Resumo 09 Coordenadas Polares e Cilíndricas

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Curso de Geometria Analítica
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
 Resumo Teórico 09 - Coordenadas Polares e Cilíndricas.
O resumo a seguir trata das Coordenadas Polares no plano e no espaço, assim como as Coordenadas Cilíndricas no espaço e suas relações com as Coordenadas do Sistema Cartesiano já amplamente conhecido.
I. COORDENADAS POLARES NO PLANO
Considerando um Plano Orientado segundo o Sistema Cartesiano (Ortogonal) e um Ponto P de coordenadas P=(x,y). Afirmamos que estas coordenadas representam de forma única e exclusiva o ponto P no Plano. Pois este ponto é a intersecção de duas retas perpendiculares, respectivamente aos eixos das abscissas e ordenadas nos pontos de abscissa x e ordenada y, como pode ser observado na representação a seguir:
 ( P=(x , y) = (( , ()
 y (
 O ( 
 x
O ponto P no Plano, pode também ser representado de forma única e exclusiva, através dos valores de ( e (, que representam respectivamente a distância do ponto P à Origem O do Sistema e o ângulo formado entre o semi eixo positivo das abscissas (Ox) e a semi-reta com origem em O (origem do sistema) que contem o ponto P.
Os números ( e ( são denominados Coordenadas Polares do Ponto P no plano. 
A coordenada ( é definida como Raio Vetor do ponto P.
A coordenada ( é definida como Argumento do ponto P.
O ponto P é definido como Polo do sistema de Coordenadas Polares.
O semi-eixo Ox é definido como Eixo Polar do Sistema de Coordenadas Polares.
Observamos:
Por representar a distância de P e O, temos que ( >0 ;
Por representar a medida do ângulo formado entre o semi eixo positivo das abscissas e a semi-reta OP , temos que 0 ( (( 2(. 
Formulas de Conversão:
De Coordenadas Cartesianas para Polares: ( = (x2+y2
 
 ( = arc tg(y/x), com x(0.
De Coordenadas Polares para Cartesianas: x=( cos (
 
 y=( sen (
Para cada par ordenado (x,y) ( (0,0), podemos determinar um único par ordenado ((,(), assim como para cada par ordenado ((,(), com (>0 e 0(((2(, podemos determinar um único par ordenado (x,y), através das fórmulas de conversão.
II. COORDENADAS POLARES NO ESPAÇO
Considerando no Espaço Orientado segundo o Sistema Cartesiano (Ortogonal) e um Ponto P de coordenadas P=(x,y,z). Afirmamos que estas coordenadas representam de forma única e exclusiva o ponto P no Espaço como pode ser observado na representação a seguir:
 
 
 (P=(x,y,z)=((, (, ()
 
 z ( ( 
 O 
 y
 x ( (’
 (P’
O ponto P no Plano, pode também ser representado de forma única e exclusiva, através dos valores de ( , ( e (, que representam respectivamente:
(: a distância do ponto P à Origem O do Sistema;
(: o ângulo formado entre o semi eixo positivo das abscissas(Ox) e a semi-reta com origem em O (origem do sistema) que contem o ponto P’, projeção do ponto P no plano XY;
(: o ângulo formado entre o semi eixo positivo das cotas (Oz) e a semi-reta com origem em O (origem do sistema) que contem o ponto P.
Os números (, ( e ( são denominados Coordenadas Polares do Ponto P no Espaço. 
A coordenada ( é definida como Raio Vetor do ponto P.
A coordenada ( é definida como Latitude (ou Argumento) do ponto P.
A coordenada ( é definida como Longitude (ou Co-latitude) do ponto P.
O ponto P é definido como Polo do sistema de Coordenadas Polares.
Observamos:
Por representar a distância de P e O, temos que ( >0 ;
Por representar a medida do ângulo formado entre o semi eixo positivo das abscissas (Ox) e a semi-reta OP’ , temos que 0 ( (( 2(; 
Por representar a medida do ângulo formado entre o semi eixo positivo das cotas(Oz) e a semi-reta OP , temos que 0 ( ( ( (.
Formulas de Conversão:
De Coordenadas Cartesianas para Polares: ( = (x2+y2+z2
 ( = arc tg(y/x), com x(0.
 z
 ( = arc cos 
 (x2+y2+z2
De Coordenadas Polares para Cartesianas: x = ( cos ( sen (
 y = ( sen ( sen (
 z = ( cos (
Para cada par ordenado (x,y,z) ( (0,0,0), podemos determinar um único par ordenado ((,(, (), assim como para cada par ordenado ((,(,(), com (>0 , 0( (( 2( e 0 ( ( ( (, podemos determinar um único par ordenado (x,y,z), através das fórmulas de conversão.
III. COORDENADAS CILÍNDRICAS NO ESPAÇO
Considerando no Espaço Orientado segundo o Sistema Cartesiano (Ortogonal) e um Ponto P de coordenadas P=(x,y,z). Afirmamos que estas coordenadas representam de forma única e exclusiva o ponto P no Espaço como pode ser observado na representação a seguir:
 
 
 (P=(x,y,z)=((, (, ()=((, (, z)
 
 z ( 
 O 
 y
 x ( (’
 (P’
O ponto P no Plano, pode também ser representado de forma única e exclusiva, através dos valores de ( , ( e z que representam respectivamente:
(: a distância do ponto P à Origem O do Sistema;
(: o ângulo formado entre o semi eixo positivo das abscissas(Ox) e a semi-reta com origem em O (origem do sistema) que contem o ponto P’, projeção do ponto P no plano XY;
z: o valor da cota(z) do ponto P em coordenadas cartesianas.
Os números (, ( e z são denominados Coordenadas Cilíndricas do Ponto P no Espaço. 
Observamos:
Por representar a distância de P e O, temos que ( >0 ;
Por representar a medida do ângulo formado entre o semi eixo positivo das abscissas (Ox) e a semi-reta OP’ , temos que 0 ( (( 2(; 
Formulas de Conversão:
De Coordenadas Cartesianas para Cilíndricas: ( = (x2+y2+z2
(= arc tg(y/x), com x(0.
 z = z 
De Coordenadas Cilíndricas para Cartesianas: x = (((2(z2 ) cos ( 
 y = (((2(z2 ) sen (
 z = z
De Coordenadas Polares para Cilíndricas: ( = (
 ( = (
 z = ( cos (
De Coordenadas Cilíndricas para Polares: ( = (
 ( = (
 (x2+y2 ((2 - z2( = arc tg = arc tg 
 z z
Para cada par ordenado (x,y,z) ( (0,0,0) ou ((,(,(), com (>0, 0( (( 2( e 0 ( ( ( (, podemos determinar um único par ordenado ((,(, z), através das fórmulas de conversão.
Centro Universitário da FSA
Prof.: Anastassios H.K.