Atividade de avaliação 6 - Resolvido

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FACULDADES OPET 
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE MATERIAIS: DIFUSÃO 
 ATIVIDADE DE AVALIAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curitiba 
 2017 
 
 
REGIANE GALDINO DOS SANTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE MATERIAIS: DIFUSÃO 
ATIVIDADE DE AVALIAÇÃO 
 
 
 
Trabalho de resolução de exercícios referente 
a atividade de avaliação Nº 06, apresentado ao curso 
de Engenharia de Produção como requisito parcial 
para obtenção de nota para aprovação da disciplina de 
Ciência e Tecnologia dos Materiais da Faculdades 
Opet – Campus Avenida Getúlio Vargas. 
 
Professor (a). Orientador (a): Rafael Pires 
Machado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curitiba 
2017 
 
 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO ................................................................................................... 4 
FORMULÁRIO: .................................................................................................. 5 
ATIVIDADE DE AVALIAÇÃO 6 .......................................................................... 7 
QUESTÃO 1: ...................................................................................................... 7 
QUESTÃO 2: ...................................................................................................... 7 
QUESTÃO 3: ...................................................................................................... 8 
QUESTÃO 4: ...................................................................................................... 9 
QUESTÃO 5: .................................................................................................... 12 
QUESTÃO 6: .................................................................................................... 13 
QUESTÃO 7: .................................................................................................... 14 
REFERENCIAS ................................................................................................ 17 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
INTRODUÇÃO 
O trabalho aqui apresentado contém a resolução dos exercícios referente a 
atividade de avaliação da aula número 6, Difusão, professor Rafael Pires Machado no 
decorrer do terceiro semestre do curso de Engenharia de Produção. 
A seguir com o intuito de esclarecer e entender melhor as aplicações do tema 
abordado seguem resolução dos exercícios conforme solicitação do docente. 
 
5 
 
FORMULÁRIO: 
Difusão em regime estacionário: 
Gradiente de concentração: a inclinação da curva resultante corresponde ao 
gradiente de concentração, que indica a variação da composição do material com a 
distância (x). 
𝐽 =
𝑑𝐶
𝑑𝑥
= 
∆C
∆x
= 
𝐶𝑎 − 𝐶𝑏
𝑥𝑎 − 𝑥𝑏
 
 
Primeira Lei de Fick: 
𝐽 = −𝐷
𝑑𝐶
𝑑𝑥
 
 
J: Fluxo de difusão; 
D: Coeficiente de difusão (m²/s) indica a taxa segundo o qual os átomos se 
difundem. 
O sinal negativo indica que o fluxo ocorre na direção contrária ao aumento da 
concentração, ou seja, da concentração mais alta para a concentração mais baixa; 
Força motriz (força que induz a ocorrência de uma reação): gradiente de 
concentração; 
 
Difusão em regime não estacionário: 
Na difusão em estado não-estacionário tanto o fluxo de difusão, quanto o 
gradiente de concentração, numa dada posição (x), variam com o tempo (t). 
Cs: concentração superficial; 
Cx: Concentração a distância (x); 
Co: Concentração inicial da liga; 
O fluxo de difusão e o gradiente de concentração em um ponto especifico no 
sólido variam com o tempo; 
2ª Lei de Fick: 
𝑑𝐶
𝑑𝑡
= 
𝑑
𝑑𝑥
= (D 
𝑑𝐶
𝑑𝑥
) = D 
𝑑²𝐶
𝑑²𝑥
 
 
𝐶𝑥 − 𝐶0
𝐶𝑠 − 𝐶0
= 1 − erf (
𝑥
2√𝐷𝑡
) 
erf (z): função erro. 
6 
 
2
√𝜋
= ∫ exp(−𝑦2) 𝑑𝑦
𝑧
0
 
 
Fatores que influenciam a difusão: 
Temperatura: Lei de Arrhenius. 
𝐷 = 𝐷0 exp (
−𝑄
𝑅𝑇
) 
 
D: coeficiente de difusão (m²/s); 
D0: fator pré exponencial (m²/s); 
Q: energia de ativação (J/mol); 
R: constante dos gases (8,314 J/mol-K); 
T: temperatura absoluta (K); 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
ATIVIDADE DE AVALIAÇÃO 6 
QUESTÃO 1: 
Existe uma diferença de pressão de nitrogênio através de uma parede de aço 
de um forno com espessura de 2mm. Depois de algum tempo, a difusão em estado 
estacionário do nitrogênio é estabelecida pela parede. Dado que a concentração de 
nitrogênio na superfície de alta pressão é de 2 kg/m³ e na superfície de baixa pressão 
é de 0,2 kg/m³, calcule o fluxo de nitrogênio através da parede em kg/m².h se o 
coeficiente de difusão para o nitrogênio nesse aço for 1,0 X 10 -10 m²/s na temperatura 
de operação do forno. 
 
 Resolução: 
A questão trata a difusão em estado estacionário, ou seja, deve-se aplicar a 1ª Lei de 
Fick. 
 
∆x = 2mm ∴ 2x10−3m 
Ca = 2 kg/m³ 
Cb = 0,2 kg/m³ 
D = 1,0 x 10−10m2/s 
J = ? 
J = −D
dC
dx
 
J = −1,0 x 10−10 x
(0,2 − 2)kg/m³
2x10−3
 
J = −1,0 x 10−10 x
(−1,8)kg/m³
2x10−3
 
J = −1,0 x 10−10 x(−900) 
J = 9x 10−8 kg/m². s 
𝐉 = 𝟐, 𝟓𝐱 𝟏𝟎−𝟓 𝐤𝐠/𝐦². 𝐡 
 
QUESTÃO 2: 
Para o forno descrito na questão anterior, mudanças de projeto são feitas para 
incluir uma parede mais grossa (3mm) e uma temperatura de operação inferior que 
reduz, a difusividade do nitrogênio para 5,0 X 10-11 m²/s. Qual seria o fluxo de 
nitrogênio no estado estacionário através da parede neste caso? 
 
Resolução: 
 
 
 
8 
 
∆x = 3mm ∴ 3x10−3m 
Ca = 2 kg/m³ 
Cb = 0,2 kg/m³ 
D = 5,0 x 10−11m2/s 
J = ? 
J = −D
dC
dx
 
J = −5,0 x 10−11 x
(0,2 − 2)kg/m³
3x10−3
 
J = −5,0 x 10−11 x
(−1,8)kg/m³
3x10−3
 
J = −5,0 x 10−11 x(−600) 
J = 3x 10−8 kg/m². s 
𝐉 = 𝟖, 𝟑𝟑𝐱 𝟏𝟎−𝟒 𝐤𝐠/𝐦². 𝐡 
 
QUESTÃO 3: 
 Uma chapa de aço com 1,5 mm de espessura possui atmosferas de nitrogênio 
a 1200ºC em ambos os lados e permite-se que seja atingida uma condição de difusão 
em regime estacionário. O coeficiente de difusão do nitrogênio no aço a essa 
temperatura é de 6 X 10-11 m²/s e o fluxo difusional vale 1,2 X 10-7 m²/s. Sabe-se ainda 
que a concentração de nitrogênio no aço na superfície a alta pressão é de 4 kg/m³. A 
que profundidade da chapa, a partir desse lado com a pressão elevada, a 
concentração é de 2,0 kg/m³? Considere um perfil linear. 
Resolução: 
 
9 
 
∆x =? 
Ca = 4 kg/m³ 
Cb = 2,0 kg/m³ 
D = 6 x 10−11m2/s 
J = 1,2x 10−7 kg/m². s 
J = −D
dC
dx
 
1,2x 10−7= 6 x 10−11 x (
(2,0−4)
∆x
) 
∆x ∗ 1,2x 10−7 = −6 x 10−11 ∗ (−2) 
∆x ∗ 1,2x 10−7 = 1,2x 10−10 
∆x = 1x 10−3 
∆𝐱 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 𝐦 = 𝟏𝐦𝐦 
 
 
QUESTÃO 4: 
 Determine o tempo de carbonetação necessário para atingir uma concentração 
de carbono de 0,45% p a 2 mm da superfície de uma liga ferro-carbono contendo 
inicialmente 0,20% p C. A concentração na superfície deve ser mantida de 1,30% p C 
e o tratamento deve ser conduzido a 1000ºC. Considere os dados de difusão para Fe 
𝛾 na tabela 5.2. 
 
Espécie 
Difusível 
Metal 
hospedeiro 
D0 
(m²/s) 
Energia de Ativação Valores calculados 
kJ/mol eV/átomo T (ºC) D (m²/s) 
Fe 
Fe 𝛼 
(CCC) 
2,8x10-4 251 2,60 
500 
900 
3,0 x 10-21 
1,8 x 10-15 
Fe 
Fe 𝛾 
CFC 
5,0x10-5 284 2,94 
900 
1100 
1,1 x 10-17 
7,8 x 10-16 
C Fe 𝛼 6,2x10-7 80 0,83 
500 
900 
2,4 x 10-12 
1,7 x 10-10 
C Fe 𝛾 2,3x10-5 148 1,53 
900 
1100 
5,9 x 10-12 
5,3 x 10-11Cu Cu 7,8x10-5 211 2,19 500 4,2 x 10-19 
Zn Cu 2,4x10-5 189 1,96 500 4,0 x 10-18 
Al Al 2,3x10-4 144 1,49 500 4,2 x 10--14 
Cu Al 6,5x10-5 136 1,41 500 4,1 x 10-14 
Mg Al 1,2x10-4 131 1,35 500 1,9 x 10-23 
Cu Ni 2,7x10-5 256 2,65 500 1,3 x 10-22 
Tabela 1 - Tabulação de dados de difusão. 
10 
 
Resolução: 
Difusão em regime não estacionário: 
Cx − C0
Cs − C0
= 1 − erf (
x
2√Dt
) 
 
t =? 
Cx = 0,45 % 
C0 = 0,20 % 
Cs = 1,3 % 
D = 2,3 x 10−5m2/s 
x = 2mm ∴ 2 x 10−3m 
Cx − C0
Cs − C0
= 1 − erf (
x
2√Dt
) 
0,45 − 0,20
1,3 − 0,20
= 1 − erf (
x
2√Dt
) 
0,25
1,1
= 1 − erf (
x
2√Dt
) 
0,2273 = 1 − erf (
x
2√Dt
) 
0,2273 − 1 = erf (
x
2√Dt
) 
+𝟎, 𝟕𝟕𝟐𝟕 = + erf (
x
2√Dt
) 
 
 
Realizando a Interpolação, utilizando a tabela de erro de Gauss: 
 
 
11 
 
0,7707 − − − −0,85 
0,7727 − − − − 𝑧 
0,7421 − − − −0,80 
0,7727 − 0,7421
0,7707 − 0,7421
= 
𝑧 − 0,80
0,85 − 0,80
 
0,0306
0,0286
= 
𝑧 − 0,80
0,05
 
1,0699 = 
𝑧 − 0,80
0,05
 
0,053495 = z − 0,80 
𝒛 = 𝟎, 𝟖𝟓𝟑𝟓 
 
Encontrando o coeficiente de difusão (D) a uma temperatura de 1000ºC = 1273,15 K. 
T = 1000ºC ∴ 1273,15K 
𝑄 = 148
KJ
mol
∴ 148000J 
𝑅 = 8,314
𝐽
𝑚𝑜𝑙
 
D0 = 2,3 x 10
−5m2/s 
 
𝐷 = 𝐷0 exp (
−𝑄
𝑅𝑇
) 
D = 2,3 x 10−5 x exp (
−148000
8,314 x 1273,15
) 
D = 1,943 x 10−11 m2/s 
Substituindo na 2ª parte da equação: 
t =? 
D = 1,943 x 10−11m2/s 
x = 2mm ∴ 2 x 10−3m 
(
𝑥
2√𝐷𝑡
) = 0,8535 
(
2 x 10−3
2 ∗ √1,943 x 10−11 ∗ t
) = 0,8535 
2 x 10−3 = 1,707 x √1,943 x 10−11 ∗ t 
2 x 10−3
1,707
= √1,943 x 10−11 ∗ t 
(1,176 x 10−3)² = (√1,943 x 10−11 ∗ t) ² 
1,3726 x 10−6 = 1,943 x 10−11 ∗ t 
1,3726 x 10−6
1,943 x 10−11
= t 
t = 70.643,33 s 
𝐭 ≅ 𝟏𝟗, 𝟔 𝐡 
12 
 
QUESTÃO 5: 
 Uma liga de ferro-carbono com estrutura cristalina CFC contendo inicialmente 
0,35%p C está exposta a uma atmosfera rica em oxigênio e virtualmente isenta de 
carbono a 1400 K (1127ºC). Sob essas circunstâncias, o carbono se difunde da liga e 
reage na superfície como o oxigênio da atmosfera, isto é, a concentração do carbono 
na posição da superfície é mantida essencialmente em 0%p C. (Esse processo de 
esgotamento do carbono é conhecido como descarbonetação). Em qual posição a 
concentração de carbono será de 0,15% p após 10h de tratamento? O valor de D a 
1400 K é de 6,9 X 10-11 m²/s. 
Resolução: 
Cx = 0,15 % 
C0 = 0,35 % 
Cs = 0 % 
D = 6,9 x 10−11m2/s 
x =? 
Cx − C0
Cs − C0
= 1 − erf (
x
2√Dt
) 
0,15 − 0,35
0 − 0,35
= 1 − erf (
x
2√Dt
) 
−
0,2
0,35
= 1 − erf (
x
2√Dt
) 
0,5714 = 1 − erf (
x
2√Dt
) 
1 − 0,5714 = erf (
x
2√Dt
) 
𝟎, 𝟒𝟐𝟖𝟔 = erf (
x
2√Dt
) 
 
Interpolando: 
0,4755 − − − −0,45 
0,4286 − − − − 𝑧 
0,4284 − − − −0,40 
0,4286 − 0,4284
0,4755 − 0,4284
= 
𝑧 − 0,40
0,45 − 0,40
 
2 x 10−4
0,0471
= 
𝑧 − 0,40
0,05
 
4,246 x 10−3 = 
𝑧 − 0,40
0,05
 
2,123 x 10−4 = z − 0,40 
𝒛 = 𝟎, 𝟒𝟎𝟎𝟐 
 
13 
 
Substituindo na segunda parte da equação: 
t = 10 h ∴ 3,6x104𝑠 
D = 6,9 x 10−11m2/s 
x =? 
(
𝑥
2√𝐷𝑡
) = 0,4002 
(
x
2 ∗ √6,9 x 10−11 ∗ 3,6x104
) = 0,4002 
x = 0,8004 ∗ √6,9 x 10−11 ∗ 3,6x104 
x = 0,8004 ∗ √2,484 x 10−6 
x = 0,8004 ∗ 1,576 x 10−3 
x ≅ 1,26 x 10−3m 
𝐱 ≅ 𝟏, 𝟐𝟔 𝐦𝐦 
 
 
QUESTÃO 6: 
 Para um aço liga foi determinado que um tratamento térmico de carbonetação 
com duração de 10h elevara a concentração de carbono para 0,45% p em um ponto 
a 2,5 mm da superfície. Estime o tempo necessário para atingir a mesma 
concentração em uma posição com 5,0 mm da superfície para um aço idêntico e a 
mesma temperatura de carbonetação. 
Resolução: 
Cx = constante 
C0 = constante 
Cs = constante 
x1 = 2,5 mm 
x2 = 5,0 mm 
t1 = 10h 
t2 = ? 
Cx − C0
Cs − C0
= 1 − erf (
x
2√Dt
) Difusão em regime estacionário 
Mesma concentração implica em: 
x
2√Dt
= constante ∴ 
x²
Dt
= contante 
Mesma temperatura implica em: 
D = costante ∴ 
x²
t
= constante 
(x1)²
t1
= 
(x2)²
t2
 
(2,5mm)²
10h
= 
(5mm)²
t2
 
6,25
10
= 
25
t2
 
6,25 = 250 ∗ t2 ∴ t2 = 𝟒𝟎𝐡 
 
14 
 
QUESTÃO 7: 
 Um uso popular dos dados da difusão na ciência dos materiais é identificar 
mecanismos para certos fenômenos. Essa identificação é feita por comparação das 
energias de ativação. Por exemplo, considere a oxidação de uma liga de alumínio. O 
mecanismo controlador da taxa é a difusão de íons por meio de uma camada 
superficial de Al2O3, o que significa que a taxa de crescimento da espessura da 
camada de óxido é diretamente proporcional a um coeficiente de difusão. Podemos 
especificar se a oxidação é controlada pela difusão de Al3+ ou pela difusão de O2- 
comparando a energia de ativação para a oxidação com as energias de ativação das 
duas espécies conforme a tabela 2. Dado que a constante de taxa para o crescimento 
do óxido é de 4,00 x 10-8 kg (m4/s) a 500ºC e de 1,97 x 10-4 kg (m4/s) a 600ºC, 
determine se o processo de oxidação é controlado pela difusão de Al3+ ou difusão de 
O2-. 
 
 
 
15 
 
Resolução: 
A relação entre difusividade e temperatura é dada pela equação: 
ln 𝐷 = ln 𝐷0 − 
𝑄
𝑅𝑇
 
 
Escrevendo as expressões para difusividade a duas temperaturas (T1 e T2): 
ln 𝐷1 = ln 𝐷0 − 
𝑄
𝑅𝑇
1
𝑇1
 
ln 𝐷2 = ln 𝐷0 − 
𝑄
𝑅𝑇
1
𝑇2
 
 
Subtraindo a equação 1 em relação a equação 2: 
ln (
𝐷2
𝐷1
) = − 
𝑄
𝑅𝑇
(
1
𝑇2
−
1
𝑇1
) 
 
 
A taxa de crescimento da espessura da camada de óxido é diretamente 
proporcional a um coeficiente de difusão. Também é diretamente proporcional à 
constante de taxa (digamos k), então reorganizando a equação temos: 
ln (
𝑘2
𝑘1
) = − 
𝑄
𝑅𝑇
(
1
𝑇2
−
1
𝑇1
) 
 
Temos taxa constante para o crescimento de óxido conforme os seguintes 
dados: 
T1 = 500ºC 
Constante da taxa de crescimento do óxido: 4,00 x 10-8 kg (m4/s); 
T2 = 600ºC 
Constante da taxa de crescimento do óxido: 1,97 x 10-4 kg (m4/s); 
Substituindo os valores na equação que relaciona a temperatura na constante 
da taxa teremos a energia de ativação (Q); 
ln (
𝑘2
𝑘1
) = − 
𝑄
𝑅𝑇
(
1
𝑇2
−
1
𝑇1
) 
 
16 
 
ln (
1,97 ∗ 10−4
4,00 ∗ 10−8
) = − 
𝑄
8.314
(
1
873
−
1
773
) 
8502 = − 
𝑄
8.314
∗ (−1,482 𝑥10−4) 
𝑄 = 4,77 𝑥 105
𝐽
𝑚𝑜𝑙
 𝑥 
1𝑘𝐽
103𝐽
 
𝑄 = 477 𝑘𝐽/ 𝑚𝑜𝑙 
 
Para decidir se a oxidação da liga de alumínio é controlada de Al3+ ou difusão 
de O2-, comparamos as energias de ativação. A energia de ativação de Al em Al2O3 é 
477 kJ / mol e a energia de ativação do O em Al2O3 é 636 kJ / mol (conforme dados 
da tabela: dados de difusividade para sistemas não metálicos). 
Como a energia de ativação para a oxidação e as espécies Al3+ são as mesmas, 
a oxidação da liga de alumínio é controlada por Al3+. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
REFERENCIAS 
Material contendo questões para resolução disponibilizado pelo professor 
Rafael Pires Machado, através do portal do aluno. 
Literatura utilizada para consulta: 
SHACKELFORD, James F. Ciências dos Materiais. 6. ed. São Paulo: 
Pearson Education Brasil, 2008. 560 p. 
CETEC,FINEP. Ciências dos Materiais Multimídia. Disponivel em: 
http://www.cienciadosmateriais.org/index.php?acao=info, acesso em 02/10/2017.Chegg Study. Disponível em: https://www.chegg.com/homework-
help/Introduction-to-Materials-Science-for-Engineers-7th-edition-chapter-5-problem-
23P-solution-9780136012603, acesso em 03/10/2017.