Lista UFOP Derivadas (Gabarito)

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS E BIOLO´GICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Gabarito da terceira lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Diferencial e Integral I - MTM 122
1. 푎)
1
12
푏)
3
10
푐) 1 푑) 3 푒) 1 푓) 2 푔)
1
5
ℎ) 0 푖)
√
2
4
푗)
1
3
푘) − 1
3
푙) 5
2. 푎) 푓 ′(푥) = 0 푏) 푓 ′(푥) = 2푥 푐) ℎ′(푡) =
1
2
√
푡− 1 푑) 푔
′(푠) = − 2
푠3
3. 푎) 푓 ′(2) = −3
5
, reta tangente: 푦 = −3푥
5
+
16
5
, reta normal: 푦 =
5푥
3
− 4
3
.
푏) 푓 ′(푥) =
5(1− 푥2)
(1 + 푥2)2
.
푐) (1, 5/2), (−1, −5/2).
4.
푎) 푓 ′(1) = 2, 푦 = 2푥+ 4, 푦 = −푥
2
+
13
2
푏) 푓 ′(−2) = 12, 푦 = 12푥+ 19, 푦 = − 푥
12
− 31
6
푐) 푓 ′(0) = 1, 푦 = 푥+ 1, 푦 = −푥+ 1 푑) 푓 ′(9) = 1
4
, 푦 =
푥
4
+
7
4
, 푦 = −4푥+ 40.
5.
푎) 푓 ′(0+) = 1, 푓 ′(0−) = −1, 푓 ′(0)na˜o existe 푏) Na˜o existem푓 ′(0+), 푓 ′(0−), 푓 ′(0)
푐) 푓 ′(−2+) = 푓 ′(−2−) = 1, 푓 ′(−2) = 1 푑) 푓 ′(3+) = 푓 ′(3−) = −2, 푓 ′(3) = −2,
푒) 푓 ′(−4+) = −1, 푓 ′(−4−) = 1, 푓 ′(−4) na˜o existe 푓) 푓 ′(1+) = 3, 푓 ′(1−) = 0, 푓 ′(1) na˜o existe.
6. Respostas:
푎) 푦′(푥) = 2 푏) 푓 ′(푥) = −7
푐) ℎ′(푡) = −2− 2푡 푑) 푠′(푥) = 4푥3 − 6푥
푒) 푦′(푡) =
8
3 3
√
푡
푓) 푔′(푥) =
5
4
4
√
푥3
− 5푥4
푔) 푓 ′(푥) = 1 +
1√
푥
ℎ) ℎ′(푝) = 푝2 − 9
푝4
푖) 푔′(푡) = 70푡6 + 60푡4 − 15푡2 − 6 푗) 푓 ′(푥) = 2(푥+ 2)
푘) 푓 ′(푥) =
5푥2 + 1
2
√
푥
푙) 푓 ′(푡) =
√
4푡+ 1
2푡
1
(4푡+ 1)2
푚) 푦′ =
−1
(푠− 2)2 푛) ℎ
′(푡) = 3
√
푡+ 1
표) 푔′(푠) =
2(6푠3 + 6푠2 − 9푠− 4)
(2푠+ 3)5
푝) 푓 ′(푥) = −2(푒
푥 + 푒−푥)
(푒푥 − 푒−푥)2
푞) 푓 ′(푥) =
2
푥
+ 6 푟) 푓 ′(푥) = 2 42푥−3 ln 4
푠) 푓 ′(푥) = −푒
1
푥
푥2
푡) 푓 ′(푥) = 2푥cossec (cos(푥2 + 1))cotg (cos(푥2 + 1))sen(푥2 + 1)
푢) 푓 ′(푥) = 2(푥+ 1).
2
7. Respostas:
푎) 푓 ′(푥) = 2푒2푥sen 3푥+ 3푒2푥 cos 3푥 푏) 푓 ′(푥) = 2푥+ sen 푥
푐) 푓 ′(푥) =
−cossec푥cotg푥+ cossec 2푥
cossec푥− cotg푥 푑) 푓
′(푥) = sec2 푥− 1
푒) 푓 ′(푥) = 5 sec 푥+ 5푥 sec푥tg푥 푓) 푓 ′(푥) = 0
푔) 푓 ′(푥) =
−2푥sen2푥− cos 2푥
푥2
ℎ) 푓 ′(푥) = −cossec 2푥cotg 2푥
푖) 푓 ′(푥) =
1
1 + 푥2
푗) 푓 ′(푥) =
1
2
√
푥
√
1− 푥
푘) 푓 ′(푥) =
2
푥2 + 1
푙) 푓 ′(푥) = 2푥 arccos 푥− 푥
2
√
1− 푥2
푚) 푓 ′(푥) =
3푥2√−푥3(푥3 + 2) 푛) 푓 ′(푥) = − 1√4− 푥2
표) 푓 ′(푥) =
3
(1 + 9푥2)arctg3푥
푝) 푓 ′(푥) = − 푥
(푥2 + 4)
√
푥2 + 3
푞) 푓 ′(푥) = 2
(−푥4 + 2푥− 3푥2푒3)
(푥3 + 1)(푥2 + 푒3)
푟) 푓 ′(푥) =
(
푥− 1
2− 푥
)푥(
ln
(
푥− 1
2− 푥
)
+
푥
(2− 푥)(푥− 1)
)
8. Respostas:
푎) 푓 ′(푥) =
23
(3푥+ 2)2
푏) 푓 ′(푥) = 3tg푥 sec2 푥(tg푥− sec푥)
푐) 푓 ′(푥) = − 14푥
(푥2 + 5)2
푑) 푓 ′(푥) =
(1 + 푥2) sec2 푥− 2푥tg푥
(1 + 푥2)2
푒) 푓 ′(푥) =
6푥− 5
7
푓) 푓 ′(푥) = − (1 + sec
2 푥)
sen(푥)tg2(푥)
푔) 푓 ′(푥) = 3푥2sen푥+ 푥3 cos푥 ℎ) 푓 ′(푥) = 푒푒
푒푥
푒푒
푥
푒푥
푖) 푓 ′(푥) = 4
ln(푥2 + 1)2푒ln
2(푥2+1)2
푥2 + 1
9. Respostas.
푎) 푓 ′(푥) =
푒−푥
6(3 + 푒−푥)
+ 7푥 ln 7
푏) 푓 ′(푥) = arctg푥
푐) 푓 ′(푥) =
(푥푥 + 휋휋)(휋푥휋−1 + 휋푥 ln 휋)− 푥푥(푥휋 + 휋푥)(1 + ln 푥)
(푥푥 + 휋휋)2
푑) 푓 ′(푥) =
⎧⎨⎩ 2푥arcsen(1/푥) +
√
푥2
푥2 − 1 , se 푥 ∕= 0
0, se 푥 = 0
푒) 푓 ′(푥) =
3푥2 + 6푥− (푥3 + 3푥2 + 7) sec2 푥
푒tg푥
푓) 푓 ′(푥) = − sen
√
푥
2
√
푥(1 + cos2
√
푥)
+ 2푥푥2 ln 2 + 2푥2푥
3
푔) 푓 ′(푥) =
⎧⎨⎩
2푥− 2, se 푥 > 2
na˜o existe , se 푥 = 2
−2푥+ 2, se 푥 < 2
ℎ) 푓 ′(푥) =
105
푥
(ln6(푥3))(sen4(ln7 푥3))(cos(ln7(푥3)))
푖) 푓 ′(푥) =
1 + 푥 ln푥cotg푥
푥cossec푥
+ (2푥− 1)cotg푥− (푥2 − 푥+ 1)cossec 2푥
푗) 푓 ′(푥) =
(−푥3 + 3푥2 − 2푥+ 2) cos 푥− (푥3 + 2푥)sen푥
푒푥 cos2 푥
푘) 푓 ′(푥) = 푒arccos(5푥+2)
⎛⎜⎜⎝− 5 log3
(
푥
푥+ 1
)
√
1− (5푥+ 2)2 +
1
푥(푥+ 1) ln 3
⎞⎟⎟⎠
푙) 푓 ′(푥) = (ln 푥)cos푥
(
−sen푥 ln(ln 푥) + cos푥
푥 ln 푥
)
푚) 푓 ′(푥) = −15
푥4
+
7푥 ln 7
(ln 3)(
√
1− 72푥)arcsen7푥
푛) 푓 ′(푥) = 4푥sen (푥2 + 1) cos(푥2 + 1)− sec푥tg푥 ln 2 +
(−푥2 + 2푥+ 1
(푥2 + 1)2
)
푒
⎛⎝ 푥− 1
푥2 + 1
⎞⎠
.
10. Respostas:
푎) 8푥− 9푦′ = 0
푏)
2푦 − 푥푦′
2푦
√
푦
− 4푦 − 4푥푦′ = 1
푐) 3푦2푦′ + 2푦 + 2푥푦′ = 4푥3푒푥
4
푑) 2(푥+ 푦)(1 + 푦′)− 2(푥− 푦)(1− 푦′) = 3푥2
푒) 3푥2 + 3푦2푦′ = 8푦 + 8푥푦′
푓)
1
3
3
√
푥2
+
푦 + 푥푦′
3 3
√
푥2푦2
= 8푦푦′
푔) 4푦 + 4푥푦′ +
2푥푦 + 푥2푦′
푥2푦
= 0
ℎ) 푦′ = −(1− 푦′)sen(푥− 푦)
푖) 5푦푦′ = 푥sen2푦 + 푥2푦′ cos 2푦
푗) 푦 + 푥푦′ + 푦′ cos푥− 푦sen푥 = 0
푘) (1 + 푥)푒
−푥
(
−푒−푥 ln(푥+ 1) + 푒
−푥
1 + 푥
)
푙) − 푦′sen푦 + 2푥+ 2푦푦
′
푥2 + 푦2
= 2푥 ln 2
푚) 푦′ =
12푥2
(푒푥3 + 푒−푥3)2
+
푥
(푥2 + 1)
ln 3
푛) 푦′ = (푥2 + cos 푥)(1+sen푥)
(
cos푥 ln(푥2 + cos 푥) +
(1 + sen푥)(2푥− sen푥)
(푥2 + cos 푥)
)
4
표) 2푥+ 2푦푦′ = 푒푥
푝) 2푥푦 + 푥2푦′ + 푦2 + 2푥푦푦′ = 0
푞) 푦′푥+ 푦 − 푦′sen푦 = 2
푟) 5(푥2 + 3푦2)4(푥+ 3푦푦′) = (푦 + 푥푦′)
푠) 푦′sen푦 + 푦푦′ cos 푦 = −푦 − 푥푦′
푡) 푦′ = 3푦2푦′ − 푦 − 푥푦′ + 3푦2푦′
푢) 푥푦
(
푦′ ln푥+
푦
푥
)
+ 푦푥
(
ln 푦 +
푥푦′
푦
)
= 0
11.
푑푦
푑푡
= −60/7.
12. 푎 = −3, 푏 = 2, 푐 = 1.
13. 푦 = −푥+ 5.
14. 푦 =
푏2푥0
푎2푦0
푥− 푏
2푥20
푎2푦0
+ 푦0.
15. 푦 = −푥+ 2√2.
16. 푦 = −푥+ 2 3√2.
17. 푦′ = 푎푔(푥)(ln 푎)푔′(푥).
18. Respostas:
푎) tangente: 푦 = −3푥+ 4, normal: 푦 = 푥
3
+
2
3
.
푏) tangente: 푦 = 3푥+ 6, normal: 푦 = −푥
3
+
8
3
푐) tangente: 푦 = −푥− 1, normal: 푦 = 푥+ 3
푑) tangente: 푦 = 휋, normal: 푥 = 0
푒) tangente: 푦 = −휋푥
2
− 휋, normal: 푦 = 2푥
휋
− 2
휋
+
휋
2
푓) tangente: 푦 =
√
6 푥
2
− 휋
√
6
6
+
휋
4
, normal: 푦 = −
√
6 푥
3
+
휋
√
6
9
+
휋
4
.
19. Respostas:
푎) 푓 ′(푥) =
푥(푥2 − 2)√
(푥2 − 1)3
푓 ′(푥) = 0, 푥 =
√
2, −√2
푓 ′(푥) > 0, (−√2, −1), (√2, +∞)
푓 ′(푥) < 0, (−∞, −√2), (1, √2)
푏) 푓 ′(푥) =
푥2 − 1
푥2
푓 ′(푥) = 0, 푥 = −1, 1
푓 ′(푥) > 0, (−∞, −1), (1, +∞)
푓 ′(푥) < 0, (−1, 0), (0, 1)
5
푐) 푓 ′(푥) = −2(푥
2 − 1)
(푥2 + 1)2
푓 ′(푥) = 0, 푥 = −1, 1
푓 ′(푥) > 0, (−1, 1)
푓 ′(푥) < 0, (−∞, −1), (1, +∞)
푑) 푓 ′(푥) =
푥2 − 9
푥2
푓 ′(푥) = 0, 푥 = −3, 3
푓 ′(푥) > 0, (−∞, −3), (3, +∞)
푓 ′(푥) < 0, (−3, 0), (0, 3)
푒) 푓 ′(푥) =
푥3 + 푥− 2
푥3
푓 ′(푥) = 0, 푥 = 1
푓 ′(푥) > 0, (−∞, 0), (1, +∞)
푓 ′(푥) < 0, (0, 1)
푓) 푓 ′(푥) = − 푥
2 − 1
(푥2 + 1)2
푓 ′(푥) = 0, 푥 = −1, 1
푓 ′(푥) > 0, (−1, 1)
푓 ′(푥) < 0, (−∞, −1), (1, +∞)
푔) 푓 ′(푥) = −(푥
2 + 6푥+ 4)
(푥+ 3)2
푓 ′(푥) = 0, 푥 = −3−√5, −3 +√5
푓 ′(푥) > 0, (−3−√5, −3), (−3, −3 +√5)
푓 ′(푥) < 0, (−∞, −3−√5), (−3 +√5, +∞)
ℎ) 푓 ′(푥) = −푥
2(푥2 − 9)
(푥2 − 3)2
푓 ′(푥) = 0, 푥 = −3, 0, 3
푓 ′(푥) > 0, (−3, −√3), (−√3, 0), (0, √3), (√3, 3)
푓 ′(푥) < 0, (−∞, −3), (3, +∞)
푖) 푓 ′(푥) = −(푥− 2)
2(푥+ 4)
푥3
푓 ′(푥) = 0, 푥 = −4, 2
푓 ′(푥) > 0, (−∞, −4), (0, 2), (2, +∞)
푓 ′(푥) < 0, (−4, 0)
푗) 푓 ′(푥) = ln2 푥+ 2 ln 푥
푓 ′(푥) = 0, 푥 = 1, 푒−2
푓 ′(푥) > 0, (0, 푒−2), (1, +∞)
푓 ′(푥) < 0, (푒−2, 1)
푘) 푓 ′(푥) = − (3푥− 8)
2
√
4− 푥
푓 ′(푥) = 0, 푥 = 8/3
푓 ′(푥) > 0, (−∞, 8/3)
푓 ′(푥) < 0, (8/3, +∞)
푙) 푓 ′(푥) =
2푥3 + 1
푥2
푓 ′(푥) = 0, 푥 = − 3√4/2
푓 ′(푥) > 0, (− 3√4/2, 0), (0, +∞)
푓 ′(푥) < 0, (−∞, − 3√4/2)
푚) 푓 ′(푥) = sec 푥(sec푥− 2tg푥)
푓 ′(푥) = 0, 푥 = 휋/6
푓 ′(푥) > 0, (−휋/4, 휋/6)
푓 ′(푥) < 0, (휋/6, 휋/4)
푛) 푓 ′(푥) = − 푥√
9− 푥2
푓 ′(푥) = 0, 푥 = 0
푓 ′(푥) > 0, (−3, 0)
푓 ′(푥) < 0, (0, 3)
표) 푓 ′(푥) = 2
푓 ′(푥) ∕= 0, para todo 푥 ∈ ℝ
푓 ′(푥) > 0, (−∞, +∞)
푓 ′(푥) < 0, nunca
푝) 푓 ′(푥) = 1/2− cos푥
푓 ′(푥) = 0, 푥 = 휋/3, 5휋/3
푓 ′(푥) > 0, (휋/3, 5휋/3)
푓 ′(푥) < 0, (0, 휋/3), (5휋/3, 2휋)
푞) 푓 ′(푥) =
1
2
√
푥
푓 ′(푥) ∕= 0, para todo 푥 ∈ ℝ
푓 ′(푥) > 0, (−∞, 0), (0, +∞)
푓 ′(푥) < 0, nunca
푟) 푓 ′(푥) =
1
푥2 + 1
푓 ′(푥) ∕= 0, para todo 푥 ∈ ℝ
푓 ′(푥) > 0, (−∞, +∞)
푓 ′(푥) < 0, nunca
6
푠) 푓 ′(푥) = −sen푥+ cos 푥
푓 ′(푥) = 0, 푥 = 휋/4, 5휋/4
푓 ′(푥) > 0, (0, 휋/4), (5휋/4, 2휋)
푓 ′(푥) < 0, (휋/4, 5휋/4)
푡) 푓 ′(푥) = 1 + ln 푥
푓 ′(푥) = 0, 푥 = 푒−1
푓 ′(푥) > 0, (푒−1, +∞)
푓 ′(푥) < 0, (0, 푒−1)
푢) 푓 ′(푥) =
8푥
(푥2 + 4)2
푓 ′(푥) = 0, 푥 = 0
푓 ′(푥) > 0, (−3, 0)
푓 ′(푥) < 0, (0, 3)
20. Respostas:
푎) 푓 ′(푥) = 2푥3푥
2
ln 3 +
2푥
(푥2 + 1) ln 3
+ 2푒2푥sen3푥+ 3푒2푥 cos 3푥− cossec 2푥cotg 2푥
푏) 푓 ′(푥) = arctg푥2 +
2푥3
1 + 푥4
− 푥
1 + 푥2
+ ln 2 sec 푥tg푥+ 푥cos푥
(
−sen푥 ln푥+ cos푥
푥)
푐) 푓 ′(푥) = −3푥
2(푒3 − 1)
(푥3 + 1)
− 4푥 cos(푥2 + 1)sen(푥2 + 1) + 1
2
√
푥(1− 푥) + arccos 푥
2 − 2푥
2
√
1− 푥4
푑) 푓 ′(푥) = 3
√
푥+ 6 + 2푥+ 2푥 ln 2 + 푥푥(1 + ln 푥) + 휋
(2푥+ sec 푥tg푥+ sec2 푥)
(푥2 + sec 푥+ tg푥) ln 휋
푒) 푓 ′(푥) = 3푥2 + 푥42(푥
2−1) ln 4 + 9푥2푒푥
3 − 3(푥+ 1) + 2푥√
1− (푥2 + 1)2
푓) 푓 ′(푥) = arctg푥2 +
2푥2
1 + 푥2
+
3
√
3 sen푥
3
3
√
cos2 푥
푔) 푓 ′(푥) = cossec (cos 푥)cotg (cos 푥)sen푥+ 푒tg푥 sec2 푥+ sec(푥2 + 1)tg(푥2 + 1) + 14푥(푥2 + 3)6
ℎ) 푓 ′(푥) = −푥(푥
3 − 2휋 + 3푥푒3)
(푥2 + 푒3)(푥3 + 휋)
− (3푥
2 − 6푥− 2)
(3푥2 + 2)2
+
푥
1 + 푥2
+
2푥
푥2 ln 3
21. 푎 = 0, 푏 = 1.
22. 푎) Sim. 푏) Na˜o existe 푓 ′(3), pois 푓 ′(3+) e 푓 ′(3−) sa˜o diferentes.
23. Resposta:
푎) Sim.
푏) Na˜o, pois na˜o existe derivada lateral a` direita de 푥 = 1.
푐) tangente: 푦 =
√
2푥
4
+
7
√
2
4
, normal: 푦 = −2√2푥+ 7√2.
푑) 푓 ′(푥) =
⎧⎨⎩
2푥, se 푥 < 1,
na˜o existe, se 푥 = 1,
1
2
√
푥− 1 , se 푥 > 1
.
24. Resposta:
푎) 푎 = 4
푏) 푓 ′(푥) =
{
2푥, se 푥 > 1,
4, se 푥 ≤ 1 .
25. 푦 =
4푥
3
− 1
3
.