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Notas De Aula Diferenciais E Integrais Indefinidas (1)

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Notas de Aula 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
 
Conceito de Diferenciais 
& 
Integrais Indefinidas 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uberaba 2016 
Cálculo Diferencial e Integral 
Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas 
Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 
 
 2 
DIFERENCIAL 
ACRÉSCIMO INFINITESIMAL 
Seja 
)(xfy 
 uma função derivável. Considere um 
acréscimo 
12 xxx 
, que produz na função um 
acréscimo 
12 yyy 
. Observe o exemplo a seguir: 
para a função 
3 5y x 
, tomando-se um valor aleatório 
1 5x 
 e ainda, supondo diferentes valores de 
x
, é 
possível determinar: 
 
x1 y1 
x
 x2 y2 
y
 dy 
 
 
 
 
 
Derivando-se a função obtêm-se: 
23x
dx
dy

  
dxxdy 23
 ( I ) 
 
A expressão I encontrada anteriormente, que relaciona 
dy
 e 
dx
 é chamada de função diferencial de y em x, ou 
simplesmente diferencial de y, e sua forma geral é 
dxxfdy ).('
. 
 
No ponto em que x = 5 tem-se: 
23 5dy dx 
  
75dy dx
 
 
Se interpretarmos dx como um acréscimo na variável x, 
ou seja, 
xdx 
, é possível completarmos a última 
coluna da tabela apresentada no exemplo fazendo o 
cálculo de dy. 
 
Completando a tabela, observa-se que quanto menor for 
x
, mais próximo dy está de 
y
. Assim para 
x
 
tendendo a zero, podemos considerá-lo como um 
acréscimo infinitesimal dx, e então aproximarmos a 
variação a variação 
y
 pelo diferencial 
dy
, ou seja, 
ydy 
. 
A relação 
dx
dy
 pode então ser interpretada como um 
quociente entre dois acréscimos infinitesimais 
(extremamente pequenos) nas variáveis y e x. 
Geometricamente: 
 
Quanto menor for o valor de 
x
, o erro que se comete 
ao se aproximar 
y
 por dy tende a zero, ou seja, 
0 dyy
. Dessa forma, podemos estimar a 
variação 
y
 de uma função por uma variação 
diferencial e linear dy, desde que o 
x
 considerado 
seja um valor pequeno. 
 
APLICAÇÕES DA FUNÇÃO DIFERENCIAL: 
 
 Cálculo aproximado de raízes não exatas. 
 Cálculo aproximado da variação de uma função. 
 
EXEMPLOS e ATIVIDADES 
 
1) Utilizando-se do conceito de diferenciais, encontre 
um valor aproximado para 
3 7,8
. 
 
Veja A Seguir, A Resolução Passo A Passo 
Cálculo Diferencial e Integral 
Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas 
Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 
 
 3 
33
3
3 33
1º Passo: Confirmar a igualdade
2º Passo: Eleger a função
3º Passo: Calcular o valor de y para x igual a raiz n-ésima mais próxima
4º Passo: Analisando a situação
7,8
8
 até o m
2 2
y dy x dx
y x
y y y
   

    
 
3
3
3 32 2 2
33
omento temos que:
, logo tem-se o valor de assim:
5º Passo: Calculando dy, temos:
 0,2 
2 8 ( 0,2) , 
'( ).
1 1 1
. .( 0,2) .( 0,2)
3. 3. 8 3. 2
0,2 0,2
0,
3.4 12
y dy x dx dx
dy
dy f x d
s
x
dy dx dy dy
dy
e
x
dy
    
   

      
 
    
3
01666666...
7,8 1,98333333..2 0,0166666 .6
6º Pa
...
sso: Portanto:
y dy    
 
2) Obtenha um valor aproximado para o volume de uma 
fina coroa cilíndrica de altura 12 m, raio interior de 7 
m e espessura 0,05 m. Qual o erro decorrente se 
resolvermos usando diferenciais? 
 
 
Resposta: 
O Volume da Fina Casca é de 
38,4 m
aproximadamente e o erro cometido 
na aproximação usada foi de 
30,03 m
. 
 
3) Calcule as seguintes raízes, utilizando o conceito de 
diferencial: 
 
a) 
4 13
 b) 
50
 
 
RESPOSTA: 
a) 1,90625 b) 7,071 
 
4) Considere um balão esférico de gás de diâmetro 50 
cm. Sobre este balão será aplicada uma fina camada 
de verniz com espessura 0,05 cm. Determine, 
utilizando diferenciais, qual será o volume de tinta 
necessário. 
 
RESPOSTA: 
O volume de tinta necessário é de 392,5 cm3. 
 
5) Um pintor é contratado para pintar ambos os lados de 
50 placas quadradas de 40 cm de lado. Depois que 
recebeu as placas verificou que os lados das placas 
tinham ½ cm a mais. Usando diferencial, encontrar o 
aumento aproximado da porcentagem de tinta a ser 
usada. 
 
RESPOSTA: 
O aumento aproximado da porcentagem de tinta a 
ser usada será de 2,5% 
Cálculo Diferencial e Integral 
Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas 
Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 
 
 4 
IInntteeggrraall IInnddeeffiinniiddaa 
 
Antes de iniciarmos a integral indefinida, vamos 
utilizar um exemplo bem simples, que você já está 
acostumado a trabalhar: 
2
( ) 4 24 12xf x x  
. Primeiro determine 
( )' ?xf 
 
Mas, se por acaso, te fosse solicitado, que em vez 
de encontrar a função derivada de 
( )xf
, 
determinássemos uma função 
( )xF
, que ao ser 
derivada, resultasse na função 
( )xf
. O que você 
faria? 
 
Definição: Uma função F(x) é chamada uma 
primitiva da função f(x) em um intervalo I (ou 
simplesmente uma primitiva de f(x)), se, para todo 
x I
, temos 
'( ) ( )F x f x
. 
Exemplo: 
3
( )
3
x
F x 
 é uma primitiva da função 
2( )f x x
, 
pois 
2 21'( ) .3 ( )
3
F x x x f x  
 
Proposição: Seja F(x) uma primitiva da função f(x). 
Então, se c é uma constante qualquer, a função 
( ) ( )G x F x c 
 também é primitiva de f(x). 
Definição: Se F(x) é uma primitiva de f(x), a 
expressão F(x) + c é chamada integral indefinida da 
função f(x) e é denotada por: 
 
 
( ) ( )f x dx F x c 
 
 

: é o símbolo de integração 
 
( )xf
: é a função integrando 
 
( )xf dx
: é o integrando 
 
O símbolo dx que aparece no integrando serve 
para identificar a variável de integração. 
 
Da definição da integral indefinida, decorre que: 
(i) 
( ) ( ) '( ) ( )f x dx F x c F x f x   
 
(ii) 
( )f x dx
 representa uma família de funções (a 
família de todas as primitivas da função 
integrando) 
 
 Exemplo: Mostre uma família da função 
integrando 
2( ) 1f x x 
, sabendo que 
3
( )
3
x
F x c 
. 
Note que o valor c (constante) pode assumir 
qualquer valor real, como, por exemplo, C = -3, -
2, -1, 0 , 1, 2. 
         








x
y
C=-3
C=-2
C=-1
C=0
C=1
C=2
 
Exemplo: 
'
2 5 5 2
3 3 3 3
3 3
, pois 
5 5
x dx x c x x
 
   
 
 
Em algumas bibliografias, as integrais indefinidas 
também são chamadas de anti-derivadas. Isto se 
deve ao processo utilizado para se encontrar a 
Cálculo Diferencial e Integral 
Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas 
Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 
 
 5 
expressão da integral indefinida, que é inverso 
àquele utilizado na derivação de uma função. 
Porém não vamos resolver todos os problemas que 
envolvam integração de funções de forma intuitiva. 
De maneira semelhante ao que fizemos 
anteriormente com a derivação, onde apresentamos 
uma tabela geral de derivadas, vamos aqui utilizar 
uma tabela de integrais imediatas. 
PPaarraa rreessoollvveerr,, tteennhhaa eemm mmããooss aa 
ttaabbeellaa ddee iinntteeggrraaiiss iimmeeddiiaattaass 
 
Observe a tabela abaixo, onde nas fórmulas de 
integrais 
u
 é uma função derivável e 
, ,c C K
 e 
a
 
são constantes.1 
  Cudu
 
2 
  Cuu
du
ln
 
3 
 


1,
1
1
KparaC
K
u
duu
K
K
 
4 
  Cedue
uu
 
5 
  Ca
a
dua
u
u
ln
 
6 
  Cuduu cossen
 
7 
  Cuduu sencos
 
8 
  Cuduu coslntan
 
9 
  Cuduu senlncot
 
10 
  Cuuduu tanseclnsec
 
11 
  Cuduuu sectansec
 
12 
  Cuduu tansec
2
 
13 
  Cuuduu cotseccoslnseccos
 
14 
  Cuduuu seccoscotseccos
 
15 
  Cuduu cotseccos
2
 
16 
 







C
a
u
du
ua
arcsen
1
22
 
17 
 







C
a
u
a
du
ua
arctan
11
22
 
18 
 







C
a
u
a
du
uau
arcsen
11
22
 
19 
 

Cauudu
au
22
22
ln
1
 
20 
 



C
au
au
a
du
ua
ln
2
11
22
 
 
ATIVIDADE 1 
 
Calcule as integrais indefinidas a seguir com o 
auxílio da “tabelada”: 
 
a) 
dx
 
b) 
8x dx
 
c) 5
7x dx
 
d) 
 31x x dx
 
e) 
6
1
dx
x
 
f) 7
8x dx


 
g) 
5
2
5
3
x dx
x
 
 
 

 
h) 71
52
1
3
9
x x dx
 
  
 

 
i) 
 
1
2
3 2x x dx
 
j) 5 2
4
2 1x x
dx
x
 

 
k) 
1
2cos x dx
x
 
 
 

 
Cálculo Diferencial e Integral 
Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas 
Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 
 
 6 
l) 
2 7
2
2
cos
x senxe dx
x x
 
  
 

 
m) 
2
3 xe dx
x
 
 
 

 
n) 
2
2
3 3
dt
t 
 
o) 
2
9
1
dx
x
 
p) 
 
2
2
8 6
8 sec
4
z z dz
z z
  

 
 
REFERENCIAL ATIVIDADE 1: 
 
a) 
x c
 
b) 9
9
x
c
 
c) 12
7
7
12
x c
 
d) 2 5
2 5
x x
c 
 
e) 
51
5
x c 
 
f) 188x c 
g) 
2
4
5 1
2 6
x c
x
 
 
h) 121
52
5 1
2
4 9
x x x c  
 
i) 4 7 10
3 3 3
12 3
3
7 10
x x x c  
 
j) 2
3
2 1
2 3
x
c
x x
  
 
k) 
2 2senx x c 
 
l) 
6
1
2 sec
3
xe x c
x
  
 
m) 
2ln 3 xx e c 
 
n) 2
arctan
3
t c
 
o) 
3arcsenx c
 
p) 
8
4 tan 6ln tan
2 ln8
zz
acr z z c   
 
 
 
ENCONTRANDO UMA FUNÇÃO A PARTIR 
DE SUA TAXA DE VARIAÇÃO 
 Através dos conhecimentos da integração 
de funções, é possível determinar a expressão 
matemática de uma função a partir de informações 
sobre a taxa de variação desta função e um ponto 
pertencente a ela. 
 Este tipo de problema, em algumas 
bibliografias, é denominado problema de valor 
inicial, devido se ter o conhecimento de um ponto 
de função. É um tipo de problema simples, onde a 
resolução consiste em se determinar, a partir da 
taxa de variação, a expressão da função 
encontrando a integral indefinida e, conhecendo-se 
o ponto da função determinar o valor da constante 
arbitrária. 
 
Exemplo 
Seja uma função 
 xy f
 tal que 
 1 10f 
 e 
 
2
6
4
3
dy
dx x

 

. Encontre a função 
 xf
 e 
determine o valor de 
 4f
. 
 
Por meio da taxa de variação escrevemos uma 
função diferencial e determinamos a expressão da 
função na dependência da constante arbitrária. 
Assim, temos: 
Cálculo Diferencial e Integral 
Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas 
Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 
 
 7 
 
 
2
2
6
4
3
6
4
3
dy dx
x
dy dx
x
 
  
  
 
  
  
 
 
AGORA É COM VOCÊ!!! 
Termine a resolução!!!!! 
 
ATIVIDADE 2 
 
1) Considere uma função 
 f x
 tal que 
 3 7f  
 e 
3
36
2
( 3)
dy
dx x

 

. Encontre a função 
 f x
 e calcule 
o valor de 
 0f
. 
 
2) Resolva os problemas de valor inicial: 
a) 
3 , (1) 2
dy
x y
dx
 
 
b) 1
1 , 
3 2
dy
sent y
dt
 
   
 
 
c) 1
 , (1) 0
dy x
y
dx x

 
 
d) 
4 , (0) 1x
dy
e y
dx
 
 
e) 1
 , ( 1) 5
dy
y
dt t
  
 
 
3) Fisicamente é possível se definir a velocidade de 
uma partícula pela taxa de variação da sua posição 
s
 em relação ao tempo, ou seja, 
dt
ds
v 
. 
Considere uma partícula cuja posição inicial seja 8 
m e se mova com velocidade dada em m/s pela 
função 25
8 4
2
t
v t  
. Determine a posição da 
partícula quando 
5t s
. 
 
REFERENCIAL ATIVIDADE 2: 
1)  
2
18 3
( ) 2
23
1
( )
2
f x x
x
f o
  


 
 
2) 
a) 4
3
3 5
( )
4 4
f x x 
 
b) 
( ) cos 1
3
f t t t

    
 
c) 3 1
2 2
2 8
( ) 2
3 3
f x x x  
 
d) 
( ) 4 3xf x e 
 
e) 
( ) ln 5f t t 
 
 
3) 
 5 32,16s m
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas 
Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 
 
 8 
Integral Indefinida por substituição 
 
Apresentamos a você a tabela de integrais imediatas 
e você resolveu alguns exercícios utilizando esta 
tabela. No entanto, até este momento, para 
encontrar a integral indefinida de uma função você 
basicamente utilizou as propriedades da integral 
indefinida, que vamos agora relembrar: 
 
 Soma/subtração de funções no integrando que se 
transforma em soma/subtração de integrais. 
 Integrando dado pelo produto de uma constante 
por uma função, que se transforma no produto 
da constante pela integral da função. 
 
 Ao aplicar estas propriedades na integral que 
se desejava calcular, tornava-se simples buscar na 
tabela de integrais a fórmula que se deveria utilizar. 
Mas existem algumas integrais que não podem ser 
determinadas de maneira direta, e precisamos então 
recorrer a algumas técnicas que permitem a 
manipulação do integrando para que possamos 
recair em expressões cuja integral seja tabelada. 
 
Método da integração por substituição algébrica 
 
 O método da integração por substituição 
algébrica consiste, de uma forma geral, em 
reescrever a função integrando através de uma 
substituição de variáveis, permitindo que a integral 
seja reescrita de uma maneira que possa ser 
encontrada na tabela e integrais imediatas. 
 Alguns dos exemplos que iremos apresentar 
aqui, e resolver pelo método da substituição de 
variáveis, podem ser encontrados generalizados de 
forma direta em outras tabelas de integrais, que 
sejam mais completas que esta fornecida a você no 
roteiro. Porém, nossa preocupação em resolver 
estas integrais pelo método da substituição é de 
que você entenda o processo algébrico da 
determinação da integral. 
 Podemos observar certos aspectos na 
função integrando que, de um modo geral, 
facilitam a visualização da substituição mais 
adequada de ser utilizada. Destacamos que não são 
regras fixas que estamos apresentando, e sim 
alguns procedimentos práticos que em boa parte 
dos casos permitem a solução do problema. 
 Na função integrando, se: 
 Existir um produto de duas funções 
polinomiais, pode-se substituir por outra 
variável a expressão de maior grau. 
 Existir um produto de funções trigonométricas 
seno e cosseno, sendo que uma delas esteja 
elevada a uma potência diferente de um, 
normalmente a substituição se aplica neste 
termo elevado à potência. 
 Houver uma expressão polinomial no interiorde um radical, ou ainda, no denominador de 
uma função racional onde o numerador é uma 
constante, a substituição geralmente se dá 
trocando o polinômio por uma única variável. 
 Existirem funções trigonométricas, onde a 
variável aparece multiplicada ou acrescida de 
algum termo, no interior do arco destas 
funções, normalmente a substituição se 
processa trocando todo o arco por uma 
variável única. 
 Vamos agora resolver com você 
alguns exemplos, mas como já dissemos 
Cálculo Diferencial e Integral 
Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas 
Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 
 
 9 
anteriormente, não há um conjunto de regras que 
devem ser seguidas para ser fazer a substituição. 
Recomendamos ainda que você procure fazer o 
maior número possível de exercícios sobre a 
substituição de variáveis, e observe com atenção os 
exemplos resolvidos que se encontram nas 
bibliografias, pois desta forma você tomará 
conhecimento das mais diferentes trocas de 
variáveis que se pode fazer, facilitando seu processo 
de aprendizagem e fixação dos conceitos estudados. 
 
Roteiro para a substituição u: 
 
Passo 1: Procure alguma composição 
( ( ))f g x
dentro do integrando para o qual a 
substituição 
( ), '( )u g x du g x dx 
 produza uma 
integral expressa inteiramente em termos de u e de 
du. Isso pode ou não ser possível. 
 
Passo 2: Se o passo 1 tiver sido completado com 
sucesso, tente calcular a integral resultante em 
termos de u. Novamente, isso pode ou não ser 
possível. 
 
Passo 3: Se o passo 2 tiver sido completado com 
sucesso, substitua u por g(x) para expressar a 
resposta final em termos de x. 
 
 
EXEMPLOS: 
Calcule as integrais abaixo usando o método da 
substituição: 
a) 
 
50
2 1 . 2 x x dx
 
 
2 1u x 
 
 Derivando ambos os termos 
2du xdx
 
 Isolando dx, teremos: 
2
du
dx
x

 
50.2 .
2
du
u x
x
 
Note que podemos cancelar o termo 2x, 
ficando: 
50
50 1
51
50 1
51
u du
u
c
u
c





 
Agora é só substituir u por 
2 1x 
. 
 
51
2 1
51
x
c


 
 
b) 
 9sen x dx
  Resposta: 
 cos 9x c  
 
c) 
23( 8)x dx
 Resposta:  248
24
x
c


 
d) 
cos5xdx
 Resposta: 
1
5
5
sen x c
 
e) 
2
2
1
x
dx
x
 Resposta: 
 2ln 1 x c 
 
f) 
2 .cos .sen x x dx
 Resposta: 3
3
sen x
c
 
g) 
 2sec 3x x dx
 Resposta: 2 1
3
2 3
x
tg x c 
 
h) 
2 42t t dt
 Resposta: 
 
3
2 2
1
1 2
6
t c  
 
ATIVIDADE 
 
1) Calcule as integrais usando a substituição 
indicada: 
 
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 10 
a) 
 2. 2x sen x dx
, 
22u x
 
Resposta: 
 2
1
cos 2
4
x c 
 
b) 
 
5
28 7 2x dx


, 
7 2u x 
 
Resposta: 
 
4
7 2x c

  
 
c) 2
3
9
1
r
dr
r

, 
31u r 
 
Resposta: 
 
1
3 26 1 r c  
 
 
2) Calcule as integrais abaixo usando o método da 
substituição: 
a) 
 
9
4 3x dx
 Resposta:  104 3
40
x
c


 
b) 
 7sen x dx
 Resposta: 
 
1
cos 7
7
x c 
 
c) 
   sec 4 . 4x tg x dx
 Resposta: 
 
1
sec 4
4
x c
 
d) 
2xe dx
 Resposta: 
21
2
xe c
 
e) 
27 12t t dt
 Resposta: 
 
3
2 2
1
7 12
21
t c 
 
f) 
 
3
6
1 2
dx
x

 Resposta: 
 
2
3
2 1 2
c
x


 
g) 
 
3
3
45 2
x
dx
x 

 Resposta: 
 
2
4
1
40 5 2
c
x
 

 
h)
32 2. xx e dx
 Resposta: 
321
6
xe c 
 
i) 
21
x
x
e
dx
e
 Resposta: 
 xarc tg e c
 
j)  
 2
2 1
cos 2 1
sen t
dt
t


 Resposta: 
 
1
2cos 2 1
c
t


 
l) 
cos4 2 4sen d  
 
Resposta: 
 
3
2
1
2 4
6
sen c  
 
m) 
2
5
3
x
dx
x 

 Resposta: 
 
1
2 25 3x c 
 
n) 
   
10
22 2 3 2 1x x x dx  
 
Resposta: 
 
11
21 2 2 3
22
x x c  
 
o) 
4
t
t
e
dt
e 
 Resposta: 
 
1
2cos 2 1
c
t


 
p) 
 5sen d  
Resposta: 
1
cos(5 )
5
c   
 
q)  2ln x
dx
x
Resposta:  3ln
3
x
c
 
 
 
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 11 
Integrais Indefinidas 
– Outros Métodos de Integração – 
 
Método da integração por partes 
 
Normalmente, quando uma integral não é encontrada de 
forma imediata na tabela, tentamos resolvê-la por 
substituição algébrica, que é um método menos 
trabalhoso que a integração por partes. Caso não 
consigamos alguma substituição que nos faça recair em 
uma integral “tabelada”, principalmente em casos em 
que apareça produto de duas funções no integrando, 
podemos tentar aplicar a técnica de integração por 
partes. 
A técnica da integração por partes e esta ligação com o 
produto de funções no integrando se relacionam à 
derivada de um produto de funções, que relembramos 
aqui: 
  ( ) ( ) ( ) ( )( ). ( )    x x x x' ''f x g x f g g f
 
 
Se reescrevermos a expressão anterior, isolando o 
termo 
( ) ( )x x
'g f
 em um dos membros e integrando os 
dois membros da nova expressão em relação a x, 
temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Equação 1
     
     
      
 
  
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
'' '
'' '
'' '
f g f g g f
f g dx f g g f
f g dx f g dx g f dx 
 
Como a integral da derivada de um termo é igual a ele 
mesmo, podemos então reescrever a expressão da 
equação 2 anterior, da seguinte forma: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x
' 'f g dx f g g f dx     
 
 
Na prática, costuma-se denominar as funções do 
integrando de “u” e “v” como já foi descrito, em roteiros 
anteriores, para a tabela de derivadas. Assim, temos a 
expressão geral para a integração por partes: 
u dv u v v du   
 
Na qual: 
( ) ( )x x
'u f du f dx  
 ; e 
( ) ( )x x
'v g dv g dx  
 
EXEMPLOS: 
 
a) 
5xe x dx
 
Fazemos: 
5u x
 e 
xdv e dx
 
Devemos então fazer a derivada da função u e a 
integral da função diferencial dv para encontramos du 
e a função v. Assim: 
5 5  
du
du dx
dx
 
      
x x xdv e dx v dv e dx v e
 
 
Agora devemos reescrever a integral aplicando a 
definição da integral por partes: 
5
5 5
5 5
     
  
   
  

x
x x
x x
e x dx I u dv u v v du
I x e e dx
I x e e C
 
 
A princípio, o método da integração por partes parece 
estranho, devido transformar a integral de uma função 
na soma de um produto de termos com uma nova 
integral. Neste primeiro exemplo, vamos fazer a 
derivada da primitiva 
( ) 5 5  x xF x x e e
 para 
demonstrar que ela realmente é uma das primitivas da 
função 
( ) 5 xf x e x
. 
Ao derivar a função, devemos atentar para o produto 
das funções 
xe
 e 
5x
. Temos, então: 
 
5 5 5
5 .
     
 
x x x
x
dF
e x e e
dx
dF x e dx
 
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 12 
A derivada da função encontrada na integral indefinida 
mostra que ela realmente é uma das primitivas da 
função 
( )f x
 e, portanto, a integração está correta. 
b) 2
cos
3
x
I x dx 
 
Fazemos: 2
3
x
u 
 e 
cosdv xdx
 
 
Encontrando as funções v e du: 
2 2
3 3
du x x
du dx
dx
  
 
cos cos sendv x dx dv x dx v x     
 
 
Reescrevendo a integral: 
 
2
cos
3
   
x
x dx I u dv
 
2
2
2
cos sen
3 3
2
cos sen
3 3
I u v v du
x x
I x x dx
x
I x x x dx
  
   
   



 
 
 
 
CCoommoo vvaammooss rreessoollvveerr eessttaa 
iinntteeggrraall?? 
 
 
 
 
Precisamos repetir o método da integração por partes 
para resolver 
sen x x dx
. 
Fazemos: 
u x
 e 
sendv x dx
 
Encontrando as funções v e du: 
1
du
du dx
dx
  
 
sen sen cosdv x dx dv x dx v x      
 
Determinando a integral: 
 sen cos cos
sen cos cos
sen cos sen
x x dx x x x dx
x x dx x x x dx
x x dx x x x
     
    
    
 
 

 
Finalmente, substituímos a expressão encontrada na 
integral 
I
. Assim: 
 
2
2
2
2
cos sen
3 3
2
cos cos sen
3 3
cos 2 cos 2sen
3 3 3
   
      
 
   

x
I x x x dx
x
I x x x x
x x x x x
I C
 
 
c) 
5 ln(4 )I x x dx 
 
Podemos deslocar a constante para fora do 
integrando, e fazer: 
ln(4 )u x
 e 
dv x dx
. 
 
Temos, então: 
5 ln(4 ) 5I x x dx u dv    
 
 
A escolha do 
ln(4 )x
 como função “u” se deve ao 
fato de não haver uma integral tabelada para o 
logaritmo. Assim, encontramos as funções v e du: 
4 1
4
du
du dx
dx x x
  
 
2
2
x
dv x dx dv x dx v     
 
 
Reescrevendo a integral: 
 5I u v u dv    
 
2 2
5 ln(4 )
2
x x
I x   
1
2 x

25 ln(4 ) 5
2 2
x x
dx x dx
  
   
 
 
2 25 ln(4 ) 5
2 2 2
x x x
I C

   
 
2 25 ln(4 ) 5
2 4
x x x
I C

  
ou 
25 1
ln(4 )
2 2
x
I x C
 
    
 
 
 
SSaaiibbaa MMaaiiss!! 
 
 
 
Dada a Integral: 
 
 
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 13 
O propósito de usar a técnica de integração por 
partes é transferir essa integral para uma 
integral a qual espera-se que saibamos calcular, 
ou seja: 
 
 
Assim, ao integrar por partes uma integral da 
forma, 
 
 
sempre devemos escolher quem será a função 
entre as funções e do integrando 
acima. Surge a pergunta: "Como fazer esta 
escolha?" 
 
Uma sugestão que funciona bem na maioria das 
vezes é escolher as funções e através do 
diagrama LIATE que foi publicado como uma 
pequena nota em uma edição antiga da 
revista American Mathematical Monthly que 
descreveremos abaixo. 
 
Considere o diagrama com as funções 
elementares abaixo: 
 
 
Nesse acróstico, as letras da palavra LIATE são 
iniciais de diferentes tipos de funções e a 
estratégia que deve ser adotada é: 
 
"Escolher como função , a função cuja 
letra inicial está mais próxima de L e para 
formar a diferencial , escolhemos a 
função cuja letra inicial posiciona-se mais 
próxima de E". 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
1) Na integral 
 
escolhemos (Algébrica) e 
(Trigonométrica), pois no 
anagrama acima, A precede T. 
 
 
2) Na integral 
 
Escolhemos (Logarítmica) e 
 (Algébrica), pois L precede A no 
anagrama acima. 
 
3) Na integral 
 
 
Escolhemos (Inversa 
trigonométrica) e (Algébrica). 
Nos exercícios de integração por partes 
verifique a validade deste belíssimo anagrama. 
 
 
 
 
 
 
AAggoorraa éé VVooccêê!! 
 
 
 
 
ATIVIDADES: 
 
1) Resolva as seguintes integrais usando a técnica de 
integração por partes: 
a) 
x xe cos 
2
dx
 
RESPOSTA: 
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 14 
 
.
cos . cos 2
2 2 2
.2 2
2 2
.
. . 2cos
2 2 2
2 2 2 cos 2cos
2 2 2
2 4 cos 4
2 2
4 2 4 cos
2 2
5
  
    
 
  
    
 
     
 
  
  




x x
x x
x x x
x x
x x
u e du e dx
x x x
dv dx v dx v sen
x x
I e sen sen e dx
x xu e du e dx
x x x
dv sen dx v sen dx v
x x x
I e sen e e dx
x x
I e sen e I
x x
I I e sen e
I 2 4 cos
2 2
2 4 cos
2 2
5
1
2 2cos
5 2 2



  
    
  
x x
x x
x
x x
e sen e
x x
e sen e
I
x x
I e sen C
 
 
b) 
ln(1-x) dx
 
 
RESPOSTA: 
ln 1 .
. . 
1 1
ln 1 .
1 1
1
ln 1 . . .
1
.ln 1 .
1
 
 
 
     
 
    
 
    
 

  






x dx I
I u v v du
du
u x du dx
dx x x
dv dx v dx v x
I x x x dx
x
x
I x x dx
x
 
 
 
-Utilizando o método da substituição calculamos:
.
1
1
1
Em temos:
1 1
.( ) 1. .( )
1
1. 1 .( ) 1. ln
ln
Em temos:
(1 ) ln 1
Voltando ao
1


  
    
   
       
   
     
  
  






 

x
dx
x
z x
dz
dx dz
dx
z
z z
dz dz
z z z
dz z z
z
z z C
x
x z
x x C
 
 cálculo de :
.ln 1 .
1
.ln 1 (1 ) ln 1
.ln 1 (1 ) ln 1
1 .ln 1 (1 )

  

        
     
     

I
x
I x x dx
x
I x x x x
I x x x x
I x x x C
 
c) 
 6 x sen x dx
 
 
RESPOSTA: 
 
. 6 .
. . 
1
1
6 . 6 . (cos 6 )
6
1 1
. (cos 6 ) (cos 6 ).
6 6
1 1
(cos 6 ) . ( 6 )
6 6 6
1
(cos 6 ) ( 6 )
6 36
x sen x dx I
I u v v du
du
u x du dx
dx
dv sen x dx v sen x dx v x
I x x x dx
x
I x sen x
x
I x sen x C

 
    

    
  
  
 
    
     
   

  




 
 
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 15 
d) 
3t te dt
 
RESPOSTA: 
3
3 3 3
3 3
3 3
3
t 
. . 
1
1
. .
3
1 1
. .
3 3
1 1
.
3 3 3
1
3 9
t
t t t
t t
t t
t
e dt I
I u v v du
du
u t du dt
dt
dv e dt v e dt v e
I t e e dt
t
I e e C
t
I e C

 
    
    
 
  
 
   
 




 
e) 
4t te dt
 
Resposta: 
 
 
f) 
 5 x sen x dx
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
g) 
(x+1) cos2 x dx
 
Resposta: 
 
 
h) 
 ln3 x x dx
 
Resposta: 
 
 
i) 
x l nx dx
 
Resposta: 
 
 
 
j) 
2 cossec x x dx
 
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 16 
Resposta: 
 
 
k) 
3 4 x sen x dx
 
Resposta: 
 
 
 
l) 
(x-1) xe dx
 
Resposta: 
 
m) 
2 l x nx dx
 
Resposta: 
 
 
 
n) 
2 xx e dx
 
Resposta: 
 
 
o) 
2( 1) sec x x dx
 
Resposta:p) 
3xe cos4 x dx
 
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 17 
Resposta: 
 
 
 
 
q) 
2ln(x +1) dx
 
Resposta: 
 
 
 
r) 
24 xx e dx
 
Resposta: 
 
 
s) 
2( 3) xx e dx
 
Resposta: 
 
t) 
 x+1 x dx
 
Resposta: 
 
 
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 18 
Método da substituição 
trigonométrica 
 
A integração por substituição trigonométrica consiste em 
reescrever a função integrando utilizando uma relação 
trigonométrica adequada. Essa técnica se aplica na 
resolução de integrais em que na função integrando 
aparecem expressões seguinte tipo: 
2 2a u
, 
2 2a u
 e 
2 2u a
 
 
na qual: 
a
 indica uma constante positiva e 
u
 uma 
função. 
 
As substituições trigonométricas que serão utilizadas 
envolvem relações trigonométricas num triângulo 
retângulo e podem ser visualizadas da seguinte 
maneira: 
 
a
u
2 2a ua
u
2 2a u
a
u
2 2u a 
 
O método da integração por substituição trigonométrica, 
quando comparado à substituição algébrica e à 
integração por partes, é bastante trabalhoso por 
envolver, além da substituição adequada a cada caso, o 
conhecimento de algumas relações trigonométricas que 
envolvem seno, cosseno, tangente e secante. 
 
Uma boa parte das integrais que são resolvidas por esta 
técnica de integração são encontradas em tabelas. Por 
isso, como exemplo, vamos resolver aqui apenas uma 
integral que exija este tipo de substituição. 
Exemplo: 
Calcule 2
24
x dx
I
x



 
Para esta integral, vamos fazer a seguinte substituição: 
2
x
24 x

 
Temos: 
sen 2sen
2
x
x   
 e 
2cos 2cos
dx
dx d
d
     
 
Substituindo no integrando: 
 
 
22 2
2 2 2
2sen 2cos 4sen 2cos
4 4 4sen4 2sen
dx dx d
I
x
     


  
 
  
 
2 2 2
22
sen cos sen cos sen cos
8 8 8
4 cos4 1 sen
d d
I
       

  
     
 
  2 cos
d

2 218 sen 4 sen
2
      I d d
 
Para resolver a integral anterior, é preciso utilizar a 
seguinte relação trigonométrica: 
2 1 cos(2 )sen
2
 
 
Assim, temos: 
1 cos(2 )
4 2 1 cos(2 ) 2 2 cos(2 )
2
              I d d d d
2 2  I
1
2
 sen(2 )
2 sen(2 )
Equação 2

 

  
C
I C 
Devemos voltar a escrever a integral utilizando a 
variável original. Assim, é preciso escrever o ângulo 

 
em função de x e também utilizar uma relação 
trigonométrica para o seno do arco duplo 
sen(2 )
. 
Tem-se a seguinte relação: 
sen(2 ) 2sen cos   
 
Na equação 2 apresentada anteriormente, substituindo 
esta relação, temos: 
 
2 2sen cosI C      
No triângulo retângulo utilizado no início do exercício 
tem-se que: 
sen sen
2 2
x x
arc   
 
e 24
cos
2
x



 
 
Finalmente temos a solução do problema, que é a 
seguinte integral definida: 
2 sen 2
2
x
I arc
 
   
  2
x

24
2
x
C

 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
Notas de Aula – Conceito de Diferenciais e Integrais Indefinidas 
Prof. Ms. Luís Humberto Miquelino 
 
 19 
22 sen 4
2 2
x x
I arc x C
 
      
 
 
 
Caso você tivesse em mãos uma tabela mais completa 
de integrais, poderia resolver esta integral apenas 
consultando a seguinte fórmula geral: 
2 2
2 2
2 2
1
arcsen
2 2
x dx a x
x a x C
aa x
 
      
 

 
 
O resultado seria o mesmo daquele obtido pela 
integração por substituição trigonométrica. Por isso nos 
preocupamos em resolver apenas um exemplo, uma vez 
que a consulta a uma tabela adequada é bem mais 
rápida e prática. 
 
Quanto aos outros tipos de radicais que aparecem no 
integrando e pedem substituições trigonométricas, as 
substituições adequadas são as seguintes: nos radicais 
2 2a u
 fazemos 
tanu a  
; nos radicais do tipo 
2 2u a
 a substituição é 
secu a  
. 
 
Abordamos aqui os tipos mais comuns de técnicas de 
integração de funções. Sugerimos que você faça agora 
as leituras indicadas, a seguir, para uma melhor 
compreensão dos conceitos sobre integração por partes 
e por substituição trigonométrica. 
 
Indicação de Leituras 
 
FLEMMING, Diva Marília. Cálculo A: funções, limite, 
derivação, integração. 6 ed. São Paulo: Pearson, 2006. 
(item 6.5, nas páginas 252 a 255; item 7.3, nas páginas 
306 a 309). 
 
FINNEY, Ross L. Cálculo de George B. Thomas Jr. 10 
ed. São Paulo: Addison Wesley, 2002. (item 7.2, nas 
páginas 524 a 530; item 7.4, da página 542 até o 
exemplo 3, da página 544).

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