Derivadas

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Prof. Msc. Isaias Lima Página 1 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA. 
SERTÃO PERNAMBUCANO – IFPE 
CAMPUS SERRA TALHADA 
 
Aluno(a): ______________________________________________________________ Data:_______/_______/2017. 
Professor Isaías Lima Disciplina: Cálculo 1 Curso: Licenciatura em Física 
 
LISTA 2 – DERIVADAS 
 
1 – Encontre a derivada de cada função a seguir. 
 
a) y = 3x b) y = 23x – 1 c) log2(x) d) y = (logx²)³ 
 
e) y = sen(x² + x) f) y = e5x³ - 2x² + 4 g) y = cos5x h) y = esenx 
 
i) y = (x² - 4x³ - 8)5 j) y = √3𝑥³ − 4𝑥
3
 k) y = x²sec(1/x) l) y = (
1+cosx
sex
) ³ 
 
m) y = x4.lnx n) y = 
ln x
x
 o) y = log (2x² + 1)4 p) y = e2x . ln(x³) 
 
q) y = tg(sen x) r) y = 101 – x² s) y = (
x
x³+1
)
6
 t) y = sen²(𝑒𝑠𝑒𝑛²𝑥) 
 
 
2 – Encontre y’ e y’’. 
 
a) y = cos(x²) b) y = cos²x c) y = eαx sen βx d) y = 𝑒𝑒
𝑥
 
 
 
3 – Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. 
 
a) y = (1 + 2x)10 , (0, 1) b) y = √1 + 𝑥³ , (2, 3) 
 
c) y = sen(sen x) , (π, 0) d) y = sen x + sen²x , (0, 0) 
 
4 – Se h(x) = √4 + 3𝑓(𝑥) , onde f(1) = 7 e f ’(x) = 4, encontre h’(1). 
 
5 – Sejam g(x) = 𝑒𝑐𝑥+ f(x) e h(x) = 𝑒𝑘𝑥𝑓(𝑥), onde f(0) = 3, f ´(0) = 5 e f “(0) = - 2. 
 
a) Encontre g´(0) e g”(0) em termos de c. 
b) Em termos de k, encontre uma equação da reta tangente para o gráfico de h no ponto onde x = 
0. 
 
6 – Para quais valores de r a função 𝑦 = 𝑒𝑟𝑥 satisfaz a equação diferencial y” – 4y’ + y = 0 ? 
 
7 – O deslocamento de uma partícula em uma corda vibrante é dado pela equação: 
 
𝒔(𝒕) = 𝟏𝟎 +
𝟏
𝟒
𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟎𝝅𝒕) 
 
Onde s é medido em centímetros e t, em segundos. 
 
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a) Encontre a velocidade e a aceleração da partícula em função do tempo. 
b) Determine a velocidade e aceleração para um tempo de 2s. 
 
8 – Cefeu é uma constelação cujo brilho é variável. A estrela mais visível dessa constelação é a 
Delta Cefeu, para a qual o intervalo de tempo entre os brilhos máximos é de 5,4 dias. O brilho 
médio dessa estrela é 4,0, com uma variação de 0,35−
+ . Em vista desses dados, o brilho de Delta 
Cefeu no tempo t, onde t é medido em dias, foi modelada pela função 
 
𝑩(𝒕) = 𝟒, 𝟎 + 𝟎, 𝟑𝟓. 𝒔𝒆𝒏 (
𝟐𝝅𝒕
𝟓, 𝟒
) 
 
a) Encontre a taxa de variação do brilho após t dias 
b) Encontre, aproximadamente, a taxa de crescimento após 1 dia. 
 
9 – O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito ou uma força amortecedora (tal como 
o amortecedor em um carro) é frequentemente modelado pelo produto de uma função 
exponencial e uma função seno ou cosseno. Suponha que a equação do movimento de um ponto 
nessa mola seja 
𝒔(𝒕) = 𝟐𝒆−𝟏,𝟓𝒕. 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝝅𝒕) 
 
Onde s é medido em centímetros e t, em segundos. Encontre a velocidade Após t segundos e 
calcule, aproximadamente, o valor da velocidade em t = 1s. 
 
 
 
 
 
10 – Encontre 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 por derivação implícita. 
 
a) x² + y² = 25 b) x³ + y³ = 6xy c) x² + xy – y² = 4 
 
d) 2√𝑥 + √𝑦 = 3 e) x²y² + x.sen(y) = 4 f) 4 cos(x) sen(y) = 1 
 
g) 𝑒𝑥/𝑦 = x – y f) tg-1(x²y) = x + xy² i) ) 𝑒𝑦cos(x) = 1 + sen(x) 
 
11 – Se f(x) + x²[f(x)]³ = 10 e f(1) = 2, encontre f’(1). 
12 – Se g(x) + x sen[g(x)] = x², encontre g’(0). 
 
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13 – Use a derivação implícita para encontrar dx/dy. 
a) y sen (2x) = x cos 2y, (
𝜋
2
,
𝜋
4
) b) sen(x + y) = 2x – 2y, (π, π) 
14 – Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível. 
a) y = tg-1√𝑥 b) y= √𝑡𝑔−1𝑥 c) y = sem-1(2x + 1) 
d) g(x) = √𝑥² − 1 sec-1 x e) G(x) = √1 − 𝑥² arcos x f) y = tg-1(x - √1 + 𝑥² 
g) h(t) = cotg-1(t) + cotg-1(1/t) h) F(𝜃) = arcsen √𝑠𝑒𝑛 𝜃 i) y = x sen-1x + √1 − 𝑥² 
j) y = cos-1(sen-1t) k) y = arctg √
1−𝑥
1+𝑥
 l) w(x) = arctg(senx) 
15 – A equação x² - xy + y² = 3 representa uma “elipse girada”, isto é, uma elipse cujos eixos não 
são paralelos aos eixos coordenados. Encontre os pontos nos quais essa elipse cruza o eixo x e 
mostre que as retas tangentes nesses pontos são paralelas. 
16 – Onde a reta normal à elipse x² - xy + y² = 3 no ponto (-1, 1) intersecta a elipse uma segunda 
vez? 
18 – Encontre todos os pontos sobre a curva x²y² + xy = 2 onde a inclinação da reta tangente é -1. 
19 – Encontre as equações de ambas as retas tangentes para a elipse x² + 4y² = 36 que passem 
pelo ponto (12, 3). 
20 – Encontre y’ e y”. 
a) y = x² ln(2x) b) y = 
ln 𝑥
𝑥²
 c) y = ln(x + √1 + 𝑥²) d) y = ln(sec x + tg x) 
21 – Seja f(x) = c.x + ln(cos x). Para qual valor de c ocorre f ’(π/4) = 6? 
22 – Seja f(x) = loga(3x² - 2). Para qual valor de a ocorre f ’(1) = 3?