A Equação Geral do Plano

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A Equação Geral do Plano
A equação geral do plano
Suponha que tenhamos um plano  no espaço, de vetor normal  e passando pelo ponto  . A figura abaixo mostra este plano em amarelo e o vetor N .
É claro que se um ponto  do espaço está neste plano, então o vetor  deve ser perpendicular a N . Sendo assim, podemos descrever  como sendo o conjunto de pontos P do espaço que resolvem a equação vetorial
A figura abaixo mostra o plano  em amarelo, o vetor N em azul e um vetor  em preto, com P em  .
Escrevendo os vetores em coordenadas, temos
Portanto, a equação vetorial N .  corresponde à equação cartesiana
Daí, tomando  , obtemos a assim chamada equação geral do plano  :
A equação do plano determinado por 3 pontos não-colineares
Com as idéias desenvolvidas na primeira seção, podemos determinar a equação de um plano que passa por 3 pontos não-colineares no espaço. A única informação que precisamos obter são as coordenadas de um vetor normal ao plano determinado por estes 3 pontos.
Suponha que tenhamos 3 pontos  e  no espaço. Podemos, então, formar os vetores  e  , que são mostrados na figura abaixo (  em preto e  em vermelho).
Note que estes vetores devem ser paralelos ao plano determinado por A , B e C , tal como mostramos na figura abaixo.
Sendo assim, o vetor normal N do plano deve ser perpendicular a ambos AB e AC . Podemos, então, tomar N=AB x AC . Como A , B e C não são colineares, este produto vetorial é não nulo. A figura abaixo mostra N em azul.
Observe que este vetor é normal ao plano procurado, tal como mostramos na figura abaixo.
Como já temos o normal N , podemos escolher um ponto pelo qual o plano passe dentre qualquer um dos 3 pontos dados. Tomando o ponto A , por exemplo, a equação do plano que passa pelos pontos A , B e C será
A equação do plano determinado por um ponto e uma reta
Suponha que temos uma reta r e um ponto  fora dela tal como na figura abaixo.
Como podemos obter a equação do plano que é determinado por este ponto e por esta reta? Se formos nos basear na equação geral que deduzimos para um plano, novamente o problema consiste em obter um vetor normal para este plano.
Para isso, primeiramente formamos um vetor partindo de um ponto  qualquer da reta até o ponto  tal como na figura abaixo.
Formando o produto vetorial entre este vetor e o vetor diretor da reta (exibido em vermelho na figura abaixo), obtemos um vetor perpendicular a ambos. Este vetor será o vetor normal N (em verde) do plano procurado.
Como o nosso plano deve passar pelo ponto  , concluímos que sua equação será
Abaixo, exibimos o plano passando pela reta r e pelo ponto  .