Figura 4 
Figura 3 
Figura 4 
Exercício 1 c)
Figura 5 
Uma aproximação linear importante para raízes e potências é:
1 + 𝑥 𝑘 ≈ 1 + 𝑘𝑥 (𝑥 próximo de 0, sendo 𝑘 qualquer número)
Essa aproximação, boa para valores de 𝑥 suficientemente próximos de zero, tem
uma vasta aplicação. Por exemplo, quando 𝑥 é pequeno,
1 + 𝑥 ≈ 1 +
1
2
𝑥 𝑘 =
1
2
1
1−𝑥
= 1 − 𝑥 −1 ≈ 1 + −1 −𝑥 = 1 + 𝑥 𝑘 = −1
3
1 + 5𝑥4 = (1 + 5𝑥4)1/3≈ 1 +
1
3
5𝑥4 𝑘 =
1
3
1
1−𝑥2
= (1 − 𝑥2)−1/2≈ 1 + −
1
2
−𝑥2 = 1 +
1
2
𝑥2 𝑘 = −
1
2
a = 2
a = -4
a = 1
a = -8
a = π
i) Exercícios para a lista: Determine a linearização L(x) de f(x) quando x = a.
Respostas
ii) Exercícios para a lista: Determine as linearizações das seguintes 
funções quando x = 0.
Respostas
iii) Exercícios para a lista: Use a aproximação 1 + 𝑥 𝑘 ≈ 1 + 𝑘𝑥 para estimar
Respostas
iv) Exercícios para a lista: Determine 𝑑𝑦
(a) 𝑦 = 𝑥3 − 3 𝑥
(b) 𝑦 =
2𝑥
1+𝑥2
(c) 2𝑦3/2 + 𝑥𝑦 − 𝑥 = 0
(d) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 5 𝑥
(e) 𝑦 = 4𝑡𝑔
𝑥3
3
iv) Exercícios para a lista: Determine 𝑑𝑦
(a) 𝑦 = 𝑥3 − 3 𝑥
(b) 𝑦 =
2𝑥
1+𝑥2
(c) 2𝑦3/2 + 𝑥𝑦 − 𝑥 = 0
(d) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 5 𝑥
(e) 𝑦 = 4𝑡𝑔
𝑥3
3
dy =
Respostas
Aplicações
1. O raio de uma circunferência aumentou de 2 m para 2,02 m.
(a) Estime a variação resultante na área.
Dados, 
Solução
TEOREMAS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO 
DIFERENCIAL
• Teorema de Rolle
• Teorema de Lagrange (T.Valor Médio)
• Teorema de L’Hôpital
Teorema 1 
Regra de L’Hôpital
Para a Lista 
Para a lista
Respostas dos exs. do slide anterior