Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Métodos Estatísticos – Aula 5 Prof. Gustavo R. Borges gustavorborges01@gmail.com Estimação e Intervalos de confiança para média populacional (μ) Como fazer inferências (previsões) acerca da média µ de uma população quando a amostra é grande (n≥30) e quando a amostra é pequena (n<30)???? População Amostra Média Desvio Padrão Amostra Média Desvio Padrão Estimação • Frequentemente necessitamos, por meio das amostras, conhecer informações gerais da população. • A estimação é o processo que consiste no uso de dados da amostra (dados amostrais) para estimar valores de parâmetros populacionais desconhecidos, tais como média, desvio padrão, proporções etc. Estimativa Intervalar • É quando fazemos uma estimativa de um intervalo de valores possíveis, no qual se admite esteja o parâmetro populacional. • Neste tipo de estimativa temos um intervalo de valores em torno do parâmetro amostral, no qual julgamos, com um risco conhecido de erro, estar o parâmetro da população. A esse intervalo chamamos intervalo de confiança Estimativa Pontual • É quando fazemos uma única estimativa (um valor) para um determinado parâmetro populacional. Vejamos os exemplos: • Intervalo de confiança (IC) para a média populacional com variância conhecida • Seja uma amostra aleatória X1, X2, . . . , Xn, com média μ e variância σ2 conhecida. Para construir um intervalo de confiança para a média deve-se considerar a distribuição da média amostral ത𝑋: • Procedimentos para construção do IC • Retira-se uma amostra de n elementos • Calcula-se a média da amostra ( ത𝑋) • Calcula-se o desvio padrão da média amostral (𝜎 ത𝑋 = Τ𝜎 𝑛) • Fixa-se o nível de significância α (medida de incerteza da inferência) Se α = 0,10, α/2 = 0,05 z0,05 = 1,64 90 % confiança Se α = 0,01, α/2 = 0,005 z0,005 = 2,58 99 % confiança ത𝑋 ± 𝑧 𝜎 𝑛 • Salientamos que a estimativa intervalar da média populacional baseia-se na hipótese de que a distribuição das médias amostrais é normal, portanto podemos usar a variável z. Para grandes amostras (quando n é maior que 30) esta premissa é garantida pelo Teorema do Limite Central; • Para amostras de 30 ou menos elementos, é importante saber que a população segue a distribuição t (Student) Exemplo 1: Suponhamos que uma construtora adquire regularmente cimento em sacas de 50 Kg da empresa A. Há, no entanto, uma suspeita de que a mercadoria não esteja sendo entregue com o peso especificado. Assim, ao investigar-se a situação, numa amostra de 32 sacas encontrou-se uma média amostral ( ത𝑋) de 49,5 Kg. Sabe-se que a variância (σ2) no processo de empacotamento da fornecedora é de 1 Kg2. Construa os intervalos para a média populacional com nível de confiança de 90, 95 e 99%. Compare e discuta os três intervalos obtidos. z z z z 0.90 z z 0.99 A) B) C) Exemplo 2. Repita os cálculos considerando que a variância (σ2) no processo de empacotamento da fornecedora é de 2 Kg2. Determinação do tamanho da amostra • O método para se encontrar um intervalo de confiança pode também ser usado para se determinar o tamanho da amostra. Para isso é necessário conhecer: (1) o erro amostral E máximo que estamos dispostos a tolerar; (2) a dispersão na população de interesse, medida pelo desvio padrão σ; (3) o nível de confiança para o intervalo, representado pelo valor da tabela Z. • A expressão que nos permite determinar o tamanho da amostra para atingir os nossos objetivos é a seguinte: Onde E é o erro máximo desejado 𝒏 = 𝒛𝝈 𝑬 𝟐 Exemplo 3: No Exemplo 1, uma amostra de 32 sacas produziu um intervalo de confiança de 49,5 + 0,29 Kg com 90% de confiança. Suponhamos agora que se pretende obter um intervalo para a amostragem de + 0,2 Kg. Qual deverá ser o tamanho da amostra para se chegar a este intervalo considerando 90, 95 e 99% de confiança? Exemplo 4. Qual o tamanho de amostra necessária para se estimar a média de uma população infinita cujo desvio padrão é igual a 4, com 98% de confiança e erro de 0,5? Distribuição t de Student • Para amostras pequenas não é possível aplicar o Teorema do Limite Central e, portanto os procedimentos inferenciais vistos até agora não são teoricamente válidos. Por isso usaremos a distribuição t para representar o comportamento da variável ത𝑋. Distribuição t de Student • A distribuição t é usada para realizar inferências sobre µ nas seguintes condições: • (1) O desvio padrão da população σ é desconhecido mas estimado à custa do desvio padrão amostral S; • (2) O tamanho da amostra é menor do que 30; • (3) É possível partir do pressuposto de que a população subjacente de X é normalmente distribuída. • Existe um valor de t para cada tamanho de amostra, sendo que à medida que a amostra (n) cresce, a distribuição t de Student se aproxima da distribuição normal. • n↑ Grau de Liberadade ↑ Distribuição t de Student • Então, se n é menor do que 30, devemos usar a distribuição t e a tabela correspondente. O intervalo de confiança é dado pela Equação: ത𝑋 ± 𝑡 𝑆 𝑛 Exemplo 5 • Sabendo-se que uma amostra tem 25 elementos, que a sua média é 150 e desvio padrão igual a 10. Represente um intervalo de confiança em nível de 90%. • Como a amostra é menor que 30 elementos, então iremos usar a distribuição t de Student. Se desejamos um intervalo de confiança de 90%, temos: • Para trabalharmos com a tabela, encontramos o número de graus de liberdade, que é (n-1), logo (25-1) = 24. Tabela t (24;0,05) = 1,711 ത𝑋 ± 𝑡 𝑆 𝑛 150 ± 1,711 10 25 150 ± 3,422 P(146,578 ≤ μ ≤ 153,422) = 0,90 Exemplo 6. Testes de compressão foram aplicados na marca A de cimento para avaliar sua resistência em concretos. Foram produzidos 13 corpos de prova e os testes foram realizados no Laboratório de testes do Departamento de Engenharia Civil da Unit. (O corpo de prova padrão brasileiro, normatizado pela ABNT, é o cilíndrico, com 15 cm de diâmetro, 30 cm de altura e a idade de referência é 28 dias) Foi registrada a resistência à compressão simples (fc), para cada corpo de prova com o intuito de calcular a resistência característica do concreto à compressão (fck) Construir um intervalo de confiança 95% (nível de significância α = 0.05) para a resistência à compressão média. Exemplo 7. Construir os intervalos de confiança de 90 e 99% para a resistência à compressão média e comparar os resultados com o exemplo 6. Exemplo 8. Medições do comprimento de 25 peças produzidas por uma máquina conduziram a uma média ẋ = 140 mm. Admita que cada peça tem comprimento aleatório com distribuição normal e desvio padrão S = 10 mm, e que o comprimento de cada peça é independente das restantes. Construa um intervalo de confiança a 95 e 99% para a média populacional (µ). Exemplo 9. De uma população normal com parâmetros desconhecidos, retirou-se uma amostra de 16 elementos, obtendo-se ẋ = 15 e S2 = 36. Determinar um IC para a média ao nível de 98%. Exemplo 10. Um provedor de acesso a internet deseja implantar um plano sem limite de horas. Para isso, verificou numa amostra de n = 25 usuários os tempos de utilização mensal, obtendo: média amostral = 26,8 horas com variância = 6.25 horas2 Encontre um intervalo de confiança de 90% para a média populacional. Como fazer comparações com um valor de referência?
Compartilhar