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AULA07 Simplificacao de circuitos logicos COMPLETA ver02

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Álgebra de Boole e Simplificação
de Circuitos Lógicos
Nesta apresentação serão 
vistos os postulados e 
propriedades e formas 
canônicas de expressões 
booleanas
Além disso, serão vistas
duas forma de
circuitos
Fatoração
simplificar
Diagramas deVeitch- Karnaugh
Fonte: JoséAugusto Baranauskas
Departamento de Computação e Matemática –
FFCLRP-USP
Motivação
Como visto, os circuitos lógicos
correspondem (executam) expressões 
booleanas, as quais representam 
problemas no mundo real
Porém, os circuitos gerados por tabelas verdade
muitas vezes admitem simplificações, o que
reduz o número de portas lógicas; essa redução
diminui o grau de dificuldade na montagem e
custo do sistema digital
2
Motivação
O estudo da simplificação de circuitos
lógicos requer o conhecimento da álgebra de
Boole, por meio de seus postulados, 
propriedades, equivalências, etc
De fato, na álgebra de Boole encontram-se
os fundamentos
circutos
da eletrônica digital de
3
Constantes,
Expressões
Variáveis e
Existem apenas duas constantes booleanas
0 (zero)
1 (um)
Uma variável booleana é representada por letra 
assumir apenas dois valores (0 ou 1)
Exemplos: A, B, C
e pode
Uma expressão booleana é uma expressão matemática
envolvendo constantes e/ou variáveis booleanas e seu 
resultado assume apenas dois valores (0 ou 1)
Exemplos:
S = A.B
S = A+B.C
4
Postulados &Propriedades
Na álgebra booleana há postulados (axiomas)
partir dos quais são estabelecidas várias 
propriedades
Existem várias propriedades da negação
a
(complemento, inversor), adição (porta E)
(porta OU)
e soma
Estas propriedades podem ser verificadas como
equivalências lógicas
Para demonstrarcada uma, basta utilizar as 
tabelas-verdade, constatando a equivalência
5
Postulados
Complemento Adição
Se Ā=1
Ā=0
A=0
A=1
então
então
0
0
1
1
+
+
+
+
0
1
0
1
=
=
=
=
0
1
1
1
Se
Notações alternativas
Ā =
=
A’
¬Ā MultiplicaçãoA
(B.C)’B.C = 0
0
1
1
.
.
.
.
0
1
0
1
=
=
=
=
0
0
0
1
6
Propriedades
A.B.C
7
Propriedade Complemento Adição Multiplicação
Identidade Ā =A
A+ 0 =A 
A+ 1 = 1
A+A=A
A+ Ā = 1
A. 0 = 0
A. 1 =A 
A. A=A
A. Ā = 0
Comutativa A+ B = B +A A. B = B . A
Associativa A+(B+C) = (A+B)+C
=A+B+C
A.(B.C) = (A.B).C =
Distributiva
A+(B.C)
=
(A+B) . (A+C)
A.(B+C)
=
A.B +A.C
Exercício
Mostre, usando simplificação por postulados e
propriedades, ou
algébricas que:
seja, por transformações
A+A.B = A
A.(A+B) = A
9
Solução
A+A.B = A
A+ A.B
=
=
=
A.(1+B)
A.(1) 
A
distributiva
identidade da 
identidade da
adição
multiplicação
A.(A+B) = A
A.(A+B)
=
=
=
(A.A) + (A.B)
A+ (A.B) 
A
distributiva
identidade da 
pela prova do
multiplicação
exercício acima
10
Exercício
Idem ao exercício anterior
A+ Ā.B = A+ B
(A+B).(A+C) = A + B.C
11
Solução
(A+B).(A+C) = A+ B.C
(A+B).(A+C)
=
=
=
=
=
=
=
A.A+ A.C +
A.A+ A.C +
B.A + B.C
A.B + B.C
distributiva
comutativa 
identidade da 
distributiva 
distributiva
A+ A.C + A.B + B.C
A+ A.(C+B) + B.C
multiplicação
A.(1 + (C+B))
A.(1) + B.C 
A+ B.C
+ B.C
identidade
identidade
da
da
adição
multiplicação
13
Simplificação
Booleanas
de Expressões
Usando a álgebra booleana é possível
simplificar expressões
Como cada circuito corresponde a uma 
expressão, simplificações de expressões 
significam em simplificações de circuitos
Há duas formas para simplificar expressões
Fatoração
Mapas de Veitch-Karnaugh
Veremos, a seguir, o processo de fatoração
14
Fatoração
Consiste na aplicação dos postulados e propriedades da
álgebra booleana, com
expressão
Por exemplo
o objetivo de simplificar a
S = A.B.C + A.C’ + A.B’
=
=
=
=
=
=
=
A.(B.C
A.(B.C
A.(B.C
A.(B.C
A.(B.C
A.(1)
A
+
+
+
+
+
C’ + B’)
(C’ + B’))
( (C’ + B’)’ 
(C.B)’)
distributiva
associativa 
identidade do 
De Morgan 
comutativa 
identidade da
identidade da
)’) complemento
(B.C)’ )
adição (D+ð=1)
multiplicação
15
Fatoração
Circuito antes da simplificaçãoPortanto,
A.B.C + A.C’ + A.B’
Essa expressão
A
= A
B
C
mostra a importância
Ada simplificação
expressões e a 
consequente 
minimização do 
circuito, sendo o
de
S
C
A
B
resultado final igual
da variável A
ao Circuito após simplificação
A S
16
Formas Normais (Canônicas)
Toda expressão booleana pode ser escrita
em uma forma padronizada, denominada
forma normal ou forma canônica
Duas formas normais são
Forma Normal Conjuntiva (FNC), Produto de
Somas ou Produto de Maxtermos
Forma Normal Disjuntiva (FND), Soma
Produtos ou Soma de Mintermos
de
21
Forma Normal Disjuntiva
Mintermo (ou minitermo) é o termo produto associado
à cada linha da tabela verdade, no qual todas as variáveis de
entrada estão presentes
Dado um mintermo, se substituirmos os valores das variáveis
associadas, obteremos 1
Porém, se substituirmos nesse mesmomintermo quaisquer
outras combinações de valores, obteremos 0
Dessa forma, se quisermos encontrar a equação para uma
função a partir de sua tabela verdade, basta montarmos um
OU entre os mintermos associados aos 1s da função
23
Forma Normal Conjuntiva
Maxtermo (ou maxitermo) é o termo soma associado à
cada linha da tabela verdade, no qual todas as variáveis de
entrada estão presentes
Dado um maxtermo, se substituirmos os valores das variáveis
associadas, obteremos 0
Porém, se substituirmos nesse mesmomaxtermo quaisquer
outras combinações de valores, obteremos 1
Dessa forma, se quisermos encontrar a equação para uma
função a partir de sua tabela verdade, basta montarmos um
E entre os maxtermos associados aos 0s da função
25
Mintermos e Maxtermos
Teorema de De Morgan
Mintermos e Maxtermos
Simplificação
Normal
a partir da Forma
Uma vez obtida a forma
uma função booleana, é 
simplificá-la por meio de
normal de
possível 
manipulação
algébrica, respeitando os postulados e
propriedades da álgebra
como visto anteriormente
booleana,
27
Mapas de Veitch-Karnaugh
Alternativamente ao método de
simplificação algébrica por fatoração, há outro
método de simplificação baseado na 
identificação visual de grupos de mintermos
que podemser simplificados
Para tanto, é necessário que os mintermos
sejam dispostos de maneira conveniente, em
tabelas conhecidas como diagramas oumapas
de Veitch-Karnaugh
28
Exemplo
Inicialmente, o diagrama
preenchido com cada
é
situação
verdade
da tabela
34
B
Ā 0 1
A
Situação A B S
0 0 0 0
1 0 1 1
2
3
1 0
1 1
1
1
Exemplo
Inicialmente, o diagrama
preenchido com cada
é
situação
verdade
da tabela
35
B
Ā 0 1
A 1
Situação A B S
0
1
0 0
0 1
0
1
2 1 0 1
3 1 1 1
Exemplo
Inicialmente, o diagrama
preenchido com cada
é
situação
verdade
da tabela
36
B
Ā 0 1
A 1 1
Situação A B S
0
1
2
0 0
0 1
1 0
0
1
1
3 1 1 1
Exemplo
Agora tentamos agrupar
as regiões onde S=1 no
menor número possível
de pares
Um par é o conjunto de 
duas regiões onde S=1
que tem
comum, 
vizinhos
um lado em
ou seja, são
Par 1
37
B
Ā 0 1
A 1 1
Situação A B S
0
1
2
3
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
1
Exemplo
Agora tentamos agrupar
as regiões onde S=1 no
menor número possível
de pares
Um par é o conjunto de 
duas regiões onde S=1 
que tem um lado em 
comum, ou seja, são 
vizinhosUm mesmo valor 1 pode 
pertencer a mais de um 
par Par 1
Par 2
38
B
Ā 0 1
A 1 1
Situação A B S
0
1
2
3
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
1
Exemplo
Então, escrevemos a
expressão de cada par, ou seja, a
região que o par ocupa no 
diagrama
O par
então
O par
1 ocupaa região A=1,
sua expressão é A
2 ocupaa região onde
B=1, sendo sua expressãoB
Neste caso, nenhum1 ficou 
isolado, ou seja, fora dos pares
Basta então somar os 
resultados de cada par
S = Par 1 + Par 2
S = A+ B
Par 1
Par 2
39
B
Ā 0 1
A 1 1
Situação A B S
0
1
2
3
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
1
95
96
97
98
99
100
• Elementos de Eletrônica Digital
– Ivan V. Idoeta
– Francisco G. Capuano
• Sistemas Digitais – princípios e aplicações
– Ronald J. Tocci, Neal S. Widmer e Gregory L. Moss
Bibliografias

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