Buscar

Apostila transferência de calor

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 157 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 157 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 157 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE DE SANTA CRUZ DO SUL 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA, ARQUITETURA E CIÊNCIAS AGRÁRIAS 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atualizado por: Prof. Anderson Fávero Porte 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Santa Cruz do Sul, agosto 2007. 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
2
1) GENERALIDADES 
 
1.1) INTRODUÇÃO 
 
Sempre que um corpo está a uma temperatura maior que a de outro ou, inclusive, no 
mesmo corpo existam temperaturas diferentes, ocorre uma cessão de energia da região de 
temperatura mais elevada para a mais baixa, e a esse fenômeno dá-se o nome de 
transmissão de calor. 
O objetivo de presente curso é estudar as leis e os princípios que regem a 
transmissão de calor, bem como suas aplicações, visto que é de fundamental importância, 
para diferentes ramos de Engenharia, o domínio dessa área de conhecimento. Assim como 
o Engenheiro Mecânico enfrente problemas de refrigeração de motores, de ventilação, ar 
condicionado etc., o Engenheiro Metalúrgico não pode dispensar a transmissão de calor nos 
problemas relacionados a processos pirometalúrgicos ou hidrometalúrgicos, ou nos projetos 
de fornos ou de regeneradores. 
Em nível idêntico, o Engenheiro Químico ou Nuclear necessita da mesma ciência 
em estudos sobre evaporação, condensação ou em trabalhos de refinaria e reatores, 
enquanto o Eletricista a utiliza no cálculo de transformadores e geradores e o Engenheiro 
Naval aplica em profundidade a transmissão de calor em caldeiras, máquinas térmicas, etc. 
Até mesmo o Engenheiro Civil e o arquiteto, especialmente em países frios, sentem a 
importância de, em seus projetos, preverem tubulações interiores nas alvenarias das 
edificações, objetivando o escoamento de fluidos quentes, capazes de permitirem conforto 
maior mediante aquecimento ambiental. 
Esses são, apenas, alguns exemplos, entre as mais diversas aplicações que a 
Transmissão de Calor propicia no desempenho profissional da Engenharia. 
Conforme se verá no desenvolvimento da matéria, é indispensável aplicar recursos 
de Matemática e de Mecânica dos Fluidos em muitas ocasiões, bem como se perceberá a 
ligação e a diferença entre Transmissão de calor e Termodinâmica.. 
A Termodinâmica relaciona o calor com outras formas de energia e trabalha com 
sistemas em equilíbrio, enquanto a Transmissão de calor preocupa-se com o mecanismo, a 
duração e as condições necessárias para que o citado sistema atinja o equilíbrio. 
É evidente que os processos de Transmissão de Calor respeitem a primeira e a 
segunda Lei da Termodinâmica, mas, nem por isto, pode-se esperar que os conceitos 
básicos da Transmissão de calor possam simplesmente originar-se das leis fundamentais da 
Termodinâmica. 
Evidente também é, sem dúvida, que o calor se transmite sempre no sentido da 
maior para a menor temperatura, e só haverá transmissão de calor se houver diferença de 
temperatura, da mesma forma que a corrente elétrica transita do maior para o menor 
potencial e só haverá passagem de corrente elétrica se houver uma diferença de potencial; 
percebe-se, de início, sensível analogia entre os fenômenos térmico e elétrico, o que é 
absolutamente correto, pois que, de fato, o fenômeno é de transporte e pode ser, inclusive, 
estudado de forma global, como calor, eletricidade, massa, quantidade de movimento, etc., 
resultando daí a absoluta identidade entre as diferentes leis que comandam deferentes 
setores do conhecimento humano. 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
3
1.2) REGIMES DE TRANSMISSÃO DE CALOR 
 
Seja uma parede em forma de paralelepípedo, com todas as faces suficientemente 
isoladas, exceto duas opostas e paralelas; de início estas faces estão à mesma temperatura 
Ti, logo não há transmissão de calor através da parede. Em determinado instante, eleva-se 
subitamente uma das faces à temperatura Tf e haverá transporte de calor na direção x (Fig. 
1.4) 
 
 
Fig. 1.4 
 
Imaginando-se que Ti e Tf sejam temperaturas mantidas inalteradas, haverá, para cada 
instante t que se considere, uma curva representativa de T = f(x), isto é, um mesmo ponto 
de uma mesma seção reta terá temperaturas diferentes no decorrer do tempo, daí as curvas 
para os tempos t1, t2, t3, etc. Desde que se conservem Ti e Tf, ocorrerá um determinado 
momento, a partir do qual os pontos de uma mesma seção reta não mais variarão sua 
temperatura com o tempo. 
Com esse exemplo é possível caracterizar os dois regimes em que podem suceder as 
formas de transmissão de calor. 
Durante o período em que um mesmo ponto da parede alterou sua temperatura com o 
tempo, diz-se que a parede estava em regime transitório, e, quando a temperatura do 
mesmo ponto conservou-se constante, diz-se que na parede reinava regime estacionário ou 
permanente; são esses os dois regimes de transmissão de calor. 
O regime transitório pode ser particularmente um caso de periodicidade, no qual as 
temperaturas de um mesmo ponto variem ciclicamente segundo uma determinada lei, 
como, por exemplo, uma variação senoidal ou a variação da temperatura na cobertura de 
um edifício, exposta dia e noite às condições atmosféricas. A esse regime costuma-se 
denominar regime periódico. 
É possível, e inclusive muito útil, definir regime estacionário e regime transitório em 
termos de fluxo de calor. Assim, regime estacionário é aquele em que o fluxo de calor é 
constante no interior da parede, pois os pontos interiores já apresentam saturação térmica e 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
4
não alterarão mais suas temperaturas, logo o fluxo de calor que entra é igual ao fluxo de 
calor que sai; e regime transitório é aquele em que o fluxo de calor é variável nas diferentes 
seções da parede ou, em outras palavras, o fluxo que entra é diferente do fluxo de calor que 
sai. 
 
1.3) FORMAS DE TRANSMISSÃO DE CALOR 
 
Existem três formas de transmissão de calor: condução, convecção e radiação. 
Tais formas são fundamentalmente diferentes, regidas por leis próprias, mas que, na 
realidade, podem ocorrer em simultaneidade, o que torna, por vezes, muito complexa a 
solução absolutamente exata de um problema de transmissão de calor. 
O bom senso do engenheiro, sua experiência e o adequado conhecimento da matéria 
ensejar-lhe-ão a oportunidade de desprezar uma ou até duas formas de transmissão de calor, 
no projeto ou num problema de Engenharia, desde que as formas não consideradas tenham 
presença insignificante, não ocasionando falhas nos resultados finais e oferecendo, 
autenticamente, uma solução de Engenharia não deixando um problema sem solução, dada 
a preocupação com a exatidão, que, conforme se poderá perceber no desenvolvimento de 
assunto, é em várias ocasiões, absolutamente dispensável. 
 Em capítulos seguintes será estudada, em detalhe, cada uma das formas de 
transmissão de calor, mas cabe aqui definir corretamente as diferenças entre as três citadas, 
para que o acompanhamento do assunto possa ser feito com maior segurança e categoria. 
 
1.3.1) Transferência de Calor por Condução 
 
Quando existe um gradiente de temperatura num corpo, a experiência mostra que 
ocorre uma transferência de energia de alta temperatura para a região de baixa temperatura. 
Diz-se que a energia é transferida por condução e a taxa de transferência de calor por 
unidade de área é proporcional ao gradiente normal de temperatura 
≈
A
q
x
T
∂
∂
 
 Quando a constante de proporcionalidade é inserida 
 
x
TkAq
∂
∂
−= 1-1 
 
onde q é a taxa de transferência de calor e ∂T/∂x é o gradiente de temperatura na direção do 
fluxo de calor. A constante positiva k é chamada condutividade térmica do material, sendo 
o sinal de menosinserido para satisfazer o segundo princípio da termodinâmica, ou seja, o 
calor deve fluir no sentido da temperatura decrescente, como indicado no sistema de 
coordenadas da Fig. 1-1 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
5
 
Fig. 1-1 Esquema mostrando a direção do fluxo de calor 
 
 A equação 1-1 é chamada de lei de Fourier da condução de calor, em homenagem 
ao físico matemático francês Joseph Fourier que trouxe contribuições significativas ao 
tratamento analítico da transferência de calor por condução. É importante observar que a 
Eq. 1-1 é a equação de definição de condutividade térmica e que k tem unidade de watt por 
metro por grau Celsius [W/(m.oC)] no Sistema Internacional de Unidades (SI). 
 O problema a ser tratado agora é o da determinação da equação básica que governa 
a transferência de calor através de um sólido utilizando a Eq. 1-1 como ponto de partida. 
 Considere o sistema unidimensional mostrado na Fig. 1-2. Se o sistema está em 
regime permanente, isto é, se a temperatura não varia com o tempo, então o problema é 
simples devendo-se somente integrar a Eq. 1-1 e substituir os valores apropriados para a 
solução nas quantidades desejadas. Entretanto, se a temperatura do sólido varia com o 
tempo, ou se existem fontes ou sumidouros de calor no interior do sólido, a situação é mais 
complicada. Consideremos o caso geral onde a temperatura pode variar com o tempo e 
fontes de calor podem ocorrer no interior do corpo. Para o elemento de espessura dx, o 
seguinte balanço de energia pode ser feito: 
 
 
Fig. 1-2 Volume elementar para a análise da condução de calor unidimensional 
 
Energia conduzida para dentro pela face esquerda + calor gerado no interior do elemento = 
variação de energia interna + energia conduzida para fora pela face direita. 
Estas quantidades de energia são dadas pelas seguintes expressões: 
 Energia conduzida para dentro pela face esquerda: 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
6
x
TkAq x ∂
∂
−= 
Calor gerado no interior do elemento: qx = q& Adx 
Variação da energia interna: dxTcAE
τ∂
∂ρ=∆ 
Energia conduzida para fora pela face direita: 












∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
−= ++ dx
x
Tk
xx
TkA]
x
TkAq dxxdxx 
onde q& = energia gerada por unidade de volume 
 c = calor específico do material 
 ρ = densidade 
 A combinação das relações acima fornece: 












∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
τ∂
∂ρ=+
∂
∂
− dx
x
Tk
xx
TkAdxTcAAdxq
x
TkA & 
ou 
τ∂
∂ρ=+





∂
∂
∂
∂ T
cq
x
Tk
x
&
 1-2 
 
 Esta é equação da condução de calor unidimensional. Para tratar do fluxo de 
calor em mais de uma dimensão deve-se considerar o calor conduzido para dentro e 
para fora do volume elementar em todas as três direções coordenadas, como 
mostrado na Fig. 1-3. O balanço de energia conduz a: 
 
 
 Fig.1.3 
 
 
τ
+++=+++ +++ d
dEqqqqqqq dzzdyydxxgerzyx 
sendo as quantidades de energia dadas por 
x
Tkdydzq x ∂
∂
−= 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
7
dydzdx
x
Tk
xx
Tkq dxx 











∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−=+ 
y
Tkdxdzq y ∂
∂
−= 
dxdzdy
y
Tk
yy
Tkq dyy 











∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−=+ 
z
Tkdxdyq z ∂
∂
−= 
dxdydz
z
Tk
zz
Tkq dzz 











∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−=+ 
dxdydzqqger &= 
τ∂
∂ρ=
τ
T
cdxdydz
d
dE
 
Assim a equação geral tridimensional da condução fica: 
 
τ
ρ
∂
∂
=+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂ T
cq
z
Tk
zy
Tk
yx
Tk
x
&
 1.3 
 
 Para condutividade constante a Eq. 1.3 pode ser escrita 
 
τα ∂
∂
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ T
k
q
z
T
y
T
x
T 1
2
2
2
2
2
2
&
 1.4 
 
onde a quantidade α = k/ρc é chamada de difusividade térmica do material. Quanto maior o 
valor de α, mais rapidamente o calor irá se difundir através do material. Isto pode ser visto 
observando-se as quantidades que compõem α. Um valor elevado de α pode resultar tanto 
de um valor elevado da condutividade térmica quanto de um valor baixo da capacidade 
térmica ρc. Um valor baixo da capacidade térmica significa que menor quantidade de 
energia em trânsito através do material é absorvida e utilizada para elevar a temperatura do 
material; assim, mais energia encontra-se disponível para ser transferida. 
 Nas deduções acima, a expressão da derivada x + dx foi escrita na forma de uma 
expansão de Taylor onde somente os dois primeiros termos da série foram considerados no 
desenvolvimento. 
 Muitos problemas práticos envolvem somente casos especiais das equações gerais 
apresentadas acima. Como uma orientação pata desenvolvimento em capítulos futuros, é 
conveniente mostrar a forma reduzida da equação geral para alguns casos de interesse 
prático. 
- Fluxo de calor unidimensional em regime permanente (sem geração de calor) 
 
02
2
=
dx
Td
 1.5 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
8
- Fluxo de calor unidimensional em regime permanente com fontes de calor 
 
02
2
=+
∂
∂
k
q
x
T &
 1.6 
 
- Condução bidimensional em regime permanente sem fontes de calor 
 
02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
T
x
T
 1.7 
1.3.1.1) Condutividade Térmica 
 
 A Eq. 1-1 é a equação de definição para a condutividade térmica. Com base nesta 
definição, podem ser feitas medidas experimentais para a determinação da condutividade 
térmica de diferentes materiais. Tratamentos analíticos da teoria cinética podem ser usados 
para gases em temperaturas moderadamente baixas para antecipar com precisão os valores 
observados experimentalmente. Em alguns casos existem teorias para o cálculo da 
condutividade térmica em líquidos e sólidos, mas em geral nestas situações os conceitos 
não são muito claros, permanecendo várias questões em aberto. 
 O mecanismo da condução térmica num gás é simples. A energia cinética de uma 
molécula é identificada com sua temperatura; assim, numa região de alta temperatura as 
moléculas têm velocidades maiores do que numa região de baixa temperatura. As 
moléculas estão em movimento contínuo ao acaso, colidindo umas com as outras e 
trocando energia e quantidade de movimento.Esta movimentação ao acaso das moléculas 
independe da existência de um gradiente de temperatura no gás. Se uma molécula se 
movimenta de uma região de alta temperatura para uma de baixa temperatura, ela transporta 
energia cinética para esta região de baixa temperatura do sistema perdendo esta energia 
através de colisões com moléculas de energia mais baixa. 
 Foi dito que a unidade da condutividade térmica é watts por metro por grau Celsius 
[W/(m.oC)] no SI. Note que existe uma taxa de calor envolvida, e o valor numérico da 
condutividade térmica indica a rapidez com que o calor será transferido num dado material. 
Qual é a taxa de transferência de energia levando-se em consideração o modelo molecular 
discutido acima? Quanto mais veloz o movimento das moléculas, mais rapidamente a 
energia será transportada. Portanto, a condutividade térmica de um gás deve ser dependente 
da temperatura. Um tratamento analítico simplificado mostra que a condutividade térmica 
de um gás varia com a raiz quadrada da temperatura absoluta. (Convém lembrar que a 
velocidade do som em um gás varia com a raiz quadrada da temperatura absoluta 
kRTv = ; esta velocidade é aproximadamente a velociade média das moléculas.)O mecanismo físico da condução de energia térmica em líquidos é qualitativamente 
o mesmo dos gases; entretanto, a situação é consideravelmente mais complexa, uma vez 
que o espaçamento das moléculas é menor e os campos de força molecular exercem uma 
forte influência na troca de energia no processo de colisão. 
 A energia térmica pode ser conduzida em sólidos de duas maneiras: vibração da 
grade e transporte por elétrons livres. Em bons condutores elétricos um grande número de 
elétrons move-se sobre a estrutura do material. Como estes elétrons podem transportar 
carga elétrica, podem também conduzir energia de uma região de alta temperatura para uma 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
9
região de baixa temperatura, como nos gases. A energia também pode ser transmitida como 
energia de vibração na estrutura do material. Entretanto, este último modo de transferência 
de energia não é tão efetivo quanto o transporte por elétrons, sendo esta a razão pela qual 
bons condutores elétricos são quase sempre bons condutores de calor, como por exemplo o 
cobre, o alumínio e a prata, e isolantes elétricos geralmente são bons isolantes térmicos. 
 Um problema técnico importante é o armazenamento e o transporte, por longos 
períodos, de líquidos criogênicos como o hidrogênio líquido. Tais aplicações causaram o 
desenvolvimento de superisolantes para serem usados em temperaturas mais baixas (até 
aproximadamente –250oC). O superisolamento mais efetivo é constituído de múltiplas 
camadas de materiais altamente refletivos separados por espaçadores isolantes. O sistema é 
evacuado para minimizar as perdas pela condução no ar, sendo possível atingir 
condutividades térmicas tão baixas quanto 0,3 mW/(m.oC). 
 
1.3.2) Transferência de Calor por Convecção 
 
É sabido que uma placa de metal aquecida irá se resfriar mais rapidamente quando 
colocada em frente ao ventilador do que exposta ao ar parado. Este processo é chamado de 
transferência de calor por convecção. O termo convecção fornece ao leitor uma noção 
intuitiva em relação ao processo de transferência de calor; entretanto, esta noção intuitiva 
deve ser ampliada para que se possa conseguir um tratamento analítico adequado do 
problema. Por exemplo, sabemos que a velocidade do ar sobre a placa aquecida influencia a 
taxa de transferência de calor. Mas esta influência sobre o resfriamento será linear, ou seja, 
dobrando-se a velocidade do ar estaremos dobrando a taxa de calor transferido? Devemos 
supor que a taxa de transferência de calor será diferente se a placa for resfriada com água 
em vez de ar. Porém de quanto será essa diferença? Estas questões podem ser respondidas 
com o auxílio de algumas análises básicas a serem apresentadas nos próximos capítulos. 
Agora, o mecanismo físico da transferência de calor por convecção será esquematizado e 
mostrada a sua relação com o processo de condução. 
Considere a placa aquecida mostrada na fig 1.5. A temperatura da placa é Tp, e a 
temperatura do fluido é T∞. Nesta está representado o comportamento da velocidade do 
escoamento, que se reduz a zero na superfície da placa como resultado da ação viscosa. 
Como a velocidade da camada de fluido junto à parede é zero, o calor deve ser transferido 
somente por condução neste ponto. Assim devemos calcular o calor transferido, usando a 
Eq. 1-1, com a condutividade térmica do fluido e o gradiente de temperatura junto à parede. 
Por que, então, se o calor é transferido por condução nesta camada, falamos em 
transferência de calor por convecção e precisamos considerar a velocidade do fluido? A 
resposta é que o gradiente de temperatura depende da razão na qual o calor é removido; 
uma velocidade alta produz um gradiente elevado de temperatura, e assim por diante. 
Portanto, o gradiente de temperatura junto à parede depende do campo de velocidade; 
conseqüentemente, em análises posteriores, desenvolveremos uma expressão que relaciona 
essas duas quantidades. Deve ser lembrado, entretanto, que o mecanismo de transferência 
de calor na parede é um processo de condução. 
O efeito global da convecção é expresso através da lei de Newton do resfriamento 
 
q = hA(Tp - T∞) 1.8 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
10
 
 
Fig. 1-5 transferência de calor por convecção 
 
Aqui a taxa de transferência de calor é relacionada à diferença de temperatura entre a 
parede e o fluido e à área superficial A. A quantidade h é chamada de coeficiente de 
transferência de calor por convecção, e a Eq. 1.8 é a equação de definição deste parâmetro. 
Para alguns sistemas é possível o cálculo analítico de h. Para situações complexas e 
determinação é experimental o coeficiente de transferência é algumas vezes chamado de 
condutância de película devido à sua relação com o processo da condução na fina camada 
de fluido estacionário junto à superfície da parede. Pela Eq. 1.8 a unidade de h é watt por 
metro quadrado por grau Celsius [W/(m2.oC)] no SI. 
 Em vista desta discussão, pode-se antecipar que a transferência de calor por 
convecção irá exibir uma dependência da viscosidade do fluido além da sua dependência 
das propriedades térmicas do fluido (condutividade térmica, calor específico, densidade). 
Isto é esperado porque a viscosidade influência o perfil de velocidade e, portanto, a taxa de 
transferência de energia na região junto à parede. 
 Se uma placa aquecida estiver exposta ao ar ambiente sem uma fonte externa de 
movimentação de fluido, o movimento do ar será devido aos gradientes de densidade nas 
proximidades da placa. Esta convecção é chamada natural ou livre em oposição à 
convecção forçada, que ocorre no caso de se ter um ventilador movimentando o ar sobre a 
placa. Os fenômenos de ebulição e condensação são também agrupados dentro desse 
assunto de transferência de calor por convecção 
 
1.3.3) Transferência de Calor por Radiação 
 
Em contraste com os mecanismos de condução e convecção, onde a energia é 
transferida através de um meio natural, o calor pode também ser transferido em regiões 
onde existe o vácuo perfeito. O mecanismo neste caso é a radiação eletromagnética que é 
propagada como resultado de uma diferença de temperatura; trata-se da radiação térmica. 
Considerações termodinâmicas mostram que um radiador ideal, ou corpo negro, 
emite energia numa taxa proporcional à quarta potência da temperatura absoluta do corpo. 
Quando dois corpos trocam calor por radiação, a troca líquida de calor é proporcional à 
diferença T4. Assim 
 
q = σA(T14 – T24) 1-9 
 
Onde σ é a constante de proporcionalidade chamada de constante de Stefan-Boltzmann 
que vale σ = 5,669 x 10-8 W/(m2.K4). A Eq. 1-9 é chamada de lei de Stefan-Boltzmann da 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
11
radiação térmica e vale somente para corpos negros. É importante observar que esta 
equação é válida somente para radiação térmica; outros tipos de radiação eletromagnética 
podem não ser tratados com esta simplicidade. 
 Foi mencionado que um corpo negro é um corpo que emite energia de acordo com a 
lei T4. Tal corpo é denominado negro porque superfícies negras, como um pedaço de metal 
coberto por negro de fumo, se aproxima desse tipo de comportamento. Outros tipos de 
superfícies, como uma superfície pintada ou uma placa metálica polida, não emitem tanta 
energia quanto o corpo negro; entretanto, a radiação total emita por estes corpos ainda é 
proporcional a T4. Para levar em consideração a natureza “cinzenta” destas superfícies é 
introduzido um outro fator na Eq. 1-9, a emissividade ε, que relaciona a radiação de uma 
superfície “cinzenta” com a de uma superfície negra ideal. Além disso devemos levar em 
conta que nem toda a radiação que deixa uma superfície atinge a outra superfície, uma vez 
que a radiação eletromagnética se propaga segundo linhas retas havendo perdas parao 
ambiente. Portanto, para considerar estas duas situações, são introduzidos dois novos 
fatores na Eq. 1-9 
 
Q = Fεεεε FG σσσσA(T14 – T24) 1.10 
 
onde Fε é a função emissividade e FG é a função “fator de forma” geométrico. A 
determinação da forma destas funções para configurações específicas é objeto de um 
capítulo subseqüente. Entretanto, é importante alertar para o fato destas funções em geral 
não serem independentes uma da outra como indicado na Eq. 1-10. 
 O fenômeno da transferência de calor por radiação pode ser muito complexo e os 
cálculos raramente são simples como indicado pela Eq. 1-10. No momento, interessa-nos 
somente enfatizar as diferenças entre o mecanismo físico da transferência de calor pela 
radiação e os sistemas condução e convecção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
12
2. CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME 
PERMANENTE 
 
 2.1) INTRODUÇÃO 
 
 Agora serão examinadas as aplicações da lei de Fourier da condução de calor para o 
cálculo da transferência de calor em sistemas unidimensionais. Muitos formatos físicos 
diferentes podem ser incluídos na categoria de sistemas unidimensionais. Sistemas 
cilíndricos e esféricos são unidimensionais quando a temperatura no corpo é função 
somente da distância radial e independe do ângulo azimutal ou da distância axial. Em 
alguns problemas bidimensionais os efeitos da segunda coordenada espacial podem ser tão 
pequenos a ponto de serem desprezados, e o problema de fluxo de calor multidimensional 
pode ser aproximado por uma análise unidimensional. Nestes casos as equações 
diferenciais são simplificadas e as soluções são obtidas mais facilmente como resultados 
destas simplificações. 
 
2.2) A PAREDE PLANA 
 
 Inicialmente considere a parede plana onde pode ser feita uma aplicação direta da 
lei de Fourier (Eq. 1-1). Da integração resulta 
 
( )12 TT
x
kAq −
∆
−= 2-1 
 
para condutividade constante. A espessura da parede é ∆x, e as temperaturas das faces da 
parede são T1 e T2. Se a condutividade térmica varia com a temperatura de acordo com 
alguma relação linear k = ko(1 + βT), a equação resultante para o fluxo de calor é 
 
( ) ( ) −+−∆−= 212212 2 TTTTx
Ak
q o β 2.2 
 
Se mais de um material estiver presente, como é o caso da parede composta mostrada na 
Fig. 2-1, o fluxo de calor poderá ser escrito 
c
34
c
B
23
B
A
12
A
x
TTAk
x
TTAk
x
TTAkq
∆
−
−=
∆
−
−=
∆
−
−= 
Observe que o fluxo de calor deve ser o mesmo através de todas as seções. 
 Resolvendo estas equações simultaneamente, o fluxo de calor é dado por 
 
Ak/xAk/xAk/x
TTq
cCBBAA
41
∆+∆+∆
−
= 2-3 
 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
13
 Aqui é conveniente introduzir um ponto de vista conceitual diferente para a lei de 
Fourier. A taxa de transferência de calor pode ser considerada como um fluxo, a 
combinação da condutividade térmica, espessura do material, e a área como uma resistência 
a este fluxo. A temperatura, e a função potencial, ou motora, para este fluxo de calor, e a 
equação de Fourier pode ser escrita 
 
elétricaa Resistênci
potencial deDiferença 
calor de Fluxo = 2-4 
 
que é uma relação semelhante à lei de Ohm na teoria de circuitos elétricos. 
 
Fig. 2-1 Transferência de calor unidimensional através de uma parede composta e analogia elétrica 
 
 
Fig. 2-2 Transferência de calor em série e em paralelo através de uma parede composta e a analogia elétrica. 
 
 Na Eq. 2-1 a resistência a resistência térmica é ∆x/kA, e na Eq. 2.3 á soma dos três 
termos do denominador. Esta situação é esperada na Eq. 2.3 porque as três paredes lado a 
lado agem como três resistências térmicas em série. 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
14
 A analogia elétrica pode ser empregada para resolver problemas mais complexos 
envolvendo resistências térmicas em série e em paralelo. Um problema típico e o seu 
circuito análogo estão mostrados na Fig. 2-2. A equação do fluxo de calor unidimensional 
para este tipo de problema pode ser escrita 
∑
∆
=
t
total
R
Tq 2-5 
onde Rt são as resistências térmicas dos vários materiais. 
 É interessante mencionar que em alguns sistemas como o da Fig. 2-2 pode resultar 
um fluxo de calor bidimensional se as condutividades térmicas dos materiais B, C e D 
forem muito diferentes. Nesses casos outras técnicas devem ser empregadas para a 
obtenção de uma solução. 
 
2.4) SISTEMAS RADIAIS – CILINDROS 
 
 Considere um cilindro longo de raio interno ri, raio externo re, e comprimento L, tal 
como mostrado na Fig. 2-3. Este cilindro é submetido a um diferencial de temperatura(Ti – 
Te) e deseja-se saber qual será o fluxo de calor. Pode-se considerar que o fluxo é 
transmitido na direção radial e assim a única coordenada espacial que deve ser especificada 
é r. 
 
Fig. 2-3 Fluxo de calor unidimensional através de uma parede cilíndrica e a analogia elétrica 
 
Fig. 2.4 Fluxo de calor unidimensional através de seções cilíndricas múltiplas e a analogia elétrica 
 
Mais uma vez é usada a lei de Fourier, inserindo-se a relação de áreas apropriadas. A área 
para o fluxo de calor em sistemas cilíndricos é 
Ar = 2pirL 
E, portanto a lei de Fourier fica 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
15
dr
dTkAq rr −= 
ou 
 
dr
dTkrL2q r pi−= 2-7 
com as condições de contorno 
T =Ti em r = ri 
T = Te em r = re 
 
A solução da Eq. 2-7 é 
( )
( )ie
ei
rr
TTkL
q
ln
2 −
=
pi
 2-8 
e a resistência térmica pode ser usado para paredes cilíndricas compostas, da mesma 
maneira que para paredes planas. Para o sistema de três camadas mostrado na Fig. 2-4 a 
solução é 
 
( )
( ) ( ) ( ) CBA krrkrrkrr
TTL
q
342312
41
lnlnln
2
++
−
=
pi
 2-9 
 
O circuito térmico é mostrado na Fig. 2-4b. 
 Sistemas esféricos também podem ser tratados como udimensionais quando a 
temperatura é somente função do raio. O fluxo de calor é então 
 
ei
ei
r1r1
)TT(k4q
−
−pi
= 2-10 
 
 
 
2.5) O COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
 Considere a parede plana mostrada na Fig. 2-5, exposta a um fluido quente A em 
um dos lados. O calor transferido é dado por 
( ) ( ) ( )B22211A1 TTAhTT
x
kATTAhq −=−
∆
=−= 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
16
 
Fig. 2-5 Fluxo de calor através de uma parede plana 
 
O processo de transferência de calor pode ser representado pelo circuito da 
resistência da Fig. 2-5, e o calor total transferido é calculado como razão entre a diferença 
total de temperatura e a soma das resistências térmicas 
 
AhkAxAh
TT
q BA
21 11 +∆+
−
= 2.11 
 
 Observe que o valor 1/ha é usado para representar a resistência de convecção. O 
calor total transferido pelos mecanismos combinados de condução e convecção é 
freqüentemente expresso em termos de um coeficiente global de transferência de calor U, 
definido pela relação 
 
totalTUAq ∆= 2.12 
 
onde A é uma área adequada para a transferência de calor. De acorda com a Eq. 2.11, o 
coeficiente global de transferência de calor é 
21 11
1
hkxh
U
+∆+
= 
 A analogia elétrica para um cilindro oco, que troca calor por convecção interna e 
externamente, está representada na Fig. 2-6, onde TA e TB são as temperaturas dos fluidos. 
 
Fig. 2-6 Analogia elétrica para um cilindro oco com troca de calor por convecção nas superfícies interna e externa 
 
 Observe que a área para convecçãonão é a mesma para os dois fluidos neste caso. 
Estas áreas dependem do diâmetro interno do tubo e da espessura da parede. Neste caso, o 
fluxo total de calor é dado por 
 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
17
( )
ee
ie
ii
BA
AhkL
rr
Ah
TT
q
1
2
ln1
++
−
=
pi
 2.13 
 
de acorda com o circuito térmico da Fig. 2-6. Os termos Ai e Ae reapresentam as áreas das 
superfícies interna e externa do tubo. O coeficiente global de transferência de calor pode ser 
baseado tanto na área interna como na externa. 
 
( )
ee
iiei
i
i
hA
A
kL
rrA
h
U
1
2
ln1
1
++
=
pi
 2-14 
 
( )
e
iee
ii
e
e
hkL
rrA
hA
A
U
1
2
ln1
1
++
=
pi
 2-15 
 
2.6) ESPESSURA CRÍTICA DE ISOLAMENTO 
 
 Considere uma camada de isolamento que pode ser instalada ao redor de um tubo 
circular, como mostrado na Fig. 2-7. A temperatura interna do isolamento é fixada em Ti, e 
a superfície externa troca calor com o ambiente a T∞. Do circuito térmico, o calor 
transferido vale 
 
 
Fig 2-7 Espessura crítica de isolamento 
 
( )
( )
hrk
rr
TTL
q
e
ie
i
1ln
2
+
−
=
∞
pi
 2-16 
 Vamos agora manipular esta expressão para determinar o raio externo de isolamento 
re que irá maximizar a transferência de calor. A condição de máximo é 
( )
( ) 2
2
1ln
112
0






+








−−−
==
∞
hrk
rr
hrkr
TTL
dr
dq
e
ie
ee
ipi
 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
18
que fornece como resultado 
h
k
re = 2.17 
 
 A equação 2.17 expressa o conceito de raio crítico de isolamento. Se o raio externo 
for menor que o valor dado por esta equação, então a transferência de calor será aumentada 
com a colocação de mais isolante. Para raios externos maiores que o valor crítico, um 
aumento de espessura de isolamento causará um decréscimo da transferência de calor. O 
conceito central é que para valores de h suficientemente pequenos as perdas de calor por 
convecção podem aumentar com o aumento da espessura do isolamento, porque isto 
aumenta a superfície externa do isolamento. 
 
2.7) SISTEMAS COM GERAÇÃO DE CALOR 
 
 Algumas aplicações interessantes dos princípios da transferência de calor estão 
relacionadas com sistemas onde o calor pode ser gerado internamente. Os reatores 
nucleares são um exemplo, assim como condutores elétricos e sistemas quimicamente 
reagentes. Nossa discussão aqui ficará limitada aos sistemas unidimensionais ou, mais 
especificamente, sistemas onde a temperatura é função única de uma variável espacial. 
 
2.7.1) Parede plana com geração de calor 
 
 Considere a parede plana com fontes de calor uniformemente distribuídas como 
mostrado na Fig. 2-8. A espessura da parede na direção x é 2L, e é admitido que as 
dimensões nas outras direções são suficientemente grandes para que o fluxo de calor seja 
considerado unidimensional. O calor gerado por unidade de volume é q& e a condutividade 
térmica é considerada constante, não variando coma temperatura. Esta situação pode ser 
produzida na prática passando-se uma corrente elétrica através de um condutor. Do 
Capítulo 1, a equação diferencial para esta situação é 
 
02
2
=+
k
q
dx
Td &
 2-18 
 
Para as condições de contorno, especificamos as temperaturas dos dois lados da placa, isto 
é, 
T = Tp em x = �L 2-19 
 
 A solução geral da Eq.2-18 é 
21
2
2
CxCx
k
qT ++−=
&
 2-20 
 
 Como a temperatura deve ser a mesma nos dois lados da parede, C1 deve ser zero. A 
temperatura do plano médio é denotado por To; da Eq 2-20 
To = C2 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
19
 
 
Portanto, a distribuição de temperatura é 
 
2
2
x
k
qTT o
&
−=− 2-21a 
2






=
−
−
L
x
TT
TT
op
o
 2-21b 
que é uma distribuição parabólica. Uma expressão para a temperatura do plano médio To 
pode ser obtida através de um balanço de energia. Em regime permanente, o calor total 
gerado deve ser igual ao calor perdido pelas duas faces. Assim, 
LAq
dx
dTkA
Lx
22 &=







−
=
 
onde A é a área de seção transversal da placa. O gradiente de temperatura na parede é 
obtido diferenciando-se a Eq. 2-21b: 
 
( ) ( )
L
TT
L
xTT
dx
dT
op
Lx
op
Lx
22
2 −=








−=

==
 
Então ( ) Lq
L
TTk op &=−−
2
 
e po Tk
LqT +=
2
2
&
 2-22 
 
Fig 2-8 Esquema ilustrativo do problema da condução unidimensional com geração de calor 
 
2.7.2) CILINDRO COM GERAÇÃO DE CALOR 
 
 Considere um cilindro de raio R com fontes de calor uniformemente distribuídas e 
condutividade térmica constante. Se o cilindro for suficientemente longo para que a 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
20
temperatura possa ser considerada somente uma função do raio, a equação diferencial 
apropriada pode ser obtida da equação 
012
2
=++
k
q
dr
dT
rdr
Td &
 2-23 
As condições de contorno são 
T = Tp em r = R 
e o calor gerado pode ser igual ao calor perdido na superfície 
Rrdr
dTRLkLRq
=


−= pipi 22& 
 Como a função temperatura pode ser contínua no centro do cilindro, pode-se 
especificar que 
0=
dr
dT
 em r = 0 
Entretanto, não será necessário usar esta condição, pois isto será verificado 
automaticamente quando as duas condições de contorno forem satisfeitas. 
 A Eq. 2-23 pode ser escrita 
k
rq
dr
dT
dr
Td
r
&−
=+2
2
 
 
sendo que 






=+
dr
dT
r
dr
d
dr
dT
dr
Td
r 2
2
 
Portanto a integração fornece 
1
2
2
C
k
rq
dr
dT
r +
−
=
&
 e 
21
2
ln
4
CrC
k
rqT ++−=
&
 
Da segunda condição de contorno acima, 
R
C
k
Rq
k
Rq
dr
dT
Rr
1
22
+
−
=
−
=

=
&&
 
e, portanto C1 = 0 
 
A solução final para a distribuição de temperatura é 
( )22
4
rR
k
qTT p −=−
&
 2-24 
ou, na forma adimensional 
2
1 





−=
−
−
R
r
TT
TT
po
p
 
onde To é a temperatura em r = 0 dada por 
po Tk
RqT +=
4
2
&
 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
21
3. CONDUÇÃO TRANSIENTE E USO DE CARTAS DE 
TEMPERATURA 
 
 Se a temperatura da face de um corpo sólido for alterada repentinamente, a 
temperatura no interior do sólido principia a variar com o tempo. Passa-se algum tempo 
antes que seja atingida a distribuição de temperatura estacionária. A determinação da 
distribuição de temperatura é assunto complicado, pois a temperatura varia tanto com a 
posição como com o tempo. Em muitas aplicações práticas, a variação da temperatura com 
a posição é desprezível durante o estado transiente e, por isso, considera-se a temperatura 
função exclusiva do tempo. A análise da transferência de calor com esta hipótese é a 
análise global do sistema; por ser a temperatura função exclusiva do tempo, a análise é 
muito simples. Por isso, neste capítulo, principiamos com a análise global de condução 
transiente de calor. 
 O emprego de cartas de temperatura é ilustrado para resolver a condução de calor 
transiente, simples, numa placa, num cilindro ou numa esfera, nas quais a temperatura varia 
com o tempo e com a posição. 
 
3.1) ANÁLISE GLOBAL DO SISTEMA 
 
 Considere um sólido de forma arbitrária, volume V, área superficial total A, 
condutividade térmicak, densidade ρ, calor específico cp, a uma temperatura uniforme To, 
que é repentinamente imerso, no instante t = 0, em um fluido agitado e mantido a uma 
temperatura uniforme T∞. A fig. 3-1 ilustra o sistema da transferência de calor considerado. 
A transferência de calor entre o sólido e o líquido se realiza por convecção, com um 
coeficiente de transferência de calor h. Admite-se que a distribuição de temperatura dentro 
do sólido, em qualquer instante seja suficientemente uniforme, de tal modo que a 
temperatura de sólido pode ser considerada função exclusiva do tempo, isto é, T(t). A 
equação de energia na transferência de calor no sólido pode ser escrita como 
 
Fig.3.1 Nomenclatura da análise global do sistema durante o fluxo transiente de calor 
 
 Taxa de fluxo de calor afluente ao sólido de volume V = Taxa de aumento da 
energia interna do sólido de volume V. 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
22
Escrevendo-se as expressões matemáticas apropriadas a cada um destes termos, 
obtém-se: 
[ ]
dt
tdTVctTTAh p
)()( ρ=−
∞
 3.1 
ou 
0])([)( =−+
∞
TtT
Vc
Ah
dT
tdT
pρ
 em t > 0 3.2 
 
sujeito à condição inicial 
T(t) = To em t = 0 
 
Para conveniência da análise, define-se uma nova temperatura θ(t) 
θ(t)≡ T(t) - T∞ 
 
Então a equação 3-2 torna-se 
0)()( =+ tm
dt
td θθ em t > 0 3-3 
e θ(t) = To - T∞ ≡ θo em t = 0 
onde definimos 
Vc
Ah
m
pρ
≡ 3.4 
A Eq. 3-3 é uma equação diferencial ordinária na temperatura θ(t), cuja solução geral é 
dada por 
θ(t) = C e-mt 3.5 
 
A aplicação da condição inicial dá a constante de integração C = θo. Então, a temperatura 
do sólido em função do tempo é 
 
mt
oo
e
TT
TtTt
−
∞
∞
=
−
−
=
)()(
θ
θ
 3.6 
 A fig. 3-2 mostra um gráfico da temperatura adimensional da Eq 3.6 em função do 
tempo. A temperatura decai exponencialmente com o tempo, e a forma da curva é 
determinada pelo valor do expoente m. Aqui, m tem a dimensão de (tempo)-1. É claro que 
as curvas na fig. 3-2 se tornam cada vez mais inclinadas à medida que o valor de m cresce. 
Isto é, qualquer acréscimo de m fará com que o sólido responda mais rapidamente a uma 
variação de temperatura ambiente. O exame dos parâmetros na definição de m revela que o 
aumento da área superficial, para um dado volume, e o coeficiente de transferência de calor 
provocam o aumento de m. Aumentando-se a densidade, o calor específico, ou o volume, 
haverá diminuição de m. 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
23
 
Fig. 3.2 A temperatura adimensional θθθθ(t)/θθθθo em função do tempo. 
 
 Para estabelecer alguns critérios com que a distribuição de temperatura possa ser 
considerada uniforme no interior do sólido, e com que a análise global do sistema seja 
aplicável, vamos definir um comprimento característico Ls como 
A
VLs = 3.7 
e o número de Biot, Bi, como 
k
hLBi s= 3.8 
onde k é a condutividade térmica do sólido. Em sólidos que tenham a forma de placa, ou 
cilindro longo ou esfera, a distribuição de temperatura dentro do sólido, no estado 
transiente, em qualquer instante, é uniforme, com um erro menor do que cerca de 5%, se 
 
1,0≤=
s
s
k
hL
Bi 3.9 
 
Discutiremos mais adiante este assunto, que se tornará então mais claro. Aqui, admitiremos 
que a análise global do sistema é aplicável nas situações em que Bi < 0,1. 
 O significado físico do número de Biot visualiza-se melhor se for escrito na forma 
ss Lk
hBi = 
 
que é a razão entre o coeficiente de transferência de convectiva calor na superfície do 
sólido e a condutância específica do sólido. Portanto, a hipótese de temperatura uniforme 
no interior do sólido é válida se a condutância específica do sólido for muito maior do que 
o coeficiente de transferência convectiva de calor. 
 
3.2) CONDIÇÃO DE CONTORNO MISTA 
 
 Na discussão precedente, consideramos uma situação em que todas as fronteiras da 
região estavam sujeitas a convecção. Este método também se aplica quando parte da 
fronteira está sujeita a convecção e o restante está sujeito a um certo fluxo de calor, como 
vamos ilustrar agora. 
 Considere uma placa de espessura L, inicialmente a uma temperatura uniforme To. 
Em qualquer instante t > 0, fornece-se calor à placa através de uma de suas superfícies com 
uma constante de q (W/m2), enquanto se dissipa calor por convecção pela outra superfície, 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
24
para um ambiente com temperatura uniforme T∞ com um coeficiente de transferência de 
calor h. A fig. 3.3 mostra a geometria e as condições de contorno do problema. 
 
Fig. 3.3 Nomenclatura para análise global do fluxo transiente de calor em uma placa. 
 
 Vamos admitir áreas iguais A na transferência de calor em ambas as faces da placa. 
O balanço de energia, neste caso particular dá 
 
dt
tdTALctTTAhAq p
)()]([ ρ=−+
∞
 
dt
tdTLctTThq p
)()]([ ρ=−+
∞
 em t > 0 3-10a 
com a condição inicial 
T(t) = To em t = 0 3-10b 
 
Para conveniência na análise, definimos uma nova temperatura θ(t) 
θ(t) = T(t) - T∞ 
Dessa forma, as Eqs. = 3.10 são escritas 
 
Qtm
dt
td
=+ )()( θθ em t > 0 3-11a 
θ(t) = To - T∞ ≡ θo em t = 0 3-11b 
 
onde definimos 
Lc
h
m
pρ
≡ e 
Lc
qQ
pρ
≡ 
A solução da Eq. 3-11a é a soma da solução da parte homogênea da 3-11a com a solução 
particular na forma 
 
θ(t) = Ce-mt + θp 3-12 
 
onde C é a constante de integração. A solução particular θp é dada por 
 
m
Q
p =θ 3-13 
 
Combinando as Eqs. 3-12 e 3-13, obtemos 
 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
25
m
QCet mt += −)(θ 3-14 
 
A constante de integração C é determinada pela aplicação da condição inicial 3-11b como 
m
QCo +=θ 3-15 
Substituindo a Eq. 3-15 na 3-14, obtemos a solução deste problema da transferência de 
calor: 
 
( )
m
Q
eet mtmto
−−
−+= 1)( θθ ou 
 
( )
h
q
eet mtmto
−−
−+= 1)( θθ 3-16 
Para t → ∞, esta solução simplifica-se em 
 
( )
h
q
m
Q
==∞θ 3-17 
que é a temperatura estacionária da placa. 
 
3.3) PLACA – EMPREGO DAS CARTAS DE TEMPERATURA TRANSIENTE 
 
 Em muitas situações, os gradientes de temperatura no interior dos sólidos não são 
desprezíveis, e não é aplicável a análise global do sistema. Neste caso, a análise dos 
problemas da condução de calor envolve a determinação da distribuição de temperaturas no 
interior do sólido em função do tempo e da posição, e é um tema bastante complicado. 
Vários métodos de análise para resolver estes problemas são discutidos em diversos textos, 
com tratamento avançado da condução de calor. Problemas simples, como a condução de 
calor, unidimensional, dependente do tempo, em uma placa sem geração interna de energia, 
podem ser resolvidos facilmente pelo método da separação de variáveis, como será 
descrito mais adiante neste capítulo. Além disso, a distribuição de temperatura em tais 
situações foi calculada, e os resultados, apresentados na forma de cartas de temperaturas 
transientes em várias obras. Apresentaremos as cartas de temperaturas transientes e de 
fluxo de calor e discutiremos seu significado físico e seu emprego. 
 Considere uma placa (por exemplo, uma parede plana) de espessura 2L confinada na 
região –L ≤ x ≤ L. Inicialmente, a placa está a uma temperatura uniforme Ti. De repente, a t 
= 0, ambas as superfícies de contorno da placa são sujeitas a convecção com um 
coeficiente de transferência de calor h para o ambiente à temperatura T∞ e assim mantida 
nos instantes t > 0. A fig 3.4a mostra a geometria, coordenadas e condições de contorno 
desteproblema particular. Porém, neste problema, há simetria geométrica e térmica em 
torno do plano x = 0, de forma que podemos considerar o problema de condução do calor 
numa metade da região, digamos 0 ≤ x ≤ L. Com essa consideração, o problema da 
condução do calor numa placa de espessura 2L confinada à região –L ≤ x ≤ L, como está 
ilustrado na fig 3.4a, é equivalente ao problema de uma placa de espessura L confinada na 
região 0 ≤ x ≤ L, como está ilustrado 3.4b. Então, a formação matemática deste problema da 
condução do calor dependente do tempo, com a geometria e as condições de contorno de 
fig. 3.4b, é dada por 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
26
 
 (a) (b) 
Fig. 3.4 Geometria, coordenadas e condições de contorno da condução de calor transiente em uma placa. 
 
t
T
x
T
∂
∂
=
∂
∂
α
1
2
2
 em 0 < x < L, e t > 0 3.18a 
0=
∂
∂
x
T
 em x = 0, e t > 0 3.18b 
∞
=+
∂
∂ hThT
x
Tk em x = L, e t > 0 3.18c 
T = Ti em t = 0, e 0 ≤ x ≤ L 3.18d 
 
3.3.1) Equações Adimensionais 
 
 O problema da condução transiente de calor, dado pelas Eqs. 3.18, pode ser 
expresso em forma adimensional introduzindo-se as seguintes variáveis adimensionais: 
aladimensiona temperatur),( =
−
−
=
∞
∞
TT
TtxT
i
θ 3.19a 
aladimension coordenada==
L
xX 3.19b 
 Biotde número==
k
hLBi 3.19c 
 Fourierde número ou al,adimension tempo2 == L
tα
τ 3.19d 
Desta forma, o problema da condução de calor dado pelas Eqs 3.19 se transforma em 
τ
θθ
∂
∂
=
∂
∂
2
2
X
 em 0 < X < 1, e τ > 0 3.20a 
0=
∂
∂
X
θ
 em X = 0, e τ > 0 3.20b 
0=+
∂
∂ θθ Bi
X
 em X = 1, e τ > 0 3.20c 
θ = 1 em 0≤ X ≤ 1, e τ = 0 3.20d 
O significado físico do tempo adimensional τ, ou número de Fourier, visualiza-se melhor se 
a equação 3.19d for reordenada na forma 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
27
C W/,L
 volumeno L de longo ao
calor de retenção de taxa
C W/,L
 volumeno L de longo ao
calor de condução de taxa
/
)/1(
o3
o3
3
2
2 === tLc
LLk
L
t
pρ
α
τ 3.21a 
Portanto, o número de Fourier é uma medida da razão entre a taxa de condução e a taxa de 
retenção de calor, num elemento de volume. Por isso, quanto maior o número de Fourier, 
mais profunda é a penetração do calor num sólido durante um certo intervalo de tempo. 
 O significado físico do número de Biot compreende-se melhor se a Eq. 3.19c for 
escrita na forma 
L ocompriment
no sólido do acondutânci
sólido
do superfície nacalor de
ncia transferêde ecoeficient
/
===
Lk
h
k
hLBi 3.21b 
Assim, o número de Biot é a razão entre o coeficiente de transferência de calor e a 
condutância do sólido sobre o comprimento característico. 
 Comparando os problemas de condução de calor expressos pelas Eq. 3.18 e 3.20, 
concluímos que o número de parâmetros independentes que afetam a distribuição de 
temperatura no sólido reduz-se significativamente quando se exprime o problema na sua 
forma adimensional. No problema dado pelas Eqs. 3.18, a temperatura depende dos oito 
seguintes parâmetros físicos: 
x, t, L, k, α, h, Ti, T∞ 
Porém, no problema adimensional expresso pelas Eqs. 3.20, a temperatura depende dos três 
seguintes parâmetros adimensionais: 
X, Bi, e τ 
Fica evidente que, se exprimirmos o problema na forma adimensional, o número de 
parâmetros que afetam a distribuição de temperatura reduz-se significativamente. Por isso, 
é prático resolver o problema de uma vez por todas e expor os resultados na forma de cartas 
para referência rápida. 
 
3.3.2) Carta de Temperatura Transiente numa Placa 
 
 O problema definido pelas Eqs. 3.20 já foi resolvido e os resultados para a 
temperatura adimensional estão nas Figs 3.5a e 3.5b. A Fig.35a dá a temperatura no plano 
central To ou θ(0, τ) em X = 0, em função do tempo adimensional τ com diferentes valores 
do parâmetro 1/Bi. A curva com 1/Bi = 0 corresponde ou a h → ∞, ou então as faces da 
placa estão mantidas na temperatura ambiente T∞. Nos grandes valores de 1/Bi, o número 
de Biot é pequeno, ou a condutância interna do sólido é grande em relação ao coeficiente de 
transferência de calor na superfície. Isto, por sua vez, implica que a distribuição de 
temperatura dentro do sólido é suficientemente uniforme, e, portanto, pode-se adotar a 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
28
análise global do sistema. A Fig. 3.5b relaciona as temperaturas em diferentes posições 
dentro da placa com a temperatura do plano central, To. Se soubermos a temperatura To, 
saberemos as temperaturas nas diferentes posições dentro da placa. 
 Um exame da Fig 3.5b revela que, nos valores de 1/Bi maiores do que 10, ou Bi < 
0,1, a distribuição de temperaturas na placa pode ser considerada uniforme, com um erro 
menor do que cerca de 5%. Devemos recordar que o critério Bi < 0,1, foi utilizado para que 
a análise global do sistema fosse aplicável. 
 
 
Fig. 3.5 Carta de temperaturas transientes numa placa de espessura 2L sujeita a convecção em ambas as faces. (a) 
Temperatura To no plano central x=0; (b) correção de posição para utilizar com a parte (a). 
 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
29
A Fig.3.6 Mostra o calor adimensional transferido Q/Qo em função do tempo adimensional, 
em vários valores do número de Biot, numa placa de espessura 2L. Aqui, Q representa a 
quantidade total de energia perdida pela placa até certo tempo t, durante a transferência de 
calor. A quantidade Qo, definida como 
 
Qo = ρcpV(Ti - T∞) 3.22 
 
representa a energia interna inicial da placa na temperatura ambiente. 
 
Fig. 3.6 Calor adimensional transferido Q/Qo numa placa de espessura 2L. 
 
 
 
 
 
 
3.4) CILINDRO LONGO E ESFERA – EMPREGO DAS CARTAS DE 
TEMPERATURAS TRANSIENTES 
 
 A distribuição das temperaturas adimensionais transientes e os resultados da 
transferência de calor, semelhantes aos que estão nas Figs 3.5 e 3.6, também podem ser 
calculados nos casos de um cilindro longo e no de uma esfera. 
3.4.1) Carta de temperaturas transientes num cilindro longo 
 
 Considere a condução de calor, unidimensional, transiente, num cilindro longo de 
raio b, inicialmente a uma temperatura uniforme Ti. Repentinamente, no tempo t = 0, a 
superfície em r = b é sujeita a convecção, com um coeficiente de transferência de calor h 
para um ambiente à temperatura T∞ e mantida assim em t > 0. A formulação matemática 
deste problema de condução de calor é dada em forma adimensional como 
τ
θθ
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
R
R
RR
1
 em 0 < R < 1, e τ > 0 3.23a 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
30
0=
∂
∂
R
θ
 em R = 0, e τ > 1 3.23b 
0=+
∂
∂ θθ Bi
R
 em R = 1, e τ > 0 3.23c 
θ = 1 em 0 ≤ R ≤ 1, e τ = 0 3.23d 
 
onde as várias grandezas adimensionais são definidas da forma seguinte 
 
==
k
hbBi número de Biot 3.24a 
== 2b
tα
τ tempo adimensional, ou número de Fourier 3.24b 
( )
=
−
−
=
∞
∞
TT
TtrT
i
,θ temperatura adimensional 3.24c 
==
b
rR coordenada radial adimensional 3.24d 
 O problema da Eq. 3.22 já foi resolvido, e os resultados para temperatura no centro 
To ou θ(0,τ) estão na Fig. 3.7a, em função do tempo adimensional, com vários valores do 
parâmetro 1/Bi. A fig.3.7b relaciona as temperaturas em diferentes posições dentro do 
cilindro com a temperatura no plano médio To. Por isso, dada To, as temperaturas nas 
diferentes posições internas do cilindro podem ser determinadas a partir da Fig. 3.7b. 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
31
 
 
Fig. 3.7 Cartade temperaturas transientes num cilindro maciço longo, de raio r=b sujeito a convecção na 
superfície r=b. (a) Temperatura To no eixo do cilindro; (b) correção de posição para utilizar com a parte (a). 
 
 A Fig. 3.8 mostra o calor adimensional transferido Q/Qo em função do tempo 
adimensional com diversos valores do número de Biot, no problema do cilindro dado pelas 
Eqs. 3.22. Aqui Qo, tem o significado definido pela equação 3.22, e Q representa a 
quantidade total de energia perdida pelo cilindro até certo tempo t, durante a transferência 
transiente de calor. 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
32
 
Fig. 3.8 Calor adimensional transferido Q/Qo num cilindro longo de raio b 
 
3.4.2) Carta de temperaturas transientes numa esfera 
 
 Numa esfera de raio b, inicialmente a uma temperatura uniforme Ti e em t > 0, 
sujeita a convecção na superfície r = b, com um coeficiente de transferência de calor h, 
para um ambiente à temperatura T∞, o problema da condução transiente de calor é dado na 
forma adimensional como 
τ
θθ
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
R
R
RR
2
2
1
 em 0 < R < 1, e τ > 0 3.24a 
0=
∂
∂
R
θ
 em R = 0, e τ > 0 3.24b 
0=+
∂
∂ θθ Bi
R
 em R = 1, e τ > 0 3.24c 
θ = 1 em 0 ≤ R ≤ 1, se for τ = 0 3.25c 
Aqui, os parâmetros adimensionais Bi, θ e R são definidos como as Eqs. 3.24. 
 A Fig. 3.9a mostra a temperatura no centro To, ou θ (0,τ), da esfera em função do 
tempo adimensional τ com diferentes valores do parâmetro 1/Bi. 
 
 A Fig. 3.9b apresenta a relação entre as temperaturas em diferentes posições dentro da 
esfera e a temperatura no centro To. 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
33
 
Fig. 3.9 Carta de temperaturas transientes numa esfera maciça, de raio r=b sujeito a convecção na superfície r=b. 
(a) Temperatura To no centro da esfera; (b) correção de posição para empregar com a parte (a). 
 
 
 
 
A Fig. 3.10 mostra o calor adimensional Q/Qo em função do tempo adimensional com 
diferentes valores do número de Biot. Aqui, Q e Qo são definidos como previamente. 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
34
 
 
Fig. 3.10 Calor adimensional transferido Q/Qo numa esfera de raio b 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
35
4) CONVECÇÃO – CONCEITOS E RELAÇÕES BÁSICAS 
 
Até aqui consideramos a transferência condutiva de calor nos sólidos, nos quais não há 
movimento do meio. Nos problemas de condução, a convecção participou na análise, 
simplesmente como condição de contorno, na forma de um coeficiente de transferência de 
calor. 
 Nosso objetivo, neste e nos capítulos seguintes a respeito da convecção, é 
estabelecer as bases físicas e matemáticas para a compreensão do transporte convectivo de 
calor e revelar as várias correlações na transferência de calor. 
 Nas aplicações de engenharia, há interesse na perda de carga e na força de arraste 
associadas ao escoamento dentro de dutos ou sobre corpos. Por isso, são apresentadas as 
correlações apropriadas para prever a queda de pressão e força de arraste num escoamento. 
 A análise da convecção é complicada, pois o movimento do fluido afeta a perda de 
carga, a força de arraste e a transferência de calor. Para determinar a força de arraste, ou a 
perda de carga, deve ser conhecido o campo de velocidades nas vizinhanças imediatas da 
superfície. Para determinar a transferência convectiva de calor também se precisa da 
distribuição de velocidades no escoamento do fluido, porque a velocidade participa da 
equação da energia; a solução da equação da energia determina a distribuição de 
temperaturas no campo do escoamento. 
 A literatura a respeito da transferência convectiva de calor é superabundante e está 
sempre crescendo. Nestes últimos anos, com a disponibilidade de computadores digitais 
rápidos e de elevada capacidade, têm-se feito notáveis progressos na análise, com grandes 
detalhes, de problemas muito complicados de transferência de calor. Não obstante, um 
grande número de problemas de engenharia mais simples pode ser resolvido com o 
emprego de correlações padrões de transferência de calor. Por isso, vamos focalizar nossa 
atenção sobre esses casos. Para atingir este objetivo, apresentaremos neste capítulo uma 
visão coerente da convecção, a fim de propiciar uma base firme para aplicações. Serão 
discutidos os conceitos básicos associados ao escoamento sobre um corpo, ao escoamento 
dentro de um duto e à turbulência. Ilustraremos também o papel da distribuição de 
temperaturas e o da distribuição de velocidades, num escoamento, sobre a transferência de 
calor e a força de arraste. 
 As distribuições de velocidades e de temperaturas no escoamento são determinadas 
a partir da solução das equações do movimento e da energia. Por isso, estas equações são 
apresentadas no caso de um escoamento bidimensional, de um fluido com propriedades 
constantes, incompressível, nos sistemas de coordenadas cartesianas e cilíndricas. A 
simplificação destas equações é ilustrada a fim de se obterem as equações que governam a 
análise dos problemas mais simples de transferência de calor. 
 Finalmente, discute-se o significado físico dos parâmetros adimensionais e 
apresentam-se as equações das camadas limites. 
 
4.1) ESCOAMENTO SOBRE UM CORPO 
 
Quando um fluido escoa sobre um corpo sólido, a distribuição de velocidades e de 
temperaturas na vizinhança imediata da superfície influencia fortemente a transferência 
convectiva de calor. O conceito de camada limite é freqüentemente introduzido para 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
36
modelar os campos de velocidade e de temperatura próximos da superfície sólida, a fim de 
simplificar a análise da transferência convectiva de calor. Assim, estaremos envolvidos 
com dois tipos de camadas limites: a camada limite cinética e a camada limite térmica. 
 
4.1.1) Camada limite cinética 
 
 Para ilustrar o conceito de camada limite cinética, consideremos o escoamento de 
um fluido sobre uma placa, como está ilustrado na fig. 4.1. O fluido na borda frontal da 
placa (isto é, em x = 0) tem uma velocidade u∞ que é paralela à superfície da placa. À 
medida que o fluido se move na direção x ao longo da placa, as partículas do fluido em 
contato com a face da placa assumem velocidade zero (isto é, não há deslizamento sobre a 
face da placa). Portanto, a partir da superfície da placa haverá um retardamento da 
componente x da velocidade u(x,y) = u. Isto é, na superfície da placa, em y = 0, a 
componente axial da velocidade é zero, ou u = 0. O efeito do retardamento é reduzido 
quando o fluido se move em uma região afastada da face da placa; a distâncias 
suficientemente grandes da placa, o efeito de retardamento é nulo, isto é, u = u∞ para 
grandes y. Portanto, a cada posição x ao longo da placa, há uma distância y = δ(x), medida a 
partir da superfície da placa, onde a componente axial da velocidade u é igual a 99% da 
velocidade da corrente livre u∞, isto é, u = 0,99 u∞. O lugar geométrico destes pontos, onde 
u = 0,99 u∞, é a camada limite cinética δ(x). Com o conceito de camada limite cinética 
assim introduzido no escoamento sobre uma placa plana, o campo do escoamento pode ser 
dividido em duas regiões distintas: (1) Na região da camada limite, a componente axial da 
velocidade u(x,y) varia rapidamente com a distancia y à face da placa; portanto, os 
gradientes de temperatura e as tensões de cisalhamento são grandes. (2) Na região fora da 
camada limite, na região de escoamento potencial, os gradientes de velocidade e as tensões 
de cisalhamento são desprezíveis. 
 
 
Fig. 4.1 Conceito de camada limite no escoamento sobre uma placa plana 
 
 Referindo-nos à ilustração na Fig. 4.1, vamos examinaro comportamento do 
escoamento na camada limite em função da distância x medida a partir da borda frontal da 
placa. A característica do escoamento é governada pelo valor da grandeza número de 
Reynolds. No escoamento sobre uma placa plana, como está na Fig. 4.1, este número é 
definido por 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
37
ν
xu
x
∞
≡Re (4.1) 
onde u∞ = velocidade da corrente livre 
 x = distância à borda frontal 
 ν = viscosidade cinemática do fluido 
A camada limite começa na borda frontal (isto é, em x =0) da placa como uma 
camada limite laminar, na qual o escoamento permanece ordenado e as partículas do fluído 
se movem ao longo das linhas de corrente. Este movimento ordenado continua ao longo da 
placa até que se atinge uma distância crítica, ou o número de Reynolds alcance um valor 
crítico. Depois de este número de Reynolds crítico ser atingido, os pequenos distúrbios no 
escoamento começam a ser amplificados, e flutuações no fluído começam a se desenvolver, 
o que caracteriza o final da camada limite laminar e o início da transição para a camada 
limite turbulenta. No escoamento sobre uma placa plana, o número de Reynolds crítico, no 
qual acontece a transição do escoamento laminar para o turbulento, é geralmente tomado, 
na maior parte das finalidades analíticas, como 
 
5105Re x
v
xu
x ≅≡
∞
 (4.2) 
 
 Entretanto este valor crítico é fortemente dependente da rugosidade da superfície e 
do nível de turbulência da corrente livre. Por exemplo, com distúrbios muito grandes na 
corrente livre, a transição pode começar em um número de Reynolds tão baixo como 105, e, 
nos escoamentos livres de perturbações, pode não começar até que o número de Reynolds 
atinja um valor de 106 ou mais. Mas num escoamento sobre uma placa plana, a camada 
limite é sempre turbulenta para Rex ≥ 4x106. Na camada limite turbulenta próxima da 
parede, há uma camada muito delgada, chamada subcamada laminar, onde o escoamento 
retém seu caráter laminar. Adjacente a subcamada laminar existe uma região chamada 
camada amortecedora, na qual há turbulência muito fina e a velocidade média axial 
aumenta rapidamente com a distância à superfície sólida. A camada amortecedora é seguida 
pela camada turbulenta, na qual há turbulência em alta escala e a velocidade muda 
relativamente pouco com a distância à parede. 
 A fig 4.2 mostra o conceito de camada limite no escoamento sobre um corpo curvo. 
Neste caso, a coordenada x é medida ao longo da superfície curva do corpo; principiando 
pelo ponto de estagnação, e em cada posição x segundo a normal à superfície do corpo. A 
velocidade da corrente livre )(xu
∞
 não é constante, mas varia com a distância ao longo da 
superfície curva. O conceito de camada limite, discutido acima, também se aplica a esta 
situação particular. A espessura da camada limite )(xδ cresce com a distância x ao longo 
da superfície. Entretanto, devido a curvatura da superfície, depois de uma certa distância x, 
o perfil de velocidade ),( yxu mostra um ponto de inflexão, isto é, yu ∂/δ se anula na 
superfície do sólido. Além do ponto de inflexão, há uma inversão do escoamento, e diz-se 
que a camada limite está descolada da superfície do sólido. Além do ponto de inversão do 
fluxo, os padrões do fluxo são muito complicados e o conceito da camada limite não é mais 
aplicável. 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
38
 
Fig. 4.2 Conceito de camada limite no escoamento sobre um corpo curvo 
 
 
4.1.2) Coeficiente de arraste e força de arraste 
 
Suponha que o perfil de velocidade ),( yxu na camada limite seja conhecido. A tensão de 
cisalhamento xτ que atua ao longo da superfície em qualquer posição x é determinada a 
partir de sua definição por 
 
0
),(
=
∂
∂
=
y
x y
yxuµτ (4.3) 
 
 A constante de proporcionalidade µ é a viscosidade do fluido. Logo, conhecendo-
se a distribuição de velocidades na camada limite, pode-se determinar a força de 
cisalhamento, devida ao escoamento que está atuando sobre a superfície sólida. A definição 
de tensão de cisalhamento, dada pela Eq. (4.3), entretanto, não é prática para aplicações de 
engenharia. Na prática, a tensão de cisalhamento ou força de arraste local xτ por unidade 
de área está relacionada com o coeficiente local de arraste cx pela relação 
 
2
2
∞
=
u
cxx
ρ
τ (4.4) 
 
onde ρ é a densidade do fluido e 
∞
u é a velocidade da corrente livre. Portanto, conhecendo 
o coeficiente de arraste, podemos calcular a força de arraste exercida pelo fluido que está 
escoando sobre a placa plana. Igualando as Eqs. (4.3) e (4.4), obtemos: 
 
oy
x y
yxu
u
c
=∞
∂
∂
=
),(2
2
ν
 (4.5) 
 
Portanto, o coeficiente local de arraste pode ser determinado pela Eq. (4.5), se o perfil de 
velocidade ),( yxu , na camada limite for conhecido. 
 O valor médio do coeficiente de arraste Cm, de x=0 até x=L, é definido como 
 
∫
=
=
L
ox
x dxcL
1Cm
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
39
 (4.6) 
 
Sabendo o coeficiente médio de arraste Cm, podemos calcular a força de arraste F, que está 
atuando sobre a placa de x=0 até x=L e numa largura w, com a fórmula 
 
2
2
∞
=
u
wLCF m ρ (N) (4.7) 
4.1.3) Camada limite térmica 
 
Análogo ao conceito de camada limite cinética, pode-se imaginar o desenvolvimento de 
uma camada limite térmica ao longo da placa, associada ao perfil de temperatura no fluido. 
Para ilustrar o conceito, consideremos um fluido a uma temperatura uniforme 
∞
T que escoa 
sobre uma placa plana mantida a uma temperatura constante WT . Sejam x e y os eixos 
coordenados paralelo e perpendicular à superfície da placa, respectivamente, como está na 
figura 4.3. 
 
 
 
Fig. 4.3 Conceito de camada limite térmica no escoamento de um fluido quente sobre uma placa fria 
 
 
Definimos a temperatura adimensional θ(x,y) como 
 
W
W
TT
TyxT
yx
−
−
=
∞
),(),(θ (4.8) 
 
onde T(x,y) é a temperatura local no fluido. Na superfície da placa, a temperatura do fluido 
é igual à temperatura da parede; portanto 
 
 θ(x,y) = 0 em y = 0(superfície da placa) (4.9 a) 
 
A distâncias suficientemente grandes da placa, a temperatura do fluido é a mesma 
∞
T ; 
então 
 1),( →yxθ a medida que ∞→y (4.9 b) 
 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
40
Por isso em cada posição x ao longo da placa, pode-se imaginar uma posição )(xy δ= no 
fluido onde ),( yxθ seja igual a 0,99. O lugar geométrico destes pontos onde ),( yxθ =0,99 é 
chamado a camada limite térmica )(xδ . 
 A espessura relativa da camada limite térmica )(xtδ frente a camada limite 
cinética )(xδ depende da grandeza do número de Prandtl do fluido. Nos fluidos que tem 
um número de Prandtl igual a unidade, como os gases, ).()( xxt δδ = A camada limite 
térmica é muito mais espessa do que a camada limite cinética nos fluidos que tem Pr <1, 
como os metais líquidos, e é muito mais delgado do que a camada limite cinética nos 
fluidos que tem Pr >1. 
 
4.1.4) Coeficiente de transferência de calor 
 
Suponha que a distribuição de temperatura T(x,y) na camada limite térmica seja conhecida. 
Então o fluxo de calor q(x) do fluido para a placa é determinado por 
0
),()(
=
∂
∂
=
yy
yxT
xq κ (4.10 a) 
onde k é a condutividade térmica do fluido. Entretanto, nas aplicações de engenharia,não é 
prático empregar a Eq. (4.10 a) para calcular a taxa de transferência de calor entre o fluido 
e a placa. Na prática define-se um coeficiente de transferência de calor local h(x) para 
calcular o fluxo de calor entre o fluido e a placa: 
 
))(()( WTTxhxq −= ∞ (4.10 b) 
 
Igualando (4.10 a) e (4.10 b), obtemos 
 
[ ]
W
y
TT
yT
kxh
−
∂∂
=
∞
=0)( (4.11 a) 
 
Esta expressão agora é escrita em termos da temperatura adimensional ),( yxθ como 
 
0
),()(
=
∂
∂
=
yy
yxkxh θ (4.11 b) 
 
Logo as Eqs. (4.11) fornecem a relação para determinar o coeficiente de transferência de 
calor local h(x) a partir do conhecimento da distribuição da temperatura adimensional 
),( yxθ na camada limite térmica. 
 O coeficiente de transferência de calor médio hm sobre a distância x=0 até x=L, 
ao longo da superfície da placa, é determinado a partir de 
 
∫=
L
m dxxhL
h
0
)(1 (4.12) 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
41
 
Sabendo o coeficiente de transferência de calor médio hm, podemos determinar a taxa de 
transferência de calor Q do fluido para a placa de x=0 até x=L e para a espessura w. 
 
)( Wm TTwLhQ −= ∞ (4.13) 
 
4.1.5) Relação entre cx e h(x) 
 
 Considerando as expressões exatas de coeficiente de local de arraste e do 
número de Nusselt local, no escoamento laminar sobre uma placa plana, 
 
21Re332,0
2
−
= x
Cx
 (4.14 a) 
2131 RePr332,0 xxNu = (4.14 b) 
 
Definimos o número de Stanton local, Stx, como 
 
∞
=
uc
xhSt
p
x ρ
)(
 
que pode ser reordenado na forma 
x
x
x
Nu
vxuv
kxxhSt
RePr)/)(/(
/)(
==
∞
α
 
Então, a expressão (4.14 b) do número de Nusselt local pode ser reescrita como 
 
2132 RePr332,0 −−= xxSt (4.14 c) 
 
Das Eqs. (4.14 a) e (4.14 c), pode-se obter a seguinte relação entre o número de Stanton e o 
coeficiente de arraste: 
2
Pr 3/2 CxSt x = (4.15 a) 
 
Esta expressão recebe o nome de analogia de Reynolds-Colburn e relaciona o coeficiente 
local de arraste cx ao número de Stanton local Stx num escoamento laminar sobre uma placa 
plana. Portanto, fazendo-se as medidas do arraste atrativo no escoamento laminar sobre 
uma placa plana, quando não há transferência de calor, pode-se determinar o coeficiente de 
transferência de calor correspondente pela Eq. (4.15 a). É muito mais fácil fazer medidas de 
arraste do que medidas de transferência de calor. 
 Pode-se também aplicar a Eq. (4.15 a) ao escoamento turbulento sobre uma 
placa plana, porém não se aplica ao escoamento laminar dentro de um tubo. 
 No caso de valores médios, a Eq. (4.15 a) é escrita como 
 
2
Pr 3/2 mm
CSt = (4.15 b) 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
42
 
onde Stm e Cm são, respectivamente, o número de Stanton médio e o coeficiente médio de 
arraste. 
 
4.2) ESCOAMENTO NO INTERIOR DE UM DUTO 
 
Os conceitos básicos discutidos na última seção sobre o desenvolvimento das camadas 
limites cinética e térmica no escoamento sobre uma placa plana também se aplicam ao 
escoamento na região da entrada de dutos. Ilustramos este assunto considerando o 
escoamento no interior de um tubo circular. 
 
 
4.2.1) Camada limite cinética 
 
 Considere o escoamento dentro de um tubo circular, como está ilustrado na fig. 
4.4. 
 
Fig.4.4 Conceito de desenvolvimento da camada limite cinética na região de entrada de um tubo circular 
 
 O fluido tem uma velocidade de entrada uniforme 0u . Quando o fluido entra no 
tubo, começa a se desenvolver uma camada limite cinética sobre a superfície da parede. A 
velocidade das partículas do fluido, na superfície da parede, anula-se, e a velocidade nas 
vizinhanças da parede diminui; como resultado, a velocidade na parte axial do tubo 
aumenta para ser cumprida a exigência da continuidade do fluxo. A espessura da camada 
limite cinética )( zδ cresce continuamente ao longo da superfície do tubo até que ocupa todo 
o tubo. A região que se estende desde a entrada do tubo até um pouco além da posição 
hipotética em que a camada limite atinge o eixo do tubo é a região hidrodinâmica de 
entrada. Nesta região, a forma do perfil de velocidade varia tanto na direção axial como na 
radial. A região além da distância hidrodinâmica de entrada é chamada região 
hidrodinamicamente desenvolvida, pois nesta região o perfil de velocidade é invariante com 
a distância ao longo do tubo. 
 Se a camada limite permanece laminar até encher todo o tubo, o perfil 
parabólico de velocidade no escoamento laminar completamente desenvolvido prevalece na 
região hidrodinamicamente desenvolvida. Entretanto, se a camada limite transforma-se em 
turbulenta antes de a sua espessura atingir o eixo do tubo, há um escoamento turbulento 
completamente desenvolvido na região hidrodinamicamente desenvolvida. Quando o 
escoamento é turbulento, o perfil de velocidade é mais achatado do que o perfil parabólico 
de velocidade no escoamento laminar. 
No escoamento no interior de um tubo circular, o número de Reynolds, definido por 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
43
 
v
Dum
≡Re (4.16) 
 
é utilizado como critério para a passagem do escoamento laminar a turbulento. Nesta 
definição mu é a velocidade média do escoamento, D é o diâmetro interno do tubo, e v é a 
viscosidade cinemática do fluido. No escoamento no interior de um tubo circular, observa-
se ordinariamente escoamento turbulento para 
 
2300Re >=
v
Dum
 (4.17) 
 
 Entretanto, este valor crítico depende fortemente da rugosidade da superfície, 
das condições de entrada e das flutuações no escoamento. Em geral, a transição pode 
ocorrer no domínio 2000<Re<4000. 
 
4.2.2) Fator de atrito e perda de carga 
 
 Nas aplicações de engenharia, o gradiente de pressão dP/dz associado ao 
escoamento é uma grandeza de interesse, pois a perda de carga (queda de pressão) ao longo 
de um dado comprimento do tubo pode ser determinada pela integração de dP/dz sobre o 
comprimento. Para desenvolver uma expressão que defina dP/dz, consideremos um balanço 
de forças sobre um comprimento diferencial dz do tubo. Igualando a força da pressão à 
força de cisalhamento na parede, obtemos (veja fig. 4.5) 
 
Fig. 4.5 Equilíbrio de forças num elemento diferencial de volume 
 
wzzz zSPAPA τ∆=− ∆+)()( 
www DD
D
A
S
dz
dP
ττ
pi
pi
τ
4
)4/( 2 −=−=−= (4.18 a) 
onde A é a área de seção reta e S é o perímetro. 
 A tensão de cisalhamento wτ na parede está relacionada com o gradiente de 
velocidade por 
Apostila de Transferência de Calor e Massa 
 
 
 
44
paredeparede
w
r
u
y
u
∂
∂
−=
∂
∂
= µµτ (4.18 b) 
 
uma vez que r= D/2 – y. Então, das Eqs. (4.18 a) e (4.18 b), temos 
 
pareder
u
Ddz
dP
∂
∂
=
µ4
 (4.18 c) 
 
Nas aplicações de engenharia, a Eq. (4.18 c) não é prática para determinação de dP/dz, pois 
exige o cálculo do gradiente de velocidade na parede. Para calcular a perda de carga (queda 
de pressão) nas aplicações de engenharia, define-se um fator de atrito f. 
 
D
uf
dz
dP m
2
2ρ
−=

Outros materiais