GA A FAENG Resumo 06 Sistema de Coordenadas Pontos e Retas no Espaço

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Curso de Geometria Analítica
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
 Resumo Teórico 06 – Sistema de Coordenadas, Pontos e Retas no Espaço.
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
Um Sistema de coordenadas Cartesianas no espaço é um conjunto formado por um Ponto O e por 
 ( ( (
uma base ( i , j , k ). O ponto chamamos de origem do Sistema. As retas orientadas que passam pelo ponto O e tem a direção e os sentidos dos vetores da base denominamos de eixos, respectivamente das abscissas, ordenadas e cotas. ( ( (
Considerando o Sistema de Coordenadas Cartesianas( O, X, Y, Z ) e a base (i , j , k), qualquer 
 ( (
vetor V do espaço pode ser representado por (A-0)=V=(x, y, z), onde O é o ponto de origem do 
 (
Sistema e A é o ponto obtido por A= O+V. 
 
 
 z A
 ( (
 k ( V
 ( j y
 i O 
 x 
 ( ( ( 
Observamos que as coordenadas dos vetores da base são: i = ( 1, 0, 0), j=(0, 1, 0) e k=(0, 0, 1). 
Observamos também que os Pontos P=(x1,y1,z1) e Q=(x2,y2,z2) , o segmento orientado que é
(
PQ, determinado por estes pontos, representa o vetor obtido por (Q-P)=( x2-x1, y2-y1, z2-z1). 
TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS :
 ( ( ( ( ( (
Considerando dois sistemas de coordenadas E=(O, e1 , e2 , e3 ) e F=(O’, f1 , f2 , f3 ), é obvio que os vetores de F podem ser obtidos como Combinação linear dos vetores de E. Assim teremos:
( ( ( ( 
f1= a11 e1 + a21 e2 + a31 e3 a11 a12 a13 
( ( ( ( 
f2= a12 e1 + a22 e2 + a32 e3 A Matriz ME(F = a21 a22 a23 , é a matriz de Mudança de base, 
( ( ( ( para os vetores da base E, para
f3= a13 e1 + a23 e2 + a33 e3 a31 a32 a33 a base F.
Observamos que as linhas da matriz mudança de base, são respectivamente, os coeficientes 
(reais) dos vetores e1 para a 1a linha, e2 para a 2a linha e e3 para a 3a linha .
Analogamente, a matriz de mudança da base F para a base E, (MF(E), é a matriz (ME(F)-1, inversa de (ME(F). (
Desta forma para obtermos as coordenadas de um vetor VE=(xE , yE, zE) de uma base E para uma 
 (
outra base F, V F =(x F , y F, z F) teremos que solucionar a equação matricial como segue:
xE 			x F 			xF 			 x E
yF	= (ME(F) (	y E	ou 		yF	= (ME(F)-1 ( 	 y E
zE			z F			zF			 z E
EQUAÇÕES DA RETA NO ESPAÇO 
 Equação da Reta na forma Vetorial: 
 (
Consideremos uma reta r , no espaço, que tem a direção do vetor V = (a, b, c) o e que contem o Ponto A=(x0, y0, z0) . Para que um ponto qualquer, P=(x, y, z), do espaço, pertença a esta reta, é 
 (
necessário e suficiente que os vetores (P – A) e V sejam Linearmente Dependentes (de mesma direção). Desta forma (P – A) pode ser escrito como cominação linear do vetor dado. Assim teremos: ( (
(P – A) = t ( V (com t( IR), isto é: qualquer ponto P pode ser obtido por: P = A + t ( V
que constitui o que chamamos de Equação Vetorial da Reta.
Esta equação pode ser melhor detalhada na forma:
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t (a, b, c) 
 com t( IR.
Para o caso em que a reta é dada por dois Pontos, A=(x1,y1,z1) e B=(x2,y2,z2) , a equação será obtida pelo uso do ponto A (ou B) e a direção do vetor B-A (que é a mesma do vetor A-B), assim:
 
(x, y, z) =(x1, y1, z1) + t (x2 – x1 , y2– y1, z2 – z1) 
 com t( IR.
Equações da Reta na forma Paramétrica: 
Ao desmembrarmos a equação matricial (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t (a, b, c), podemos obter as equações a seguir em função do Parâmetro t:
x = x0 + at
y = y0 + bt , que constituem as equações da reta na Forma Paramétrica.
z = z0 + ct ou as Equações Paramétricas da reta.
Equações da Reta na forma Simétrica: 
 x-x0 y-y0 z-z0
Ao resolvermos as equações paramétricas em função de t teremos: t= (((, t= (((, t= (((
 a b c
que quando igualá-las teremos:
x-x0 y-y0 z-z0
((( = ((( = (((
 a b c
que constituem as equações da reta na Forma Simétrica ou as Equações Simétricas da reta.
Centro Universitário da FSA
Prof.: Anastassios H.K.