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Aula 5 Intervalos de confiança N07 (1)

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Métodos Estatísticos – Aula 5
Prof. Gustavo R. Borges
gustavorborges01@gmail.com
Estimação e Intervalos de confiança para 
média populacional (μ)
Como fazer inferências (previsões) acerca da média µ de uma população 
quando a amostra é grande (n≥30) e quando a amostra é pequena 
(n<30)????
População 
Amostra
Média
Desvio Padrão
Amostra
Média
Desvio Padrão
Estimação
• Frequentemente necessitamos, por meio das amostras, conhecer 
informações gerais da população.
• A estimação é o processo que consiste no uso 
de dados da amostra (dados amostrais) para 
estimar valores de parâmetros populacionais 
desconhecidos, tais como média, desvio 
padrão, proporções etc.
Estimativa Intervalar
• É quando fazemos uma estimativa de um intervalo de valores possíveis, 
no qual se admite esteja o parâmetro populacional.
• Neste tipo de estimativa temos um intervalo de valores em torno do 
parâmetro amostral, no qual julgamos, com um risco conhecido de 
erro, estar o parâmetro da população. A esse intervalo chamamos 
intervalo de confiança
Estimativa Pontual
• É quando fazemos uma única estimativa (um valor) para um 
determinado parâmetro populacional. Vejamos os exemplos:
• Intervalo de confiança (IC) para a média populacional com variância 
conhecida
• Seja uma amostra aleatória X1, X2, . . . , Xn, com média μ e variância σ2 
conhecida. Para construir um intervalo de confiança para a média deve-se 
considerar a distribuição da média amostral ത𝑋: 
• Procedimentos para construção do IC
• Retira-se uma amostra de n elementos
• Calcula-se a média da amostra ( ത𝑋)
• Calcula-se o desvio padrão da média amostral (𝜎 ത𝑋 = Τ𝜎 𝑛)
• Fixa-se o nível de significância α (medida de incerteza da inferência)
Se α = 0,10, α/2 = 0,05  z0,05 = 1,64  90 % confiança
Se α = 0,01, α/2 = 0,005  z0,005 = 2,58  99 % confiança 
ത𝑋 ± 𝑧
𝜎
𝑛
• Salientamos que a estimativa intervalar da média populacional
baseia-se na hipótese de que a distribuição das médias
amostrais é normal, portanto podemos usar a variável z. Para
grandes amostras (quando n é maior que 30) esta premissa é
garantida pelo Teorema do Limite Central;
• Para amostras de 30 ou menos elementos, é importante saber
que a população segue a distribuição t (Student)
Exemplo 1: Suponhamos que uma construtora adquire regularmente cimento em sacas
de 50 Kg da empresa A. Há, no entanto, uma suspeita de que a mercadoria não esteja
sendo entregue com o peso especificado. Assim, ao investigar-se a situação, numa
amostra de 32 sacas encontrou-se uma média amostral ( ത𝑋) de 49,5 Kg. Sabe-se que a
variância (σ2) no processo de empacotamento da fornecedora é de 1 Kg2.
Construa os intervalos para a média populacional com nível de confiança de 90, 95 e
99%. Compare e discuta os três intervalos obtidos.
z z
z z 0.90
z z 0.99
A)
B)
C)
Exemplo 2. Repita os cálculos considerando que a variância (σ2) no processo de
empacotamento da fornecedora é de 2 Kg2.
Determinação do tamanho da amostra 
• O método para se encontrar um intervalo de confiança pode também
ser usado para se determinar o tamanho da amostra. Para isso é necessário
conhecer:
(1) o erro amostral E máximo que estamos dispostos a tolerar;
(2) a dispersão na população de interesse, medida pelo desvio padrão σ;
(3) o nível de confiança para o intervalo, representado pelo valor da tabela Z.
• A expressão que nos permite determinar o tamanho da amostra para atingir os 
nossos objetivos é a seguinte:
Onde E é o erro máximo desejado
𝒏 =
𝒛𝝈
𝑬
𝟐
Exemplo 3: No Exemplo 1, uma amostra de 32 sacas produziu um intervalo de
confiança de 49,5 + 0,29 Kg com 90% de confiança. Suponhamos agora que se pretende
obter um intervalo para a amostragem de + 0,2 Kg. Qual deverá ser o tamanho da
amostra para se chegar a este intervalo considerando 90, 95 e 99% de confiança?
Exemplo 4. Qual o tamanho de amostra necessária para se estimar a média de uma
população infinita cujo desvio padrão é igual a 4, com 98% de confiança e erro de 0,5?
Distribuição t de Student
• Para amostras pequenas não é possível aplicar o Teorema do Limite Central e,
portanto os procedimentos inferenciais vistos até agora não são teoricamente
válidos. Por isso usaremos a distribuição t para representar o comportamento
da variável ത𝑋.
Distribuição t de Student
• A distribuição t é usada para realizar inferências sobre µ nas seguintes condições:
• (1) O desvio padrão da população σ é desconhecido mas estimado à custa do desvio padrão
amostral S;
• (2) O tamanho da amostra é menor do que 30;
• (3) É possível partir do pressuposto de que a população subjacente de X é normalmente
distribuída.
• Existe um valor de t para cada
tamanho de amostra, sendo
que à medida que a amostra
(n) cresce, a distribuição t de
Student se aproxima da
distribuição normal.
• n↑ Grau de Liberadade ↑
Distribuição t de Student
• Então, se n é menor do que 30, devemos usar a distribuição t e a tabela
correspondente. O intervalo de confiança é dado pela Equação:
ത𝑋 ± 𝑡
𝑆
𝑛
Exemplo 5
• Sabendo-se que uma amostra tem 25 elementos, que a sua média é
150 e desvio padrão igual a 10. Represente um intervalo de confiança
em nível de 90%.
• Como a amostra é menor que 30 elementos, então iremos usar a
distribuição t de Student. Se desejamos um intervalo de confiança de
90%, temos:
• Para trabalharmos com a tabela, encontramos o número de graus de 
liberdade, que é (n-1), logo (25-1) = 24.
Tabela t (24;0,05) = 1,711
ത𝑋 ± 𝑡
𝑆
𝑛
150 ± 1,711
10
25
150 ± 3,422
P(146,578 ≤ μ ≤ 153,422) = 0,90
Exemplo 6. Testes de compressão foram aplicados na marca A de cimento para avaliar sua
resistência em concretos. Foram produzidos 13 corpos de prova e os testes foram realizados no
Laboratório de testes do Departamento de Engenharia Civil da Unit. (O corpo de prova padrão
brasileiro, normatizado pela ABNT, é o cilíndrico, com 15 cm de diâmetro, 30 cm de altura e a
idade de referência é 28 dias)
Foi registrada a resistência à compressão simples (fc), para cada corpo de prova com o intuito
de calcular a resistência característica do concreto à compressão (fck)
Construir um intervalo de confiança 95% (nível de significância α = 0.05) para a resistência à 
compressão média.
Exemplo 7. Construir os intervalos de confiança de 90 e 99% para a resistência à compressão 
média e comparar os resultados com o exemplo 6.
Exemplo 8. Medições do comprimento de 25 peças produzidas por uma máquina conduziram a
uma média ẋ = 140 mm. Admita que cada peça tem comprimento aleatório com distribuição
normal e desvio padrão S = 10 mm, e que o comprimento de cada peça é independente das
restantes. Construa um intervalo de confiança a 95 e 99% para a média populacional (µ).
Exemplo 9. De uma população normal com parâmetros desconhecidos, retirou-se uma amostra
de 16 elementos, obtendo-se ẋ = 15 e S2 = 36. Determinar um IC para a média ao nível de 98%.
Exemplo 10. Um provedor de acesso a internet deseja implantar um plano sem limite de horas.
Para isso, verificou numa amostra de n = 25 usuários os tempos de utilização mensal, obtendo:
média amostral = 26,8 horas com variância = 6.25 horas2
Encontre um intervalo de confiança de 90% para a média populacional.
Como fazer comparações com um valor de referência?

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