Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Curso de Geometria Analítica Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis Resumo Teórico 05 – Base Ortonormal e Produtos com Vetores BASE ORTONORMAL Uma Base Ortonormal é uma Base Vetorial com três Vetores, Linearmente Independentes (LI), Unitários e 2 a 2 Ortogonais. ( ( ( Notação: Indicaremos uma base Ortonormal por ( i , j , k ) Lembramos que dois vetores são ortogonais quando podem ser representados por segmentos orientados ortogonais ou perpendiculares. ( ( ( ( Observamos que sendo ( i , j , k ), uma base vetorial qualquer vetor V do espaço pode ser representado como Combinação Linear destes vetores e desta forma teremos: ( ( ( ( V = x ( i + y ( j + z ( k , com x, y e z Reais , ou ainda em representação matricial de coordenadas ( V = ( x , y , z ) Considerando a compatibilidade do Sistema de Coordenadas Cartesianas( O, X, Y, Z ) e a base ( ( ( ( ( ortonormal: (i , j , k), qualquer vetor V do espaço pode ser representado por (A-0)=V=(x, y, z), ( onde O é o ponto de origem do Sistema e A é o ponto obtido por A= O+V. z A ( ( k ( V ( j y i O x ( ( ( Observamos que as coordenadas dos vetores da base são: i = ( 1, 0, 0), j=(0, 1, 0) e k=(0, 0, 1). MÓDULO DE UM VETOR O módulo de um vetor pode ser obtido através de suas coordenadas na forma: v 2 = x2 +y2 +z2 ou ainda v = (x2 +y2 +z2 CONDIÇÃO DE ORTOGONALIDADE Considerando que se dois vetores são ortogonais, quando representam lados de um de um triângulo, este será retângulo e os vetores serão seus catetos. ( ( Desta forma, para que os vetores u e v sejam ortogonais é necessário e suficiente que: ( ( ( ( u + v 2 = u 2 + v 2 Algebricamente a condição de ortogonalidade de dois vetores pode ser expressa por: x1 ( x2 + y1 ( y2 + z1 (z2 = 0 ( ( PRODUTO ESCALAR: ( u x v ) ( ( ( ( ( Considerando na base ortonormal ( i , j , k ), os vetores u = (x1 ,y1 , z1) e v = (x2,y2 ,z2 ), ( ( definimos Produto Escalar, ao número real obtido por: ( u x v ) =x1 ( x2 + y1 ( y2 + z1 ( z2 . Propriedades do Produto Escalar: ( ( ( ( u x v = v x u (comutativa); ( ( ( ( ( ( (( (u x v) = (((u) x v = u x (((v); ( ( ( ( ( ( ( u x (v1 + v2)= (u x v1 ) + (u x v2) (distributiva); ( ( ( ( ( ( ( ( ( u x u = (u (2 ; u x u ( 0 e u x u =0 ( u = 0 ; ( ( ( ( ( ( u x v = 0 ( u e v forem ortogonais ( u ( v ); ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Se u ( 0 e v ( 0 , sendo ( o ângulo entre u e v teremos u x v = ( u((( v( ( cos (, isto é : ( ( u x v (= arco cos (((((( ( u((( v( ( ( ( ( ( ( u x v = ½ [ (u + v(2 - ( u (2 - ( v (2 ] Ângulos Diretores de um Vetor ( (, (, ( ): ( ( ( ( Os ângulos de um vetor v em relação aos vetores da base ( i , j , k ),, determinam a direção do vetor e são denominados ângulos Diretores do Vetor, indicados respectivamente por (, ( e ( . Os valores destes ângulos são obtidos por: x y z ( cos (= ((((( , cos ( = ((((( e cos ( = ((((( ; com (V( = = (x2 +y2 +z2 (V( (V( (V( Observamos que para os ângulos diretores vale a relação : cos2 ( + cos2 ( + cos2 ( = 1 Projeção de um Vetor em uma Direção: ( ( ( Ao projetarmos um vetor V na direção de um vetor u, obtemos o vetor V1 determinado por: vetor ( ( ( ( u u V1 = V x (( ( (( (u( (u( número real vetor ( ( PRODUTO VETORIAL: (u ( v) ( ( ( ( ( Considerando na base ortonormal ( i , j , k ), os vetores u = (x1 ,y1 , z1) e v = (x2,y2 ,z2 ), ( ( ( ( definimos Produto Vetorial, de u por v , ao vetor indicado por (u ( v ) e obtido pelo Determinante da matriz : ( ( ( ( ( i j k u ( v = x1 y1 z1 x2 y2 z2 Propriedades do Produto Vetorial: ( ( ( ( u ( v = ( (v ( u) (anticomutativa); ( ( ( ( ( ( (( (u ( v) = (((u) ( v = u ( (((v); ( ( ( ( ( ( ( u ( (v1 + v2)= (u ( v1 ) + (u ( v2) (distributiva); ( ( u ( u =0; ( ( ( ( u ( v = 0 ( u e v forem Linearmente Dependentes (mesma direção, paralelos); ( ( ( ( ( O vetor w = u ( v, tem direção ortogonal a u e a v; ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Se u ( 0 e v ( 0, sendo ( o ângulo entre u e v teremos ( u ( v( = ( u((( v( ( sen ( ,isto é: ( ( (u ( v( (= arco sen (((((( ( u((( v( ( ( Geometricamente,o módulo do produto vetorial (u ( v(, representa o valor da área do paralelogramo que tem estes vetores como lados, assim: B C ( ( ( u ( Área de ABCD = (u ( v( ( v A D Consequentemente a Área de um Triângulo será obtida pela metade do módulo do produto vetorial de dois vetores que representam os segmentos de dois quaisquer de seus lados assim: B ( u (u ( v( ( Área de ABC = (((( v 2 A C ( ( ( PRODUTO MISTO: (u ( v ) x w ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Considerando na base (i, j, k), os vetores u= (x1 ,y1 , z1), v = (x2, y2 , z2 ) e w = (x3, y3 , z3 ) ( ( ( ( ( ( definimos Produto Misto, de u por v e por w , ao número real indicado por [u, v, w] e obtido pelo Determinante da matriz : ( ( ( x1 y1 z1 [u, v, w] = x2 y2 z2 x3 y3 z3 Propriedades do Produto Misto: ( ( ( ( ( ( [u, v, w] = 0 ( u , v e w forem Linearmente Dependentes (Complanares); ( ( ( ( ( ( [u, v, w]= - [v, u, w]; ( ( ( ( ( ( ( ( ( [u, v, w]= [w, u, v] = [v, w, u] (cíclica); ( ( ( ( ( ( ( ( ( [u, u, w]= [w, u, u] = [u, w, u] = 0; ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (( [u, v, w]= [((u, v, w] = [u, ((v, w] = [u, v, ((w]; ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [(u1 + u2), v, w] =[u1, v, w]+ [u2, v, w]; ( ( ( Geometricamente, o módulo do Produto Misto [u, v, w] representa o valor o Volume do paralelepípedo que tem estes vetores como arestas, assim: F G B C ( ( ( ( x1 y1 z1 w ( E H ( Volume de ABCDEFGH =([u, v, w](= x2 y2 z2 u ( x3 y3 z3 v A D Consequentemente a volume de um Tetraedro será obtido pela sexta parte do módulo do Produto Misto de 3 vetores que representam os segmentos de 3 quaisquer de suas arestas assim: D x1 y1 z1 ( ( ( ( x2 y2 z2 u ([u, v, w]( x3 y3 z3 ( ( ( Volume de ABCD = (((((( = (((((((((( v w 6 6 A B C Centro Universitário da FSA Prof.: Anastassios H.K.
Compartilhar