Lista 14 Derivadas (Regra da Cadeia)

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Centro Universita´rio UNA
Ca´lculo Diferencial
Lista de Exerc´ıcios - Derivadas
Professora: Lucinea do Amaral
Tabela das Regras de Derivac¸a˜o
(un)′ = nun−1 · u′ (eu)′ = eu · u′ (lnu)′ = 1
u
· u′
(sen u)′ = cos u · u′ (cos u)′ = −sen u · u′ (cf)′ = cf ′
(f + g)′ = f ′ + g′ (f − g)′ = f ′ − g′ (fg)′ = fg′ + f ′g
(f
g
)′
=
gf ′ − g′f
g2
1. Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = (x3 + 4x)7
(b) f(x) = (1− x2)10
(c) f(x) =
√
2x2 − 1
(d) f(x) = 3
√
1 + x3
(e) f(x) = cos 6x
(f) f(x) = sen (3x+ 1)
(g) f(x) = sen 3x− cos 2x
(h) f(x) = sen 2x+ sen 4x
(i) f(x) = esen x
(j) f(x) = e2x + e3x
(k) f(x) = ex + (x+ 1)2
(l) f(x) = sen (1− x2)
(m) f(x) =
1
3
e3−x
(n) f(x) = 5
√
x2 + 3
(o) f(x) =
2x√
3x− 1
(p) f(x) = t2(t2 + 1)2
(q) f(x) = xe−x
2
2. Calcule a derivada da func¸a˜o y =
1√
x2 − 3 no ponto x = 2.
3. Calcule o coeficiente angular da tangente ao gra´fico da func¸a˜o f(x) =
√
x2 + 3x no ponto
x = 1.
4. Dada f(x) = e−x, calcule f(0) + xf ′(0).
1
5. Calcule f ′(0) onde f(x) = e−xcos 3x.
6. Um ponto material se desloca segundo a func¸a˜o s =
√
t (t em segundos e s em metros).
Determine a velocidade e a acelerac¸a˜o do ponto material no instante t = 16s.
7. Qual e´ a acelerac¸a˜o de um mo´vel que descreve uma curva segundo a func¸a˜o s = t−2t2+4t3
(t em segundos e s em metros) no instante t = 1, 5s?
8. Calcule as derivadas sucessivas ate´ a ordem n indicada.
(a) y = 3x4 − 2x, n = 5
(b) y = 3− 2x2 + 4x5, n = 10
(c) y = ax3 + bx2 + cx+ d, n = 3
(d) y =
1
x− 1 , n = 4
(e) y =
1
ex
, n = 4
(f) y = sen ax, n = 7
(g) y = ln 2x, n = 2
(h) y = e2x+1, n = 3
(i) y =
√
3− x2, n = 2
9. Se f(t) = tcos t, encontre f ′′′(0).
10. Seja f(x) = x− sen2 x. Determine f ′(pi) + f ′′(pi).
11. Encontre um polinoˆmio do segundo grau P tal que P (2) = 5, P ′(2) = 2 e P ′′(2) = 2.
12. Seja f(x) = 4x3 + 2x2 − 5x+ 2, calcule: f ′(0) + f ′′(0) + f ′′′(0).
13. Mostre que a derivada de ordem n da func¸a˜o y = eax e´ dada por yn = aneax.
14. Dadas as func¸o˜es, calcule as duas primeiras derivadas:
(a) f(x) =
x− 3
x+ 4
(b) f(x) =
√
x2 + 1
(c) f(x) = (x3 + 1)
2
3
(d) f(x) = t3e5t
Respostas
1) a) f ′(x) = 7(x3 + 4x)6(3x2 + 4) b) f ′(x) = −20x(1 − x2)9 c) f ′(x) = 2x√
2x2 − 1
d) f ′(x) =
x2
3
√
(1 + x3)2
e) f ′(x) = −6sen 6x f) f ′(x) = 3cox (3x + 1)
g) f ′(x) = 3cos 3x + 2sen 2x h) f ′(x) = 2(cos 2x + 2cos 4x) i) f ′(x) = esen xcos x
j) f ′(x) = 2e2x + 3e3x k) f ′(x) = ex + 2(x + 1) l) f ′(x) = −2xcos (1 − x2)
m) f ′(x) = −1
3
e3−x n) f ′(x) =
5x√
x2 + 3
o) f ′(x) =
3x− 2
(3x− 1)√3x− 1
2
p) f ′(x) = 2t(t2 + 1)(3t2 + 1) q) f ′(x) = e−x
2
(1 − 2x2) 2) -2 3) 5
4
4) 1−x 5) -1 6) 1
8
m/s, − 1
256
m/s2 7) 32m/s2 8) a) y(5) = 0 b) y(10) = 0
c) y′′′ = 6a d) y(4) =
24
(x− 1)5 e) y
(4) =
1
ex
f) y(7) = −a7cos ax g)
y′′ = − 1
x2
h) y′′′ = 8e2x+1 i) y =
−3√
(3− x2)3 9) -3 10) -1 11)
P (x) = x2 − 2x + 5 12) 23 14) a) f ′(x) = 7
(x+ 4)2
f ′′(x) =
−14
(x+ 4)3
b)
f ′(x) =
x√
x2 + 1
f ′′(x) =
1
(x2 + 1)
3
2
c) f ′(x) =
2x2
(x3 + 1)
1
3
f ′′(x) =
4x
(x3 + 1)
1
3
− 2x
4
(x3 + 1)
4
3
d) f ′(t) = t2e5t(5t+ 3) f ′′(t) = te5t(25t2 + 30t+ 6)
3